Le théorème de reduction de Marsden

JGP - Vol. 6, n. 4, 1989
Le théorème de reduction de Marsden-Weinstein
en géométrie cosymplectique et de contact
CLAUDE ALBERT
Institutdc Mathématiques
GDR 144 du CNRS
Place E. Batai lion
F-34060 - Montpellier, Cedex
Abstract. We show that the classical Marsden- Weinstein Reduction theorem for Ha -
miltonian systems with symmetriesis still true forcontactmanifolds andcosymplectic
manifolds (i.e. canonical manifolds in the sense ofA. Lichnerowicz).
Infac4 we precise the notion of transitive almost contact structure, which enables
us to considerthe cosymplecic geometry as alimit of the contact geometry when a
certain parametergoes to zero. This point of view unifies both theories.
However, we have to give two distinctproofs for the contact Reduction theorem
and the cosymplectic one.
INTRODUCTION
On connaIt l’importance en géometne symplectique du théorème de Reduction de
l’espace des phases de Marsden-Weinstein [11]qui permet, si l’on dispose d’un groupe
de symétries de la structure respectant le hamiltonien, de voir la variété comme une
reunion d’orbites contenant le lot du champ de vecteurs hamiltonien, les orbites régu
-here (en un certain sens) étant des fibres principaux dont les bases sont des variétés
symplectiques sur lesquelles le ham iltonien est projetable.
II s’agit dans ce papier de donner une version de ce théorème pour les variétés de
contact et les variétés cosymplectiques (ou variétés canoniques).
Key-Words: Symplectic manifold. Contact manifold. Cosymplectic manifold. Reduction
theorem. Principal structure.
1980 MSC: 58. 53.

628 (‘LAVDE ALBERF
Le parti pris systématiquc Cs! d ‘utiliser Ia notion de ~<structurcdc presquc contact traif -
sitive>~ qui permct de regarder les structures cosymplectiqucs commc obtenues en quci -
que sorte par dégénérescence des structurcs de contact. Dans cette optique, Ia géométric
hamiltonienrie des structures dc contactpermet, par passage a la limite, de rctrouver Ia
géométriecorrespondante des structures cosymplectiqucs.
1. GENERALITES SUR LES STRUCTURES DE PRESQUE CONTACT
Soit V unc variété de dimension 2n + I Une struclurc dc prcsquc contact sur V
est Ia donnéed’un couple (9,w) oö 8 Cs! unc 1-forme et cc unc 2-Ibrme sur V
tehles que 9 A w~ soit une forme volume sur V. On notera poor p > 0, ~4’ V) Ic
A°( V)-module des p-formes sur V, ci N( V) Ic A°( V)-modulc des champs dc
vecteurs.
Si (8, cc) est une structure dc presquc contact sur Vun champ de vecteurs X e
1-I( V) est parfaitement défini par les formes
axO Cl i~cc
En particulier, Ic champ d~ vecteur R délini par
2R& Ct
2RW
est appehé le champ de Rccbde Ia structure de presque contact. II na pas de singuIarii~,
et définit done un feuilletage V de dimension I appclé lot dynarniquc de ( V, 0, cc
En tout point ~ E V, ker 8~ est un hyperplan de T1V
transverse a T~V, appchi
hyperplan horizontal. La restriction dc cc1 a cc! hyperplanest de rang 2n : on dira quc
Ic feuilletage V est transvcrsalcmcnt prcsquc svmplccliquc.
EXEMPLE 1. Si (14”, cc11) esi une variéié symplectique, on mum! V = 1< ~ 14 (Ic
Ia 1 -fomic cc = pr~ cc,~. Alors ( 0cc) esi unc structure de presque coruacisur
Le champ de Reeb s’Ocrit ici H = ~— dans ha decomposition TV = TR ~ TW. Lcs
feuilles du flot dynamiquc son! les sous-variéiCs R x {x} oü z e V, ci Ia structurc
presquesymplectique transverse est inlcgrablc puisqu’ellc se rCduit a Ia siruclurc cc~
surles ~<tranchess {t} x
EXEMPLE 2. Si 9 Cs! UflC forme de contact sur V Ic couple (9, cc oü cc = d L~ Cs!
une structure de presque contact,ditc associCc a 0. Le champ de Rccb cst ci Ic sysI~nic
dynamiquc de Ia variété dc contact [14].
PROPOSITION 1. Soil sur V unc structure (IC prcsquc contact (Occ) ,4Ior,c I app/icc
lion ~ TV TV définic par X —~ = r~0.O+ r1cc Cs! Ufl isonioiphisiiic dc lihrc.s
vectoriels

