INITIATION À L``ARITHMÉTIQUE ET À L``ALGÈBRE

INITIATION À L’’ARITHMÉTIQUE ET À L’’ALGÈBRE
Les règles du calcul littéral prennent appui sur celles du calcul élémentaire avec les nombres naturels.
Il nous semble donc illusoire qu’’un élève puisse espérer s’’approprier le langage algébrique, s’’il n’’est
pas suffisamment familiarisé avec l’’usage des propriétés des opérations de base sur les naturels.
L’’objectif de ce recueil est de permettre aux élèves de :
- développer une aisance en calcul réfléchi, en élaborant des stratégies de calcul variées,
- donner du sens aux propriétés des opérations en les interprétant géométriquement,
- créer un environnement mental favorable à l’’appropriation de l’’algèbre.
Pour les enseignants l’’objectif est de proposer un fil conducteur à travers l’’enseignement de
l’’arithmétique avec en arrière fond la préoccupation de permettre aux élèves de développer
progressivement des outils algébriques nécessaires à la résolution de questions arithmétiques.
Ce n’’est qu’’à l’’usage, en récoltant les remarques des différents utilisateurs que nous pourrons estimer
la distance qui nous sépare des buts que nous souhaitions atteindre.
Exercices d’’arithmétique 7e année
Exercice 1.
Place des parenthèses afin de faciliter au maximum le calcul, puis effectue les sommes :
Exemple : 67 + 78 + 12 = 67 + (78 + 12) = 67 + 90 = 157
1) 23 + 45 + 55
2) 32 + 68 + 56
3) 123 + 145 + 155
4) 87 + 123 + 321
5) 525 + 650 + 350
6) 435 + 345 + 354
7) 170 + 400 + 1600
8) 101 + 109 + 191
9) 23 + 120 + 69 + 11
Justification. Mesurer la longueur totale de trois rubans rouge, bleu et jaune peut être effectué soit
en mesurant la somme des longueurs rouge et bleu, puis en y ajoutant la jaune, ou bien en ajoutant à
la rouge, la somme des longueurs bleu et rouge. Le résultat reste inchangé.
Illustration.
Étant donné trois rubans : le rouge de longueur a,
le bleu de longueur b et
le jaune de longueur c
Alors
( a
+
b )
+
c
=
a
+
( b
+
c )
Une opération qui vérifie cette propriété s’’appelle associative.
Attention, la soustraction n’’est pas une opération associative. Exemple : (9 –– 5) –– 3  9 –– (5 –– 3)
Exercice 2.
Effectue astucieusement les sommes ci-dessous en permutant si nécessaire les termes, comme dans
l’’exemple ci-contre : 56 + 87 + 44 = 56 + 44 + 87 = (56 + 44) + 87 =100 + 87 = 187
1) 34 + 95 + 66
2) 64 + 41 + 59
3) 68 + 83 + 32
4) 38 + 62 + 72
5) 39 + 141 + 87
6) 98 + 82 + 78
7) 69 + 35 + 65
8) 32 + 33 + 145
9) 815 + 95 + 85
10) 94 + 95 + 96
-1-
Justification. Mesurer la longueur totale de deux ficelles, rouge et bleue mises bout à bout ne dépend
pas de l’’ordre dans lequel on les place, la rouge à gauche de la bleue ou la bleue à gauche de la
rouge :
L’’addition est ainsi dite commutative. Algébriquement cela se traduit par l’’identité a + b = b + a
Remarque. La procédure que tu as apprise pour additionner en colonne deux nombres repose sur les
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deux propriétés précédentes (associativité et commutativité). En effet, pour calculer par exemple
+ 38
on effectue d’’abord 7 + 8 = 15 qu’’on écrit sous la forme 10 + 5 et que l’’on formule par « 7 + 8 = 5
plus une dizaine que l’’on retient », puis on effectue 5 + (10 + 20 + 30) qui vaut évidemment 65.
Exercice 3.
