Degr~ normal d`une immersion. Remargues sur deux - UiO

~-
Degr~
normal d'une immersion.
Remargues sur deux notes de M, Andre Gramain.
par
Per Holm
Soit
vari~te
f : V
~
M une immersion en codimension
differensiable compacte
orient~e.
Soit
N(f)
orient~e
d 1 une
dans une variete connexe
le fibre normale de
une section positive,
1
f
et
s : V ~ N(f) 0
Alors on peut former l'application normale
i
*
f
c f T(M) 0 ~ T(M) 0
Pour une
variet~
M parallellizable on obtient done une "appli-
cation de Gauss"
nu
~ : T(M) ~ Rm
est une morphisme admissible (i.e, compatible
avec l'orientation de
a
ou
~te ~tudi~
M = Rm.
M).
Le
degr~
a(f)
de cette compose
par H. Hopf ( 1 ) et par J, Milnor ( 2 ) dans le cas
Plus recemmant A. Gramain a donne des generaliza-
tions au cas on
M est arbitraire (connexe,
condition de l'immersion
f.
orient~e)
Le but de cette note est de donner
des simplifications des constructions de ( 3 ) , ( 4 ) .
strations s'applique aussi au cas ou
variet~s
topologiques,
fibrees comme des
f : V
~
sous une
V et
Nos demon-
M ne sont que des
Dans ce cas il faut qu'on interprete les
microfibr~es
et il suffit de supposer que
M est une application continue induissant un isomorphisme
- 2 -
T(V) ® N(f) ~ f*T(M).
de microfibrees
1.
Soit
V
compact sans
une variete/bo~d de dimension
n + 1
(tel que le fibre normal de
donc.trivial), On note
T(M)
s :
N(f)
f
est orientee
le fibre normale de
les fibrees tangent de
V __, N(f) 0
f:V->M
bord de
M connexe eans/
et
V dans une variete
une immersion orientee de
dimension
n
f
et
V, M , respectivement,
Soient
'"
fN:V :!N(f)0 ~ f*T(M) 0
une section posi tif et
l'application normale correspondent.
T(V) ,
Par passage
f
__,
T(MP
a l'homologie
on obtient un diagramme commutatif
HM+1 (M;ZM)
-1- nM n
H (M)
0
+ P*
p*~
AU
-1- P*
f*
Hn(V;ZV) -> Hn(M;ZM)
-1-P*
+
-1-
0
0
les suites verticaux sont parties des suites exactes de Gysin
pour les fibrees
f*T(M)
d'orientation de
V
et
et
ZV
T(M) ,
Zv
etant le systeme local
les relevements respectivespar
Supposones maitenant que l'immersion
condition
f*[V) = 0 , [V) E Hn(V;ZV)
tale (tordue) d'homologie de
hilee par
V •
f
satisfait
a
p*.
la
etant la classe fondamen-
Dans ce cas
fN*[V)
0
est ani-
p* : H11 (T(M) ;ZM) __, Hn(M;ZM) done fN*[V)E imp*' Re16ve
On d\Hini t le degre normal de
f
par
- 3 - -1 fN* [ V ]
a; ( f ) = -e:*p*
e
ou
0
H (~1)/(~n [M] ~ Zx(M)
1 1 augmentation
~
e: : H0 (M)
est l'isomorphisme induit de
Z.
Done a;(f)
Pour
definition equivaut
[~1] E
si
Hn+ 1 (M;Zr-1)
a
~ette
de Gramain.
est nul, done a; (f)
~
M est parallellizable,
un entier.
V
Dans le cas ou
est un entier modulo
et
Si
M orientee cette
M est non-compact,
est un entier,
est nul done a;(f)
M est non-compact
characteristique d'Euler-Poincare de
M.
x(M)
De meme,
est encore
est la
Cette construction
donne une definition direct du degre normal (tordue) de l'immersion
f •
Montrons le theoreme de Gramain.
Theoreme.
sion 1 tel que
v
f ••
So it
.... M une immersion orientee de codimen-
compacte connexe et si
g
. W _,
M
'
v
Si
f*[V] = 0
est le bord d'une variete
peut se prolonger
f
a
w
une immersion
alors
a; (f) - x(W) mod x(M)
Observons que l'immersion
g
est riecessairement orientable, done
on peut choisir l'orientation de
a : (VI, V) .... (T(W) ,T(W) 0
Soit
g compatible
celle de
Comme deux telles sont
homotopes par des sections positives on peut choisir
a
s
i
*
j
V ~ N(f) 0 c f T(M) 0 c T(W) 0
f,
une section qui prolonge une
)
s•: V .... T(W) 0 lV c T(Yi) 0 •
section positiv
a
,
s1
egal
auquel cas on obtient immediate-
ment
a(f)
[W,V] E Hn+ 1 (W,V;ZW)
~ <
o*[W,V],u >mod x(M) ,
etant la classe fondamentale d'homologie
- 4 de
W et
Hn+ 1 (T(W), T(W) 0 ;Zw)
la olasse de Thorn de
T(W).
< a*[W,V], U > = < [W,V], a * (U) > , il suffit de verifier
Oomme
que
U E
z E Hn+ 1 (w , V, Zw)
a * (U) = x(W)z , ou
pour laquelle
< [W,V],z > = 1 •
pas de l'immersion
relation.
f •
est la olasse unique
Evidemment oe problema ne depend
Le but de (3) est de verifier oette
Nous indiquons oi dessous une demonstration oourte,
valable dans le cas topologique.
Soient
r : V ~ T(W) 0 \V c T(W) 0
une section negatif et
p : W - T(W)
D1 abord
une section qui est une prolongement de r •
p*(u) = (-1)n+ 1 a*(u) , Il est facile d 1 exprimer la
difference
de
a * (U) -
p
* (U)
a 1 1 aide de la oharaoteristique d'Euler
V et la olasse de oohomologie
z , of. la remarque 5 dans
(3); on a
Dans le cas ou
V est de dimension pair on obtient dono
= x(V)•z
2 a*(u)
•
D1 autre part on a toujours
= x(V)
x(W)
+ X(W,V)
et
x(DW)
DW
etant la doublee de
= x(W)
W,
+ X(DW,W) ,
Mais
x(DW) = 0
est compact sans bord de dimension impair, et
par exoission.
Dono
Dans le cas ou
x(V)
=2
paroe que
DW
x(DW,W) = x(W,V)
x(W) , oe que entraine
a*(u)= x(W)z.
V est de dimension impair, remplaoons
(W,V)
- 5 par
•
•
('W, V) = (W, V) x (I, I) = (W xI, (W x I) U (V. x I)) •
V = oW
Alors
est de dimension pair, done le resultat precedant
s'applique et on a la formule correspondent
a* (Tj)
= X(W)~ •
cr*(U) E Hn+ 2 (w,V;0w) ~ Hn+ 1 ( W,V;ZW ) e H1 ( I,I• )
correspond a a * (U) 0 g * et l'element
•
z E Hn+ 2 (w,V;Zw);;; Hn+ 1 (w,v;zw) 0 H1 (I,I) correspond a z 0 g*
g * et g* etant des generateurs duaux. Done cr * (U) = x(W)z ,
Mais l'element
Enfin
x(W)
= x(W)
.
(1)
Math. Ann, 95, 1925, p, 340.
(2)
Comm, Math., 30, 1956, p. 275.
(3)
Comptes rendus, 266, aerie A, 1968, p. 1129,
(4)
Comptes rendus, 266, aerie A, 1968, p. 1223.
Oslo, Mai 1970.
,