Mathématiques avancées pour physiciens II (L3)

Mathématiques avancées pour physiciens II — L3
Harold Erbin
Notes de cours de Magistère L3 donné par M. Mourad.
Ce texte est publié sous la licence libre
Licence Art Libre :
http://artlibre.org/licence/lal/
Version : 8 mai 2010
Site : http://harold.e.free.fr/
Sommaire
1 Transformée de Fourier
1
2 Distributions
19
3 Transformées de Fourier et distributions tempérées
37
4 Les fonctions spéciales : la fonction Gamma
49
5 Polynômes orthogonaux
55
Table des matières
61
iii
SOMMAIRE
iv
Chapitre 1
Transformée de Fourier
1.1
Définitions
Définition 1.1. Soit f une fonction, on a f ∈ L1 si
Z
|f | < ∞
(1.1)
Définition 1.2 (Transformée de Fourier). On note fˆ ou F(f ) la transformée
de Fourier de f définie par
Z
1
ˆ
f (x) e−ikx dx = F(f )(k)
(1.2)
f (k) = √
2π
Définition 1.3 (Cotransformée de Fourier). On définit F(f ) la cotransformée
de Fourier de f par
Z
1
f (x) = √
fˆ(k) eikx dk = F(f )(x)
(1.3)
2π
Proposition 1.1. On a
F(f )(k) = F(f )(−k)
(1.4)
Sous certaines conditions F F(f ) = f .
1.2
Propriétés
Proposition 1.2. On a les propriétés suivantes :
1. fˆ est continue.
2. si xn f ∈ L1 , alors fˆ est C n et
fˆ(n) (k) = F (−ix)n f
Remarques :
1. Plus f décroit à l’infini, plus fˆ est dérivable.
1
(1.5)
CHAPITRE 1. TRANSFORMÉE DE FOURIER
2. On a par conséquent : xf ∈ L1 , alors fˆ est dérivable et fˆ0 (k) = F(−ixf ).
Avant tout, rappelons le théorème de convergence dominée.
Théorème 1.1 (Convergence dominée). Si (fn ) est une suite de fonctions avec
|fn | ≤ h avec h intégrable et fn −−−−→ f p.p. alors
n→∞
Z
Z
fn −−−−→
f
n→∞
(1.6)
Z
Conséquences : soit G(t) =
f (x, t)dx alors si
– f (x, t) est continue comme fonction de t et |f (x, t)| < h(x) avec h ∈ L1
alors G est continue.
– f (x, t) est dérivable comme fonction de t et |∂f (x, t)/∂t| < k(x) avec k
intégrable alors G est dérivable et
Z
∂f
G0 (t) =
(x, t) dx
(1.7)
∂t
– f (x, t) est dérivable n fois comme fonction de t et |∂ n f (x, t)/∂tn | < `n (x)
avec `n ∈ L1 intégrable alors G est C n et
Z n
∂ f
(x, t) dx
(1.8)
G(n) (t) =
∂tn
Démonstration.
Soit
1
fˆ(k) = √
2π
Z
f (x) e−ikx dx
| {z }
f (x,k)
alors
– f est continue comme fonction de k et
|f |
|g| ≤ √
∈ L1
2π
et f est continue.
– On a
n ∂ f n |f |
∂k n ≤ |x| √2π
alors d’après le théorème 1.1, fˆ(k) est C n et
Z
1
fˆ(n) (k) = √
f (x)(−ix)n e−ikx dx = F (−ix)n f
2π
Exemple 1.1.
Soit f = 1[−a,a] , c’est à dire
(
f (x) =
1
0
si x ∈ [−a, a]
ailleurs
2
(1.9)
CHAPITRE 1. TRANSFORMÉE DE FOURIER
qui est la fonction indicatrice sur l’intervalle [−a, a]. On a
Z a
1
ˆ
f (k) = √
e−ikx dx
2π −a
1 −1 −ika
(e
=√
− eika )
2π ik
r
2 sin ka
=
π
k
p
et fˆ(k) ∼0 a 2/π donc fˆ ∈ C ∞ (R).
Proposition 1.3. Si f ∈ L1 est dérivable avec f 0 ∈ L1 alors
F(f 0 ) = ik F(f )
(1.10)
Démonstration.
1
F(f 0 ) = √
2π
Z
f 0 e−ikx dx
Z
A
= lim
A→∞
−A
"
= lim
A→∞
1
√ f 0 e−ikx dx
2π
A
1
f e−ikx −A − √
2π
Z
#
A
f (−ik e−ikx )dx
−A
or f (±A) −→ 0 car f ∈ L1 donc F(f 0 ) = ik F(f ).
∞
Proposition 1.4. Plus généralement si f est C n et ∀m ≤ n, f (m) ∈ L1 , alors
F f (n) = (ik)n F(f )
(1.11)
Proposition 1.5 (Translatée). Soit τa f la translatée de a, c’est à dire τa f (x) =
f (x − a). On a
F(τa f ) = e−ika F(f )
(1.12)
Démonstration.
Z
1
√
F(τa f ) =
f (x − a) e−ikx dx
2π
Z
1
=√
f (x) e−ik(x+a) dx
2π
= e−ika F(f )
Proposition 1.6 (Dilatée). Soit ∆a f la dilatée par a, c’est à dire ∆a f (x) =
f (x/a), alors
F(∆a f )(k) = a F(f )(ak) = a∆1/a fˆ(k)
(1.13)
3
CHAPITRE 1. TRANSFORMÉE DE FOURIER
Démonstration.
Z
1
F(∆a f )(k) = √
f (x/a) e−ikx dx
2π
Z
1
f (x) e−iakx adx
=√
2π
= a F(f )(ak)
1.3
Théorème de Plancherel–Parseval
Rappelons les théorèmes de Fubini :
Théorème 1.2 (Fubini). Si f (x, y) ≥ 0 alors
Z Z
ZZ
f dxdy =
R2
Z Z
f (x, y)dx dy =
R
R
f (x, y)dy dx
R
(1.14)
R
Théorème 1.3 (Fubini). Si |f | (x, y) ∈ L1 (R2 ) alors on (1.14).
Remarque : Pour vérifier l’hypothèse de 1.3 on utilise le théorème 1.2.
Théorème 1.4 (Plancherel–Parseval). Soient f, g ∈ L1 , alors
Z
fˆg =
R
Z
f ĝ
(1.15)
R
Démonstration.
Soit f (x, y) = f (x)g(y) e−ixy avec f, g ∈ L1 . On a
|f (x, y)| = |f (x)| |g(y)|
D’après le théorème 1.2 on a
Z
2
Z
|f (x, y)| =
Z
|f (x)| dx
|g(y)| dy < ∞
R
R
R
donc f (x, y) ∈ L1 (R2 ). On peut donc appliquer le théorème 1.3 à f (x, y) :
Z Z
−ixy
f (x) e
R
Z Z
dx g(y)dy =
R
Z
fˆ(y)g(y)dy =
R
g(y) e
ZR
R
ĝ(x)f (x)dx
R
4
−ixy
dy f (x)dx
CHAPITRE 1. TRANSFORMÉE DE FOURIER
1.4
Un exemple : la gaussienne
Dans ce paragraphe nous étudierons la gaussienne de largeur 1 :
2
γ(x) = e−x
/2
(1.16)
Proposition 1.7.
Z
I=
γ=
√
2π
(1.17)
Démonstration.
I2 =
Z
Z
γ(y)dy
γ(x)dx
et d’après Fubini
Z
2
2
1
e− 2 (x
I =
2
+y 2 )
dxdy
R
Passons en coordonnées polaires :
(
x = r cos θ
y = r sin θ
donc
2
Z
2
e−r /2 rdrdθ
Z ∞
2
= 2π
e−r /2 rdr
0
∞
2
= 2π e−r /2 I =
0
= 2π
Proposition 1.8.
γ̂(k) = e−k
2
/2
Démonstration.
Z
2
1
γ̂(k) = √
e−x /2 e−ikx dx
2π
Z
2
2
1
1
=√
e− 2 (x+ik) e−k /2 dx
2π
Soit z ∈ C. g(z) = e−z
2
/2
est analytique donc
I
g(z)dz = 0
C
5
(1.18)
CHAPITRE 1. TRANSFORMÉE DE FOURIER
Figure 1.1 – Contour d’intégration pour la gaussienne.
et d’après Cauchy (figure 1.1)
I
Z
R
g(z)dz =
C
Z
γ(x)dx +
−R
0
Z
− 21 (−R+iy)2
e
+
Z
2
1
e− 2 (R+iy) idy
0
−R
2
1
e− 2 (x+ik) dx
idy +
k
k
R
et
Z
k
e−R
I(R) = i
2
/2 y 2 /2 −iRy
e
e
dy
0
= i e−R
2
/2
Z
k
ey
2
/2 −iyR
e
dy
0
Z
≤
k
ey
2
/2
dy
0
et I(R) −−−−→ 0 d’où
R→∞
√
2π − ek
2
/2
√
γ̂(k) 2π = 0
2
2
Conséquence : la transformée de fourier de γ(x/a) = e−x /(2a ) (gaussienne
2 2
de largeur a) est a e−a k /2 : plus la largeur initiale est grande, plus celle de la
transformée de Fourier est faible.
1.5
Théorème d’inversion de Fourier
Théorème 1.5 (Théorème d’inversion de Fourier). Si f, fˆ ∈ L1 , f continue en
x, alors
Z
1
f (x) = √
fˆ(k) eikx dk
(1.19)
2π
6
CHAPITRE 1. TRANSFORMÉE DE FOURIER
1
14
0.9
12
0.8
10
0.7
0.6
8
0.5
6
0.4
0.3
4
0.2
2
0.1
0
-10
-5
0
5
0
-10
10
-5
(a) γ
0
5
10
(b) F (γ)
Figure 1.2 – Fonction gaussienne et sa transformée (a2 = 15).
Démonstration.
Il suffit de montrer (1.19) pour a = 0 :
Z
1
f (0) = √
fˆ(k)dk
2π
Il suffit ensuite de choisir une fonction g(x) = τa f , alors g(0) = f (a) et ĝ(k) =
eika fˆ.
On utilise le théorème de Plancherel-Parseval 1.4 :
Z
Z
f ĥ = fˆh
avec h ∈ L1 .
