Le théorème de reduction de Marsden

JGP - Vol. 6, n. 4, 1989
Le théorème de reduction de Marsden-Weinstein
en géométrie cosymplectique et de contact
CLAUDE ALBERT
Institut dc Mathématiques
GDR 144 du CNRS
Place E. Batailion
F-34060 - Montpellier, Cedex
Abstract. We show that the classical Marsden- Weinstein Reduction theorem forHamiltonian systems with symmetries is still trueforcontactmanifolds andcosymplectic
manifolds (i.e. canonical manifolds in the sense of A. Lichnerowicz).
In fac4 weprecise the notion of transitive almost contact structure, which enables
us to consider the cosymplecic geometry as a limit of the contact geometry when a
certain parametergoes to zero. This point of view unifies both theories.
However, we have to give two distinctproofs for the contact Reduction theorem
and the cosymplectic one.
INTRODUCTION
On connaIt l’importance en géometne symplectique du théorème de Reduction de
l’espace des phases de Marsden-Weinstein [11] qui permet, si l’on dispose d’un groupe
de symétries de la structure respectant le hamiltonien, de voir la variété comme une
reunion d’orbites contenant le lot du champ de vecteurs hamiltonien, les orbites régu
-here (en un certain sens) étant des fibres principaux dont les bases sont des variétés
symplectiques sur lesquelles le ham iltonien est projetable.
II s’agit dans ce papier de donner une version de ce théorème pour les variétés de
contact et les variétés cosymplectiques (ou variétés canoniques).
Key-Words: Symplectic manifold. Contact manifold. Cosymplectic manifold. Reduction
theorem. Principal structure.
1980 MSC: 58. 53.
628
(‘LAVDE ALBERF
Le parti pris systématiquc Cs! d ‘utiliser Ia notion de ~<structurcdc presquc contact traifsitive>~qui permct de regarder les structures cosymplectiqucs commc obtenues en qucique sorte par dégénérescence des structurcs de contact. Dans cette optique, Ia géométric
hamiltonienrie des structures dc contact permet, par passage a la limite, de rctrouver Ia
géométrie correspondante des structures cosymplectiqucs.
1. GENERALITES SUR LES STRUCTURES DE PRESQUE CONTACT
Soit V unc variété de dimension 2 n + I
Une struclurc dc prcsquc contact sur V
est Ia donnée d’un couple (9,w) oö 8 Cs! unc 1-forme et cc unc 2-Ibrme sur V
tehles que 9 A w~soit une forme volume sur V. On notera poor p > 0, ~4’ V) Ic
A°(V)-module des p-formes sur V, ci N( V) Ic A°(V)-modulc des champs dc
vecteurs.
Si (8, cc) est une structure dc presquc contact sur V un champ de vecteurs X e
1-I( V) est parfaitement défini par les formes
axO
i~cc
Cl
En particulier, Ic champ d~vecteur R délini par
2R&
2RW
Ct
est appehé le champ de Rccbde Ia structure de presque contact. II na pas de singuIarii~,
et définit done un feuilletage V de dimension I appclé lot dynarniquc de ( V, 0, cc
En tout point ~ E V, ker 8~est un hyperplan de T
1V transverse a T~V, appchi
hyperplan horizontal. La restriction dc cc1 a cc! hyperplan est de rang 2 n : on dira quc
Ic feuilletage V est transvcrsalcmcnt prcsquc svmplccliquc.
EXEMPLE 1. Si (14”, cc11) esi une variéié symplectique, on mum! V
Ia 1 -fomic cc
=
=
1< ~ 14
(Ic
pr~cc,~. Alors ( 0cc) esi unc structure de presque coruaci sur
Le champ de Reeb s’Ocrit ici H
=
~—
dans ha decomposition TV
=
TR ~ TW. Lcs
feuilles du flot dynamiquc son! les sous-variéiCs R x {x} oü z e V, ci Ia structurc
presque symplectique transverse est inlcgrablc puisqu’ellc se rCduit a Ia siruclurc cc~
surles ~<tranchess {t} x
EXEMPLE 2. Si 9 Cs!
UflC
forme de contact sur V Ic couple (9, cc
une structure de presque contact, ditc associCc
dynamiquc de Ia variété dc contact [14].
a
oü cc
=
d
L~ Cs!
0. Le champ de Rccb cst ci Ic sysI~nic
PROPOSITION 1. Soil sur V unc structure (IC prcsquc contact (Occ) ,4Ior,c I app/icc
lion ~ TV
TV définic par X —~
= r~0.O+r1cc Cs! Ufl isonioiphisiiic dc lihrc.s
vectoriels
629
LE TIIEOREME DE REDUCTION DE MARSDEN-WEINSTEIN
DEMONSTRATION. II suffit de montrer que pour tout x E V, ~ dCfinit un isomorphisme
de T1V sur TV. Or si X E T1V est tel que i~8~.O2
+ ixw1 = 0, on obtient en
appliquant les deux membres a R1 : O1X = 0 et iw1 = 0. Done X = 0.
En particulier, on a Rb
=
9
1( V), w E
PROPOSITION
2. Soit sur tineb varlété
tin couple
(0, w) oà
0 e A ixw soitun
A2(V), telquel’applicalion
: TV—’VTV
définieparXb
= ~x°.0~
isomorphisme de fibres vectoriels. Alors
—
ou bien V est dc dimcnsionpaire et (V, cc) est tine variétéprcsque symplectique.
—
ou bien V est de dimension impaire, ci (V, 0, cc) est une vanétC depresque con-
tact.
En parliculier, s ‘ii existe sur V tin champ R tel que
~R0
=
I ci iRw
=
0, on
Cs!
nécessairement dans Ic second cas.
DEMONSTRATION. Soit R Ic champ de vecteurs défini sur V par Ia condition Rb = 6.
On a alors OR (OR)2 de sorte que la fonction OR ne peut prendre que les valeurs 0
ou I.
Supposons V conncxc. Si OR = 0, on a 6
X
—
=
i~w et done si X
e TV
tOX.R+XW
Done l’application TV —* T*V qui a associe ~xw est bijective: cc est done de rang
maximum, ci (V, w) est presque symplectique. Si OR = 1, 0 est sans singularite sur V
etsurl’hyperplan ker 0
a
1,w1 estderangmaximum,carl’application ker 0~—* T;V qui
X associe ~XW est injcctive, et a valeurs dans l’annulateur du sous espace engendrC
par R1, (qui est transverse
a
ker 8~).Done V est de dimension impaire 2 n + I, et
O A w’~est une formc volume sur V.
