Documents pour l`étudiant : Chapitre III : continuité 1 Définitions

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UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2012-2013
U.F.R. Économie & Gestion
Licence d’Économie et Gestion
MATH101 : Pratique des Fonctions numériques
Documents pour l’étudiant : Chapitre III : continuité
Notations : On reprend dans ce chapitre les notations du chapitre précédent : si x0est un nombre
réel, on notera Ix0un voisinage de x0(i.e. un intervalle ouvert contenant x0), et I∗
x0=Ix0r{x0}.
Si x0= +∞, alors Ix0désigne un intervalle ouvert du type ]γ; +∞[et si x0=−∞,Ix0=] −∞;γ[.
1 Définitions
Soit fune fonction définie sur un intervalle ouvert Iet x0un réel appartenant à I.
Théorème 1. Si x0est un réel de Iet si fadmet une limite en x0, alors cette limite est néces-
sairement f(x0).
Preuve : Soit lim
x→x0
f(x) = `.
∀ε > 0,∃α > 0,∀x∈I(|x−x0| ≤ α⇒ |f(x)−`| ≤ ε). Donc en particulier pour x=x0:
∀ε > 0,|f(x0)−`| ≤ ε, ce qui implique f(x0) = `
Définition 1. Soit fune fonction définie sur un intervalle ouvert Iet x0un réel appartenant à
I.fest dite continue en x0si elle admet une limite en x0.
Ce qui signifie que si xest proche de x0alors f(x)reste proche de f(x0).
Figure 1 – Fonction continue / discontinue en x0
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Cas de discontinuité :
1. La fonction « partie entière » est discontinue en 0. En effet, elle n’a pas de limite en 0.
2. La fonction f:x7→ sin 1
xsi x6= 0 et f(0) = 0.fn’a pas de limite en 0
Figure 2 – Courbe de f:x7→ sin 1
x
3. La fonction δdéfinie sur Rpar δ(x)=0si x6= 0 et δ(0) = 1.
Définition 2. Si Iest un intervalle ouvert, on dit que fest continue sur Isi elle est continue
en tout réel de I.
On peut introduire les notions de continuité à gauche et à droite d’un réel :
Définition 3. Soient x0∈Ret fune fonction définie sur un intervalle Ix0.fest dite continue à
droite (respectivement continue à gauche) en x0si lim
x→x0
x>x0
f(x) = f(x0)(respect. lim
x→x0
x<x0
f(x) = f(x0)).
Avec ces définitions on a le
Théorème 2. fest continue en x0si et seulement si fest continue à droite et à gauche en x0.
Définition 4. Si fest définie sur I= [a, b], dire que fest continue sur Isignifie qu’elle est
continue en tout réel de ]a, b[et que fest continue à droite en aet à gauche en b.
Exercice 1. Les fonctions suivantes sont-elles continues en x0?
1. Soit fdéfinie sur Rpar f(x) = x−1si x < 0et f(x) = x2si x≥0. (x0= 0)
2. fest définie sur Rpar f(x) = x2+ 2x+ 3 si x≤1et f(x) = 5ex−1si x > 0. (x0= 0).
Théorème 3. On admet que les fonctions suivantes sont continues
1. Les fonctions polynômes sont continues sur R.
2. La fonction « valeur absolue » est continue sur R.
3. La fonction « racine carrée » est continue sur R+.
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4. Les fonctions rationnelles sont continues sur leur ensemble de définition.
5. La fonction « logarithme népérien » est continue sur R∗
+.
6. Les fonctions exponentielles de base a > 0sont continues sur R.
7. Les fonctions puissances sont continues sur R∗
+.
Contre-exemple : La fonction « partie entière » est discontinue en tout entier de Z, et continue
en tout réel non entier.
2 Prolongement par continuité
Définition 5. Soit fune fonction continue sur un intervalle I∗
x0, non définie en x0et admettant
une limite réelle `en x0. On définit alors la fonction ˜ fsur Ix0par ˜ f(x) = f(x)si x6=x0et
˜
f(x0) = `.