Prenons pour h dont les graphes ressemblent à ceux de la figure 1.2, c’est à
dire
x
−x2
h(x) = γ
= e 2a2
a
ĥ(k) = a e
et
(
lim ĥ(k) =
a→∞
Alors
Z
a
|
f (x) e
{z
−a2 x2
2
I(a)
−a2 k2
2
0
a
si k 6= 0
si k = 0
Z
−k2
dx = fˆ(k) e 2a2 dk
} |
{z
}
J(a)
À la limite a → ∞
−k2 e 2a2 ≤ 1
2 ˆ
− k f (k) e 2a2 ≤ fˆ(k)
7
CHAPITRE 1. TRANSFORMÉE DE FOURIER
fˆ ∈ L1 . D’après le théorème de convergence dominée 1.1 :
Z
k2
− 2a
ˆ
2
lim f (k) e
dk = fˆ(k) dk
a→∞
Z
I(a) =
f
u
a
e−
u2
2
du
en ayant posé u = xa. Montrons que
Z
−u2
I(a) − f (0)
2
du −−−→ 0
e
a→∞
On a
Z Z 2
2
u
− u2
≤ f u − f (0) e− u2 du
f
−
f
(0)
e
du
a
a
Z
Z
u
u
2
u
u2
− f (0) e− 2 du +
− f (0) e− 2 du
≤
f
f
a
a
| ua |≤ε
| ua |≥ε
Z
Z
2
u
u − u22
≤ sup |f (x) − f (0)| e− 2 du +
du
f
e
a
|x|≤ε
| ua |≥ε
Z
u2
|f (0)| e− 2 du
+
| u |≥ε
Z
Z a
2
u
a 2 x2
≤ sup |f (x) − f (0)| e− 2 du +
|f (x)| a e− 2 dx
|x|≤ε
|x|≥ε
{z
|
a2 ε2
≤ e− 2
Z
2
− u2
+ |f (0)|
e
a
}
R
|f (x)|
∀ε > 0
du
|u|≥aε
Choisissons
1
ε= √
a
alors
√ √
I(a) − f (0) 2π ≤ sup |f (x) − f (0)| 2π
|x|≤ √1a
−a
2
Z
Z
|f | + |f (0)|
+ ae
√
|u|> a
e−
u2
2
du
Quand a → ∞
√
lim I(a) − f (0) 2π ≤
a→∞
0
|{z}
f continue
donc
I(a) −−−→
a→∞
√
+ |{z}
0
+
a
a e− 2
→0
0
|{z}
R
2πf (0) −−−→ J(a)
a→∞
Le théorème suivant est une conséquence du précédent.
8
e−
a2
2
<∞
CHAPITRE 1. TRANSFORMÉE DE FOURIER
Théorème 1.6 (Isométrie de L2 ). Soient
Z
Z
2
|f | =
f, fˆ ∈ L1 alors
2
ˆ
f (1.20)
Démonstration.
On utilise le théorème 1.4. On choisit g = f ∗ , alors g ∈ L1 et
Z
1
ĝ(x) = √
g(k) e−ikx dk
2π
Z
1
=√
fˆ∗ (k) e−ikx dk
2π
∗
Z
1
−ikx
ˆ
= √
f (k) e
dk
2π
= f (x)∗
En utilisant le théorème d’inversion 1.5, on prouve l’égalité cherchée.
1.6
Transformées de Fourier dans Rn
n
P
f est une fonction d’une variable vectorielle #»
x =
xi #»
e i = (x1 , . . . , xn ) ∈
Rn avec xi ∈ R.
On définit le produit scalaire dans Rn par
#»
x · #»
y =
n
X
i=1
xi yi
(1.21)
i=1
Définition 1.4 (Transformée de Fourier dans R). On définit la transformée de
Fourier de f par
Z
#» #»
1
#»
ˆ
f ( #»
x ) e−i x · k dn
(1.22)
f( k ) = p
n
(2π)
Théorème 1.7 (Théorème d’inversion). Soient f, fˆ ∈ L1 (Rn ). f est continue,
alors
Z
#» #»
1
#»
f(x) = p
fˆ(k) ei k · x dn k
(1.23)
n
(2π) Rn
Proposition 1.9. Si f ( #»
x ) = f1 (x1 ) · · · fn (xn ) où les fi sont des fonctions à
une variable (f = f1 ⊗ · · · ⊗ fn ), avec fi ∈ L1 , alors
ou
fˆ = fˆ1 ⊗ · · · ⊗ fˆn
(1.24)
#»
fˆ( k ) = fˆ1 (k1 ) · · · fˆn (kn )
(1.25)
Démonstration.
1
#»
fˆ( k ) = p
(2π)n
Z
f1 (x1 ) · · · fn (xn ) e−ik1 x1 · · · e−ikn xn dn x
9
CHAPITRE 1. TRANSFORMÉE DE FOURIER
par Fubini 1.3
Z
Z
1
1
= √
f1 (x1 ) e−ik1 x1 dx1 · · · √
fn (xn ) e−ikn xn dxn
2π
2π
donc
#»
fˆ( k ) = fˆ1 (k1 ) · · · fˆn (kn )
Exemple 1.2.
Soit
r2
1 #» #»
f ( #»
x ) = e− 2 x · x = e − 2
2
1
2
= e− 2 (x1 +···+xn )
1
2
1
2
= e− 2 x1 · · · e− 2 xn
donc
1 2
1 2
#»
fˆ( k ) = e− 2 k1 · · · e− 2 kn
1.6.1
a)
Autres propriétés
Translation
Soit #»
a ∈ Rn alors
#»
#» #»
τ #»
a f(x) = f(x + a )
(1.26)
Proposition 1.10 (Translatée). On a
# #»
»
b)
−ik· a
Ff
F τ #»
af = e
(1.27)
#» x
a
(1.28)
#»
F ∆a f = an fˆ(a k )
(1.29)
Dilatation
Soit #»
a ∈ R∗ alors
+
∆a f ( #»
x) = f
Proposition 1.11 (Dilatée). On a
c)
Rotation
Il s’agit d’une transformation linéaire qui conserve le produit scalaire.
#»
x 0 = R #»
x
où #»
x 0 est l’image de #»
x par la rotation R. On a
x0i =
n
X
j=1
où R est une matrice carrée n.
10
Rij xj
(1.30)
CHAPITRE 1. TRANSFORMÉE DE FOURIER
On a
#»
x · #»
x 0 = xt x0
avec x, x0 ∈ Rn . On a
#»
x · #»
y = xt y
= R #»
x · R #»
y
= Rxt Ry
= xt Rt Ry
=⇒ Rt R = 1
ce qui définit le groupe orthogonal à n dimensions, noté O(n). On a
det R = ±1
(1.31)
Le sous-groupe des rotations SO(n) est défini par
det R = 1
(1.32)
Soit f une fonction à n variabmes :
Rf ( #»
x ) = f (R #»
x)
Alors on a
1
#»
F(Rf )( k ) = p
(2π)n
Z
(1.33)
#» #»
f (R #»
x ) e−i k · x dn x
avec
#»
#»
x 0 = R #»
x
x = R−1 #»
x0
#» #»0
#» −1 #»0
k · R x = Rk · x
∂x −1 n 0
i n 0
n
d x
d x = 0 d x = Rij
∂xj | {z }
| {z }
det R=1
Jacobien
alors
Z
#» #»0
1
#»
x 0 ) e−iR k · x
f ( #»
F Rf ( k ) = p
n
(2π)
#»
ˆ
= f (R k )
#»
= R F f( k )
donc
FR = RF
(1.34)
Si f est invariante par rotation (fonction radiale), alors fˆ est invariante par
rotation.
Exemple 1.3.
11
CHAPITRE 1. TRANSFORMÉE DE FOURIER
Soit n = 3, et f une fonction radiale.
Z
1
#»
fˆ( k ) =
f (r) e−ikr cos θ r2 sin θdrdθ
(2π)3/2
Z ∞ −ikr cos θ
e
1
=√
f (r)dr
ikr
2π 0
Z ∞ ikr
1
e − e−ikr
rf (r)dr
=√
ik
2π 0 |
{z
}
2i sin(kr)
2 1
=√
2π k
1.7
∞
Z
rf (r) sin(kr)dr
0
Convolution dans R
Définition 1.5 (Convoluée). Soient f, g ∈ L1 (R). On définit par h
Z
h(x) =
f (x − s) g(s) ds
(1.35)
R
On dit que h est la convoluée de f et g et on la note f ∗ g.
Proposition 1.12. Propriétés :
1. Le produit de convolution est commutatif :
f ∗g =g∗f
(1.36)
2. h ∈ L1 et
Z
Z
h=
Z
f
g
(1.37)
Théorème 1.8. Soient f, g ∈ L1 , alors
√
F(f ∗ g) = 2π F(f ) × F(g)
(1.38)
Démonstration.
Z
1
h(x) e−ikx dx
ĥ(k) = √
2π
Z Z
=
f (x − s) g(s) ds
−ikx
|e {z }
dx
e−ik(x−s) e−iks
Le théorème de Fubini 1.3 s’applique,
on intègre d’abord sur x (x0 = x − s) :
√
ˆ
f (k). L’intégrale sur s donne 2πĝ, d’où
ĥ =
√
2π fˆĝ
12
CHAPITRE 1. TRANSFORMÉE DE FOURIER
Exemple 1.4.
Soit
γa (x) = γ
x
a
Que vaut γa ∗ γb ?
F(γa ∗ γb ) =
=
=
√
√
√
2πγ̂a γ̂b
2πab e−
2πab e−
a2 k 2
2
k2
2
e−
b2 k 2
2
(a2 +b2 )
Transformée de Fourier inverse :
√
−x2
1
e 2(a2 +b2 )
2πab √
a2 + b2
r
2π
γ√a2 +b2
= ab
2
a + b2
γa ∗ γb =
1.8
1.8.1
Application : le théorème de la limite centrale
Une variable
Soit x une variable aléatoire réelle et p(x) une distribution de densité de
probabilité. La probabilité d’avoir x dans un intervalle I est
Z
P (I) = p
(1.39)
I
De plus on a p ≥ 0 et
Z
p=1
(1.40)
R
donc p ∈ L1 .
La valeur moyenne (ou l’espérance) de f (x), notée hf (x)i est donnée par
Z
hf (x)i =
p(x)f (x) dx
(1.41)
R
d’où
Z
hxi =
xp(x) dx
(1.42)
R
On définit la variance par x2 et l’écart type est alors
1/2
σ = (x − hxi)2
La transformée de Fourier est
Z
1
p̂(k) = √
p(x) e−ikx dx
2π
1 −ikx =√
e
2π
13
(1.43)
CHAPITRE 1. TRANSFORMÉE DE FOURIER
e−ikx : fonction caractéristique, développement en puissance de k :
(−ik)2 2
(−ik)n n
x + ··· +
x
1 − ikx +
2
n!
(−i)n n n
(−i)2 2 2 = 1 − ik hxi +
k x + ··· +
k hx i
2
n!
1.8.2
Deux variables
Soit x1 et x2 deux variables aléatoires réelles et p(x1 , x2 ) une distribution de
densité de probabilité avec p ≥ 0 et
Z
p=1
(1.44)
R2
x1 et x2 sont indépendantes si
p(x1 , x2 ) = p1 (x1 )p2 (x2 )
(1.45)
Dans ce cas, on a
Z
hf1 (x1 )f2 (x2 )i =
p(x1 , x2 )f1 (x1 )f2 (x2 ) dx1 dx2
Z
Z
=
f1 (x1 )p1 (x1 ) dx1
f2 (x2 )p2 (x2 ) dx2
R2
R
R
= hf1 (x1 )i hf2 (x2 )i
Si x1 et x2 sont indépendantes alors ei(k1 x1 +k2 x2 ) est par définition la
fonction caractéristique et on a
D
E ei(k1 x1 +k2 x2 ) = eik1 x1 eik2 x2
= eik1 x1 eik2 x2
X = x1 +x2 est une variable aléatoire. Quelle est sa distribution ? Sa fonction
caractéristique est
ikX D ik(x1 +x2 ) E
e
= e
= eikx1 eikx2
= eikx1 eikx2
Soit q(X) la distribution de X.