Si V n’est pas connexe, Ic raisonnemcnt ci-dessus s’apphiquc sur toute composante
conrexe, ci comme Ia dimension de chaque composante connexe est la mCme, on a le
résuhiat.
Enfin he demier point résuhte dc la demonstration ci-dessus.
Si (V, 0, w) est unc variCtC de presquc contact, on note
#:TV—~TV
I’isomorphisme rCciproquc dc b.
—~c~
630
Ci.AtJDF AlBERT
2. STRUCTURES TRANSITIVES
Une structure dc presque contact (Ow) sur V est unc .ctructurc pr/nc/pa/c: Si I e
V, un repCre ( X
0,
X711) en I est dii adaptCà (Ow) si Ic repère dual ( 8°,
9211) venue
de sorte que R1
01
=
et
=
X0.
cc1
=
~1 A 911+1 +
+ 8~A
9211
L’ensemblc des repères adaptés aux divers poinLs dc V constitue une CT11-siructure
2~~1
,
c’cst-a-dire Ic sous-groupc des
sur
V oO
Ic Ia
groupe
matrices
dc CT11
GL~cstde
formcdc contact sur R
-
\0
ofl
éeSP
11
a)
[de sorte que CT11 est isomorphc au groupe symplectique S?11 I
La donnée dc (0,w) ëst done equivalenic
a
cellc d’une CT,~-structurc E sur Ia
variétC V.
Notons F le pscudogroupc des diffComorphismcs beaux de V qui respecleni Ia
structure (Ow)
F
=
{~E Di1f{V}~’0
=
0
ci
~w
=
.Si ‘p E F, son relèvement naturel dans Ic fibre des repères dc V respecte Ic CT,~-librCE
En suivant la terminobogie usuelbe des structures principales 131 on dira que (Ow) iou
El est homogenc si I’action de F est transitive surla variétC V jc’est-a-dire si Ctant
donné (z,y) E V x V, il existe Un ‘p E F de Source r ci hut ~iJ. On dira ~UC
(8cc) [ou El est transitive si I’action dc F est transitive surlc fibre E. Ceite dcmiCre
condition est beaucoup plus forte quc Ia prCcédente, ci Ic théorème suivanl donnc un
modèle local pour les structures ha vCnifIant 13[.
THEOREME I. So/i (V 0, cc) unc structure dcpresque contact transitivc. AIor:cIa Ibrinc
cc est fermCc, ct ii existe un red c tel quc d 0 = — ccc. Dc plus,1 ii cxisc
q11, au voi.cinagc
de
unquc,
syslbme
[en chaque
abrCgCpoint
(t, q, zp)]E V
ic/Ic
a vec dc
lc.ccoordonnées
conventions locales
usuclies(t,
surq Ic.s indices
0
=
d(
+
p~dq’
ci
ccd q’ Ad p,
631
LE THEOREME DE REDUCTION DE MARSDEN-WEINSTEIN
DEMONSTRATION. C’estun cahcul de tenseurde structure [3]. Puisque E est transitive,
son tenseur de structure est constant et invariant par le groupe CT~. Or, si cI est
l’algèbre de Lie de CT~, on a ha suite exacte
~ A2R~’~®
2’~~1”
®
—~
R
~
~0
a est 1 ‘opérateur d’antisymétrisation de Spencer, et p est défini de la facon suivante:
soit (e
2”~’ : si u E R2’~’,on note u =
0,
e1,...
, e21~) la base canonique de
R
u°e
2~ R( ~ ... , e~). Si
ou
+ ~ioü iionauraainsi,pour
est Ia projection de
he sous-espace
R
c~E0 A2R2?~t
u,vu Esur
R2’~1a(u,v)
= a°(u,v)e
0+o~(u,v).
Ccci
dii on aura
2R2Id~I* ® R2~
A2IR2’~’
ofl ~
:
A
~ .A2R2fl~l*®R2fl+t ~A2R2~
P2 :A2R2~l*®R2~t_A3R2~d
—
P
=
Po
+ Pt +
P2
sontdéfiniespar
(p
0c~)(u,v) = c~°(u,v)
(p1a)(ii,i~)
=
+uj0 (ii, ~(e0 1~)
~
=
S w0(~(ii),~),~)
U,V,t~)
1+
+ d u’~A d u2~)
ofl
cc0
est
la
forme
symplectiquc
standard
(cc0
= d u~A d u’~
sur R2~, et he symbole S indique ha sommation sur les permutations circulaires.
Dc plus, cette suite exacte est une suite exacte de CT~-modules,pour l’action naturelic de CT~ sur
et hes tenseurs associés. Le tenseur de structure T de E doit
done avoir 3 composantes (~ T
2) invariantes par CT~: il existe done deux reds
...
,
,
C1C2 tehs que
2’~” ~
T ==
e1w0
~2fl)
(w0considérée comme 2-forme surR
2W0
et
T2=O
Pour préciser ha nature géométrique des 3 composantes du tenseur de structure, utihisons
une connexion linCaire V sur V adaptec
a
E. (V0
=
0 et Vw
=
0), et soit T son
tenseur de torsion: si X, Y E fl( V)
T(X,Y)
=
V1Y
-
V~,X- [X,Y]
Si x E V, soit a: U~ E unesectionlocahede E, c’est-à-direunchamp
2”~’ lui associer he (X0,X1,
champ de
X2~)de
repères
adaptés.
On
peut,
pour
tout
u
E
R
vecteurs a.u ~ fl( U) défini par
Si
U
=
~
u’e~,
a u
=
~
u’X
1
O<i<2n
632
CLAUDE ALBERT
TI~correspond un tenseur a sur
Au tenseur
o.a(u,v)
=
et he tenseur de structure ~ a
2’~ dCfini par
R
T(a.u,a.v)
alors
au point ~ Ia valeur
r( z)
=
p( a
1). On a done
=
car VU
=
O(T(a.u,a.v)
=
dO(a.u,a.v)
0.
pt(a)(~,~)cco(a(eo,i~J)+wo(~,a(eo,E))
=
cc(T(R,a.ii),aiJ)
=
(L~cc)(a.~,a.~)
+
w(a.1i,T(R,o.iJ))
car VR = 0
ci enfin
p2(a) (TI, i~,fi2)
=
=
S cc0 ( a( iT, 12) ii2)
,
=
S w( T( a.TI, a.IJ), alE)
11,0,111
dw(a.u,a.v,a.w).
