ETUDE DE LA PENETRATION DU CHAMP DANS UNE CAVITE : DU DEVELOPPEMENT MODAL VERS LA MODELISATION CIRCUIT METHODE DE KRON K. El-Fellous*, A. Reineix*, O. Maurice**, G. Andrieu*, P. Hoffmann*** * : Laboratoire XLIM, 123 avenue Albert Thomas, 87060 Limoges Cedex (e-mail: [email protected]) ** PSA Peugeot Citroën, 2 route de Gisy, 78000 Velizy (e-mail : [email protected]) *** Centre d’études de Gramat DGA/CEG Résumé. Cet article a pour objectif de présenter une approche topologique permettant une étude rapide du couplage d’une onde externe dans une cavité contenant des cartes électroniques. Partant d’un développement modal, et après une analyse mathématique, nous avons pu définir des circuits équivalents à la cavité. A partir de ce circuit nous avons construit une matrice de type Kron généralement employée pour les réseaux. L’étude se ramène ainsi à une analyse topologique du système selon la théorie développée par Gabriel Kron mais étendue aux cavités de grande dimension. I. INTRODUCTION Nous assistons à une augmentation croissante de la complexité des systèmes électroniques, aussi, il devient difficile d’avoir une idée sur leur niveau de susceptibilité face à des parasites externes. Ainsi, afin de répondre à ce type de problème, deux catégories d’approche sont envisageables : d’une part la résolution par des codes 3D temporels ou fréquentiels; toutefois, malgré une augmentation des ressources informatiques, ces approches restent toujours limitées ; d’autre part l’expérimentation est aussi envisageable. Toutefois, dans tous les cas, on ne maîtrise pas les résultats que l’on va obtenir. En effet, ce résultat étant global, il devient difficile d’avoir une interprétation des phénomènes physiques mis en jeu et ainsi d’identifier les chemins de couplage. Aussi, l’approche proposée dans cet article consiste à tenter d’établir des équations analytiques les plus rigoureuses possibles des phénomènes complexes, pour pouvoir ensuite calculer des observables ou réaliser des plans d’expérience, etc. De plus, le calcul constitue une base pour comprendre les processus physiques, et des conclusions de l’analyse menée sur la base de ces équations peuvent être validées partiellement par la réalisation d’une expérimentation réelle ou virtuelle (simulation 3D). Dans ce travail, nous avons choisi de nous reposer sur des modèles circuits et entre autres sur la méthode des réseaux de Kron récemment remise au goût du jour [1]. Dans ce cadre, nous nous sommes plus particulièrement penchés sur la problématique de couplage d’un champ externe dans une cavité afin de pouvoir évaluer le niveau de couplage sur une carte électronique. Ainsi, on montre comment, à partir d’un développement modal, il est possible d’obtenir une écriture tensorielle du problème dans les différents sous volumes topologiques. Le raccordement par la loi de Kirchhoff nous amène naturellement à l’approche circuit pour une cavité simple. Ensuite, nous proposerons une généralisation de notre approche. En considérant que l’application de la méthode de Kron dans l’étude des systèmes complexes multi échelles nécessite une formulation sous forme d’un schéma électrique équivalent, nous allons montrer qu’un développement modal classique peut s’interpréter simplement sous forme de circuits. Dans un deuxième temps, la prise en considération les modes propagatifs et évanescents permettra la généralisation du circuit pour la représentation de discontinuité selon un modèle largement développé par Aubert et Baudrand [2]. A partir de cette approche, et en intégrant un modèle de type ligne pour les tronçons transportant des ondes propagatives, nous en déduirons une matrice de Kron qui permettra de répondre à notre problème. II. INTERPRETATION MATHEMATIQUE DU DEVELOPPEMENT MODAL DU CHAMP DANS UNE CAVITE II.1 Définition de bases de développement Considérons une surface (S) délimitant deux domaines de l’espace et plusieurs sources émettrices monochromatiques à une même fréquence et placées en champ lointain par rapport à (S). La représentation du champ intercepté par (S) peut être réalisée en considérant une