1 ikX e
q̂(k) = √
2π
1 ikx1 ikx2 =√
e
e
2π
√
1 √
=√
2π p̂1 (k)
2π p̂2 (k)
2π
14
CHAPITRE 1. TRANSFORMÉE DE FOURIER
où p1 et p2 sont les distributions de x1 et x2 .
√
q̂(k) = 2π p̂1 (k)p̂2 (k) = F(p1 ∗ p2 )
d’où, par une transformation inverse :
q(X) = p1 ∗ p2
(1.46)
Théorème 1.9 (Limite centrale). Soit x1 , . . . , xn n variables aléatoires in2
dépendantes
avec la même loi de distribution p(xi ). Soit x0 = hxi i et σ0 =
2
(xi − x0 ) , et
(x1 + · · · + xn ) − nx0
√
γn =
n
Soit qn (γ) la distribution de γn , alors la limite lorsque n tend vers l’infini de
qn (γ) est la distribution gaussienne :
lim qn (γ) = p
n→∞
1
−
2πσ02
e
γ2
2σ 2
0
(1.47)
Démonstration.
On a
1
x1 + · · · + xn √
√
q̂n (k) = √
exp −ik
− nx0
n
2π
E
√
ik
1 D − √ikn x1
√
−
x
e
· · · e n n ei nx0 k
=√
2π
1 D − √ikn x1 E D − √ikn xn E i√nx0 k
=√
e
··· e
e
2π
n √
√
1
k
=√
2π p̂ √
ei nx0 k
n
2π
√
Si n est grand et k/ n petit :
p̂
k
√
n
k
= p̂(0) + √ p̂0 (0) +
n
k
√
n
2
avec
Z
1
1
p̂(0) = √
p= √
2π
2π
Z
1
−ikx
p̂(k) = √
pe
dx
2π
−i
−ix0
p̂0 (0) = √ hxi = √
2π
2π
−1 2 00
p̂ (0) = √
x
2π
or
σ02 = (x − x0 )2
= x2 − x20
15
1 00
p̂ (0) + · · ·
2
CHAPITRE 1. TRANSFORMÉE DE FOURIER
donc
n
1 i√nx0 k
ik
k2 1 2
2
q̂n (k) = √ e
1 − √ x0 −
(σ + x0 ) + · · ·
n 2 0
n
2π
ik
k2 1 2
1 i√nx0 k
2
exp n ln 1 − √ x0 −
(σ + x0 ) + · · ·
=√ e
n 2 0
n
2π
et en faisant un développement du log :
√
1
ik
k2 2
= √ ei nx0 k exp n − √ x0 −
(σ + x20 ) −
2n 0
n
2π
donc
ik
√ x0
n
2 !
1
2
k2 σ 2
1
0
lim q̂n (k) = √ e− 2
n→∞
2π
car on a enO(1/n) −−−−→ 1.
n→∞
Et il ne reste plus qu’à faire une transformée de Fourier inverse.
1.9
Espace de Schwartz
Définition 1.6 (Espace de Schwartz). L’espace de Schwartz, noté S(R), est
l’ensemble des fonctions C ∞ telles que f et toutes ses dérivées décroissent à
l’infini plus vite que toute fonction rationelle, c’est à dire
q
f ∈ S(R) ⇐⇒ f ∈ C ∞ , f (p) |x| −−−−→ 0
|x|→∞
∀p, q ∈ N
(1.48)
2
f n’est pas vide : e−x ∈ S(R).
Théorème 1.10. S(R) est stable par transformée de Fourier.
Dans S, on a
FFf = FFf
(1.49)
Démonstration.
Que S soit stable signifie que si f ∈ S, alors F f ∈ S. Soit f ∈ S, alors
∀p, f (p) ∈ L1 car (1 + x2 )f (p) → 0. Donc fˆ existe (p < 0) et F f (p) = (ik)p F f ,
donc
F f (p)
Ff =
∀p
(ik)p
q
n
1
ˆ
donc ∀q, |k| F f →0, donc F
f est à décroissance rapide. x f ∈ L donc f est
C n avec fˆ(p) = F (−ix)p f . n est arbitraire donc fˆ est C ∞ . (i x)p f est C ∞
alors k n fˆ(p) −−−−→, donc fˆ ∈ S.
|k|→0
f, fˆ ∈ L1 , f continue, donc f = F F f , et par le théorème d’inversion 1.5, on
a
1
f (x) = √
2π
Z
fˆ(k) eikx dk
16
CHAPITRE 1. TRANSFORMÉE DE FOURIER
k → −k
1
=√
2π
Z
fˆ(−k) e−ikx dk
| {z }
(F f )(k)
17
= FFf
CHAPITRE 1. TRANSFORMÉE DE FOURIER
18
Chapitre 2
Distributions
2.1
Introduction
En physique, on utilise souvent la "fonction de Dirac" δ(x). Ses propriétés
sont telles que
(
δ(x) =
0
x 6= 0
(2.1a)
∞ x=0
Z
δ(x)dx = 1
(2.1b)
Elle est utilisée, par exemple, pour représenter la densité de charge d’une
particule ponctuelle :
ρ(x) = qδ(x)
Mais une telle fonction ne peut
R pas exister car, selon la théorie de l’intégrale
de Lebesgue, f = 0 p.p., donc f dx = 0.
2.2
Les espaces D(R) et D0 (R)
Définition 2.1. D(R) est l’ensemble des fonctions C ∞ à support borné.
Définition 2.2 (Support). Le support K d’une fonction ϕ est l’ensemble des
points où ϕ n’est pas nulle.
ϕ ∈ D(R) ⇐⇒ il existe a et b tels que ϕ = 0 en dehors de [a, b] et que ϕ soit
C ∞.
D(R) n’est pas vide.
Exemple 2.1.
ϕ(x) =
(
0
|x| ≥ 1
1
− 1−x
2
e
19
|x| < 1
CHAPITRE 2. DISTRIBUTIONS
et
ϕ0 (x) = 0 si |x| ≥ 1
0
−1
− 1
ϕ0 (x) =
e 1−x2 −−−→ 0
2
x→1
1−x
1
− 1−x
2
ϕ(k) (x) = Rn (x) e
−−−→ 0
x→1
où Rn (x) est une fonction rationnelle.
Donc ϕ est C ∞ , et ϕ(x) = 0 si x ∈]
/ − 1, 1[. Donc ϕ ∈ D et D n’est pas vide.
Proposition 2.1. Propriétés :
1. Si λ et µ sont des réels, ϕ1 , ϕ2 ∈ D alors λϕ1 + µϕ2 ∈ D.
2. f est C ∞ (pas nécessairement à support borné), et ϕ ∈ D, alors f ϕ ∈ D.
3. Si ϕ ∈ D, alors τa f ∈ D et ∆a f ∈ D.
Définition 2.3 (Distribution). Une distribution est une forme linéaire continue
sur D(R).
L’ensemble des distributions est noté D0 (R).
C’est une application linéaire de D vers C :
T : D −→ C
ϕ 7−→ T (ϕ) = h T, ϕi
avec
h T, λϕ1 + µϕ2 i = λ h T, ϕ1 i + µ h T, ϕ2 i
Qu’elle soit continue signifie que si ϕj est une suite de fonctions de D et
lim ϕj = ϕ, alors lim T (ϕj ) = T (ϕ).
Dans D(R) on a
(n)
lim ϕj = ϕ ⇐⇒ ∀n sup ϕj (x) − ϕ(n) (x) −−−→ 0
j→∞
x∈K
On se place dans un modèle de la théorie des ensembles où toutes les applications linéaires sont continues.
Exemple 2.2.
Soit
Z
T (ϕ) =
ϕ
T est linéaire.
Exemple 2.3.
Soit
T (ϕ) = ϕ(a)
T est linéaire et T = δa :
h δa , ϕi = ϕ(a)
Il s’agit de la distribution de Dirac au point a.
20
CHAPITRE 2. DISTRIBUTIONS
Exemple 2.4.
Distributions régulières. f localement intégrable (f ∈ L1 (I)). Tf est la distribution régulière associée à la fonction f :
Z
h Tf , ϕi = f ϕ = h f, ϕi
Remarque : Tf = Tg ⇔ f = g p.p..
Théorème 2.1 (Approximation de δ0 par des distributions régulières). Soit fn
une suite de fonctions intégrables bornées dans L1 telles que ∀ε > 0
Z
fn −−−−→ 1
n→∞
|x|≤ε
Z
(2.2)
fn −−−−→ 0
n→∞
|x|>ε
Alors fn tend vers δ0 au sens des distributions.
Démonstration.
Pour tout ϕ ∈ D, il faut montrer que
h Tfn , ϕi −−−−→ ϕ(0)
n→∞
(2.3)
Soit ϕ ∈ D, ϕ(x) = ϕ(0) + r(x) et
Z
Z
Z
fn ϕ =
fn ϕ(0) + fn r
| R {z }
ϕ(0) fn −
−−−→1
n→∞
R
Montrons que fn r −−−−→ 0.
n→∞
Z
Z
Z
fn r =
fn r +
fn r
|x|≤ε
|x|>ε
Z
Z
|. . .| ≤ max |r(x)| fn + max |r(x)| fn
|x|≤ε
|x|>ε
Par continuité de ϕ, max|x|≤ε tend vers 0 quand ε → 0. Donc |. . .| −−−−→ 0,
n→∞
d’où
Z
fn ϕ −−−−→ ϕ(0) = h δ0 , ϕi
n→∞
ce qui prouve (2.3), donc
Tfn −−−−→ δ0
n→∞
par définition de la limite au sens de la distribution.