End’ autres termes, les trois composantes sont les tenseurs associés aux formes d 6, £~cc,
et dcc, de sorteque les relations ci-dessus s’écrivent
r
dO=
~ £j~W =
dcc
Comme
C
=
£RW
=
0
di~cc+i~dw,latroisièmeimplique e2
=
0, etilrestedonc,enposant
—C~
dO= —ccc
I. dw
=
0
Si
c = 0, 0 et w sont fermées toutes les deux. La structure E est alors plate (V Ow)
est une structure cosyrnplectique au sens de P. Libermann [5], ou encore une varlétC
canonique au sens de A. Lichnerowicz [8]. Les noyaux des formes 6 ci w définissent
sur V deux feuilletages transverses [autrement
dit une structure presque produit] et he
théorème de Darboux donnc he modèhe local
9=dt
wdq’Adp,
Si c7t 0,6 est uric forrnedecontactsur V. En remplaçant au besoin E par une structure
conjuguée, on peut se ramener au cas = I. La théorème de Darboux donne encore he
modèle local
0=dt+p~dq’
w=dq’Adp,.
633
LETHEOREME DE REDUCTION DE MARSDEN-WEINSTEIN
2’~ he crochet
REMARQUE I. ~ ~ R étant donné, définissons sur R
[, I
par
[e
0,e1]=0
0<i<2n
)
[e~,e3] = 0
[e~,e,~5}
Cr5~e0
=
~.
I ~ i,
Si
5
)
0
=
2~’, abéhienne si e = 0,
On
obtient
ainsi
une
structure
d’algèbre
de
Lie
Lt(c)
sur
R
isomorphe a h’ahgèbre de Heisenberg Ii si c ~ 0. Ii est facile de voir que la discussion
ci-dessus revient a dire que si d 0 = —c, la structure E est ~( ~)-plate au sens de [2].
La constante
c
qui apparaIt au niveau de
T
sera appelée dans la suite constante de
structurede (O,w).
REMARQUE 2. Si h’on demande simplement a (0, w) d’être homogène, ha situation peut
etc très dloigriée des modéhes des exemples I ci 2. Prenons par exemple pour varidtd
V Ic groupe de Lie produit direct GA
1 x R oü GA1 est he groupe des transfonnations
affines de ha droite réehhe. Une base de l’espace des I -formes invariantes a gauche sur
V est (91 ,02, O~)øü la différentiehhe est2+bOt
donnée
par d O~= —0’ ER).
A ~2 etAlors
dO’ =(O,i~)
0 si
A63+02A93(a,b
iest> une
1. Prenonsahors
9
O’,w
= aO’A0
structure de presque contact homogène sur V. Si b
7~0, w n’est pas fennée et
ni dO, ni
ne sontcohinéaires
a w.
3. GEOMETRIE DES STRUCTURES DE PRESQUE CONTACT TRANSITIVES
Soit sur V une structure de presque contact (9, w) transitive, de conStante de struc-
ture
(1)
.
On a done
IdO= —ccc
Ldw
=
0
Les isomorphismes musicaux
TV2~cr*V
permettent de dOfinir, pour chaque fonction
champ de vecteurs grad
(2)
f
=
d
f#,
c’est-à-dire
I~gradf0_ Rf
1grad
[
1w
=
df
—
f
Rf.9
E A°(V), le gradient de
f
: c’est he
634
Cl.AUt)U ALBURI
On définit aussi Ic champ ~Jevecteurhainilionien X~ associCà
f.
f1~O=cf
()
~ix
1w~fRf0
grad
f
et X1 ont done ha même composante horizontale. [Pour une manière naturehle
de définir X~, voir par exemphe Arnold [4] dans le cas des structures de contact].
Un difféomorphisme [local]
‘p
de V scra appelé automorphisme faible de ha struc-
ture s’il existe une fonction h~,[définic sur Ic mCmc ouvert que ‘p1 tehhe que
(4)
I ipO
~
Cela signifle que,
a
=
=
8
e’~~
e”~”(w— d h~AU)
un coefficient de conformité près,
‘p
respeetc 0 ci la 2 -forme
induite par cc sur he champ d’hyperphans ker 6. Les automorphismes (par opposition
on pourra préciser automorphismes forts) de Ia structure (6, cc) sont les automorphismes
faibles ‘p qui correspondent a h~,= 0.
Dans he cas cosymplectique (c = 0) lcs automorphismes faibles soft aussi appelés
transformations canoniques ([8], [9]). Dans he cas contact (c ~ 0) cc sont les transformations de contact ibs sont abors caractérisés par Ia premiere des relations (4).
Dc manière analogue, si Z est un champ de vecteurs [local] sur V, on dira qu’il est
un automorphisme infinitesimal faible s’iI
Cxiste une fonction h~ [dCfiniesur he
méme
ouvert que Z] telle que
(5
J~
=
h~O
l~zcczcc~~zA0
Les automorphismes infiniiésimaux [forts] sont les automorphismes infinitésimaux faibles Z qui correspondent a h~= 0. Ccci étant, on a
PROPOSITION 3. Pour toutc
f
E A°( V), Ic champ ha.miltonien
associé est un au-
tomorphisme infinitesimal faible de (6, cc). Dc plus 1 ‘ensemble des champs de vecteurs
hamiltoniens est un ideal de 1 ‘algèbre de Lie £‘( V) de automorphismes infinitésimaux
faiblcsglobauxde (0cc), qui coincide avec £‘(V) si e~0.
Ce demier point est un rCsultat de P.
Libermann [5]
DEMONSTRATION. Le premier point cst une verification élCmentaire, qui conduit
(6)
=
Rf
a
635
LE THEOREME DE REDUCTION DE MARSDEN-WEINSTEIN
On a done une application X
: A°(V)
f..’(V) définie par
—~
f
Xi.. Si c~0,
i—~
application est bijective, car si Z E £‘( V), on a Z = Xf avec f = !9Z. Si
= 0 X_ n’est pas injective car son noyau contient hes constantes; chic n’est pas non
plus surjective car R est un automorphisme infinitesimal qui n’est pas dans cc cas un
hamihtonien. Si Z E £‘(V), on a cependant
cette
,
(7)
[R,Z]=X~
f ~ A°( V)
et par consequent pour tout
X1h~= [Z,R]f
cc qui permet de voir que
(8)
[Z,X1]
=
X~1
PROPOSmON 4. Il existe stir A°( V) unc structure d’algèbre de Lie
pour toutes fonctions f, g on alt
[X1,X9]
=
{
,
}
telle que
—X{f9)
DEMONSTRATION. Si c~0, l’isomorphisme X_ : A°(V) —~ £‘(V) permetd’obtenir { , } par transport de la structure d’algèbre de Lie de C( V) : on posera done
(9)
{f,g}
=
X9f— cf.Rg
ou encore, de manièrc plus symétrique, en tenant compte du fait que d f
(9’)
{f,g}
=
{f,g}
i~1w— RfO
w(X~,X9)+ c(gRf— fRg)
Si l’on tient compte du fait que
(9”)
=
=
~grad 1w,
w(grad f,grad g)
+
cette relation s’écrit encore
c(gO(grad
f)
—
fO(grad g))
de sorte que he crochet { , } n’est autre quc Ic crochet de Jacobi introduit par A.