décomposition en ondes planes dont les directions sont les vecteurs d’onde notés k. La fréquence étant fixée et de par la relation entre les trois composantes de k, le nombre de degrés de libertés se réduit à deux. On peut donc choisir les traces du vecteur k sur la surface comme étant une base continue de développement du champ. Celle-ci n’est autre que la base de Fourier permettant de traduire les amplitudes complexes des ondes planes traversant (S). Si (S) se situe dans un milieu contraint (guide d’onde) et est orthogonale à une direction d’invariance (direction de propagation de l’énergie), alors les bases de développement du champ deviennent discrètes par effet d’images. On se ramène alors au développement modal classique. Ainsi, nous voyons alors qu’il est possible de représenter les champs électromagnétiques traversant une surface (S) sur des bases diverses dépendant des contraintes spatiales induites par le milieu de propagation. Par la suite, nous utiliserons plus particulièrement les bases dans les milieux contraints, et en particulier, la base modale du guide à section rectangulaire. En effet, une cavité (objet de notre étude), peut être simplement vue comme étant constituée d’un guide propageant les ondes suivant une direction privilégiée et possédant des conditions aux limites caractérisées par des impédances particulières représentatives d’un court circuit ou d’une ouverture. Cette base, sur laquelle peuvent être développées les champs et courants, est orthonormée, elle engendre l’espace vectoriel des fonctions de carré sommable qui correspondent physiquement aux grandeurs à l’énergie finie. On définit dans cet espace alors les champs E et H mais également la densité surfacique de courant notée J. Liée par la relation d’ohm avec le champ électrique, cette dernière permet de définir l’opérateur admittance (ou impédance) comme nous le verrons par la suite et dont la matrice associée est un tenseur. II.2 Relation avec les équations de Maxwell Considérons une cavité présentant une ouverture, le champ électrique dans l’ouverture (inconnue du problème) peut se représenter sous forme de sources magnétiques fictives. En effet, en court-circuitant l’ouverture et en utilisant la méthode des images, le champ incident et réfléchi par la partie externe et fermée peuvent faire l’objet d’un calcul à part. A ce champ s’ajoute un champ dit « perturbé » dont la source est constituée par des sources magnétiques situées dans l’ouverture. Cette approche bien connue montre que l’on peut exprimer un champ diffracté aussi bien externe qu’interne par les sources du problème que sont les sources magnétiques localisées dans l’ouverture. Classiquement, à partir de la topologie de l’objet à étudier, il est courant de se ramener à la résolution d’une équation intégrale résolue par une méthode des moments et dont les inconnues sont des sources magnétiques [2]. En partant de la fonction de Green du vide reliant des sources magnétiques, au champ magnétique rayonné, on montre qu’il est possible d’établir une intégrale de rayonnement de la forme : H x (r) = 1 4π 2 Ye − jk z − z ' M x ( r ') B( k t .r ') B * ( k t .r ) dk x dk y k Avec Y : admittance du milieu de propagation, B base dans laquelle on se place (extérieur ou cavité). Il est possible de donner différentes expressions des termes de l’intégrale suivant la position du point de calcul du champ H : - à l’extérieur, les B sont les bases de développement continues dites de Fourier. Y est l’admittance du vide projeté sur la surface (S) ; - à l’intérieur de la cavité, les B sont des fonctions de base discrètes de la cavité et Y est l’admittance ramenée au niveau de l’ouverture des modes LSE pour un guide court-circuité. Dans tous les cas, les champs Hext, Hint développés sur les bases respectivement externes et internes peuvent s’écrire sous la forme : H ( r ) = G 'r, r ') M ( r ') II.2 Définition métrique d’une connectivité et d’une Définissons des bases dans chaque milieu : Baper dans l’ouverture, Bcav dans la cavité et Bext en espace libre. Nous pouvons introduire des matrices de connectivité