Remarques :
1. Soit une suite de distributions Tn , on dit que Tn → T au sens des distributions si ∀ϕ ∈ D h Tn , ϕi −−−−→ h T, ϕi.
n→∞
2. Les éléments de D sont appelés fonctions test.
Exemple 2.5. R
Soit f ∈ L1 , f = 1.
fn (x) =
1
f
εn
x
εn
21
εn −−−−→ 0
n→∞
CHAPITRE 2. DISTRIBUTIONS
2.3
Opérations sur les distributions
2.3.1
Multiplication par une fonction C ∞
Distribution régulière : Tg , f ∈ C ∞ . gf est localement intégrable :
Z
h Tgf , ϕi = g(x)f (x)ϕ(x) = h Tg , f ϕi
Définition 2.4. f est C ∞ et T ∈ D0 (R), alors f T est l’élément de D0 (R) défini
par
h f T, ϕi = h T, f ϕi
(2.4)
f T est une forme linéaire :
h f T, λϕ1 + ϕ2 i = h T, f (λϕ1 + ϕ2 )i
= λ h T, f ϕ1 i + h T, f ϕ2 i
= λ h f T, ϕ1 i + h f T, ϕ2 i
Exemple 2.6.
f est C ∞ et
h f δ0 , ϕi = h δ0 , f ϕi
= f ϕ(0)
= f (0)ϕ(0)
= f (0) h δ0 , ϕi
= h f (0)δ0 , ϕi
2.3.2
Translatée d’une distribution
h Tτa f , ϕi = h τa Tf , ϕi
Z
= (τa f )(x)ϕ(x)dx
Z
= f (x − a)ϕ(x)dx
Z
= f (x)ϕ(x + a)dx
Z
= f τa ϕ
= h Tf , τ−a ϕi
0
Soit T ∈ D . On définit τa T par
h τa T, ϕi = h T, τ−a ϕi
τa T est une forme linéaire et
h τa δ0 , ϕi = h δ0 , τa ϕi
= (τ−a ϕ)(0) = ϕ(a)
= h δa , ϕi
22
(2.5)
CHAPITRE 2. DISTRIBUTIONS
2.3.3
Dérivation
Soit f ∈ C 1 , exprimons Tf 0 en fonction de Tf :
Z
h Tf 0 , ϕi = f 0 ϕ
Z
= 0 − f ϕ0
= − h Tf , ϕi
Définition 2.5. Si T ∈ D0 , alors T 0 est défini par
h Tf 0 , ϕi = − h Tf , ϕi
∀ϕ ∈ D
(2.6)
Toutes les distributions sont dérivables.
Exemple 2.7.
Soit la fonction de Heaviside
(
f (x) =
1
0
x>0
x≤0
f ∈ L1 localement. Tf existe.
0 Tf , ϕ = − h Tf , ϕ0 i
Z
Z
= − f (x)ϕ(x)dx = −
∞
ϕ((x)
0
= ϕ(0) = h δ0 , ϕi
donc
Tf0 = δ0
Exemple 2.8.
h δ00 , ϕi = − h δ0 , ϕ0 i = −ϕ0 (0)
et
D
E
D
E
(n)
(n−1)
δ0 , ϕ = − δ0
, ϕ0 = · · · = (−1)n ϕ(n) (0)
Proposition 2.2. Soient f ∈ C ∞ , T ∈ D0 , alors
(f T )0 = f T 0 + f 0 T
(2.7)
Démonstration.
h (f T )0 , ϕi = − h f T, ϕ0 i
= h T, f ϕ0 i
= − h T, (f ϕ)0 − f 0 ϕi
= − h T, (f ϕ)0 i + h T, f 0 ϕi
= h f T 0 + f 0 T, ϕi
23
∀ϕ ∈ D
CHAPITRE 2. DISTRIBUTIONS
Proposition 2.3. Si T 0 = 0 alors T est de la forme
Z
h T, ϕi = λ ϕ
λ∈R
Démonstration.
R
Soit ϕ0 ∈ D avec ϕ0 = 1 et
h T, ϕ0 i = λ
Montrons (2.8) pour tout ϕ.
ϕ = aϕ0 + χ
Z
a= ϕ
alors
R
χ = 0. On note χ = ψ 0 donc
Z
x
ψ(x) =
χ(u)du
a
et ψ ∈ D et
ϕ = aϕ0 + ψ 0
h T, ϕi = a h T, ϕ0 i + h T, ψ 0 i
| {z } | {z }
=0
λ
Z
=⇒ h T, ϕi = λ ϕ
Exemple 2.9 (Valeur principale de Cauchy).
vp 1/x ∈
/ L1loc . 1/x ne définit par une distribution. Soit
Z −ε
Z ∞
ϕ(x)
ϕ(x)
Iε =
dx +
dx
x
x
−∞
ε
et limε→0 existe et est finie et vaut h vp 1/x, ϕi.
Z ∞
Z ε
ϕ(−x)
ϕ(x)
Iε =
dx +
dx
x
x
∞
Zε ∞
ϕ(x) − ϕ(−x)
=
dx
x
ε
or
ϕ(x) − ϕ(−x) = ϕ(0) + xϕ0 (0) + O(x2 ) − ϕ(0) − xϕ0 (0) + O(x2 )
= 2xϕ0 (0)
d’où
ϕ(x) − ϕ(−x)
= 2ϕ0 (0) + O(x) −−−→ 2ϕ0 (0)
x→0
x
Donc Iε est finie dans la limite ε → 0 et
Z
h vp 1/x, ϕi = lim
ε→0
24
|x|>ε
ϕ(x)
dx
x
(2.8)
CHAPITRE 2. DISTRIBUTIONS
a)
Quelques propriétés de la dérivation
Proposition 2.4. La dérivation est continue : si Tn est une suite de distribution
qui tend vers T alors Tn0 tend vers T 0 :
Tn −−−−→ T =⇒ Tn0 −−−−→ T 0
n→∞
n→∞
(2.9)
Démonstration.
Tn −→ T ⇐⇒ ∀ϕ ∈ D
h Tn , ϕi −→ h T, ϕi
et
h Tn0 , ϕi = − h Tn , ϕ0 i −−−−→ − h T, ϕ0 i = h T 0 , ϕi
n→∞
donc
Tn0
0
−→ T .
Exemple 2.10.
n
P
P 0
P
Si
Ti = S alors S 0 =
Ti (Sn =
Ti ).
i
i
i=1
Exemple 2.11 (des sauts).
f est C 1 par morceau discontinue en x0 avec une discontinuité
−
s0 = f (x+
0 − x0 )
Soit {f }0 sa dérivée sur ] − ∞, x0 [ et ]x0 , ∞[. f n’est pas dérivable au sens des
fonctions en x0 , si elle est localement intégrable elle est dérivable au sens des
distributions :
0 Tf , ϕ = − h Tf , ϕ0 i
Z ∞
Z x0
Z ∞
0
0
=−
fϕ = −
fϕ −
f ϕ0
−∞
−∞
x0
Z x0
∞ Z ∞
x0
f 0ϕ
+
f 0 ϕ − f ϕ +
= −f ϕ
−∞
x0
x0
−∞
Z
−
= f 0 ϕ + f (x+
0 ) − f (x0 ) ϕ(x0 )
où le premier membre n’est pas défini en x0
Tf0 , ϕ = h Tf 0 , ϕi + s0 h δx0 , ϕi
avec Tf 0 la distribution régulière qui coïncide avec la dérivée de f p.p.. On
obtient donc
Tf0 = Tf 0 + s0 δx0
(2.10)
qui est la formule des sauts.
Exemple 2.12 (Dérivée de vp 1/x).
On rappelle que
Z
h vp 1/x, ϕi = lim+
ε→0
x>ε
25
ϕ(x) − ϕ(−x)
dx
x
CHAPITRE 2. DISTRIBUTIONS
Alors on a
h (vp 1/x)0 , ϕi = − h vp 1/x, ϕ0 i
Z
ϕ0 (x) − ϕ0 (−x)
dx
= − lim+
ε→0
x
x>ε
∞ Z ∞
ϕ(x) + ϕ(−x)
ϕ(x) + ϕ(−x) +
dx
= − lim+
ε→0
x
x2
ε
Zε ∞
ϕ(ε) + ϕ(−ε)
ϕ(x) + ϕ(−x)
= lim+
dx
+
ε→0
ε
x2
ε
or
lim+ ϕ(ε) + ϕ(−ε) = lim+ ϕ(0) + εϕ0 (0) + o(ε2 ) + ϕ(0) − εϕ0 (0) + o(ε2 )
ε→0
ε→0
= 2ϕ(0) + lim+ o(ε2 )
ε→0
donc
Z
2ϕ(0)
ϕ(x) + ϕ(−x)
h (vp 1/x)0 , ϕi = lim+
−
ε→0
ε
x2
x>ε
= − Pf 1/x2 , ϕ
où Pf 1/x2 est la partie finie de 1/x2 .
Exemple 2.13.
Quelques autres exemples de parties finies :
1.
Z
h Pf 1/ |x| , ϕi =
2.
D
Pf 1/ |x|
3.
D
2.4
5/2
Pf 1/ |x|
3/2
ϕ(x) − ϕ(0)1[−1,1]
|x|
E Z ϕ(x) − ϕ(0)
,ϕ =
3/2
|x|
E Z ϕ(x) − ϕ(0) − xϕ0 (0)
,ϕ =
5/2
|x|
Solutions d’équations au sens des distributions
Théorème 2.2. La solution de l’équation
xT = 0
(2.11)
T = cδ0
(2.12)
dans D0 est
où c est une constante.
26
CHAPITRE 2. DISTRIBUTIONS
Démonstration.
Vérifions que cδ0 est solution de xT = 0 :
h xδ0 , ϕi = h δ0 , xϕi = (xϕ)(0) = 0
=⇒ xδ0 = 0
Montrons que
xT = 0 =⇒ ∃c | T = cδ0
On a
xT = 0 =⇒ ∀ϕ ∈ D
h xT, ϕi = 0 = h T, xϕi
Soit χ ∈ D, alors
χ = χ(0)ϕ0 + xϕ
avec ϕ0 ∈ D, ϕ0 fixée telle que ϕ0 (0) = 1, et ϕ ∈ D.
ϕ(x) =
χ(x) − χ(0)ϕ0 (x)
x
χ et ϕ0 sont à support compact donc ϕ l’est, et au voisinage de 0 :
ϕ(x) =
x(χ0 (0) − χ(0)ϕ00 (x))
x
donc ϕ est C ∞ .
∀χ ∈ D
χ = χ(0)ϕ0 + xϕ
avec ϕ ∈ D, donc
h T, χi = χ(0) h T, ϕ0 i + h T, xϕi
= h δ0 , χi c + h xT, ϕi
| {z }
=0
d’où
T = cδ0
2.5
Distributions périodiques
Soit S 1 le cercle de rayon 1 :
S 1 −→ C
[0, 2π] −→ C
θ 7−→ f (θ)
avec
f (θ + 2π) = f (θ)
Définition 2.6. D(S 1 ) est l’ensemble des fonctions C ∞ sur S 1 .
27
CHAPITRE 2. DISTRIBUTIONS
Si f ∈ D(S 1 ), alors
X
f (θ) =
cn (f ) einθ
(2.13)
n∈Z
avec
1
cn (f ) =
2π
2π
Z
f (θ) e−inθ dθ
(2.14)
0
la convergence étant uniforme :
q
f ∈ C p ⇒ cn (f ) |n| −−−−→ 0
n→∞
∀q < p
(2.15)
Définition 2.7. D0 (S 1 ), l’ensemble des distributions sur S 1 , est l’ensemble des
formes linéaires (continues) sur D(S 1 ) :
T : D(S 1 ) −→ C
ϕ 7−→ h T, ϕi
Notons en = einθ , alors
Z
ϕ(θ) einθ dθ
h en , ϕi =
1
h en , ϕi
2π
cn (ϕ) =
et d’après (2.13) :
*
h T, ϕi =
+
T,
X
cn (ϕ)en
n∈Z
=
X
h T, en i cn (ϕ)
n∈Z
grâce à la continuité de T .