˜
fest alors définie et continue sur Ix0. On dit que ˜ fest le prolongement par continuité de f
en x0.
Exercices 2.
1. Soit fla fonction définie sur R∗par f(x) = e−1
x2. Montrez que l’on peut prolonger fen 0.
2. Soit gla fonction définie sur R∗−{1}par g(x) = ln(x2)
x−1.gest-elle prolongeable par continuité
en 1? en 0?
3 Opérations sur les fonctions continues
Les théorèmes suivants sont admis :
Théorème 4. Soient fet gdeux fonctions définies sur un intervalle Iet λun réel.
Si fet gsont continues en x0∈I, alors f+g,λf ,f.g et |f|sont continues en x0.
Si fet gsont continues sur I, alors f+g,λf ,f.g et |f|sont continues sur I
Théorème 5. Soit fune fonction définie sur un intervalle Iet x0∈I.
Si fest continue en x0et f(x0)6= 0, alors 1
fest continue en x0.
Si fest continue sur Iet pour tout x∈I, f (x)6= 0 alors 1
fest continue sur I.
Théorème 6. Si fest continue en x0∈Iet strictement positive en x0, alors pour tout α∈R,
fαest continue en x0
Si fest continue sur Iet strictement positive sur I, alors pour tout α∈R,fαest continue
sur I
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Théorème 7. Soit fune fonction définie sur un intervalle Iet gune fonction définie sur un
intervalle Jtels que pour tout x∈I, f (x)∈J(f(I)⊂J).
Si fest continue en x0∈Iet gest continue en y0=f(x0)alors, la fonction composée g◦f
est continue en x0.
Si fest continue sur Iet gest continue sur J, alors g◦fest continue sur I.
Exercice 3.
Justifiez que la fonction f:f(x) = √−x2+ 2x+ 3 est continue sur [−1; 3].
4 Propriétés des fonctions continues sur un intervalle
4.1 Théorème des valeurs intermédiaires et applications
On admet le
Théorème 8. Soit fune fonction continue sur un intervalle I= [a, b]. Soit βun réel compris
entre f(a)et f(b). Il existe au moins un réel α∈[a, b]tel que f(α) = β.
Une autre formulation du théorème précédent est : L’image d’un intervalle par une fonction
continue est un intervalle
Figure 3 – Théorème des valeurs intermédiaires
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4.2 Extrema d’une fonction 5
Cas particulier : β= 0
Théorème 9. Soit fune fonction continue sur un intervalle I= [a, b]telle que f(a).f(b)<0,
alors Il existe au moins un réel α∈[a, b]tel que f(α)=0.
Cas Particulier : Cas d’une fonction strictement monotone :
Théorème 10. Soit fune fonction continue sur un intervalle I= [a, b]et strictement monotone
sur [a, b]. Soit βun réel compris entre f(a)et f(b). Il existe exactement un réel α∈[a, b]tel que
f(α) = β.
Rappels :
Théorème 11. Soit fune fonction dérivable sur un intervalle I.
1. Si ∀x∈I, f0(x)>0(respectivement f0(x)<0) alors fest strictement croissante sur I
(respect. décroissante sur I)
2. Si ∀x∈I, f0(x)≥0(respectivement f0(x)≤0) et f0s’annule en des réels isolés (i.e.
qui peuvent être séparés par des intervalles non vides), alors fest strictement croissante sur I
(respect. décroissante sur I)
4.2 Extrema d’une fonction
Les théorèmes suivants sont des conséquences du théorème des valeurs intermédiaires, et seront
admis :
Théorème 12. Soit fune fonction continue sur un intervalle I= [a, b], alors fest bornée et
atteint ses bornes.
Théorème 13. L’image d’un intervalle fermé borné [a, b]par une fonction continue fest un
intervalle fermé borné [m, M], où m(respectivement M) est le minimum (respect. maximum) de
fsur [a, b]
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