Lichnerowicz sur hes structures dc contact [7].
Si c = 0, la solution n’est plus unique, mais ha relation (9) définit encore une Structure d’algèbre de Lie sur A°(V) tehhe que l’on ait
[X11X9]
=
_X{f,g}
La valeur de { f, g } en x E V ne depend pas alors que des I-jets f~
f et ig, mais
de façon precise des différentielles d f1 et d g1 : Ic crochet { } est ahors un crochet de
Poisson sur A°( V) [16]. La structure de Poisson (A°( V), { }) est alors une structure
réguhière dont he noyau est formO des fonctions
est en point vertical [c’est-à-dire colineaire
a
6].
fe
A°( V) dont ha différentidile d
f
.
636
CLAUDE ALBERT
PROPOSITION 5. Soient x E V ct (t, q, p) un système dc coordonnécs canonique en
z Ic‘est-à-dire tel que 0 et cc s ‘dcnvent comme an.noncé dans Ic théorèmc I]. On a
alors les expressions locales:
0
cc
dt+
=
p1dq’
dq’ Adp,
R=~
(~f
af\ a a~ a (t~P1——-—)
a~ af~ a
at ap, aq ~ at 19q / ap,
a~~a aja ~( af af~a
gradf= ~——-p~—j—+
\ at
ap, /
(
~
{f,g}
=
——--+
—
2~-~--~-~
(af
aq ~—;~--;~,)
af a~~ + ~
y~—.~--y a~a9 a a~~
—
C
—
~\,f~
( a~
—
af
En particulier
a
gradq’=~—~-grad p,
grad t
=
—p,~- +
a
+
~—
a
cp,~—
{q’,q1}0
{p,,p,}
a
+
a
X~=7
=
a
q’~
0
{q’,p
1}
Xg~=
=
{q’,t}
=
=
—eq’
{p,,t}0
+
DEMONSTRATION:. il s’agit de petits calculs élémentaires.
Soit G un groupe de Lie, et donnons nous une action ~ de C comme groupe d’automorphismes [forts] de (9, cc). On a done pour tout a E C.
çb0~r’6
et
q~w=w
L’action infinitésimahe correspondante g
fondamentah A oii:
£AO=O
ci
—i
7~(V) associe,
a tout
A E g he champ
637
LE THEOREME DE REDUCTION DC MARS DEN-WEINSTEIN
On dira en suivant J.M. Souriau [15] qu’unc application J : V
pourçbsi
—‘
g* est un moment
—
\/AEg
(10)
~(ii)
A=X5
RJ=0
oü on a,noté pour A e ~
: V
R l’apphication définie par JA(x) = J(z).A.
Nous albons voir comment la donnée d’un moment peut permettre d’obtenir pour
(V, 0,cc) un théorème de reduction analogue au théorème de reduction de MarsdenWeinstein pour hcs varidtés symplectiques (voirpar exemple [12] ou [10]pour cc dernier
cas).
—i
4. THEOREMES DE REDUCTION: LE CAS COSYMPLECTIQUE
On suppose dans tout cc paragraphe que = 0.
Donnons nous une action ~ de C sur V comme groupe d’automorphismes. On
pcut tout de suite remarquer qu’une telle action n’admet pas toujours un moment [par
exemphe si he champ de Reeb R est complet (notamment si V est compacte) 11 définit
une action de R, et cette action est sans moment puisque R n’est pas un hamiltonien].
Supposons done que ~ admette un moment J : V
g. Les relations (10) s’ecrivent
9=0
2A
(VAEg)
2AW~jA
.—~
RJA
=
0
La situation est alors très voisine de Ia situation sympheetique:
PROPOSITION 6. Soil ~ une action du groupe de Lie C comme grouped ‘automorphicmes de Ia va.riété cosyniplcctique (V, 0, w) connexe, ci soil J : V —~
un moment
pour cette action. Soil x E V. Alors I’application a: C
(Va E C)
aa
= J(~a(X))
—
—,
g* définie par
adJ(z)
ne dépcndpas du choix de x E V, ma/s seulement de J. a est tin cocyclepourla cohomologie dc C a valcurs dans g considérC comme G-module pour la representation
coadjoinic, et Ia classc dc cohomologie [a] ainsi définie ne depend pas du moment
J, mais seulcment de
Dc pIus 1 ‘application C x
g~qui a (a, p) associe
~( p) = adp + a~ddfinit tine representation affine ~ de C dans g~,et Ic moment
J est équivariant pour/es actions Ct
—+
~.
~
~.
—
(,~.
.
DEMO~S~AT1O~.
Posor~ ~‘
A~(U), ci
.;
=
d]c,.X
—
en appliquant Ic~dcu\ niorr~hrc~
u
d
~
A
X
=
ad,A
=
est consta.ntc Si on
oa c,buon:
Ii
Donc d
choisi:
E
=
1)
V e~tsupp~isccconnuxe
1outc~.on a
a ~
ci puisquc
unc bk pour
~,.‘(~(:—ad~ad.Y(r
En
~ar c,
rornpia~ar’i:
Donc en cornparant
qui montrc quo
*
=
k a’
‘~
ur~autrc n
Si na~ntcnan:,~
,.
rca; p arc
on aura pour I ‘rat .1
a
r~. = d
cequipcrrnctdcddiinir ~ E I~par ~ =
—
facile do verifier cuc a: a- cat Ia coc~cia dd~n:par
a-
~,=:‘~,‘jud,,~
on
a’~.un coc’~cia p
c
Ct
cc~c~irrcs~ion.
on 000cri:
=
ctdon:
e
si X
=
puisquc
On d~1init ainsi ~
—
~.
.