1
Définissons cn (T ) = 2π
h T, en i, alors
h T, ϕi =
X
2πcn (T )cn (ϕ)
(2.16)
n∈Z
D’autre part
DX
E X
cn (T )en , ϕ =
cn (T ) h en , ϕi = h T, ϕi
| {z }
∀ϕ ∈ D(S 1 )
c−n (ϕ)2π
Théorème 2.3.
T =
X
cn (T )en
(2.17)
1
h T, en i
2π
(2.18)
n∈Z
avec
cn (T ) =
28
CHAPITRE 2. DISTRIBUTIONS
Exemple 2.14 (Peigne de Dirac).
On définit le peigne de Dirac par
h P0 , ϕi = ϕ(0)
cn (P0 ) =
(2.19)
1
h P0 , e−n i
2π | {z }
=e−n (0)=1
donc
P0 =
1 X
en
2π
n∈Z
et
1
h T 0 , e−n i
2π
−1 =
T, e0−n
2π
−1
h T, (−in)e−n i
=
2π
in
h T, e−n i
=
2π
cn (T 0 ) =
d’où
cn (T 0 ) = incn (T )
(2.20)
donc
in
2π
(in)p
(p)
cn (P0 ) =
2π
1 X
(p)
P0 =
(in)p cn
2π
cn (P00 ) =
n∈Z
a un sens au sens des distributions.
2.6
Distributions de plusieurs variables
Définition 2.8. D(Rd ) est l’espace des fonctions définies sur Rd , à valeurs
complexes, de classe C ∞ et nulles en dehors d’un ensemble borné.
Proposition 2.5 (Produit tensoriel). On a
j = 1, . . . , d =⇒ ϕ(x1 , . . . , xd ) = ϕ1 (x1 ) · · · ϕd (xd ) ∈ D(Rd )
(2.21)
On écrit ϕ = ϕ1 ⊗· · ·⊗ϕd . On dit que ϕ est le produit tensoriel des fonctions
ϕj ∈ D(R)
ϕj .
Définition 2.9 (Distribution). Une distribution est une forme linéaire sur
D(Rd ). L’ensemble des distributions est D0 (Rd ).
29
CHAPITRE 2. DISTRIBUTIONS
Définition 2.10 (Produit tensoriel de distribution). On définit le produit tensoriel T ⊗ S de deux distributions T, S ∈ D0 (R) par
h T ⊗ S, ϕ1 ⊗ ϕ2 i = h T, ϕ1 i h S, ϕ2 i
∀ϕ1 , ϕ2 ∈ D(R)
(2.22)
Théorème 2.4. Soit ϕ(x, y) ∈ D(R2 ). Alors pour calculer h T ⊗ S, ϕi, on peut
fixer x et faire opérer S sur ϕ(x, ·), on obtient une fonction de x qui appartient
à D(R) et le résultat est obtenu en faisant opérer T sur cette fonction, c’est à
dire
h T (x)S(y), ϕ(x, y)i = h T (x), h S(y), ϕ(x, y)ii = h S(y), h T (x), ϕ(x, y)ii
(2.23)
2.6.1
Exemples de distributions
Définition 2.11 (Distribution régulière). Soit f ∈ L1loc (Rd ), alors
Z
h Tf , ϕi = h f, ϕi =
f ( #»
x )ϕ( #»
x )dd x
(2.24)
Rd
Exemple 2.15.
Soit f = 1/rα avec r2 = x21 + x2d . f est localement intégrable si
Z
1 d
d x<0
α
0 r
Or dd x = rd−1 drdΩ où dΩ est l’élément de surface sur la sphère unité. Ainsi
α − d + 1 < 1 =⇒ α < d
Exemple 2.16 (Distribution de Dirac).
La distribution de Dirac est définie par
#»
h δ #»
a , ϕi = ϕ( a )
(2.25)
avec
δ #»
a = δa1 ⊗ · · · ⊗ δad
#»
et on pose a = (a1 , . . . , ad ).
Pour d = 2 on a par exemple
*
h δa1 ⊗ δa2 , ϕ(x, y)i =
(2.26)
+
δa1 , h δa2 , ϕ(x, y)i
|
{z
}
= ϕ(a1 , a2 )
ϕ(x,a2 )
On définit
∂i ϕ ≡
∂ϕ
∂xi
i = 1, · · · , d
(2.27)
Proposition 2.6 (Dérivation). On a
h ∂i T, ϕi = − h T, ∂i ϕi
Définition 2.12 (Laplacien). Le laplacien est défini par ∆ =
(2.28)
P
∂i ∂i . On a
i
h ∆ T, ϕi = h T, ∆ ϕi
30
(2.29)
CHAPITRE 2. DISTRIBUTIONS
#»
Définition 2.13 (Divergence). On définit la divergence d’un vecteur V par
Z X
d
#»
∂i V i = div V
(2.30)
V i=1
Théorème 2.5 (Stokes).
Z X
d
∂i V i dd x =
Z X
V i=1
S
V i ni dS
(2.31)
i
#»
S est le bord de V, #»
n est normal à la surface et unitaire et V = (V1 , . . . , Vd ) est
un vecteur.
Exemple 2.17.
Pour d = 3, que vaut ∆ 1/r ?
Pour une fonction radiale, on a
∆ f (r) =
1 d2
rf
r dr2
On a ∆ 1/r = 0 avec r 6= 0.
1
∆ ,ϕ
r
1
, ∆ϕ
r
Z
1
=
∆ ϕ d3 x
R3 r
Z
1
= lim+
∆ ϕ d3 x
ε→0
r
r>ε
=
Or
X
f ∆g = f
∂i ∂i g
i
=
X
∂i (f ∂i g) −
X
i
(∂i f )∂i g
i
et de même
g∆f =
X
∂i (f ∂i g) −
X
i
(∂i f )∂i g
i
On a donc
f ∆g − g∆f =
d
X
i=1
∂i (f ∂i g − g∂i f )
|
{z
}
Vi
donc
Z
r>ε
1
∆ϕ −
r
Z
ϕ∆
r>ε
1
=
r
Z
X
r>ε
Z
∂i Vi
i
V i dSi
=
S(ε)
Z
=
r=ε
31
1
1
(−∂r ϕ) + ϕ∂r
4πr2 dr
r
r
CHAPITRE 2. DISTRIBUTIONS
alors
#»
h ∆ 1/r, ϕi = −4πϕ( 0 )
Théorème 2.6. On a, pour d = 3 :
h ∆ 1/r, ϕi = h −4πδ #»
0 , ϕi
(2.32)
Exemple 2.18.
On a aussi :
– d≥3:
∆
1
= αd δ #»
0
rd−2
(2.33)
– d=2:
∆ ln x = αδ #»
0
(2.34)
Définition 2.14 (Support d’une fonction). Le support d’une fonction continue
sur Rd est par définition le complémentaire du plus grand ouvert sur lequel la
fonction est nulle. Il s’agit donc d’un ensemble fermé. Le support de f contient
les points x avec f (x) 6= 0 et aussi la limite de suite de tels points.
Proposition
2.7. Si les supports de f et g sont disjoints alors f g = 0 et
R
f g = 0.
Définition 2.15 (Support d’une distribution). Soit T ∈ D0 (Rd ), on dit que
T est nulle sur un ouvert G si pour tout ϕ ∈ D(Rd ) à support dans G alors
h T, ϕi = 0.
Proposition 2.8. Il existe un plus grand ouvert où T est nulle. Son complémentaire est, par définition, le support de T .
Exemple 2.19.
#»
Le support de δ #»
0 .
0 est
2.6.2
Extension du symbole h T, ϕi
En général h T, 1i n’a pas de sens. Cependant, pour certaines distributions,
ce symbole peut être défini : si pour toute fonction de (Rd ) avec ϕ(0) = 1,
lim h T, ϕ(εx)i existe et est indépendante de ϕ, on appelle cette limite h T, 1i.
ε→0
Exemple 2.20.
#»
δ #»
0 = ϕ(0) = 1 = h δ 0 , 1i
2.6.3
Produit de convolution
Définition 2.16 (Produit de convolution). Soient f, g ∈ L1loc , alors
Z
f ∗ g(x) =
f (x − y)g(y)dy
R
32
(2.35)
CHAPITRE 2. DISTRIBUTIONS
Pour une distribution, on aura
Z
h f ∗ g, ϕi = (f ∗ g)(x)ϕ(x)dx
ZR
= f (x − y)g(y)ϕ(x)dxdy
en posant x = u + y
Z
f (u)g(y)ϕ(u + y)dudy
=
R2
= h f (x)ϕ(y), ϕ(x + y)i
où f (x)g(y) est le produit tensoriel de f et g et où ϕ(x + y) est une fonction de
D(R2 ).
Définition 2.17 (Convolution de deux distributions). Soient T, S ∈ D0 (R). Si
h T (x)S(y), ϕ(x + y)i existe pour tout ϕ ∈ D(R), alors T ∗ S existe et
h T ∗ S, ϕi = h T (x)S(y), ϕ(x + y)i
(2.36)
Théorème 2.7. Si le support de S ou de T est borné alors S ∗ T existe.
Démonstration.
S a un support borné.
+
*
h T (x)S(y), ϕ(x + y)i =
T (x), h S(y), ϕ(x + y)i
|
{z
}
ψ(x)
Soient [A, B] le support de ϕ et [C, D] le support de S. Si A − x > D ou
B − x < C, ψ est nulle. Donc le support de ψ est [A − D, B − C].
1.
h δ0 ∗ T, ϕi = h δ(x)T (y), ϕ(x + y)i
= h T (y), h δ(x), ϕ(x + y)ii
= h T, ϕi
donc
δ0 ∗ T = T
(2.37)
Ainsi, δ0 est élément neutre pour la convolution.
2.
h δa ∗ T, ϕi = h δa (x)T (y), ϕ(x + y)i
= h T (y), ϕ(a + y)i
= h τa T, ϕi
donc
δa ∗ T = τa T
33
(2.38)
CHAPITRE 2. DISTRIBUTIONS
3.
h δ00 ∗ T, ϕi = h δ00 (x)T (y), ϕ(x + y)i
*
+
T (y), h δ00 , ϕ(x + y)i
|
{z
}
=
−ϕ0 (y)
0
= − h T, ϕ i = h T 0 , ϕi
donc
δ00 ∗ T = T 0
(2.39)
On a de plus
(T ∗ S)0 = T 0 ∗ S = T ∗ S 0
(2.40)
Démonstration.
h (T ∗ S)0 , ϕi = − h T ∗ S, ϕ0 i
= − h T (x)S(y), ϕ0 (x + y)i
*
+
0
=−
T (x), h S(y), ϕ (x + y)i
{z
}
|
−h S 0 (y), ϕ(x+y)i
= h T ∗ S 0 , ϕi
On a aussi (T ∗ S)00 = T 00 ∗ S.
