Documents pour l`étudiant : Chapitre III : continuité 1 Définitions

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UNIVERSITÉ DE CERGY
Année 2012-2013
U.F.R. Économie & Gestion
Licence d’Économie et Gestion
MATH101 : Pratique des Fonctions numériques
Documents pour l’étudiant : Chapitre III : continuité
Notations : On reprend dans ce chapitre les notations du chapitre précédent : si x0 est un nombre
réel, on notera Ix0 un voisinage de x0 (i.e. un intervalle ouvert contenant x0 ), et Ix∗0 = Ix0 r {x0 }.
Si x0 = +∞, alors Ix0 désigne un intervalle ouvert du type ]γ; +∞[ et si x0 = −∞, Ix0 =] − ∞; γ[.
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Définitions
Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I et x0 un réel appartenant à I.
Théorème 1. Si x0 est un réel de I et si f admet une limite en x0 , alors cette limite est nécessairement f (x0 ).
Preuve : Soit lim f (x) = `.
x→x0
∀ε > 0, ∃α > 0, ∀x ∈ I (|x − x0 | ≤ α ⇒ |f (x) − `| ≤ ε). Donc en particulier pour x = x0 :
∀ε > 0, |f (x0 ) − `| ≤ ε, ce qui implique f (x0 ) = ` Définition 1. Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I et x0 un réel appartenant à
I. f est dite continue en x0 si elle admet une limite en x0 .
Ce qui signifie que si x est proche de x0 alors f (x) reste proche de f (x0 ).
Figure 1 – Fonction continue / discontinue en x0
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Cas de discontinuité :
1. La fonction « partie entière
» est discontinue en 0. En effet, elle n’a pas de limite en 0.
1
2. La fonction f : x 7→ sin
si x 6= 0 et f (0) = 0. f n’a pas de limite en 0
x
Figure 2 – Courbe de f : x 7→ sin
1
x
3. La fonction δ définie sur R par δ(x) = 0 si x 6= 0 et δ(0) = 1.
Définition 2. Si I est un intervalle ouvert, on dit que f est continue sur I si elle est continue
en tout réel de I.
On peut introduire les notions de continuité à gauche et à droite d’un réel :
Définition 3. Soient x0 ∈ R et f une fonction définie sur un intervalle Ix0 . f est dite continue à
droite (respectivement continue à gauche) en x0 si x→x
lim f (x) = f (x0 ) (respect. x→x
lim f (x) = f (x0 )).
0
x>x0
0
x<x0
Avec ces définitions on a le
Théorème 2. f est continue en x0 si et seulement si f est continue à droite et à gauche en x0 .
Définition 4. Si f est définie sur I = [a, b], dire que f est continue sur I signifie qu’elle est
continue en tout réel de ]a, b[ et que f est continue à droite en a et à gauche en b.
Exercice 1.
Les fonctions suivantes sont-elles continues en x0 ?
1. Soit f définie sur R par f (x) = x − 1 si x < 0 et f (x) = x2 si x ≥ 0. (x0 = 0)
2. f est définie sur R par f (x) = x2 + 2x + 3 si x ≤ 1 et f (x) = 5ex−1 si x > 0. (x0 = 0).
Théorème 3. On admet que les fonctions suivantes sont continues
1. Les fonctions polynômes sont continues sur R.
2. La fonction « valeur absolue » est continue sur R.
3. La fonction « racine carrée » est continue sur R+ .
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4. Les fonctions rationnelles sont continues sur leur ensemble de définition.
5. La fonction « logarithme népérien » est continue sur R∗+ .
6. Les fonctions exponentielles de base a > 0 sont continues sur R.
7. Les fonctions puissances sont continues sur R∗+ .
Contre-exemple : La fonction « partie entière » est discontinue en tout entier de Z, et continue
en tout réel non entier.
2
Prolongement par continuité
Définition 5. Soit f une fonction continue sur un intervalle Ix∗0 , non définie en x0 et admettant
une limite réelle ` en x0 . On définit alors la fonction f˜ sur Ix0 par f˜(x) = f (x) si x 6= x0 et
f˜(x0 ) = `.
f˜ est alors définie et continue sur Ix0 . On dit que f˜ est le prolongement par continuité de f
en x0 .
Exercices 2.
1
1. Soit f la fonction définie sur R∗ par f (x) = e− x2 . Montrez que l’on peut prolonger f en 0.
ln(x2 )
2. Soit g la fonction définie sur R∗ −{1} par g(x) =
. g est-elle prolongeable par continuité
x−1
en 1 ? en 0 ?
3
Opérations sur les fonctions continues
Les théorèmes suivants sont admis :
Théorème 4. Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I et λ un réel.
Si f et g sont continues en x0 ∈ I, alors f + g, λf , f.g et |f | sont continues en x0 .
Si f et g sont continues sur I, alors f + g, λf , f.g et |f | sont continues sur I
Théorème 5. Soit f une fonction définie sur un intervalle I et x0 ∈ I.
