ETUDE DE LA PENETRATION DU CHAMP DANS UNE CAVITE

ETUDE DE LA PENETRATION DU CHAMP DANS UNE CAVITE : DU
DEVELOPPEMENT MODAL VERS LA MODELISATION CIRCUIT -
METHODE DE KRON
K. El-Fellous*, A. Reineix*, O. Maurice**, G. Andrieu*, P. Hoffmann***
* : Laboratoire XLIM, 123 avenue Albert Thomas, 87060 Limoges Cedex (e-mail: [e-mail])
** PSA Peugeot Citroën, 2 route de Gisy, 78000 Velizy (e-mail : [email protected])
*** Centre d’études de Gramat DGA/CEG
Résumé. Cet article a pour objectif de présenter une
approche topologique permettant une étude rapide du
couplage d’une onde externe dans une cavité
contenant des cartes électroniques. Partant d’un
développement modal, et après une analyse
mathématique, nous avons pu définir des circuits
équivalents à la cavité. A partir de ce circuit nous
avons construit une matrice de type Kron générale-
ment employée pour les réseaux. L’étude se ramène
ainsi à une analyse topologique du système selon la
théorie développée par Gabriel Kron mais étendue aux
cavités de grande dimension.
I. INTRODUCTION
Nous assistons à une augmentation croissante
de la complexité des systèmes électroniques, aussi, il
devient difficile d’avoir une idée sur leur niveau de
susceptibilité face à des parasites externes. Ainsi, afin
de répondre à ce type de problème, deux catégories
d’approche sont envisageables : d’une part la
résolution par des codes 3D temporels ou fréquentiels;
toutefois, malgré une augmentation des ressources
informatiques, ces approches restent toujours
limitées ; d’autre part l’expérimentation est aussi
envisageable. Toutefois, dans tous les cas, on ne
maîtrise pas les résultats que l’on va obtenir. En effet,
ce résultat étant global, il devient difficile d’avoir une
interprétation des phénomènes physiques mis en jeu et
ainsi d’identifier les chemins de couplage.
Aussi, l’approche proposée dans cet article consiste à
tenter d’établir des équations analytiques les plus
rigoureuses possibles des phénomènes complexes,
pour pouvoir ensuite calculer des observables ou
réaliser des plans d’expérience, etc. De plus, le calcul
constitue une base pour comprendre les processus
physiques, et des conclusions de l’analyse menée sur
la base de ces équations peuvent être validées
partiellement par la réalisation d’une expérimentation
réelle ou virtuelle (simulation 3D). Dans ce travail,
nous avons choisi de nous reposer sur des modèles
circuits et entre autres sur la méthode des réseaux de
Kron récemment remise au goût du jour [1]. Dans ce
cadre, nous nous sommes plus particulièrement
penchés sur la problématique de couplage d’un champ
externe dans une cavité afin de pouvoir évaluer le
niveau de couplage sur une carte électronique. Ainsi,
on montre comment, à partir d’un développement
modal, il est possible d’obtenir une écriture tensorielle
du problème dans les différents sous volumes
topologiques. Le raccordement par la loi de Kirchhoff
nous amène naturellement à l’approche circuit pour
une cavité simple. Ensuite, nous proposerons une
généralisation de notre approche.
En considérant que l’application de la
méthode de Kron dans l’étude des systèmes
complexes multi échelles nécessite une formulation
sous forme d’un schéma électrique équivalent, nous
allons montrer qu’un développement modal classique
peut s’interpréter simplement sous forme de circuits.
Dans un deuxième temps, la prise en considération les
modes propagatifs et évanescents permettra la
généralisation du circuit pour la représentation de
discontinuité selon un modèle largement développé
par Aubert et Baudrand [2]. A partir de cette
approche, et en intégrant un modèle de type ligne pour
les tronçons transportant des ondes propagatives, nous
en déduirons une matrice de Kron qui permettra de
répondre à notre problème.