Exemple 2.21.
δ0 ∗ T = T
0
=⇒ (δ0 ∗ T ) = T 0
δ00 ∗ T = δ0 ∗ T 0
Exemple 2.22.
H ∗ H n’existe pas :
h H ∗ H, ϕi = h H(x)H(y), ϕ(x + y)i
Z ∞
= H(x),
ϕ(x + y)dy
0
*
+
Z
∞
=
H(x),
x
|
ϕ(u)du
{z
}
∈D
/
Proposition 2.9. Soit D un opérateur différentiel tel que
DT =
N
X
an T (n)
(2.41)
n=0
alors
D(T ∗ S) = (DT ) ∗ S
34
(2.42)
CHAPITRE 2. DISTRIBUTIONS
Exemple 2.23 (Équation de Poisson).
L’équation de Poisson est
∆T = ρ
(2.43)
où ρ est à support compact.
1
= −4πδ #»
0
r
−1
∆
= δ #»
0
4πr
∆
Une solution à (2.43) est
T =ρ∗
−1
4πr
Exemple 2.24.
Pour résoudre DT = ρ, on détermine G tel que DG = δ #»
0 , où G est une
fonction de Green. Alors G ∗ ρ vérifie
D(G ∗ ρ) = DG ∗ ρ = δ #»
0 ∗ρ=ρ
35
CHAPITRE 2. DISTRIBUTIONS
36
Chapitre 3
Transformées de Fourier et
distributions tempérées
3.1
Transformée de Fourier d’une distribution
Soit Tf une distribution régulière associée à une fonction f ∈ L1 , et soit
φ ∈ D(R). Alors
E Z
D
(3.1)
Tfˆ, φ = fˆφ
fˆ est localement intégrable car f ∈ L1 . Le théorème de Plancherel–Parseval 1.4
permet d’écrire que
D
E D
E
Tfˆ, φ = Tf , φ̂
(3.2)
On est tenté de définir la transformée de Fourier F T de T par
h F T, φi = h T, F φi
or pour que cette définition ait un sens, il faut que F φ ∈ D, mais φ ∈
/ D ⇒
FT ∈ D :
Z B
φ̂(k) =
φ(x) e−ikx dx
A
et supp φ = [A, B]. Posons k = k1 + ik2 , avec k1 , k2 ∈ R, alors la fonction
1
g(z) = √
2π
Z
B
φ(x) e−izx dx
A
comme fonction de z complexe est analytique : elle admet un développement en
série de Taylor au voisinage de tout point, donc g ne peut pas être à support
compact. Or une fonction de D n’admet pas de développement de Taylor aux
bornes de son support (car toutes ses dérivées s’annulent). Donc φ̂ n’est pas
dans D.
L’ensemble des fonctions test doit être stable par transformation de Fourier.
L’espace S (définition 1.6, page 16) est stable par transformation de Fourier.
Ceci nous amène à la définition des distributions tempérées.
37
CHAPITRE 3. TRANSFORMÉES DE FOURIER ET DISTRIBUTIONS TEMPÉRÉES
Définition 3.1 (Distribution tempérée). Une distribution T : S → C est dite
tempérée.
On note S 0 l’ensemble des distributions tempérées : il s’agit de l’ensemble
des formes linéaires sur S.
Exemple 3.1 (Distribution de Dirac).
On a
h δa , φi = φ(a)
donc δa ∈ S 0 .
Si f est localement intégrable, Tf n’est pas toujours dans S 0 .
Exemple 3.2.
2
2
Par exemple, ex ∈ D est localement intégrable, et e−x /2 ∈ S, alors
Z
2
2
ex e−x /2 = ∞
Donc l’inclusion S 0 ⊂ D0 est stricte :
D ⊂ S =⇒ S 0 ⊂ D0
(3.3)
Si f est localement intégrable et f = O∞ (xn ), alors Tf ∈ S 0 .
Exemple 3.3 (Valeur principale).
Z
lim
ε→0
|x|>ε
φ(x)
dx < ∞
x
0
si φ ∈ S, donc vp 1/x ∈ S .
Définition 3.2 (Transformée de Fourier de distributions tempérées). Si T ∈ S 0 ,
alors F T est définie par
h F T, φi = h T, F φi
∀φ ∈ S
(3.4)
De même, F T est définie par
F T, φ = T, F φ
∀φ ∈ S
(3.5)
La définition a un sens car φ ∈ S ⇒ F φ ∈ S.
Théorème 3.1 (Inversion). Soit T ∈ S 0 , alors on a
FFT = T
Démonstration.
Soit φ ∈ S, alors
F F T, φ = F T, F φ
= T, F F φ
= h T, φi
38
(3.6)
CHAPITRE 3. TRANSFORMÉES DE FOURIER ET DISTRIBUTIONS TEMPÉRÉES
Exemple 3.4.
h F δ0 , φi = h δ0 , F φi
1
= F φ(0) = √
2π
1
= √ ,φ
2π
donc
Z
φ(x)dx
1
F δ0 = √
2π
(3.7)
Exemple 3.5.
h F δa , φi = h δa , F φi
Z
1
=√
φ(x) e−iax dx
2π
−iax e
√ ,φ
=
2π
donc
e−iax
F δa = √
2π
(3.8)
Exemple 3.6.
Soit T = c constante dans S 0 , alors
h F c, φi = h c, F φi
Z
√
dk
= 2πc φ̂ √
2π
√
= c 2πφ(0)
E
D √
= c 2πδ0 , φ
donc
√
F c = c 2πδ0
(3.9)
Proposition 3.1. Soit T ∈ S 0 , alors on a les propriétés suivantes :
F τa T (k) = e−iak F T (k)
F eiax T (x) = τa F T (k)
F xT (x) (k) = i(F T )0 (k)
F T 0 (x) (k) = ik F T (k)
et si Tn −−−−→ T ∈ S 0 , alors F Tn −−−−→ F T .
n→∞
n→∞
Démonstration.
39
(3.10a)
(3.10b)
(3.10c)
(3.10d)
CHAPITRE 3. TRANSFORMÉES DE FOURIER ET DISTRIBUTIONS TEMPÉRÉES
1. On a
h τa T, φi = h T, τ−a φi
et donc
h F τa T, φi = h τa T, F φi
D
E
= h T, τ−a F φi = T, F e−iax φ
= F T, e−iax φ = e−iax F T, ϕ
2.
F eiax T, φ = eiax T, F φ
= T, eiax F φ = h T, F τ−a φi
= h F T, τ−a φi = h τa F T, φi
3.
h F(xT ), φi = h xT, F φi
= h T, x F φi = h T, F(−iφ0 )i
= h F T, −iφ0 i = i h (F T )0 , φi
4.
h F T 0 , φi = h T 0 , F φi
= − h T, (F φ)0 i = − h T, F(−ixφ)i
= i h T, F xφi = i h F T, xφi
= i h x F T, φi
5.
h F Tn , φi = h Tn , F φi
−−−−→ h T, F φi
n→∞
= h F T, φi
Si Tn sont régulières et associées à une fonction de L1 , on peut calculer sa
transformée.
Exemple 3.7 (Onde plane).
Soit T = (2π)−1/2 et F T = δ0 , alors
iax e
= τa δ0 = δa
F √
2π
Exemple 3.8.
On a
F
x
√
2π
= iδ00
F
40
xn
√
2π
(n)
= in δ0
CHAPITRE 3. TRANSFORMÉES DE FOURIER ET DISTRIBUTIONS TEMPÉRÉES
Exemple 3.9 (Fonction de Heaviside).
H∈
/ S. On a H e−εx ∈ L1 et H e−εx −−−→ H dans S 0 .
ε→0
Z ∞
1
−εx
(k) = √
e−ixk e−εx dx
F He
2π 0
1
1
=√
2π ε + ik
donc
1
1
F H = lim √
ε→0
2π ε + ik
−i
1
=√
vp + iπδ0
k
2π
car
1
1
= vp − iπδ0
ε→0 x + iε
x
lim
Exemple 3.10 (Valeur principale).
On a x vp 1/x = 1, et vp 1/x est impaire.
√
F x vp 1/x) = F 1 = 2πδ
√
√
i(F vp 1/x)0 = 2πδ = 2πH 0
donc
√
F vp 1/x = −i 2πH + c
et comme F vp 1/x est impaire, on a
√
1
1
F vp = −i 2π H −
x
2
(3.11)
avec H − 1/2 = ε(k)/2 où ε est la fonction signe.
Exemple 3.11 (Partie finie).
On a
1
vp
x
0
= − Pf
1
x2
et
1
F Pf 2 = − F
x
1
vp
x
0 !
1
= −ik F vp
x
√
= − 2πkε(k)
donc
√
1
=
−
2π |k|
x2
et par le théorème d’inversion, on obtient
F Pf
−1
1
F(|x|)(k) = √ Pf 2
x
2π
41
(3.12)
(3.13)
CHAPITRE 3. TRANSFORMÉES DE FOURIER ET DISTRIBUTIONS TEMPÉRÉES
Exemple 3.12 (Logarithme).
ln |x| ∈ S 0 et (ln |x|)0 = vp 1/x donc
F (ln |x|)0 (k) = −ik F ln |x|
= F vp
r
1
π
= −i
ε(k)
x
2
On a
Pf
1
,φ
|k|
Z
= lim
ε→0
|k|>ε
φ(k)
dk − 2φ(0) ln ε
|k|
donc
k Pf
1
= ε(k)
|k|
et en reprenant le calcul précédent
r
k F ln |x| =
π
1
k Pf
2
|k|
ce qui nous ramène à l’équation
r
k F ln x −
π
1
Pf
2
k
=0
donc
r
F ln |x| =
1
π
Pf
+ cδ0
2
|k|
(3.14)
Il faut encore trouver la constante.
3.2
Transformée de Fourier et produit de convolution
En général, si S, T ∈ S 0 , S ∗ T n’existe pas (par exemple H ∗ H ∈
/ S 0 ).
Théorème 3.2. Si S ∈ S 0 et T à support borné, alors S ∗ T ∈ S 0 .
Démonstration.
Soit φ ∈ S, alors
h S ∗ T, φi = h Sx Ty , φ(x + y)i
= h Sx , h Ty , φ(x + y)ii
h Ty , φ(x + y)i est à support borné donc dans φ.
Lemme 3.1. Si T est à support borné, alors
1 1 −ikx
(F T )(k) = √
Tx , e−ikx = √
e
Tx , 1
2π
2π
42
(3.15)
CHAPITRE 3. TRANSFORMÉES DE FOURIER ET DISTRIBUTIONS TEMPÉRÉES
Démonstration.
On a
1 g(k) = √
Tx , e−ikx
2π
et soit φ ∈ S, alors
Z
1
dk Tx , e−ikx φ(k)
h g, φi = √
2π
Z
1
dk Tx , φ(k) e−ikx
=√
2π
Z
1
−ikx
= Tx , √
dk φ(k) e
2π
= h T, F φi = h F T, φi
donc
g = FT
Exemple 3.13.