Les deux propriétés de l’’addition mises en évidence dans les exercices précédents (commutativité et
associativité) ont aussi lieu pour la multiplication. On peut les résumer par la formulation suivante :
le produit de plusieurs facteurs ne dépend ni de l’’ordre dans lequel sont écrit les facteurs, ni de
l’’ordre dans lequel on choisit d’’effectuer les produits. Sous forme d’’identités algébriques cela se
traduit par a·b = b·a et (a·b)·c = a·(b·c) quels que soient les nombres a, b et c.
Bien exploitées, ces propriétés te permettront de calculer plus facilement certains produits.
Exemples. (Les parties grisées ci-dessous sont effectuées oralement et non par écrit.)
1) 600 · 50 = (6 · 100) · (5 · 10) = (6 · 5) · (10 · 100) = 30 · 1000 = 30’’000
2) 12 · 35 = (6 · 2) · (5 · 7) = 6 · 2 · 5 · 7 = (6 · 7) · (2 · 5) = 42 · 10 = 420
Détermine les produits ci-dessous en t’’inspirant de la méthode de calcul ci-dessus.
1) 55 · 18
2) 70 · 800
3) 15 · 15 · 4
4) 16 · 25
5) 2 · 3 · 4 · 5
6) 5 · 7 · 8
7) 25 · 25 · 16
8) 500 · 20
9) 125 · 32
10) 175 · 24
11) 225 · 48
12) 250 · 36
Prolongement.
A. La notation puissance.
Comme 6 = 2·3 et 12 = 2·2·3 le produit 6·12 peut s’’écrire (2·3)·(2·2·3). Une manière plus commode
d’’écrire ce produit est de rassembler les mêmes facteurs, puis d’’utiliser la notation puissance :
6·12 = (2·3)·(2·2·3) = (2·2·2)·(3·3) = 23 · 32 (en français : deux au cube fois trois au carré)
Inspire toi de l’’exemple ci-dessus pour compléter les pointillés
1) 16 · 9 = 2 ..... · 3 ......
2) 20 · 18 = 2 ..... · 3 ..... · 5 .....
4) 27 · 28 = 2 ..... · 3 ...... · 7 ......
5) 15 · 16 = 2
7) 15 · 45 = 3 ...... · 5......
8) 25 · 125 = 5
.....
10) 35 · 63 = 3 ...... · 5...... · 7 ......
11) 24 · 36 = 2
.....
.....
· 3 ...... · 5
.....
3) 14 · 15 = 2 ..... · 3 ...... · 5 ..... · 7 ......
6) 10 · 15 = 2 ..... · 3 ..... · 5 .....
9) 49 · 56 = 2
· 3 .....
.....
12) 40 · 50 = 2
· 7 ......
.....
· 5 ......
B. Exercice oral. Décompose en produits de facteurs premiers tous les nombres composés ≤ 120.
Exemple. 120 = 12· 10 = (3 · 4) · (2 · 5) = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 = 23 · 3 · 5
Rappel. Un nombre est dit premier s’’il admet exactement deux diviseurs.
Exemples : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43 ; 47 ; 53 ; 59 ; 61 ; 67 ; 71 ; 73 ...
Un nombre est dit composé s’’il admet plus de deux diviseurs.
-2-
C. Les propriétés de la multiplication utilisées jusqu’’à présent sont aussi vraies pour les nombres
décimaux. Utilise-les pour calculer oralement les produits suivants :
1) 3 · 2,5 · 9 · 4
2) 0,5 · 123 · 2
3) 0,5 · 0,15 · 400
4) 0,16 · 25000
5) 0,3 · 0,4 · 500
6) 50 · 70 · 0,08
7) 0,25 · 0,25 · 16
8) 50’’000 · 0,002
Exercice 4.