II. INTERPRETATION MATHEMATIQUE DU
DEVELOPPEMENT MODAL DU CHAMP
DANS UNE CAVITE
II.1 Définition de bases de développement
Considérons une surface (S) délimitant deux
domaines de l’espace et plusieurs sources émettrices
monochromatiques à une même fréquence et placées
en champ lointain par rapport à (S). La représentation
du champ intercepté par (S) peut être réalisée en
considérant une décomposition en ondes planes dont
les directions sont les vecteurs d’onde notés k. La
fréquence étant fixée et de par la relation entre les
trois composantes de k, le nombre de degrés de
libertés se réduit à deux. On peut donc choisir les
traces du vecteur k sur la surface comme étant une
base continue de développement du champ. Celle-ci
n’est autre que la base de Fourier permettant de
traduire les amplitudes complexes des ondes planes
traversant (S). Si (S) se situe dans un milieu contraint

(guide d’onde) et est orthogonale à une direction
d’invariance (direction de propagation de l’énergie),
alors les bases de développement du champ
deviennent discrètes par effet d’images. On se ramène
alors au développement modal classique. Ainsi, nous
voyons alors qu’il est possible de représenter les
champs électromagnétiques traversant une surface (S)
sur des bases diverses dépendant des contraintes
spatiales induites par le milieu de propagation.
Par la suite, nous utiliserons plus particulièrement les
bases dans les milieux contraints, et en particulier, la
base modale du guide à section rectangulaire. En effet,
une cavité (objet de notre étude), peut être simplement
vue comme étant constituée d’un guide propageant les
ondes suivant une direction privilégiée et possédant
des conditions aux limites caractérisées par des
impédances particulières représentatives d’un court
circuit ou d’une ouverture. Cette base, sur laquelle
peuvent être développées les champs et courants, est
orthonormée, elle engendre l’espace vectoriel des
fonctions de carré sommable qui correspondent
physiquement aux grandeurs à l’énergie finie. On
définit dans cet espace alors les champs E et H mais
également la densité surfacique de courant notée J.
Liée par la relation d’ohm avec le champ électrique,
cette dernière permet de définir l’opérateur admittance
(ou impédance) comme nous le verrons par la suite et
dont la matrice associée est un tenseur.
II.2 Relation avec les équations de Maxwell
Considérons une cavité présentant une
ouverture, le champ électrique dans l’ouverture
(inconnue du problème) peut se représenter sous
forme de sources magnétiques fictives. En effet, en
court-circuitant l’ouverture et en utilisant la méthode
des images, le champ incident et réfléchi par la partie
externe et fermée peuvent faire l’objet d’un calcul à
part. A ce champ s’ajoute un champ dit « perturbé »
dont la source est constituée par des sources
magnétiques situées dans l’ouverture. Cette approche
bien connue montre que l’on peut exprimer un champ
diffracté aussi bien externe qu’interne par les sources
du problème que sont les sources magnétiques
localisées dans l’ouverture. Classiquement, à partir de
la topologie de l’objet à étudier, il est courant de se
ramener à la résolution d’une équation intégrale
résolue par une méthode des moments et dont les
inconnues sont des sources magnétiques [2].
En partant de la fonction de Green du vide
reliant des sources magnétiques, au champ
magnétique rayonné, on montre qu’il est possible
d’établir une intégrale de rayonnement de la forme :
Avec Y : admittance du milieu de propagation, B base
dans laquelle on se place (extérieur ou cavité).
Il est possible de donner différentes expressions des
termes de l’intégrale suivant la position du point de
calcul du champ H :
- à l’extérieur, les B sont les bases de développement
continues dites de Fourier. Y est l’admittance du vide
projeté sur la surface (S) ;
- à l’intérieur de la cavité, les B sont des fonctions de
base discrètes de la cavité et Y est l’admittance
ramenée au niveau de l’ouverture des modes LSE
pour un guide court-circuité.
Dans tous les cas, les champs Hext, Hint développés
sur les bases respectivement externes et internes
peuvent s’écrire sous la forme :
)'()',')( rMrrGrH
=
II.2 Définition d’une connectivité et d’une
métrique
Définissons des bases dans chaque milieu : Baper
dans l’ouverture, Bcav dans la cavité et Bext en espace
libre. Nous pouvons introduire des matrices de
connectivité Mpq comme étant les matrices des
produits scalaires entre deux de ces bases. Elles
permettent le passage d’une base à une autre par la
simple relation
q
q
pq
BMB =
. De plus, partant de
l’intégrale de rayonnement on montre que, pour
chaque milieu considéré et en réalisant les opérations
suivantes :
- développement des sources fictives magnétiques
U sur Baper :
=
p
aperp
BUU
- projection de l’équation sur la base Baper ,
On aboutit alors à une équation du type :
Qui peut s’écrire sous la forme :
.