1 1
F δa = √
δa , e−ikx = √ e−ika
2π
2π
Lemme 3.2. Soit S ∈ S 0 , alors
1 Sx , e−ikx
(F S)(k) = √
2π
(3.16)
Démonstration.
Soit ψ ∈ D avec ψ(0) = 1, et soit Sε = ψ(xε)S à support borné. On a
lim Sε = S. Alors
ε→0
F S = lim F Sε
ε→0
1
= √ lim Sε , e−ikx
ε→0
2π
par le lemme 3.1
1
= √ lim ψ(εx)S, e−ikx
ε→0
2π
1
= √ lim S, ψ(εx) e−ikx
2π ε→0
1
= √ lim S, e−ikx
ε→0
2π
Théorème 3.3. Soit S ∈ S 0 et T à support borné, alors
√
F(S ∗ T ) = 2π F(S) F(T )
43
(3.17)
CHAPITRE 3. TRANSFORMÉES DE FOURIER ET DISTRIBUTIONS TEMPÉRÉES
Démonstration.
F(S ∗ T )(k) = S ∗ T, e−ikx
E
1 D
Sx Ty , e−ik(x+y)
=√
2π
1 =√
Sx , Ty , e−ikx e−iky
2π
E
√
1 D
Sx , 2π F T (k) e−ikx
=√
2π
= Sx , e−ikx F T (k)
√
= 2π F S(k) F T (k)
3.3
3.3.1
Applications
Équations différentielles
Soit D un opérateur différentiel d’ordre N , c’est à dire que D s’écrit comme
D=
N
X
an
n=0
dn
dxn
(3.18)
Rappelons que
D(S ∗ T ) = (DS) ∗ T = S ∗ (DT )
(3.19)
Définition 3.3 (Fonction de Green). Une fonction de Green associée à l’opérateur D est une solution de
DG = δ0
(3.20)
Remarque : La fonction de Green n’est généralement pas unique.
Théorème 3.4. Une solution à l’équation DT = F où F est à support borné
est donnée par
T =G∗F
(3.21)
Démonstration.
D(G ∗ T ) = DG ∗ T = δ0 ∗ T = T
Théorème 3.5. La transformée de Fourier de G est solution de
!
N
X
1
n
an (ik)
(F G)(k) = √
2π
n=0
44
(3.22)
CHAPITRE 3. TRANSFORMÉES DE FOURIER ET DISTRIBUTIONS TEMPÉRÉES
Démonstration.
On a DG = δ0 et
N
X
F
!
1
= F δ0 = √
2π
(n)
an G
n=1
et
F G(n) = (ik)n (F G)
Exemple 3.14.
Soit
d
dx
D=
On a
1
ik F G = √
2π
1
−i
F G = √ vp + cδ0
k
2π
Exemple 3.15.
Soit
D=
d2
− a2
dx2
avec a 6= 0. On a
1
(−k 2 − a2 ) F G = √
2π
−1
1
FG = √
∈ L1
2π k 2 + a2
donc
dk
−1
1
√
√
eikx
2π
2π k 2 + a2
−1
e−ax
=
(2πi)
2π
2ia
1 −a|x|
=− e
2a
Z
G(x) =
car G(x) = G(−x), et on a intégré dans le plan complexe sur le cercle de rayon
R.
N
X
!
an (ik)
n
n=0
|
{z
PN (k)
1
FG = √
2π
}
où PN (k) est un polynôme de degré N dans C : il admet donc N racines complexes, c’est à dire
N
Y
PN (k) = aN
(k − ki )
(3.23)
i=1
45
CHAPITRE 3. TRANSFORMÉES DE FOURIER ET DISTRIBUTIONS TEMPÉRÉES
Si pour tout i on a Jm (ki ) 6= 0, alors k − ki ne s’annule pas. Dans ce cas
F G(k) =
1
1
√
PN (k) 2π
(3.24)
Exemple 3.16 (Oscillateur harmonique).
On étudie l’oscillateur harmonique amorti couplé à une force extérieure :
ü(t) + 2γ u̇(t) + ω02 u(t) = f (t)
que l’on récrit
Du = f
avec
D=
d
d2
+ 2γ + ω02
dt2
dt
alors
P2 (k) = −k 2 + 2iγk + ω02
= −(k − iγ)2 − γ 2 + ω02
= −(k − k+ )(k − k− )
avec
k± = iγ ±
q
ω02 − γ 2
et γ 6= 0 ⇒ =(k± ) 6= 0.
G est solution et
−1
1
(F G)(k) = √
(k
−
k
)(k
− k+ )
2π
−
donc
Z
G(x) =
dk
√
2π
−1
√
2π
eikx
(k − k+ )(k − k− )
ω02 > γ 2 : =(k± ) = iγ > 0. G = 0 si x < 0, sinon
ixk+
−1
e
eixk−
G(x) =
2πi
+
2π
k+ − k−
k− − k+
q
−xγ
e
=p 2
sin
ω02 − γ 2 x H(x)
ω0 − γ 2
La solution particulière est u = G ∗ f :
Z
u(t) =
G(t − τ )g(τ )dτ
ZR
sin ν0 (t − τ )
=
H(t − τ ) e(t−τ )γ
f (τ )dτ
ν0
R
Z t
sin ν0 (t − τ )
=
e(t−τ )γ
f (τ )dτ
ν0
−∞
solution causale car u(t) dépend de t(τ ), τ < t.
Une fonction de Green causale est 0 si t < 0.
46
(3.25)
CHAPITRE 3. TRANSFORMÉES DE FOURIER ET DISTRIBUTIONS TEMPÉRÉES
Remarque : Si γ = 0, on a P (k) = −(k − ω0 )(k + ω0 ). Pour obtenir la solution
causale, il suffit de prendre la limite γ → 0 de la solution précédente, de changer
les pôles : ±ω0 → ±ω0 + iε, alors
1
1
−1
F G = √ lim
2π ε→0 k − (ω0 + iε) k − (−ω0 + iε)
3.3.2
Formule sommatoire de Poisson
Théorème 3.6. Soit φ ∈ S, alors
X
φ(2πn) =
n∈Z
1 X
φ̂(n)
2π
n∈Z
Démonstration.
f (x) =
X
φ(x + 2πn)
n∈Z
f (x + 2π) = f (x)
f ∈ C∞
X
f (x) =
cn einx
n
et
cn =
=
=
=
=
=
1
2π
Z
1
2π
Z
2π
f (x) e−inx dx
0
0
2π
X
φ(x + 2πp) e−inx dx
p∈Z
Z
1 X 2π
φ(x + 2πp) e−inx dx
2π
0
p∈Z
Z 2π(p+1)
X
1
φ(u) ein(u−2πp) du
2π
p∈Z 2πp
Z ∞
1
φ(u) e−inu du
2π −∞
1
√ φ̂(n)
2π
donc
X
φ(x + 2πu) =
n∈Z
1
√ φ̂(u) eiux
2π
n∈Z
X
et on retrouve le théorème en prenant x = 0.
Exemple 3.17 (Gaussienne).
47
(3.26)
CHAPITRE 3. TRANSFORMÉES DE FOURIER ET DISTRIBUTIONS TEMPÉRÉES
On a
x2
φ(x) = e− 2a2
a 2 x2
φ̂(x) = a e− 2
X − (2πn)2
a X − n2 a2
e 2a2 = √
e 2
2π n∈Z
n∈Z
et en posant a =
√
2πτ on a
θ(τ ) =
X
e−πτ
2
n2
n∈Z
τ θ(τ ) = θ
1
τ
Cette dernière relation est appelée propriété de dualité. θ(τ ) est la fonction de
Jacobi.
48
Chapitre 4
Les fonctions spéciales : la
fonction Gamma
4.1
Définition et propriétés
Définition 4.1 (Fonction Gamma). On définit la fonction Gamma par
Z
Γ=
∞
tz−1 e−t dt
(4.1)
0
pour z ∈ C avec <(z) > 0.
Cette définition est due à Euler.
On a
z−1 x+iy−1 t = t
= e(x+iy−1) ln t = e(x−1) ln t = tx−1
et
Z
tx−1 dt < ∞
0
si x > 0. Et de même
Z
∞
tx−1 e−t dt < ∞
∀x
Proposition 4.1. On a les propriétés suivantes :
Γ(z + 1) = zΓ(z)
(4.2)
Γ(n + 1) = n!
(4.3)
Démonstration.
49
CHAPITRE 4. LES FONCTIONS SPÉCIALES : LA FONCTION GAMMA
∞
Z
tz e−t dt
∞ Z
z −t = t| {z
e } +
Γ(z + 1) =
0
0
=0
∞
ztz−1 e−t dt
0
= zΓ(z)
On a
∞
Z
e−t dt = 1
Γ(1) =
0
Théorème 4.1. Γ(z) est dérivable pour <(z) > 0 et
Z ∞
dΓ
ln t tz−1 e−t dt
(z) =
dz
0
(4.4)
Démonstration.
tz−1 e−t = e(z−1) ln t e−t
est dérivable et a pour dérivée
ln t e(z−1) ln t e−t = ln t tz−1 e−t = f (t, z)
R∞
Montrons que |f (t, z)| ≤ h(t), avec 0 h ≤ ∞.
– <(z) > 0.
– a < <(z) < A, avec a, A > 0.
– Pour 0 < t < 1 :
|f (t, z)| = |ln t| tx−1 e−t
≤ |ln t| ta−1 e−t
– Pour 1 < t < ∞ :
|f (t, z)| ≤ ln t tA−1 e−t
On a bien
R
h < ∞. Donc Γ(z) est dérivable.
Exemple 4.1 (Prolongement analytique).
f (z) =
∞
X
zn
|z| < 1
n=0
alors
1
|z| < 1
1−z
est un prolongement analytique de f définie dans C − {1}. En 1 se trouve un
pôle simple.
f (z) =
Théorème 4.2. La fonction Γ admet un prolongement analytique dans C − Z.
Ce prolongement admet des pôles simples en z = −n, avec n ∈ N avec
Res(Γ, −n) =
50
(−1)n
n!
(4.5)
CHAPITRE 4. LES FONCTIONS SPÉCIALES : LA FONCTION GAMMA
Démonstration.
On utilise la formule (4.2). Soit
f1 (z) =
Γ(z + 1)
z
alors f1 (z) est analytique pour <(z + 1) > 0 et <(z) > −1 avec un pôle simple
en z = 0 avec résidu Γ(1) = 1.
De même
Γ(z + 2)
f2 (z) =
z(z + 1)
est analytique pour <(z + 2) > 0 et coïncide avec Γ pour <(z) et admet un pôle
simple en z = −1 avec résidu −1.
Finalement, soit
fn (z) =
Γ(z + n)
z(z + 1) · · · (z + n − 1)
qui admet comme pôle simple z = −(n − 1) avec le résidu
Γ(1)
1
(−1)n−1
=
=
−(n − 1)(−n + 2) · · · 1
(−1)n−1 (n − 1) · · · 1
(n − 1)!