Détermine le plus petit multiple de 7 supérieur à 250, noté le (p.p.m. de 7) > 250
puis le plus grand multiple de 7 inférieur à 250, noté le (p.g.m. de 7) < 250
Exemple. Comme 30 · 7 = 210 et 6 · 7 = 42 alors 30·7 + 6·7 = 36 · 7 = 252 est le ppm et
252 –– 7 = 245 est le pgm
1) (p.p.m. de 8) > 350
2) (p.g.m. de 6) < 500
3) (p.g.m. de 9) < 250
4) (p.p.m. de 13) > 200
5) (p.g.m. de 12) < 500
6) (p.p.m. de 16) > 500
7) (p.g.m. de 12) < 400
8) (p.g.m. de 21) < 500
9) (p.p.m. de 7) > 3000
10) (p.p.m. de 11) > 100
11) ( p.p.m. de 13 ) > 400
12) ( p.g.m. de 19 ) < 600
Justification : La somme de 30 rangées de 7 et de 6 rangées de 7 n’’est autre que (30 + 6) rangées de
7. Cette règle de calcul, 30·7 + 6·7 = (30 + 6) · 7 s’’appelle la distributivité de la multiplication sur
l’’addition. Dans le cas ci-dessus, elle te permet de localiser puis calculer mentalement le multiple de
7 recherché.
Algébriquement cette propriété s’’écrit a·(b + c) = a·b + a·c quels que soient les entiers a,b et c
Elle reste valable aussi bien pour la soustraction : 30·7 –– 6·7 = (30 –– 6) · 7
Exercice 5.
Calcule oralement en utilisant la distributivité, voire aussi la commutativité et l’’associativité.
1) 18·9 + 12·9
2) 9·17 + 21·17
3) 24·7 –– 14·7
4) 23·8 + 27·8
5) 14·5 + 16·5
6) 13·15 + 15·13
7) 11·26 + 26·19
8) 26·8 –– 16·8
9) 6·14 + 6·16
10) 23·8 + 23·12
11) 24·9 + 16·9
12) 94·7 + 6·7
QUELQUES PROBLÈMES D’’ARITHMÉTIQUE 7e
A. Imagine que la lettre a représente un nombre naturel donné.
Utilise la distributivité (voire même la commutativité) pour écrire sous forme de produits les sommes
ci-dessous, comme dans l’’exemple ci-contre : 2·a + 3·a = (2 + 3)·a = 5·a
1) 7·a + 5·a
2) 9·a + 21·a
3) 24·a –– 18·a
4) 8·a + 4·a
5) a·25 –– 16·a
6) 13·a + a·13
B. Si a est un nombre naturel fixé alors {1·a ; 2·a ; 3·a ; 4·a ; 5·a ; 6·a ; ...} est l’’ensemble des
multiples de a. Cet ensemble se note Ma.
Exemple. L’’ensemble M3 des multiples de 3, est constitué des éléments {3 ; 6 ; 9 ; 12 ; 15 ; 18 ; ...}.
-3-
On peut le représenter graphiquement par les points rouges sur la droite numérique comme cidessous.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Est-il vrai que la somme (ou la différence) de deux multiples de 3 est encore un multiple de 3 ?
Si oui, pourquoi ? Sinon, donne un contre-exemple.
C. Sachant qu’’un nombre est pair signifie qu’’il appartient aux multiples de 2, justifie la raison pour
laquelle la somme de deux nombres pairs est paire.
Indication. Un nombre pair quelconque peut s’’écrire sous la forme 2·n, où n est un nombre naturel.
Un autre nombre pair quelconque s’’écrit 2·m, où m est un nombre naturel. Effectue leur somme puis
utilise la distributivité afin de montrer que cette dernière est bien un multiple de 2.
D. Si l’’on remplace n par 0, 1, 2, 3, ... est-il vrai que 2·n2 + 11 est toujours un nombre premier ?
E. Par quels chiffres (donne toutes les solutions possibles) faut-il remplacer les lettres a, b, c et d
pour que les nombres :
1) 23a5 soit divisible par 3 ?
2) 789b soit divisible par 2, mais pas par 4 ?
3) 364c soit divisible par 2 et par 3 ?
4) 9876d soit divisible par 2, par 3, par 4 et par 5 ?
F. À l’’aide d’’allumettes on construit la suite des figures ci-contre :
Combien en faut-il pour la 4e figure de la suite ? pour la 10e ? pour la 20e ?