Où Iq représente la projection sur la base de
l’ouverture du champ appliqué à celle-ci. Le terme de
gauche traduit l’admittance du milieu de propagation
projetée sur la base de l’ouverture. De par la
continuité des champs magnétique, cette expression
écrite de chaque coté de l’ouverture conduit à une
équation intégrale du type :
UBBYBBBBYBBI
ouvcavcavcavouvouvextextextouvinc
][ +=
L’équation obtenue traduit en fait la loi de Kirchhoff.
Dans le cas présent, Ycav représente l’impédance
ramenée au niveau de l’ouverture du (ou des) mode
considéré dans la cavité. On aboutit à un schéma
électrique simple comme indiqué figure 1.
−−
=
k
yxttx
zzjk
x
dkdkrkBrkBrMYerH ).()'.()'(
4
1
)(
*
'
2
π
q
aperraper
q
p
p
aperm
nm
nraper
BBIUBBgBB =
q
p
p
n
mn
qt
m
IUMgM =

Figure 1 : Schéma électrique au niveau de l’ouverture
Les matrices M représentent la connectivité
entre les différentes bases (espace libre, ouverture,
guide), g est la métrique qui est la fonction de Green
du problème dans chaque sous-espace physique, g
prend ici la dimension d’une admittance. L’opérateur
de Green s’écrit sous la forme tensorielle
Il est à remarquer que la technique qui vient d’être
décrite permet un calcul local au niveau de
l’ouverture, cette approche est donc bien adaptée pour
une cavité vide. En effet, il est nécessaire de ramener
toutes les impédances de mode à l’entrée de celle-ci.
III. MODELE CIRCUIT D’UNE DISCON-
TINUITE ENTRE DEUX MILIEUX DE PROPA-
GATION
III.1 Principe de la méthode
Aubert et Baudrand [4] ont montré que, dans
une configuration monomode, une discontinuité dans
un guide (iris,..) ou plus généralement une jonction
inter guides pouvait se représenter par une circuit
équivalent comme celui indiqué figure 2.
Figure 2 : Schéma équivalent d’une discontinuité entre
deux guides
En absence de sources externes, les modes
guidés, qui constituent l’excitation du système,
peuvent être représentés par des générateurs de
courant ou de tension dits réels (car ils délivrent de la
puissance dans le circuit). Dans la figure 2, J1 et J2
traduisent ces sources. La tension et le courant
délivrés s’expriment alors dans la base modale des
modes guidés. Les modes évanescents, quant à eux,
sont représentés à l’aide des opérateurs admittance
1
Y et
2
Y écrits dans la base modale correspondante :
22221111
fYfYetfYfY ==
Les conditions aux limites au niveau de la
discontinuité seront représentées par un quadripôle
traduisant les relations de continuité entre les
composantes du champ des deux côtés. En écrivant
l’égalité des tensions exprimées dans les différentes
bases et situées de part et d’autre de celle-ci, et la loi
des nœuds pour le courant, puis en développant la
tension Ea sur des fonctions tests g caractérisant la
distribution de champ dans l’ouverture, on montre
qu’un schéma électrique équivalent dans le cas
monomode est celui donné figure 3 :
Figure 3 – schéma équivalent à une discontinuité entre
deux guides
Les expressions des éléments constituant ce circuit
sont, par exemple dans la cas du passage de
l’ouverture (assimilable à un guide court) et la cavité,
données par :
0210
0
gYYg
Bg
Z
cav
+
=
et
2
0
2
0
2
aper
cav
Bg
Bg
n=
Comme indiqué plus haut Y1 et Y2 sont les
admittances caractérisant les modes évanescents de
part et d’autre de l’ouverture.
Remarque 1 : Si ces relations de continuités ne sont
pas homogènes en tout point du plan de la
discontinuité, alors on introduit des générateurs dits
virtuels (ne délivrant pas de puissance dans le
circuit), le champ électrique et la densité de courant
magnétique sont définis dans des domaines
complémentaires ce qui fait que leur produit scalaire
est nul, donc une puissance nul. Par exemple si la
discontinuité est un plan métallique présentant une
ouverture, alors on définit deux domaines
complémentaires : l’ouverture et le métal ; le courant
circule sur le métal, la tension est au niveau de
l’ouverture. La tension et le courant délivrés par ces
sources sont exprimés dans des bases de fonctions
d’essai différentes, ce qui permettra d’utiliser la
méthode de Galerkine dans la résolution du système
d’équations.
