Mathématiques avancées pour physiciens II (L3)

Mathématiques avancées pour physiciens II — L3
Harold Erbin

Notes de cours de Magistère L3 donné par M. Mourad.
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Version : 8 mai 2010
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Sommaire
1 Transformée de Fourier 1
2 Distributions 19
3 Transformées de Fourier et distributions tempérées 37
4 Les fonctions spéciales : la fonction Gamma 49
5 Polynômes orthogonaux 55
Table des matières 61
iii

SOMMAIRE
iv

Chapitre 1
Transformée de Fourier
1.1 Définitions
Définition 1.1. Soit fune fonction, on a f∈L1si
Z|f|<∞(1.1)
Définition 1.2 (Transformée de Fourier).On note ˆ fou F(f)la transformée
de Fourier de fdéfinie par
ˆ
f(k) = 1
√2πZf(x) e−ikxdx= F(f)(k)(1.2)
Définition 1.3 (Cotransformée de Fourier).On définit F(f)la cotransformée
de Fourier de fpar
f(x) = 1
√2πZˆ
f(k) eikxdk= F(f)(x)(1.3)
Proposition 1.1. On a
F(f)(k) = F(f)(−k)(1.4)
Sous certaines conditions F F(f) = f.
1.2 Propriétés
Proposition 1.2. On a les propriétés suivantes :
1. ˆ fest continue.
2. si xnf∈L1, alors ˆ fest Cnet
ˆ
f(n)(k)=F(−ix)nf(1.5)
Remarques :
1. Plus fdécroit à l’infini, plus ˆ fest dérivable.
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