Onohuion:arrro
on a pour tout a
a’
k’
ii c~:
—
=
Enfin Ia rclut:on
=
ad,~ a—
Oc!:nO nrcri uric rcprdaon:~rr’r afiirr do k’ sur
c~.Ct par cona-tron o
do sonic quo
c’: ~quis arrant pour ic atror’o o et ~
a
639
LE TI-IEOREME DE REDUCTION DC MARSDEN-WEINSTEIN
Si p e g, la préimage J~(p) est un fermé de V, et si p est une vaheur regniiere
de J, J~(p) est une sous-variété fermée de V. Comme RJ = 0, J’(p) est une
reuniond’othitesde R, desorteque R estadaptéà J~(p). Commepourtout A E g
ettoutXETV
-
dJA(X) =w(A,X)
on a, poprtout xE J~1(p)
(11)
T~J~(p)={X
1ET1VI(VAEg)w(X~,A~)=0}
Désignons par H,~he groupe d’isotropie en p de l’action ~ de C. L’équivariance de
J montrc que J’(p) est stable pour I’action de H,~induite par l’action de C sur V
cii h’algèbre de Lie Ii
de H,~est, si x E J’ (p)
h=
Egj dfJ(~1)=o}= {B
Eg~(VAeg)w(A~,~~)
= o}
c’est-’a-dire, en posant
~={A~IAeg}
(12)
~~={E~IBEh}
:~
—
=
~ fl T~J~(p)
Rappehons que si f : V
W est unc application differentiable, un point p E
W est appehé une va/cur faiblement réguiière de J Si la préimage J” (p) est une
sous-variété fermée dont h’espaee tangent en tout point x coincide avec he noyau de
h’application linéaire tangente J~. Par exemphe, si p est une vaheur régulière de J
(c’est-à-dire si J est de rang maximum en tout point de f~(p’)), c’est a fortiori une
vaheur faiblement réguhière.
D’autre part, nous dirons qu’unc action qS d’un groupe de Lie C sur une variété
V est quotientante Si l’espace des orbites V/C a une structure de variCté telle que ha
projection canonique V
V/C soit une submersion. Par exemple, toute action propre
et libre est quotientante. Dc façon plus générale, si une action q~de C se factorise
suivant une action propre et hibre d’un quotient C de C, qS est quotientante. On a alors
he
—,
—~
THEOREME DE REDUCTION COSYMPLECTIQUE. Soit q’ une actiond ‘tin groupe de Lie
C comme groupe d ‘automorphlsmcs d ‘unc variété cosymplectique connexe (V, 6, w).
Soil J : V
g~tin momentpour cette action, et ~ tine representation de C dans g*
rendant J équivariant. Soient p E g une va/cur faiblement regulière de J et H,~le
groupe d ‘isotropic en p de I ‘action dc C.
Alors, si I‘action de H,~ sur J ‘-‘(p) induute par ~ est quotientante, les restrictions
a f/ H~,
‘(p)et Icursprojections
des foimes 0 etdCfinisscnt
w soft basiques
pour Iacosymplectique
fibration f~(p)
V’~=
1(p)
uncstructure
(0~’,w’~’)stir
—
~‘
—‘
3’—variété quotient V~.
la
640
CLAUDE Al,BER’I’
t(p) étant supposde quotientable, l’espacc
i~: J”’(p)
V’~esl
une submersion. Les champs fondamentaux pour cette action sont Ics B oü B E h
cc qui montre que 0 et cc sont basiqucs. II cxlstc done sur V’~des formes 0~ct wi’,
uniques telles que 0~.
= 7r6~ CI cc
= ir~w~.
Montrons quc (V’s, 6’~,cc’s)
DEMONSTRATION. L’actiOn de H,~ sur /
des orbites V~= J’1(p)/H~ cstune variCté, etla projection
~.
—p
‘(ii)
est cosymplectique: 91’ et cc” sont fermées puisquc 9 et cc Ic sont. D’autre part I?
est adapté a J’(p) ci invariant par H,~, done projectable en R”’ sur V~. On a alors
d’une part
tR~O
=
I
et
~R~W
=
0
ci d’autrc part, I’application ~ : TV1’ —~ T*VP ~
—~ (XP)b = ~
+ i~~ccP
bijcctive, car si X”’ E TV”’ est tel quc (X~)~
= 0, on a, en ddsignant par rr un point
de J~(p) dans la fibre de ~ etpar X E T~J”1() un vcctcur sc projetant suivant
Xt”:
Ox
=
0
ci
(~‘
T
1 J ‘ ‘(p))
cc ( X. U)
=
0
1(p), ha decomposition T~V = R(R~) ~ ker O~ induit une
= R(R~)
3E~ella relation (‘Il)montrc quc E
1 csth’onthogonal par rapport a ha rcstriction a ker O~ de Ia 2 -forme cci, du sous-espace ~ est
h’orthogonal de E~.Done, en utihisant (12) hes relations ci-dessus entrainenl
Commc
R1 E T~J”
T~J’
decomposition
I(~
—
XE~
=1’ ‘
ct done X~= 0. Le rCsultat provient alors de Ia proposition 2,
Le résuhtat suivant est un autre thdorèmc dc reduction dans lequch Ia variCté réduite
n’est plus una variété cosymplectiquc, mais une variCté symplectique. Le champ de
Rceb devient alors un champ de vecteur harniltonien au sens syniplcctiqucj.
THEOREME DE RDUCTION SYMPLECTIQUE. Soit stir unc variCiC cosyrnplcctique
(V, 0, cc) une action quolientanle dc R don! Ic gCnérateur infinitesimal T vCrifie icc
conditions suivantcs:
=
I
Ct
~7OA)
=
—d II
ou
H
A’( V
Alors la fonction H cast projctablc en unc fonction H W dCfinic.sUT Ia variCtC quotient
= V/R, clii existe sur W tine fbi-me syinplecliquc wW tel/c quo Ic champ de Reeb
R se projette sur W suivant Ic champ hamiltonien (au scns symplcctiquc,) X11 ,~do
H”’ parrapport a Ia foirnc w~k.
W
641
LE THEOREME DEREDUCTION DE MARSDEN-WEINSTEJN
DEMONSTRATION. On a £TO
= 0 et
= 0, de sorte que R agit comme groupe
d’automorphismes. Done le champ de Reeb R est projetabhe sur W. D’autre part, on
a R T = XH, done R et Xff ont ha méme projection sur W. Introduisons ha forme
—
cc
d H A 0. Elle est femiée, et basique pour ha fibration V ~ W. Donc II existe
une unique 2 -forme cc”’ sur W telle que irw”’ = cc0. cc”’ est fermCe, et dc est de
rang maximum; en effet l’apphication
0
=
cc
—
1
TW
—~
T*W
—‘
Xu
est un isomorphisme: si i~cc”’= 0, soit X un veeteur tangent
suivant X”’. On aura alors
zxw
—
i~dH.9+i~0.dH
=
a v
se projetant
0
Ccci entraine ixd H = 0 puisque RH = 0, de sorte que Xb = 6X.T~.Done X et
T sont colinéaires et X W = 0.