Trouve une formule générale te permettant d’’exprimer le nombre d’’allumettes pour la figure n-ième.
Si l’’on rassemble toutes les allumettes appartenant à deux figures quelconques de la suite est-il
possible de construire à l’’aide de ces allumettes (ni plus ni moins) une figure de la suite ? Et en
rassemblant trois figures ? et quatre figures ?
G. Activité 2.1 Suite de points du classeur maître 7e (Calcul littéral)
Complément théorique sur les nombres décimaux
Question. Pourquoi multiplier un nombre décimal par 10 revient à décaler sa virgule d’’une
position vers la droite ?
Derrière cette astuce de calcul figurent deux concepts fondamentaux :
- l’’écriture à position en base 10
- la distributivité (de la multiplication sur l’’addition)
Lorsqu’’on écrit 432,56 se cache en fait le nombre 4·102 + 3·10 + 2·1 + 5·0,1 + 6·0,01
(4 centaines + 3 dizaines + 2 unités + 5 dixièmes + 6 centièmes).
Multiplier par 10, puis appliquer la distributivité revient à ce que chaque ‘‘position’’ devienne 10 fois
plus grande. En détaillant le calcul on obtient :
432,56 · 10 = (4·102 + 3·10 + 2·1 + 5·0,1 + 6·0,01) · 10
= 4·102·10 + 3·10·10 + 2·1·10 + 5·0,1·10 + 6·0,01·10
= 4·103 + 3·102 + 2·10 + 5·1 + 6·0,1 qui n’’est autre que
4 milliers + 3 centaines + 2 dizaines + 5 unités + 6 dixièmes ou 4325,6.
En résumé
Comme 100 = 10·10 alors, multiplier un nombre décimal par 100 revient à décaler sa virgule de
deux positions vers la droite. Et comme 1000 = 10·100 alors on voit comment généraliser la règle.
Inversement, si multiplier un nombre décimal par 10 revient à décaler sa virgule d’’une position vers
la droite, alors diviser un nombre décimal par 10 (c’’est-à-dire multiplier par 0,1) revient à décaler sa
virgule d’’une position vers la gauche. Il va de soi alors que diviser un nombre décimal par 100
(c’’est-à-dire multiplier par 0,01) revient à décaler sa virgule de deux positions vers la gauche.
Remarque. Il importe d’’effectuer un nombre suffisant d’’exercices de drill pour automatiser ces
règles de calcul.
-4-
Exercices d’’arithmétique 8e année
Exercice de révision
Calcule oralement le plus petit multiple de 7 supérieur à 250, noté le (p.p.m. de 7) > 250,
puis le plus grand multiple de 7 inférieur à 250, noté le (p.g.m. de 7) < 250
Exemple de résolution.
Comme 30 · 7 = 210 et 6 · 7 = 42 alors 30·7 + 6·7 = 36 · 7 = 252 est le ppm et
252 –– 7 = 245 est le pgm recherché.
Justification : La somme de 30 rangées de 7 et de 6 rangées de 7 n’’est autre que 30 + 6 rangées de 7.
Cette règle de calcul, 30·7 + 6·7 = (30 + 6)·7, s’’appelle la distributivité de la multiplication sur
l’’addition. Elle reste valable aussi bien pour la soustraction : 30·7 –– 6·7 = (30 –– 6)·7.
Exercice. Détermine les entiers naturels suivants
1) (p.p.m. de 8) > 350
2) (p.g.m. de 6) < 500
3) (p.g.m. de 9) < 250
4) (p.p.m. de 17) > 500
5) (p.g.m. de 12) < 500
6) (p.p.m. de 16) > 500
7) (p.g.m. de 19) < 400
8) (p.g.m. de 23) < 500
9) (p.p.m. de 7) > 3000
10) (p.p.m. de 11) < 2420
11) ( p.p.m. de 13 ) > 400
12) ( p.p.m. de 16 ) > 21000 + 2
D’’une manière plus générale. Si a, b et c sont des nombres entiers, alors b·a et c·a sont des
multiples de a et la règle suivante est vraie: b rangées de a ajoutées à c rangées de a égalent (b + c)
rangées de a ou sous forme de formule algébrique : a·(b + c) = a·b + a·c
Si a, b et c sont des nombres positifs quelconques l’’identité reste valable et l’’interprétation
géométrique est que l’’aire d’’un rectangle dont la longueur vaut b + c et de largeur a est la même que
la somme des aires de deux rectangles de largeur a et de longueurs respectives b et c.