Remarque 2 : Une fois le circuit établi en toute
généralité, une étude fréquentielle s’impose pour
distinguer les modes propagatifs et évanescents. On
pourra donc exprimer la tension délivrée par le
générateur sous forme de combinaison linéaire des
fonctions base des modes guidés. Les termes
correspondant aux modes guidés sont éliminés de la
somme des opérateurs admittance.
La distribution spatiale des modes guidés et la
structure géométrique de la discontinuité font que, au
niveau de la discontinuité, seulement certains modes
évanescents soient excités. Ensuite, suivant la nature
O
I
ext
Y
ramenée
Y
ouverture
Coté extérieur
Coté cavité
'()()',( rBgrBrrG =

des modes évanescents TE ou TM l’opérateur
admittance, lié à la diffraction des modes évanescents
sur la discontinuité, est écrit. Dans le cas des modes
évanescents TE, l’admittance du guide s’écrit :
0
ωµ
γ
j
Y
n
n
=
Dans ce cas, la constante de propagations n est réelle
et positive, alors Zn est imaginaire pur et positif. Cette
remarque montre que les modes évanescents
traduisent physiquement l’accumulation d’une énergie
arbitrairement inductive au voisinage de cette
discontinuité (resp. capacitive pour les modes TM)
Dans notre étude, nous utiliserons cette approche pour
définir le circuit équivalent aux discontinuités.
III.2 Validation : étude d’une fenêtre inductive
Pour appliquer la méthode, considérons le
problème simple d’une fenêtre inductive placée dans
un guide à section rectangulaire. Pour notre étude,
cette fenêtre peut être représentative de cartes de
circuits imprimées placées dans la cavité. Le problème
étudié est considéré sans sources électromagnétiques.
Le but est ici d’appliquer la méthode afin d’établir
l’impédance équivalente à cette discontinuité.
Figure 4 : fenêtre inductive dans un guide à section
rectangulaire (w=4 cm, a=30 cm, b=12 cm)
Nous nous placerons dans le cas monomode, ce qui,
compte tenu des dimensions de la structure nous
donne une fréquence maximale d’analyse de 1 GHz.
Dans ce cas, seul le seul le mode fondamental TE01
est guidé, la distribution spatiale de celui-ci et la
structure de la discontinuité font que seuls les modes
évanescents de type TE sont excités. L’opérateur
admittance est donc une self .
Une comparaison avec une simulation par FDTD a été
réalisée avec le code TEMSI-FD. En ce qui concerne
la FDTD, l’excitation a été réalisée par une
cartographie de champ dans un plan (surface de
Huygens), en considérant le cas avec et sans iris et en
effectuant des produits scalaires sur la cartographie du
mode TE10, il est possible de déduire l’expression de
l’impédance au niveau de la discontinuité. Nous
retrouvons bien par les deux approches un
comportement selfique. La figure 5 montre une bonne
concordance entre les résultats dans la bande
monomode.
Figure 5 : Comparaison entre la self inductance
obtenue par le méthode modale et par FDTD
Pour des discontinuités géométriquement
plus complexes, il devient difficile d’appliquer la
méthode modale, en effet, les modes ne peuvent être
déterminés que numériquement par résolution de
l’équation aux valeurs propres d’Helmholtz, il sera
plus judicieux de réaliser un calcul FDTD pour établir
l’impédance équivalente à la discontinuité.
IV DETERMINATION D’UNE MATRICE DE
KRON : CAS DE LA CAVITE PRESENTANT
UNE OUVERTURE.
IV.1 Principe général
Figure 6 – Pénétration d’une onde externe dans une
cavité présentant une ouverture
Dans le paragraphe II et pour une cavité
ouverte, nous avons présenté une interprétation
menant à des admittances équivalentes ramenées au
niveau de l’ouverture. Voyons, comment la démarche
de décomposition en bases et connectivités entre bases
peut être étendue pour l’analyse de cavités plus
complexes. Pour ce faire, nous sommes partis du
principe qu’une cavité pouvait être vue comme un
guide court-circuité [3]. Si nous plaçons un iris
représentatif d’une carte de circuit imprimé à
l’intérieur, et en repartant de notre définition de bases
transverses dans un milieu invariant par translation,
nous pouvons définir des métriques dans chaque
tronçon correspondant aux modes se propageant dans
le guide et caractérisé par les conditions aux limites
transverses. Comme on l’a vu plus haut, les métriques
définissent les caractéristiques de modes propagatifs.