LE TIIEOREME DE REDUCTION DE MARSDEN-WEINSTEIN 629
DEMONSTRATION. II suffit de montrer que pour tout x E V, ~ dCfinit un isomorphisme
de T1V
sur TV. Or si X E T1V est tel que i~8~.O2 + ixw1 = 0, on obtient en
appliquantles deux membres a R1 : O1X = 0 et iw1 = 0. Done X = 0.
En particulier, on a Rb = 9
PROPOSITION 2. Soit sur tine varlété V tin couple (0, w) oà 0 e A1(
V), wE
A2(V), telquel’applicalion b : TV—’ TV définieparXb = ~x°.0~ ixw soitun
isomorphismede fibres vectoriels. Alors
— ou bien V est dcdimcnsionpaire et (V, cc) est tine variétéprcsque symplectique.
— ou bien V est de dimension impaire, ci (V, 0,cc) est une vanétC depresque con -
tact.
En parliculier, s ‘ii existe sur V tin champ R tel que ~R0 = I ci iRw = 0, on Cs!
nécessairement dans Ic second cas.
DEMONSTRATION. Soit R Ic champ de vecteurs défini surV par Iacondition Rb = 6.
On a alors OR (OR)2 de sorte que la fonction OR ne peut prendre que les valeurs 0
ou I.
Supposons V conncxc. Si OR = 0, on a 6 = i~w et done si X e TV
X — tOX.R+XW
Done l’application TV —* T*V qui a associe ~xw est bijective: cc est done de rang
maximum, ci (V, w) estpresque symplectique. Si OR = 1, 0 est sans singularite surV
etsurl’hyperplan ker 01,w1
estderangmaximum,carl’application ker 0~ —* T;V qui
a X associe ~XW est injcctive, et a valeurs dans l’annulateur du sous espace engendrC
par R1, (qui est transverse a ker 8~). Done V est de dimensionimpaire 2n + I, et
O A w’~est une formc volume sur V.
Si V n’est pas connexe, Ic raisonnemcnt ci-dessus s’apphiquc sur toute composante
conrexe,ci comme Ia dimension de chaque composanteconnexe est la mCme, on a le
résuhiat.
Enfin he demier point résuhte dc la demonstration ci-dessus.
Si (V, 0, w) est unc variCtC de presquccontact, on note
#:TV—~TV —~c~
I’isomorphisme rCciproquc dc b.