a
=
+
b
b+c
c
Rappel
Pour un nombre naturel fixé a l’’ensemble des multiples de a, noté Ma est l’’ensemble {1·a ; 2·a ; 3·a ;
4·a ; ...}. Un multiple de a quelconque s’’écrit sous la forme m·a, où m est un nombre entier positif.
Prolongement
A) Prouve que la somme (et la différence) de deux multiples de a est encore un multiple de a.
B) Sachant que a, b et c sont des entiers, factorise au maximum les sommes ci-dessous
1) 6 ⋅ a + 8 ⋅ a
2) 7b + 13b
3) 12 ⋅ a + 16 ⋅ c
4) 3 ⋅ a + a ⋅16
5) 32 a + 7a
6) 14b + b ⋅ 21
7) 21c 2 + 28c 2
C) Complète pour obtenir des égalités vraies.
2) 60500 + 12 = 12 ⋅ (........ + ........)
1) 22000 + 6 = 2 ⋅ (....... + ........)
8) 3 ⋅ a 2 + 42 ⋅ a
3) 12500 + 8 = 8 ⋅ (....... + ........)
D. Si l’’on remplace n par 0, 1, 2, 3, ... est-il vrai que n2 –– n + 41 est toujours un nombre premier ?
E) Énonce puis justifie chacun des critères de divisibilité par 4, 8 et 16 sur des exemples spécifiques.
F) Les nombres a = 2360 –– 1 et b = 21110 + 1 sont divisibles par 13. Est-il vrai que a + b est un
multiple de 13 ?
-5-
Problème 1.La décomposition en produit de facteurs premiers est unique
Pour chacun des entiers ci-dessous identifie un de ses diviseurs premiers à l’’aide des critères de
divisibilité ou de la distributivité, puis décompose l’’entier en produit de facteurs premiers.
Exemple.
553 n’’est pas divisible par 2, 3 ou 5 (cf. les critères) mais 553 = 560 –– 7 = 7·80 –– 7·1 = 7·79
1) 51
2) 213
3) 155
4) 133
5) 413
6) 91
7) 201
8) 273
9) 143
10) 693
11) 175
12) 184
13) 125
14) 247
15) 256
16) 187
17) 119
18) 198
19) 345
20) 1717
Tout nombre entier ( > 1), se décompose de manière unique (à l’’ordre près) en un produit de
facteurs premiers. Cette propriété spécifique des nombres entiers porte le nom de théorème
fondamental de l’’arithmétique. Elle te permettra de résoudre un très grand nombre de problèmes
numériques
Exercice d’’entraînement. MERM 32
Problème 2. « Être divisible par ... » ou « Être multiple de ... »
Observe attentivement les deux affirmations ci-dessous, puis complète les pointillés.
a) 24 divise 25 · 3 · 7 car 24 = 23·3 et (23 · 3) · (22 · 7) = 25 · 3 · 7. D’’où (25 · 3 · 7) ÷ 24 = ..............
b) 26 · 34 · 5 · 7 est un multiple de 60 car 60 = 22 · 3 · 5 et (22 · 3 · 5)·............... = 26 · 34 · 5 · 7.
L’’associativité et la commutativité joue à nouveau un rôle essentiel dans les égalités ci-dessus.
Définition. D’’une manière générale, on dit qu’’un nombre entier a ( ≠ 0) divise un entier b, s’’il existe
un entier c tel que b = a · c. Dans ce cas, b est appelé un multiple de a.
Exercice. Justifie les affirmations suivantes en complétant les pointillés
1) 36 divise 22·33·5 car ...