Au niveau d’un iris entre les deux demi cavités, on
peut définir des modèles localisés équivalents aux
w
Antenne rayonnante
Capteur de champ
boîtier
fente
a
b

discontinuités dans les guides. Ces modèles inductifs
ou capacitifs traduisent d’énergie emmagasinée due
aux modes évanescents. La jonction entre deux demi
cavités de sections différentes se traduirait par un
transformateur qui est caractéristique de la matrice de
connectivité vue plus haut et une admittance en
parallèle. Nous avons donc construit des équivalents
circuits à chaque élément constituant la cavité.
Voyons comment établir le lien entre tous les
éléments :
- dans le guide, considérons un iris représentant deux
plans de masse de carte, si la polarisation impose un
comportement selfique des modes évanescents, son
circuit équivalent est donc une self déterminée par les
formules de Baudrand ou directement par FDTD.
- entre les parois de la cavité et l’iris on a un milieu de
propagation dans lequel, on peut représenter les
phénomènes de propagation par des interactions
données par une approche de type Bergeron [5] ou par
un quadripôle caractérisé par une matrice impédance
traduisant les interactions entre les deux extrémités.
- la pénétration dans l’ouverture peut être prise en
compte en considérant un schéma équivalent de
l’ouverture traduisant les modes évanescents (par une
admittance) ou propagatifs (par un générateur)
couplant le champ incident externe à la cavité.
IV.2 - Cas d’une cavité vide
Le système étudié est composé d’un boîtier
métallique avec ouverture, la source d’excitation est
une onde plane polarisée verticalement qui arrive de
l’extérieur, (Figure.1). Dans ce cas, on définit deux
milieux de propagation : l’extérieur et l’intérieur. Afin
de simplifier le problème, nous allons supposer la
cavité monomode, voyons comment définir nos
différents schémas équivalents en utilisant les outils
décrits plus haut. Si nous regardons la cavité au
niveau de l’ouverture, nous avons vu que l’on pouvait
y définir une base de fonctions Bouv qui, dans nos
gammes de fréquences sera considéré comme étant
monomode. Si l’on regarde la partie externe, nous
avons un premier changement de base. En appliquant
la méthode de Baudrand, on montre que le schéma
équivalent à cette discontinuité est un transformateur
qui rend compte du mode de propagation et d’une
admittance purement imaginaire qui rend compte de
l’énergie stockée donc des modes évanescents. De
même, on pourrait montrer que la jonction ouverture
se représente par un schéma du même type. En ce qui
concerne le milieu de propagation, ce dernier peut être
représenté par un quadripôle équivalent traduit d’un
point de vue mathématique par sa matrice impédance.
Lorsque l’on veut relever un point de tension au
milieu de la cavité pour réaliser, par exemple, le
calcul de sa surface effective de blindage, on peut
alors considérer deux quadripôles en cascades au sein
desquels on place une impédance de forte valeur,
notée Rl,de manière à ne pas faire chuter la tension.
Ainsi, la figure 7 montre le circuit résultant.
Figure 7 : Circuit complet équivalent à la cavité
excitée par une onde externe
Ce schéma peut être simplifié en ramenant toutes les
quantités externes à la cavité sur la base de
l’ouverture, on obtient alors le schéma figure 8.
Figure 7 : Simplification du circuit équivalent
Nous avons donc défini un objet milieu de
propagation qui est un quadripôle représenté par sa
matrice (Z) représentatif d’une demi cavité. Cela
correspond à la théorie donnée par Robinson [6] qui
calcule d’efficacité de blindage au milieu de la cavité.
Toutefois, contrairement à Robinson, on ne calcule
pas explicitement l’impédance de l’ouverture.
Grâce à un tel formalisme, nous avons
maintenant le schéma complet équivalent à notre
structure . Afin de simplifier le problème, on peut
ramener le générateur et l’admittance externe sur la
base de la cavité sous la forme d’un générateur de
Thévenin. Le schéma équivalent devient alors celui de
la figure 8
Figure 8 – Simplification du schéma équivalent
Afin de déterminer la matrice de Kron, il est
nécessaire de dessiner les branches et les nœuds
traduisant le schéma équivalent. Nous avons alors la
topologie suivante (figure 9)