Mpq comme étant les matrices des produits scalaires entre deux de ces bases. Elles permettent le passage d’une base à une autre par la simple relation Bq M p q = Bq . De plus, partant de l’intégrale de rayonnement on montre que, pour chaque milieu considéré et en réalisant les opérations suivantes : - développement des sources fictives magnétiques U sur Baper : U = U p Baper p - projection de l’équation sur la base Baper , On aboutit alors à une équation du type : Baper r Bn g nm Bm Baper p U p = I q Baper r Baper q Qui peut s’écrire sous la forme : tq p M m g mn M n U p = I q . Où Iq représente la projection sur la base de l’ouverture du champ appliqué à celle-ci. Le terme de gauche traduit l’admittance du milieu de propagation projetée sur la base de l’ouverture. De par la continuité des champs magnétique, cette expression écrite de chaque coté de l’ouverture conduit à une équation intégrale du type : I inc = [ Bouv Bext Yext Bext Bouv + Bouv Bcav Ycav Bcav Bouv ]U L’équation obtenue traduit en fait la loi de Kirchhoff. Dans le cas présent, Ycav représente l’impédance ramenée au niveau de l’ouverture du (ou des) mode considéré dans la cavité. On aboutit à un schéma électrique simple comme indiqué figure 1. Coté extérieur IO Coté cavité Yext Yramenée ouverture Figure 1 : Schéma électrique au niveau de l’ouverture Les matrices M représentent la connectivité entre les différentes bases (espace libre, ouverture, guide), g est la métrique qui est la fonction de Green du problème dans chaque sous-espace physique, g prend ici la dimension d’une admittance. L’opérateur de Green s’écrit sous la forme tensorielle G ( r, r ') = B ( r ) g B( r ' Il est à remarquer que la technique qui vient d’être décrite permet un calcul local au niveau de l’ouverture, cette approche est donc bien adaptée pour une cavité vide. En effet, il est nécessaire de ramener toutes les impédances de mode à l’entrée de celle-ci. III. MODELE CIRCUIT D’UNE DISCONTINUITE ENTRE DEUX MILIEUX DE PROPAGATION III.1 Principe de la méthode Aubert et Baudrand [4] ont montré que, dans une configuration monomode, une discontinuité dans un guide (iris,..) ou plus généralement une jonction inter guides pouvait se représenter par une circuit équivalent comme celui indiqué figure 2. Figure 2 : Schéma équivalent d’une discontinuité entre deux guides En absence de sources externes, les modes guidés, qui constituent l’excitation du système, peuvent être représentés par des générateurs de courant ou de tension dits réels (car ils délivrent de la puissance dans le circuit). Dans la figure 2, J1 et J2 traduisent ces sources. La tension et le courant délivrés s’expriment alors dans la base modale des modes guidés. Les modes évanescents, quant à eux, sont représentés à l’aide des opérateurs admittance Y1 et Y2 écrits dans la base modale correspondante : Y1 = f1 Y1 f1 et Y2 = f 2 Y2 f 2 Les conditions aux limites au niveau de la discontinuité seront représentées par un quadripôle traduisant les relations de continuité entre les composantes du champ des deux côtés. En écrivant l’égalité des tensions exprimées dans les différentes bases et situées de part et d’autre de celle-ci, et la loi des nœuds pour le courant, puis en développant la tension Ea sur des fonctions tests g caractérisant la distribution de champ dans l’ouverture, on montre qu’un schéma électrique équivalent dans le cas monomode est celui donné figure 3 : Figure 3 – schéma équivalent à une discontinuité entre deux guides Les expressions des éléments constituant ce circuit sont, par exemple dans la cas du passage de l’ouverture (assimilable à un guide court) et la cavité, données par : Z= g 0 Bcav g 0 Y1 + Y2 g 0 et n = 2 g 0 Bcav g 0 Baper 2 2 Comme indiqué plus haut Y1 et Y2 sont les admittances caractérisant les modes évanescents de part et d’autre de l’ouverture. Remarque 1 : Si ces relations de continuités ne sont pas homogènes en tout point du plan de la discontinuité, alors on introduit des générateurs dits virtuels (ne délivrant pas de puissance dans le circuit), le champ électrique et la densité de courant magnétique