1
Si f est continue en x0 et f (x0 ) 6= 0, alors est continue en x0 .
f
1
Si f est continue sur I et pour tout x ∈ I, f (x) 6= 0 alors est continue sur I.
f
Théorème 6. Si f est continue en x0 ∈ I et strictement positive en x0 , alors pour tout α ∈ R,
f α est continue en x0
Si f est continue sur I et strictement positive sur I, alors pour tout α ∈ R, f α est continue
sur I
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Théorème 7. Soit f une fonction définie sur un intervalle I et g une fonction définie sur un
intervalle J tels que pour tout x ∈ I, f (x) ∈ J (f (I) ⊂ J).
Si f est continue en x0 ∈ I et g est continue en y0 = f (x0 ) alors, la fonction composée g ◦ f
est continue en x0 .
Si f est continue sur I et g est continue sur J, alors g ◦ f est continue sur I.
Exercice 3.
√
Justifiez que la fonction f : f (x) = −x2 + 2x + 3 est continue sur [−1; 3].
4
Propriétés des fonctions continues sur un intervalle
4.1
Théorème des valeurs intermédiaires et applications
On admet le
Théorème 8. Soit f une fonction continue sur un intervalle I = [a, b]. Soit β un réel compris
entre f (a) et f (b). Il existe au moins un réel α ∈ [a, b] tel que f (α) = β.
Une autre formulation du théorème précédent est : L’image d’un intervalle par une fonction
continue est un intervalle
Figure 3 – Théorème des valeurs intermédiaires
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4.2
Extrema d’une fonction
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Cas particulier : β = 0
Théorème 9. Soit f une fonction continue sur un intervalle I = [a, b] telle que f (a).f (b) < 0,
alors Il existe au moins un réel α ∈ [a, b] tel que f (α) = 0.
Cas Particulier : Cas d’une fonction strictement monotone :
Théorème 10. Soit f une fonction continue sur un intervalle I = [a, b] et strictement monotone
sur [a, b]. Soit β un réel compris entre f (a) et f (b). Il existe exactement un réel α ∈ [a, b] tel que
f (α) = β.
Rappels :
Théorème 11. Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
1. Si ∀x ∈ I, f 0 (x) > 0 (respectivement f 0 (x) < 0) alors f est strictement croissante sur I
(respect. décroissante sur I)
2. Si ∀x ∈ I, f 0 (x) ≥ 0 (respectivement f 0 (x) ≤ 0) et f 0 s’annule en des réels isolés (i.e.
qui peuvent être séparés par des intervalles non vides), alors f est strictement croissante sur I
(respect. décroissante sur I)
4.2
Extrema d’une fonction
Les théorèmes suivants sont des conséquences du théorème des valeurs intermédiaires, et seront
admis :
Théorème 12. Soit f une fonction continue sur un intervalle I = [a, b], alors f est bornée et
atteint ses bornes.
Théorème 13. L’image d’un intervalle fermé borné [a, b] par une fonction continue f est un
intervalle fermé borné [m, M ], où m (respectivement M ) est le minimum (respect. maximum) de
f sur [a, b]
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4.2
Extrema d’une fonction
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MATH101 : Pratique des Fonctions numériques
Documents pour l’étudiant : Chapitre IV : Dérivabilité
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Dérivabilité d’une fonction en un réel x0
Rappels : Il est très vivement conseillé de revoir les rappels sur la dérivation faits dans le chapitre
I !
Définition 6. Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I et x0 un réel appartenant
f (x) − f (x0 )
à I. f est dite dérivable en x0 si ∆f(x,x0 ) =
admet une limite réelle (= finie) `
x − x0
lorsque x tend vers x0 .
Dans ce cas, cette limite est notée f 0 (x0 ) et est appelée nombre dérivé de f en x0
Remarque : ∆f(x,x0 ) représente le coefficient directeur de la sécante (M M0 ) où M (x, f (x)) et
M0 (x0 , f (x0 )). Dire que ∆f(x,x0 ) possède une limite quand x tend vers x0 revient à dire que la
courbe représentative de f possède au point M0 une tangente de coefficient directeur f 0 (x0 ).
(tangente non verticale)
Ainsi, lorsque f est dérivable en x0 l’équation de la tangente à Cf est y = f 0 (x0 )(x − x0 ) + f (x0 )
(remarquer que cette droite a pour coefficient directeur f 0 (x0 ) et passe par M0 ).
Exemples 1.
x2 − 1
= x + 1 donc lim ∆f(x,1) = 2.
x→1
x−1
0
f est dérivable en 1 et f (1) = 2. La tangente à Cf au point A(1, 1) a pour équation :
y = 2(x − 1) + 1 soit : y = 2x + 1
|x − 1|
2. Soit f : f (x) = |x − 1|. Pour x0 = 1, on a ∆f(x,1) =
= 1 si x > 1 et −1 si x < 1.
x−1
Donc ∆f(x,1) ne possède pas de limite en x0 = 1 et f n’est pas dérivable en 1.