II restc a montrer que la projection de R, c’est-à-dire ceihe de XH, coincide avec
X~,c’est-à-dire que iWXHW”’ = d H”’, cc qui résulte du fait que si Y”’ est un vecteur
tangent a w et Y un vecteur tangent a v se projectant suivant Y”’
=
=
(dH)Y
=
WO(XH,Y)
=
(~~w)y
(dH”)Y’~-’.
.
COROLLAIRE. Soil stir Ia variété cosymplectique (V, 0, cc) tine i.ntégraiepremiere H
du ulot dynamique. Alors, si Ic champ de vectetir T = R — XH est le générateur
infinitesimal d’une action quotientante de R, H est projetable stir la variété quotient
W = V/R clii existe stir W tine forme symplectique cc”’ tel/c qtie Ic champ de Reeb
R de V seprojette suivant Ic champ hamiltonien X~ associé ala projection de H..
REMARQUE. Les théorèmes de reduction ci-dessus rentrent dans ha cadre plus général de
ha reduction des structures de Poisson, étudiée par Marsden-Ratiu [11]: Dans he hangage
de ces auteurs, hes hypotheses imphiquent que he triple (V, 3’ ‘(p) , E,
4), oC E~est le
fibre he long de J~(p) des vecteurs tangents aux orbites de C, est Poisson-réductible.
L’information supplémentaire apportéc ici reside dans Ia nature cosymplectique ou symphectique de Ia variété ré.duite.
5. THEOREMES DE REDUCTION: LE CAS CONTACT
On suppose dans cc paragraphe que ~ 0. [On pourrait d’ailleurs se limiter, en
remphaçant au besoin ha structure par une structure conjuguée, a = I].
642
CLAUDE ALBERT
Si ~ est une action de C sur V comme groupe d’automorphismes, et pour tout
g, A est he champ fondamental associé, posons
A
(13)
=
On a alors d’aprCs (3)
A=x
ci d’aillcurs en consequence
RIA
0.
Donc J est un moment [et c’est Ic seul] pour ~. Ainsi, toule action do C comme
groupe d’automoiphisme admet un unique moment j, ci cc moment Cs! Cqui variant
pour/a representation coadjoi.nte de C sur g
tout a C, tout A g et tout x
V
—
1AA(~
=
: cc demier point rCsulte du fait que poor
=
19
(ad~~A)
=
‘~d
A1 ~
Comme d ~A = ~
on you que hes points critiques de 1A sont les points i ou lea
vecteurs A~ci R~sont colinéaires. On notera aussi que, puisquc 1A eat une intdgraic
premiere de R, on a
(14)
(VA
Q)
igrad
~A9
Cl
= ~
tgrad
JAcc
= ~
Soit alors p une valeur faibhement rCguhière de J . J ~(~) est one sous-varldId
ferrnée de V invariante par l’action du sous-groupe H~, (d’Isotrople de ~i pour Ia
representation coadjointe de G induite par ~. Comme dans Ic cas cosympleclique,
les champs de vecteurs
cetic fois
(VA
(15)
A
A
h)
~)
tAO
Autrernent dit, Ia restriction de 0
et R sont adaptCs ii cette sous-variCtd, mals on a
1iA
a
~
et
iAw~J ~
=
(I
est bien invariante par ~
Inais n’est plus
basique (sauf si ~i = 0). Pour burner cette difticuhié, on peut rcmarqucr que d’aprCa
(14) ii n’en1A
csi: pas
même
pourcar
I’action
infinitCsimale
cccidecst
coherent
d’après
(2) ci (3) de ti~ dClini sur J (~i) pal’
A
~
(16)
grad
gradJ~=A—~A.R
LETI-IEOREME DC REDUCTION DC MARSDEN-WEINSTEIN
desortequehechampdevecteur grad 3’A estadaptéà f~(p); d’autrepartsi
h onasur f’1(p)
[gradf~,grad3B’
643
A,B E
= [A,BI
puisque A ci R eommutcnt, et comme par definition méme de h
p[A,B]
=
0
des que A E h, on en déduit toujours en restriction a f~(p)
,
(17)
[grad f~,grad ~B] = grad 3’[A,BI
On a done bien one action infinitésimale de ~
sur J1(p).
En générah, cette action
infinitésimaleneprovientpasd’uncactionde H~sur 3’ ‘t(p), mais,aumoinssi Rest
comphet, elhe provient d’une action du groupe simplement connexe d’ahgèbre de Lie h,
c’est-à-dire du revêtement universel
dc ha composante neutre de H,~.Si
désigne he groupc a i paramètre de diffeomorphismes défini par R, on posera en effet
pour tout t E R et A E g, x E 3’ (p)
‘
(18)
= ~exptA
~exptA(’)
(P~A(x))
Comme A ci R commutent, ih en est de méme de ~ ci p, de sorie que l’on définit
bicn ainsi un groupe a h paramètre de difféomorphismes de J~(p), done finalement
une action ~: k.,~x f’(p)
J’~(p). Onobtientahorsie
—~
THEOREME DE REDUCTION DE CONTACT. Soil c~tine action d ‘tin groupe de Lie C
commegroupe d’automorphismes forts dc/a variétéde contact (V, 9, cc). Soient p tine
va/curfaiblement régulière de I ‘application moment 3’ : V
g* définie par
—~
(VAEg)
fA~-0A,
le groupe d ‘isotropic en p pour Ia representation coadjointe de C. On suppose
que Ic champ dc Rceb R est compict, et on dCfinit I ‘action r1 du rcvêlement universel
de Ia composante neutrc de H~par
(VA E
~
~expA
=
~expA
°
(Pt)tER Ctant Ic fib! global da R. Alors, si ccttc action ~ est quotientante Ia restriction
dc 0 a J ‘(p) est basiquc pour Ia fibration 3’- ‘(p)
V’~= 3’— ‘(p) /fi,~etla
projection 91’ est tine forme de contact sur V’s.