sont définis dans des domaines complémentaires ce qui fait que leur produit scalaire est nul, donc une puissance nul. Par exemple si la discontinuité est un plan métallique présentant une ouverture, alors on définit deux domaines complémentaires : l’ouverture et le métal ; le courant circule sur le métal, la tension est au niveau de l’ouverture. La tension et le courant délivrés par ces sources sont exprimés dans des bases de fonctions d’essai différentes, ce qui permettra d’utiliser la méthode de Galerkine dans la résolution du système d’équations. Remarque 2 : Une fois le circuit établi en toute généralité, une étude fréquentielle s’impose pour distinguer les modes propagatifs et évanescents. On pourra donc exprimer la tension délivrée par le générateur sous forme de combinaison linéaire des fonctions base des modes guidés. Les termes correspondant aux modes guidés sont éliminés de la somme des opérateurs admittance. La distribution spatiale des modes guidés et la structure géométrique de la discontinuité font que, au niveau de la discontinuité, seulement certains modes évanescents soient excités. Ensuite, suivant la nature des modes évanescents TE ou TM l’opérateur admittance, lié à la diffraction des modes évanescents sur la discontinuité, est écrit. Dans le cas des modes évanescents TE, l’admittance du guide s’écrit : γ Yn = n jωµ 0 Dans ce cas, la constante de propagations n est réelle et positive, alors Zn est imaginaire pur et positif. Cette remarque montre que les modes évanescents traduisent physiquement l’accumulation d’une énergie arbitrairement inductive au voisinage de cette discontinuité (resp. capacitive pour les modes TM) Dans notre étude, nous utiliserons cette approche pour définir le circuit équivalent aux discontinuités. III.2 Validation : étude d’une fenêtre inductive Pour appliquer la méthode, considérons le problème simple d’une fenêtre inductive placée dans un guide à section rectangulaire. Pour notre étude, cette fenêtre peut être représentative de cartes de circuits imprimées placées dans la cavité. Le problème étudié est considéré sans sources électromagnétiques. Le but est ici d’appliquer la méthode afin d’établir l’impédance équivalente à cette discontinuité. Figure 5 : Comparaison entre la self inductance obtenue par le méthode modale et par FDTD Pour des discontinuités géométriquement plus complexes, il devient difficile d’appliquer la méthode modale, en effet, les modes ne peuvent être déterminés que numériquement par résolution de l’équation aux valeurs propres d’Helmholtz, il sera plus judicieux de réaliser un calcul FDTD pour établir l’impédance équivalente à la discontinuité. IV DETERMINATION D’UNE MATRICE DE KRON : CAS DE LA CAVITE PRESENTANT UNE OUVERTURE. IV.1 Principe général b a w Capteur de champ boîtier Figure 4 : fenêtre inductive dans un guide à section rectangulaire (w=4 cm, a=30 cm, b=12 cm) Nous nous placerons dans le cas monomode, ce qui, compte tenu des dimensions de la structure nous donne une fréquence maximale d’analyse de 1 GHz. Dans ce cas, seul le seul le mode fondamental TE01 est guidé, la distribution spatiale de celui-ci et la structure de la discontinuité font que seuls les modes évanescents de type TE sont excités. L’opérateur admittance est donc une self. Une comparaison avec une simulation par FDTD a été réalisée avec le code TEMSI-FD. En ce qui concerne la FDTD, l’excitation a été réalisée par une cartographie de champ dans un plan (surface de Huygens), en considérant le cas avec et sans iris et en effectuant des produits scalaires sur la cartographie du mode TE10, il est possible de déduire l’expression de l’impédance au niveau de la discontinuité. Nous retrouvons bien par les deux approches un comportement selfique. La figure 5 montre une bonne concordance entre les résultats dans la bande monomode. fente Antenne rayonnante Figure 6 – Pénétration d’une onde externe dans une cavité présentant une ouverture Dans le paragraphe II et pour une cavité ouverte, nous avons présenté une interprétation menant à des admittances équivalentes ramenées au niveau de