Lemme 4.1. Soit

n

 1− t
n
fn (t) =

0
0≤t≤n
(4.6)
t>n
alors
fn (t) ≤ e−t
(4.7)
Démonstration.
e−x = 1 − x +
x20
2
avec 0 < x0 < x donc e−x ≥ 1 − x et
t
e−t/n ≥ 1 −
n n
t
−t
e ≥ 1−
n
Théorème 4.3 (Gauss).
nz n!
n→∞ z(z + 1) · · · (z + n)
Γ(z) = lim
51
(4.8)
CHAPITRE 4. LES FONCTIONS SPÉCIALES : LA FONCTION GAMMA
Démonstration.
t
lim fn (t) = lim exp n ln 1 −
n→∞
n→∞
n
2 t
t
= lim exp n − + O
n→∞
n
n2
= e−t
Considérons
Z
∞
fn (t)t
| {z
0
z−1
I(n,z)
∞
Z
e−t tz−1 dt
dt −−−−→
n→∞
}
0
d’après le théorème de convergence dominée |fn (t)| ≤ e−t et
Z
e−t tz−1 dt < ∞
pour <(z) > 0.
En utilisant le chagement de variable t = nu, on a aussi
Z 1
I(z, n) = n2
(1 − u)n uz−1 du
{z
}
0 |
J(z,n)
que l’on intègre par récurrence et
J(n, z) =
n!
J(0, z + n)
z · · · (z + n − 1)
avec
J(0, z + n) =
1
z+n
Théorème 4.4 (Weierstrass). On a
∞ Y
1
z −z/n
= z eγz
1+
e
Γ(z)
n
n=1
(4.9)
où γ, la constante d’Euler, est définie par
γ = lim
n→∞
n
X
1
− ln(n + 1)
k
!
(4.10)
k=1
Corrolaire 4.1.
ψ(z) =
et
∞ X
Γ0 (z)
1
1
= −γ +
−
Γ(z)
n+1 z+n
n=0
∞ X
n=0
1
1
−
n+1 z+n
(4.11)
<∞
Corrolaire 4.2. On a
ψ(1) = Γ0 (1) = −γ
52
(4.12)
CHAPITRE 4. LES FONCTIONS SPÉCIALES : LA FONCTION GAMMA
4.2
Applications
Soit Ωn la surface de la sphère unité dans Rn+1 :
x21 + · · · + x2n+1 = 1
alors
Ωn = 2
π
Γ
53
(4.13)
n+1
2
n+1
2
(4.14)
CHAPITRE 4. LES FONCTIONS SPÉCIALES : LA FONCTION GAMMA
54
Chapitre 5
Polynômes orthogonaux
5.1
Produit scalaire
Soit X l’ensemble des polynômes de degré n définis sur [a, b] :
– a et b sont finis, et par une translation et et une dilatation on se ramène
à [−1, 1] ;
– [0, ∞[ ;
– ] − ∞, ∞[.
X est un espace vectoriel dont (xk )0≤k≤n est une base. On munit X d’un
produit scalaire :
b
Z
hf |gi =
dx ω(x)f (x)g(x)
f, g ∈ X
(5.1)
a
où ω est une fonction de poids qui est positive et on a
Z
b
ωp < ∞
∀p ∈ X
(5.2)
a
On définit la norme kf k de f par
2
kf k = h f | f i
55
(5.3)
CHAPITRE 5. POLYNÔMES ORTHOGONAUX
5.2
Orthogonalisation de Gram–Schmidt
Soit (fi )1≤i≤n une base d’un espace vectoriel V et (ei )1≤i≤n une base orthonormée. On a
f1
h e1 | e1 i = 1
kf1 k
f2 − h f2 | e1 i e1
e2 =
h e1 | e2 i = 0
kf2 − h f2 | e1 i e1 k
i+1
P
h fi | ei−k i ei−k
fi −
k=1
h ei | ej i = δij
ei =
i+1
P
fi −
h
f
|
e
i
e
i
i−k
i−k
e1 =
(5.4a)
(5.4b)
(5.4c)
k=1
fi =
i
X
βij ej
(5.4d)
j=1
h fi | ek i = 0 ∀k > i
(5.4e)
Exemple 5.1 (Polynômes de Legendre).
On prend [a, b] = [−1, 1] et V = X. On a (fi )1≤i≤n+1 = (xk )0≤k≤n . On
prend ω = 1, donc le produit scalaire est
Z 1
hf |gi =
f (x)g(x)dx
(5.5)
1
Une base orthonormée de X est donc (φi ) donc
1
φ0 (x) = √
2
φ1 (x) = 2x
√
5
φ2 (x) =
(3x2 − 1)
3
ce qui donne comme formule générale
k
φn x = 0
r
φn (x) =
x>k
(5.6a)
2
Pn (x)
2n + 1
(5.6b)
où Pn (x) sont les polynômes de Legendre.
Théorème 5.1. φn admet n racines réelles.
Démonstration.
Supposons que φn admette k racines réelles k < n, notées xi , alors
φn (x) =
k
Y
(x − xi ) = p
i=1
est un polynôme ne changeant pas de signe, donc
Z b
ωp > 0
a
56
CHAPITRE 5. POLYNÔMES ORTHOGONAUX
ou
b
Z
ωp < 0
a
Il s’agit d’une contradiction avec (5.6a) et donc k = n.
Théorème 5.2. On a la relation de récurrence
φn+1 = (An x + Bn )φn + Cn φn−1 =
β
−α
+
1−x 1+x
(5.7)
avec
kn + 1
kn
où kn est le coefficient du k-ième ordre.
An =
(5.8)
Démonstration.
xφn est un polynôme de degré n + 1 alors
xφn =
n+1
X
αi φi
i=0
et
h φk | xφn i = h xφk | φn i = αk
et αk = 0 si k < n − 1 et
xφn = αn+1 φn+1 + αn φn + αn−1 φn−1
5.3
L’espace de Hilbert
Définition 5.1. L2 (ω) est l’ensemble des fonctions telles que
Z b
ωf 2 < ∞
(5.9)
a
Théorème 5.3. L2 (ω) muni du produit scalaire est un espace de Hilbert.
Théorème 5.4. Pour tout f ∈ L2 (ω) on a
f=
∞
X
αn φn ∈ L2 (ω)
(5.10)
n=0
avec αn = h f | φn i.
On se place désormais dans le cas où [a, b] = [−1, 1].
Théorème 5.5. Les fonctions (formule de Rodrigue)
fn (x) =
dn
1
ω(x)(1 − x2 )n
n
ω(x) dx
vérifient
xk | fn =
Z
(5.11)
1
ω(x)xk fn (x)dx = 0
−1
57
(5.12)
CHAPITRE 5. POLYNÔMES ORTHOGONAUX
En général les fn ne sont pas des polynômes. Par exemple, f1 est un polynôme
de degré 1 si
0
1
ω(1 − x2 )
ω
ω0
= (1 − x2 ) − 2x
ω
= ax + b
f1 (x) =
ce qui donne une équation différentielle à résoudre pour ω :
−α
(a + 2)x + b
β
ω0
=
=
+
ω
1 − x2
1−x 1+x
(5.13)
ω = (1 − x)α (1 + x)β
α, β ∈ R
(5.14)
ω = (1 − x)α (1 + x)β
α, β ∈ R
(5.15)
ce qui donne
Théorème 5.6. Pour
les fn sont des polynômes de degré n.
Par convention on définit les polynômes de Jacobi par
Pn(α,β) (x) =
n
(−1)n
−α
−β d
(1
−
x)
(1
+
x)
(1 − x)α (1 + x)β (1 − x2 )n (5.16)
n
n
2 n!
dx
– α = β = 0 : polynômes de Legendre.
– α = β = −1/2 : polynômes de Tchebicheff :
Tn (x) = (−1)n
2n p
dn
1 − x2 n (1 − x2 )n−1/2
(2n)!
dx
(5.17)
Il vérifient la propriété
Tn (cos θ) = An cos(nθ)
(5.18)
1 dn
(ωxn )
ω dxn
(5.19)
Théorème 5.7. Les fonctions
fn =
vérifient
fn xk = 0
k<n
(5.20)
Pour que f1 soit un polynôme de degré 1, on a l’équation
ω0
b̃
=a+
ω
x
donc
ω = c̃ eax xb̃
et ω −−−−→ 0 donc a < 0 et par une dilatation on se ramène à
x→∞
ω = e−x xα
58
α∈R
(5.21)
CHAPITRE 5. POLYNÔMES ORTHOGONAUX
On définit les polynômes de Laguerre par
Lα
n (x) =
1 −α x dn −x α+n
(e x
x e
)
n!
dxn
(5.22)
On choisit l’intervalle [a, b] =] − ∞, ∞[ et
fn =
1 dn
ω
ω dxn
(5.23)
avec fn xk = 0 si k < n donc
ω0
= ax + b
ω
d’où
2
ω = eαx
/2+bx
(5.24)
et on se ramène, par dilatation et translation, à
ω = e−x
2
(5.25)
On définit les polynômes de Hermite par
Hn (x) = (−1)n ex
59
2
dn −x2
e
dxn
(5.26)
CHAPITRE 5. POLYNÔMES ORTHOGONAUX
60
Table des matières
1 Transformée de Fourier
1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Théorème de Plancherel–Parseval . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Un exemple : la gaussienne . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Théorème d’inversion de Fourier . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Transformées de Fourier d’une fonction à plusieurs variables
1.6.1 Autres propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Convolution dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Application : le théorème de la limite centrale . . . . . . . .
1.8.1 Une variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.2 Deux variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9 Espace de Schwartz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1
1
1
4
5
6
9
10
12
13
13
14
16
2 Distributions
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Les espaces D(R) et D’(R) . . . . . . . . . . . .
2.3 Opérations sur les distributions . . . . . . . . .
2.3.1 Multiplication par une fonction . . . . .
2.3.2 Translatée d’une distribution . . . . . .
2.3.3 Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Solutions d’équations au sens des distributions
2.5 Distributions périodiques . . . . . . . . . . . .
2.6 Distributions de plusieurs variables . . . . . . .
2.6.1 Exemples de distributions . . . . . . . .
2.6.2 Extension du symbole de forme linéaire
2.6.3 Produit de convolution . . . . . . . . . .
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19
19
19
22
22
22
23
26
27
29
30
32
32
3 Transformées de Fourier et distributions tempérées
3.1 Transformée de Fourier d’une distribution . . . . . . .
3.2 Transformée de Fourier et produit de convolution . . .
3.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Équations différentielles . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Formule sommatoire de Poisson . . . . . . . . .
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37
37
42
44
44
47
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4 Les fonctions spéciales : la fonction Gamma
49
4.1 Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
61
TABLE DES MATIÈRES
5 Polynômes orthogonaux
55
5.1 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.2 Orthogonalisation de Gram–Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.3 L’espace de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Table des matières
61
62