630 Ci.AtJDF AlBERT
2. STRUCTURES TRANSITIVES
Une structure dc presque contact (Ow) sur V est unc .ctructurc pr/nc/pa/c: Si I e
V, un repCre ( X0
, X711) en I est dii adaptCà (Ow) si Ic repère dual ( 8°,
9211) venue
01 = et cc1 = ~1 A 911+1 + + 8~ A 9211
de sorte que R1 = X0.
L’ensemblc des repères adaptés aux divers poinLs dc V constitue une CT11-siructure
surV oO CT11 cst Ic groupedc contact sur R2~~1
, c’cst-a-dire Ic sous-groupc des
matrices dc GL~ de Ia formc
- ofl éeSP11
\0 a)
[de sorte que CT11 estisomorphc au groupe symplectique S?11 I
La donnée dc (0,w) ëst done equivalenic a cellc d’une CT,~-structurc E sur Ia
variétC V.
Notons F le pscudogroupc des diffComorphismcs beaux de Vqui respecleni Ia
structure (Ow)
F ={~ E Di1f{V}~’0 = 0ci ~w =
.Si ‘p E F, son relèvement natureldans Ic fibre des repères dc V respecte Ic CT,~-librC E
En suivant la terminobogie usuelbe des structures principales 131 on dira que (Ow) iou
El est homogenc si I’action de F est transitive surla variétC V jc’est-a-dire si Ctant
donné (z,y) E V x V, il existe Un ‘p E F de Source r ci hut ~iJ. On dira ~UC
(8cc) [ou El est transitive si I’action dc F est transitive surlc fibre E. Ceite dcmiCre
condition est beaucoup plus forte quc Ia prCcédente, ci Ic théorème suivanl donnc un
modèle local pour les structures ha vCnifIant 13[.
THEOREME I. So/i (V 0, cc) unc structure dcpresque contact transitivc. AIor:c Ia Ibrinc
cc est fermCc, ct ii existe un red ctel quc d0 = — ccc. Dc plus, ii cxisc au voi.cinagc
de chaque point z E V un syslbme dc coordonnées locales (t, q1 q11,
[en abrCgC (t, q, p)] ic/Ic quc, a vec lc.c conventions usuclies sur Ic.s indices
0 = d ( + p~d q’ ci ccd q’ Ad p,

LE THEOREME DE REDUCTION DE MARSDEN-WEINSTEIN 631
DEMONSTRATION. C’estun cahcul de tenseurde structure [3]. Puisque E est transitive,
son tenseur de structure est constant et invariant par le groupe CT~. Or, si cI est
l’algèbre de Lie de CT~, on a ha suite exacte
—~ R2’~~1”
®~ A2R~’~ ®
~ ~0
ou a est 1 ‘opérateur d’antisymétrisation de Spencer, et p est défini de lafacon suivante:
soit (e0,
e1,... , e21~) la base canonique de R2”~’
: si u E R2’~’, on note u =
u° e0
+ ~i oü ii est Ia projection de u sur he sous-espace R2~
R( ~ ... , e~). Si
c~ E A2R2?~t onauraainsi,pour u,v E R2’~1a(u,v) = a°(u,v)e0+o~(u,v).
Ccci
dii on aura
P = Po + Pt + P2 ofl ~ : A2R2Id~I*
® R2~ — A2IR2’~’
~ .A2R2fl~l*®R2fl+t ~A2R2~
P2 :A2R2~l*®R2~t _A3R2~d
sontdéfiniespar (p0c~)(u,v)
= c~°(u,v)
(p1a)(ii,i~) =
+uj0 (ii, ~( e0 1~)
~ = S w0(~(ii),~),~)
U ,V,t~)
ofl cc0 est la forme symplectiquc standard (cc0 = d u~ A d u’~1
+ ... + d u’~ A d u2~)
sur R2~, et he symbole S indique ha sommation sur les permutations circulaires.
Dc plus, cette suite exacte est une suite exacte de CT~-modules, pourl’action natu -
relic de CT~ sur et hes tenseursassociés. Le tenseurde structure T de E doit
done avoir 3 composantes (~ , , T2)
invariantes par CT~ : il existe done deux reds
C1C2 tehs que
= e1w0 (w0considérée comme 2-forme surR2’~”
~~2fl)
T = 2W0
et T2=O
Pour préciser ha naturegéométriquedes 3 composantes du tenseur de structure, utihisons
une connexion linCaire V sur V adaptec a E. (V0 = 0 et Vw = 0), et soit T son
tenseur de torsion: si X, Y E fl( V)
T(X,Y) = V1Y - V~,X - [X,Y]
Si x EV, soit a: U~ E unesectionlocahede E, c’est-à-direunchamp (X0,X1,
X2~) de repères adaptés. On peut, pour tout u E R2”~’
lui associer he champ de
vecteurs a.u ~ fl( U) défini par
Si U = ~ u’e~, a u = ~ u’X1
O<i<2n