l’ouverture. Voyons, comment la démarche de décomposition en bases et connectivités entre bases peut être étendue pour l’analyse de cavités plus complexes. Pour ce faire, nous sommes partis du principe qu’une cavité pouvait être vue comme un guide court-circuité [3]. Si nous plaçons un iris représentatif d’une carte de circuit imprimé à l’intérieur, et en repartant de notre définition de bases transverses dans un milieu invariant par translation, nous pouvons définir des métriques dans chaque tronçon correspondant aux modes se propageant dans le guide et caractérisé par les conditions aux limites transverses. Comme on l’a vu plus haut, les métriques définissent les caractéristiques de modes propagatifs. Au niveau d’un iris entre les deux demi cavités, on peut définir des modèles localisés équivalents aux discontinuités dans les guides. Ces modèles inductifs ou capacitifs traduisent d’énergie emmagasinée due aux modes évanescents. La jonction entre deux demi cavités de sections différentes se traduirait par un transformateur qui est caractéristique de la matrice de connectivité vue plus haut et une admittance en parallèle. Nous avons donc construit des équivalents circuits à chaque élément constituant la cavité. Voyons comment établir le lien entre tous les éléments : - dans le guide, considérons un iris représentant deux plans de masse de carte, si la polarisation impose un comportement selfique des modes évanescents, son circuit équivalent est donc une self déterminée par les formules de Baudrand ou directement par FDTD. - entre les parois de la cavité et l’iris on a un milieu de propagation dans lequel, on peut représenter les phénomènes de propagation par des interactions données par une approche de type Bergeron [5] ou par un quadripôle caractérisé par une matrice impédance traduisant les interactions entre les deux extrémités. - la pénétration dans l’ouverture peut être prise en compte en considérant un schéma équivalent de l’ouverture traduisant les modes évanescents (par une admittance) ou propagatifs (par un générateur) couplant le champ incident externe à la cavité. IV.2 - Cas d’une cavité vide Le système étudié est composé d’un boîtier métallique avec ouverture, la source d’excitation est une onde plane polarisée verticalement qui arrive de l’extérieur, (Figure.1). Dans ce cas, on définit deux milieux de propagation : l’extérieur et l’intérieur. Afin de simplifier le problème, nous allons supposer la cavité monomode, voyons comment définir nos différents schémas équivalents en utilisant les outils décrits plus haut. Si nous regardons la cavité au niveau de l’ouverture, nous avons vu que l’on pouvait y définir une base de fonctions Bouv qui, dans nos gammes de fréquences sera considéré comme étant monomode. Si l’on regarde la partie externe, nous avons un premier changement de base. En appliquant la méthode de Baudrand, on montre que le schéma équivalent à cette discontinuité est un transformateur qui rend compte du mode de propagation et d’une admittance purement imaginaire qui rend compte de l’énergie stockée donc des modes évanescents. De même, on pourrait montrer que la jonction ouverture se représente par un schéma du même type. En ce qui concerne le milieu de propagation, ce dernier peut être représenté par un quadripôle équivalent traduit d’un point de vue mathématique par sa matrice impédance. Lorsque l’on veut relever un point de tension au milieu de la cavité pour réaliser, par exemple, le calcul de sa surface effective de blindage, on peut alors considérer deux quadripôles en cascades au sein desquels on place une impédance de forte valeur, notée Rl,de manière à ne pas faire chuter la tension. Ainsi, la figure 7 montre le circuit résultant. Figure 7 : Circuit complet équivalent à la cavité excitée par une onde externe Ce schéma peut être simplifié en ramenant toutes les quantités externes à la cavité sur la base de l’ouverture, on obtient alors le schéma figure 8. Figure 7 : Simplification du circuit équivalent Nous avons donc défini un objet milieu de propagation qui est un quadripôle représenté par sa matrice (Z) représentatif d’une demi cavité. Cela correspond à la théorie donnée par Robinson [6] qui calcule d’efficacité de blindage au milieu de la cavité. Toutefois, contrairement à Robinson, on ne calcule pas explicitement l’impédance de l’ouverture. Grâce à un tel formalisme, nous avons maintenant le schéma complet équivalent à notre structure. Afin de simplifier le problème, on peut ramener le générateur et l’admittance externe sur la base de la cavité sous la forme d’un générateur de Thévenin. Le schéma équivalent devient alors celui de la figure 8 Figure 8 – Simplification du schéma équivalent Afin de déterminer la matrice de Kron, il est nécessaire de dessiner les branches et les nœuds traduisant le schéma équivalent. Nous avons alors la topologie suivante (figure 9) Figure 9 : Schéma électrique permettant le calcul de la matrice de Kron Nous constatons que nous pouvons définir 4 mailles, nous pouvons donc déterminer 4 courants de maille et écrire la matrice de Kron sous la forme. (Z ) = Z11 + Z S 1 Z 21 Z12 Z 22 + Z R 0 ZR 0 ZR Z11 + Z R Z12 0 0 Z 21 Z 22 + Z l 2 0 0 Le système à résoudre se présente sous la forme : ( Z )( I ) = (V ) avec (V ) = Vth 0 0 0 ZL2=0 c’est le court circuit du fond de cavité ZR= résistance située au milieu de la cavité ZS1=impédance du générateur de Thévenin La tension en milieu de cavité se déduit alors simplement par la formule : Vm = Z R ( I 3 − I 2 ) Afin de valider notre approche, nous avons réalisé une comparaison entre le résultat obtenu par la NASA [5] et celui donné par notre méthode. Nous observons une excellente concordance entre les courbes d’efficacité de blindage (SE). (figure 10) Figure 11 – influence de l’iris sur la SE V - CONCLUSION ET PERSPECTIVES Nous avons présenté une extension originale de la méthode de Kron au problème de calcul des champs couplés dans une cavité et à une extension à des problèmes pouvant devenir complexes. Après une analyse topologique, l’approche circuit permet d’avoir une souplesse dans l’étude de sensibilité des observables face aux paramètres d’une part et de mieux appréhender les phénomènes physiques par l’analyse des échanges d’énergie d’autre part. Une extension de la méthode sera la prise en compte de l’aspect multimodal, ce qui ne pose à priori pas de problèmes puisqu’il suffit d’introduire des tronçons de ligne en parallèle. Une évolution envisagée est le passage dans le domaine temporel. Une telle approche devrait permettre la connexion de composants non linéaires et quelconques. REMERCIEMENTS Cette étude est réalisée dans le cadre du projet « VULCAIM » convention DGA/D4S/MRIS REFERENCES [1] Figure 10 – efficacité de blindage (SE) obtenue par la méthode de Kron et par la méthode modale IV.3- Cas d’une cavité chargée Afin de compléter notre étude, nous allons placer l’iris qui a été évoqué dans la partie II1 à la place de la résistance au milieu de la cavité. Cet iris est destiné à représenter à deux cartes de circuit imprimé. Nous allons comparer l’atténuation de blindage avec le cas précédent (figure 11), nous constatons une meilleure atténuation et un déplacement de la fréquence de résonance du premier mode liée à la self ajoutée le long du parcours de l’onde. O. Maurice, “Compatibilité électromagnétique des systèmes complexes”, Hermès Sciences, 2007. [2] V. Rajamani and all « Validation of Modal / MoM in Shielding Effectiveness Studies of Rectangular enclosures with Apertures » IEEE Trans on EMC, vol 48,n 2, May 2006, pp 348- 353 [3] C. Fiachetti, A. Reineix, B. Michelsen, F. Issac « Apport des modèles aléatoires de champ pour caractériser une CRBM appliquée au domaine automobile » ASTELAB, Paris, 17-19 Mars 2003 [4] H. Aubert, H. Baudrand « L’électromagnétisme par les schémas équivalents » Cépaduès-éditions – collection Polytech [5] O. Maurice,, A. Reineix « Métrique de la connexion du champ en volume avec les courants de bords dans de larges structures » proposition à ce congrès. [6] M.P. Robinson and all “ Analytical formulation of the shielding effectiveness of enclosures witth apertures” IEEE Trans on EMC, vol 40, Aug 1998, pp 240- 248