1. Soit f : f (x) = x2 . Pour x0 = 1, on a ∆f(x,1) =
Remarque : Avec le changement de variable x0 = x + h, on a l’énoncé suivant : f est dérivable
f (x0 + h) − f (x0 )
en x0 si et seulement si
admet une limite finie lorsque h tend vers zéro.
h
Application à la détermination de limites :
Théorème 14.
ln x
=1
x→1 x − 1
√
1+x−1
1
lim
=
x→0
x
2
lim
ex − 1
=1
x→0
x
lim
(1 + x)α − 1
=α
x→0
x
∀α 6= 0, lim
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4.2
Extrema d’une fonction
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Définition 7. Soit f une fonction définie sur Ix0 . Si le taux d’accroissement de f a une limite
finie à droite (respectivement à gauche) en x0 , f est dite dérivable à droite (respect. à gauche) de
x0 .
f (x) − f (x0 )
f (x) − f (x0 )
lim
lim
et fg0 (x0 ) = x→x
.
On note fd0 (x0 ) = x→x
0
0
x − x0
x − x0
x<x0
x>x0
REMARQUE IMPORTANTE : Une fonction peut très bien être dérivable à droite et à gauche
en x0 mais ne pas être dérivable en x0 . (Voir la figure 4 ci-dessous : fd0 (2) = 0 et fg0 (2) = −4).
Figure 4 – Point anguleux
Autres exemples de fonctions non dérivables en x0
Figure 5 – Point de rebroussement
-
Tangente verticale
Théorème 15. Une fonction f définie sur Ix0 est dérivable en x0 si et seulement si f est dérivable
à gauche et à droite de x0 et fd0 (x0 ) = fg0 (x0 ).
Théorème 16. Soit f une fonction définie sur Ix0 . Si f est dérivable en x0 alors f est continue
en x0 .
La réciproque est fausse ! penser à la fonction « valeur absolue » qui est continue, mais
non dérivable en zéro.
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4.2
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Extrema d’une fonction
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Variations - extrema d’une fonction dérivable
Théorème 17. Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.
1. Si ∀x ∈ I, f 0 (x) ≥ 0 alors f est croissante sur I.
2. Si ∀x ∈ I, f 0 (x) ≤ 0 alors f est décroissante sur I.
3. Si ∀x ∈ I, f 0 (x) = 0, alors f est constante sur I.
On a un énoncé un peu plus précis :
Définition 8. Les réels {xi , i ∈ I} sont dits isolés si pour tout indice i de I, il existe un intervalle
ouvert Ii contenant xi tel que les intervalles { Ii , i ∈ I} soient disjoints deux à deux.
Théorème 18. Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.
1. Si ∀x ∈ I, f 0 (x) ≥ 0 et f 0 ne s’annule qu’en des réels isolés, alors f est strictement croissante
sur I.
2. Si ∀x ∈ I, f 0 (x) ≤ 0 et f 0 ne s’annule qu’en des réels isolés, alors f est strictement décroissante sur I.
Exemple 2.
f x 7→ x3 . ∀x ∈ R, f 0 (x) = 3x2 ≥ 0 et f 0 ne s’annule qu’en x = 0, donc f est strictement
croissante sur R.
Définition 9. Soit f une fonction définie sur Df .
1. On dit que f admet un maximum local en x0 , s’il existe un voisinage Ix0 tel que ∀x0 ∈
Ix0 , f (x) ≤ f (x0 ).
2. On dit que f admet un minimum local en x0 , s’il existe un voisinage Ix0 tel que ∀x0 ∈
Ix0 , f (x) ≥ f (x0 ).
3. On dit que f admet un extremum en x0 si f admet un minimum ou un maximum en x0 .
Théorème 19. Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle Ix0 , si f admet un
extremum en x0 , alors f 0 (x0 ) = 0.
Conséquence graphique : Sous les conditions du théorème, la tangente à Cf est horizontale.
Remarque : La réciproque du théorème précédent est fausse : par exemple soit f : x 7→ x3 ,
f 0 (0) = 0 mais f n’admet pas d’extremum en x = 0.
Théorème 20. Soit f une fonction définie et dérivable sur Ix0 , si f 0 (x0 ) = 0 et si f 0 (x) change
de signe en x0 , alors f admet un extremum en x0 .
Théorème 21. Soit f une fonction deux fois dérivable sur Ix0 .
1. Si f 0 (x0 ) = 0 et f 00 (x0 ) > 0, alors f admet un minimum en x0 .
2. Si f 0 (x0 ) = 0 et f 00 (x0 ) < 0, alors f admet un maximum en x0 .
Exercice 4. Soit f définie sur R∗+ par f (x) = (ln x)3 − 3 ln x. Calculer f 0 (x) puis déterminer les
variations de f sur R∗+ .
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