—+
644
CLAUDE ALBERT
DEMONSTRATION. II reste seulement a montrer que Ia projection 0~de 0 est une formc
dc contact sur V~. Or 0 et cc sont basiqucs pour ~, et R est invariant par çb. On
1’, ci he champ de vecteurs R”’ tel que
obtient done sur V~les formcs O~’et cc
t~O””h,
~cc”’0,
dO’~=—cc~
II suffit done, pour achever, de montrerque (91’, cc”’) est une structure de presque contact
sur V1’. Or si un vecteur X1’ en on point de U”’ vérifie
i~91’.01’+ i)~~cc= 0
on aura i~01’= 0 ct
= 0, cc qui montre quc X”’ est Ic projeté d’un X
T~J~(p)telquc0~X Oct iXccI~Jl(
1(p)
1’)= 0. Cecimontrequesionnote T~J’
= IR(R
1) ~ E~ Ia decomposition induite par T1V = R(R~)~ kerO~,X
E~fl
orth~,(E~),h’orthogonalitC étant prise dans l’espace vectoriel ker 9~sur hequch w~
est non dégéneree. Or il résulte des relations (2) et (11) quc
orth~,(E~)= {grad1A~A g)
ct par suite
Ex
florthL, (Er)
=
{grad1A~A Li}
1’=0.
.
DoncX
COROLLAIRE. Soil f tine intégrale premiere de R. Si p esl tine valeur réguuièrc dc f
ct si Ic champ de vecteurs grad f dCfinit tine action quotientantc de R stir f (p), Ia
restriction de 9
a f’
(p) se projetle suivan! tine foime de contacl 9”’ stir Ic quotient
.
6. EXEMPLES
I. Un systéme mCcaniquc est la donnée d’une variétC symplectique (W, ccw) ci
d’unc fonction differentiable H : W x R —~ R appeléc Ic hamilronicn du systèmc.
On lui associe Ia variétC cosymphcctlquc V = W ~ R oC
=
cc
=
dt
w~,+
d
H Adt
(oü on a note abusivament d t pour pr~
d t et cc~pour prTcc).
LE TI-IEOREME DE REDUCTION DE MARSDEN.WEINSTEIN
645
Les trajectoires du système mécanique sont alors les projections sur W des courbes
intégrales du champ de Reeb R de (V, O,w).
a)
Le so/ide libre est he système mécanique (T*D3 ,w0, H) øü D~est he groupe
3 x
des
déphacements
directs
de
l’espace
euchidien
(c’est-à-dire
he
produit
semi
direct
(R
SO
3) ,cc0 ha formc sympleetique standard sur he cotangent TD3, et H une fonction
differentiable sur TD3 (on a done ici on hamiltonien indépendant du temps), invariante
par I’action natureihe de D3 sur son cotangent, et dont ha restriction a charque fibre de
T*D3 est une fonction quadratique.
La variété cosymplectique associée est done V = T*D3 x R munie des formes
O = dt et cc = cc0 + dH3XR3*xR
Adt. Notonsdcfaçonabrégéehespointsde
V soushaforme
oüleséhéments q ER3 sontdesmatricescolonne,
(a,q,p,r,t)
E
SO3XR
ci les éléments p, r E R3 sont des matrices hignes. Si on choisit, pour décomposer D
3
de coordonnécs centrCes au centre d’inertie do solide, on a, pour une
en
x R de ~
baseSO3
convenabhe
h’expression du hamiltonien
3,
H(p,r)=
~
I<i’(3
oft m est Ia masse du solide, et M
1, M2, M3 les coefficients de l’ellipsoide d’inertie
do solide.
groupe
Galiéepar
C3
CA(LeR3
x R)dedéfinie
3
=
SO3 x
x
R e~sthe sous-groupe du groupe affine
R~x R
(p,v,u,T)(z,t)=(px+v+ut,r+t)
oft
(p,v,v,’r) E SO
3 x R3 x R
3 xR
L’action naturehlc de C
3 x R induit sur D
3 sur R
3 x
(p,v,u,T)(a,q,t)
=
et
(z,t) ER3 x R
R h’action
(pa,pq+ v+ zit,r+t)
En passant aux courbes paramétrécs par he temps, on en déduit 1 ‘action de C3 sur TD3 x
R
(p, v,
ii,
i-)(a,
~,
1)
=
(pa, p~+
ii,
1)
qui, se transporte en one action sur TD3 x R au moyen de h’isomorphismc TD3
—~
T*D3 défini par la transformation de Legendre [ou encore par ha formc quadratique
associée a l’énergie cinétique]:
tp+mv,r,r+t)
(p,v,v,r)(a,q,p,r,t)=(pa,pq+v+tv,p
64O
(~I.AUDLAI.RLR’I
II en rCsulte quc C
3 agit ~ommc groupc d ‘aulomorphismes forts sur (V, 0, cc).
Ii est facile de voir quc cctic aclion n ‘a pas de moment. Par conlre 1 ‘action induite par
= [C3, C3 I (sous-groupe dc C3 défini par ~ = 0) admct Ic moment .1 : V
=
p~R~x R~ dCfini par
=
Load~’~ si L
h<z<3
Jalp,—mq’
Le cocycic associC est 1 ‘application u :
o(p, v, v)
= (0,
g’ dCfinic par
—*
mv —mi.)
et done J cst équivarl ant pour la representatIon aftinc ~ de C’3 dana g’ donnée par
~(~~)(
~,
~,
~)
=
(ad~~,~tp
+ mv ~p
—
Pour appliquer Ic theorenic dc reduction, il cst intéressant dc procCdcr en deux tcmps:
on fait d’abord agir Ic sous-groupe
(5,7~)
x R
dc G’3 dClini par p
=
I
: on a, si
x
(~+ rnv,~j—rriv)
=
desonequc J(~,~) = {(a,q,p,r,~p= ~ quc tp—rnq=
Le difféomorphismc p de V dCflni par
~( a, q, p
ri)
=
(a, q’, p’ r, I)
avcc
~).
I q’
=
q
~ p’
=
p
—
t-~-+
est un automorphisme fort dc (V 0cc), ct
-I
J
-
(~)
=
,
{(a,q,p,rj)~p
/
=0
ci
q =0).
de sorte qu’on a one prcn1ière reduction
TV
=
TS03 x
On a ainsi (<fixe>) Ic centre d’incrtic du solide.
On fait cnsuitc agir ic sous-groupc S’03 de C’3 : on est ici (au facteur multiphicatif
R près) dans ha situation chassiquc do solidc a point fixe (son centred ‘inertic), h’action de
LETI-IEOREME
DE REDUCTION DE MARSDEN-WEINSTEIN
647
SO3
étani h’action a gauche surhe facteur TS03, et l’action trivialc surhe facteur R.
La2 reduction
alors classique
([1], [6]):
si o~t
Ia variété
réduite hV haestprojetét
ha produit
x R, est est
Ia forme
symplectique
standard
sur0,S2,
et ha foncuon
sur
SS2 de ha fonction définie sur TX SO
3 par
2
(a, q, p, r)
. 1
3
2.M
2 x R, on
Si h’on
maintcnant
l’action
du sous-groupe
R groupe
de C3 addifit
sur S R sur huiobtient
uneconsidCre
action triviale
sur S2,
et l’action
naturelle do
même sur le second facteur. Le théorèmc de reduction symphectique s’apphique alors
triviahement. La variCté symplectique quotient est (S2 ccS2) munie do hamiltonien
quadratique h.
b) L’étude du probléme restrcint des trois corps conduit ([I]) au système mécaniquc
(T (U ,cc, H) oft cc est ha formc symplectique standard sur he cotangjnt T~~r= ~ 2,
et H he hamihtonien dCpendant do temps dCfini de ha façon soivante: soit p El 0, 1 [ on
reel fixé one fois pour toutcs, S
1 = —pc”,
= (1
p) c~.Alors
,
—
I~I2
____
—
1—
q—S1~ Iq—J11
2
La vanété cosymphectiquc associée est V = (U2 x R avec 0 = dt, et cc = Re(d q A
d~)+dHAd~.
Considérons alors sur V h’<<action du temps>’, c’est-à-dire l’action de R définie par
r.(q,p,~)=(qe~r,pe~T,t+T)
Cette action est libre et propre, et hes hypotheses du théorème de reduction sympleetique
sont satisfaites. La variété quotient V/IR s’identitie natorellement a Ia sous-variété
TX (U x {0 } de U, de sorte que le système mecaniquc quotient est (TX (U ,cc0,
oft
,
1—
2
H(q,p,t)
=
-f-—
2
—
P
Iq—So~
—
q—JoI
+
Im(q~).
C’est Ia <<transformation>> chassique, qui permct de Sc ramener a un hamiltonien indépendant du temps. ([11).
II. Munissons R’ do produit scalaire usuel, cc qui pcrmcura d’identifier R~ et
1R~,et considérons
tore T’~ = R”/7L’~ ha mCtrique induite. On notera ~ ha
1 desur
x heR”.
projection sur T’
648
C1.A I)I~Al.BURI’
Sur Ic fibre unitairc cotangent SXTn, Ia restriction de ha formc dc Liouville est unc
forme de contact 9. Si h’on note (q’,. . . , q”) lcs <<coordonnees anguhaircs>~sur T’~,
(p
1.. . , p,~)les coordonnCcs sur R’~, on a
SXT~~
= {(q,p)
T” x R’~ I
II~H= I }
=
2
{(q’
=
Alors, 9
=
~
=
i}.
qfl,p1,...,p~) ~(p,)
p,d q’, et he champ de Rccb R est donnC par R
=
~
p
1
-
1i~cn
Lc flot (Pt) de R cst
pt(q,p)
=
(q+~,p).
L’action dc T” sur lui-même se relève en un action sur TT~ qui laisse invariant
S*T~~,
d’oft une action comme groupc d’automorphismcs forts donnée par
q~~(q,p)(q+T,p)
ci de moment J : ST~
—*
(rT”)
R’~ oü
J(q,p) =p.
Un point p R~ est done une valcur(faiblemeni) régulièrc si, ct seulement si, ~ =
I. Si p vCrifie cctte condition, I’action dc R” sur J (p) introduite au paragraphe S
est donnée, pour r
P’ par
Ccttc action est la projection sur T’ dc l’action de P’ sur JR’
=
P’ x {p} définie
par
=
(x—
p)p+
~,
dont ha variCtC des orbites est P muni de Ia projection
R’x{p}—~R
(x,p)~(T,p).
L’action q~est done quotieniante si, et scuhcn1cnt si, I’apphication ci-dcssus se factorise
en one apphication
1
T’ x {p}
—~
S
c’cst-à-dire si he système des eomposantes (p~
p,,) dc p cst de rang 1 sur Q GéomCtriquement, cela signi tie quc I ‘orhite dc (q, p) par Ic champ dc Rccb cst fcrmCc.
La variété réduite est alors S ~, munic de sa fomle canoniquc.
L’auteur remercie Ic referee pour sea iniCrcssantcs suggestions.
LE THEOREME DEREDUCTION DC MARSDEN-WEINSTEIN
649
REFERENCES
[1] R. ABRAHAM, J. MARSDEN: Foundations ofMechanics Benjamin. New York (1978).
[21 C. ALBERT: Some properties of k-flat manifolds. J. of Duff. Geom. Vol XI (1976).
[3] C. ALBERT, P. M0LINO: Pseudogroupes de Lietransitifs. IStructurcsprincipalcs. Travaux en
Coors. Hermann, Paris (1984).
[4] V. ARNOLD: Lesméthodcsmathématiques deJa Méchaniquc Classique. Editions Mu. (1976).
[5] P. LIBERMANN: Sur Ics automorphismes infinitésimaux des structures symplecliques ci des
structures de contact. Colloque de GCométrie Différentielle Globale. Bruxehles 1958. Gauthier Villars. Paris (1959).
[6] P. LIBERMANN and C. MM~LE:GtiomCiric symplectique. Bases théoriques de Ia Mécanique
Pub. Math. Univ. Paris VII (1986).
[71 A. LICHENEROwICZ: Lcs varitités dc Jacobi ci icurs algèbres de Lie associécs J. Math. Pores
et app. vol. 57 (1978).
[8] A. LICHENEROwIcZ: VariétO~ccan oniqucs ci transformations canoniqucs C.R.A.S. Paris t 280
(1975).
[9] A. LICHENEROwIcZ: Geometry of the canonical transformations in <<Dynamical Systems and
Microphys control theory and Mechanics)> Academic Press (1984).
[10] C.M. MARLE: Contact manifolds, canonical manifolds, and the Hamilton-Jacobi method in
Analytical mechanics. Proc. of the IUTAM-ISIMM. Symposium on modern developments
in Analytical Mechanics. Turin (1982).
[11] J. MAR5DEN and T. RATIO: Reduction of Poisson manifolds Lea. in Math. Phys. 11(1986).
[12] J. MARSDEN and WEINSTEIN: Reduction of symplecticmanifolds with symmetry Rep. Math.
Physc. vol 5 (1974).
[13] G. MONNA: IntdgrabilitC des structures dcprcsque-contact. C.R.A.S. Paris t 291 (1980).
[14] G. REEB: Sur certaines propriétC topologiques des trajectoires des syslèmes dyna.miques
Mem. Acad. Sc. Bruxelles. 27 (1952).
[15] J.M. SOURIAU: Structures des systCmcs dynamiques Dunod Paris (1969).
[16] A. WEINSTEIN: The local structure of Poisson manifolds J. of Diff. Geom. 18 (1983).
Manuscript received: April 3, 1989