2) 32·7·13 est un multiple de 91 car ...
3) 45 divise 3·120 car ...
4) 75 ne divise pas 1000 car ...
5) 1200 est divisible par 75 car ...
6) 34·53 est mult. de 27 car ...
7) 562 est divisible par 26 car..
8) 35 divise 21·24·27 car ...
9) 64 divise 81·2048 car ...
Exercices d’’approfondissement.
A) MERM 18
B) Quel est le nombre de diviseurs de 2·3·5 ?
C) Énumère méthodiquement tous les diviseurs de 23 · 32 en commençant par ceux qui ne sont pas
divisibles par 3, puis parmi ceux qui restent, énumère ceux qui ne sont pas divisibles par 32, puis
enfin énumère ceux qui sont divisibles par 32. (Indication : consulter MERM 18)
D) Combien 360 admet-il de diviseurs, sachant que 360 = 23·32·5 ?
E) Dénombre les diviseurs des entiers ci-dessous, sans les énumérer.
80 ; 125 ; 78 ; 600 ; 945 ; 1012 ; 2·3·4·5·6 ; 11·12·13 ; 25·26·27
F) Détermine tous les multiples de 11 compris entre 100 et 450 qui admettent exactement 4 diviseurs.
-6-
Problème 3. Le PGDC et le PPMC à l’’aide de la décomposition...
Justifie les affirmations ci-dessous concernant le pgdc et le ppmc de deux entiers naturels.
« Comme 240 = 24·3·5 et 72 = 23·32 alors le pgdc(240;72) = 23·3 et le ppmc(120;72) = 24·32·5 »
Exercice. Utilise la méthode précédente pour déterminer le pgdc et le ppmc des entiers ci-dessous.
1) 78 et 45
2) 105 et 75
3) 124 et 156
4) 12, 15 et 27
5) 65 et 91
6) 121 et 143
Exercices d’’approfondissement.
A) MERM 19 ; 35 et 24
B) Quel est le plus petit entier qui multiplié par 132 donne un carré parfait ? Et pour avoir un cube ?
Problème 4. L’’algorithme des soustractions répétées (ou d’’Euclide simplifié)
Comme il n’’est pas toujours très facile de décomposer deux entiers a et b en produit de facteurs
premiers, il existe une méthode beaucoup plus simple, mais parfois bien plus longue, pour trouver le
pgdc(a,b). Découvre par toi-même ce sur quoi repose cette méthode en répondant aux questions cidessous.
1) Est-il vrai que le pgdc(a,b) où a = 48 et b = 84 est aussi le pgdc(a, b –– a) ? Si oui, pourquoi ?
2) Cette propriété dépend-elle des nombres particuliers 48 et 84, ou peux-tu justifier pourquoi
pgdc(a, b) = pgdc(a, b –– a) si b > a sont des entiers quelconques.
3) Observe attentivement ce qui se passe si nous itérons ce qui vient d’’être découvert au point 1).
pgdc(48 ; 84) = pgdc(48 ; 84 –– 48 ) = pgdc(48 ; 36) = pgdc(48 –– 36 ; 36) = pgdc(12 ; 36) =
pgdc(12 ; 24) = pgdc(12 ; 12) = 12
En conclusion, pour trouver le pgdc de deux entiers, il est possible de n’’avoir recours qu’’à des
soustractions répétées !
Exercice. Utilise la méthode de ton choix pour déterminer le pgdc des nombres ci-dessous.
1) 119 et 133
2) 247 et 299
3) 1001 et 1183
4) 4567 et 4576
QUELQUES PROBLÈMES D’’ARITHMÉTIQUE 8e
Problèmes élémentaires d’’arithmétique.
A. Énumère la suite des nombres entiers obtenue dans chaque configuration géométrique de
l’’exercice 25 du livre Calcul littéral des MERM, et pour finir identifie la formule générale.
Exemple cf. exercice 1a). Voici les résultats obtenus si le carré initial mesurait 1 carré de côté, puis 2
carrés de côté, puis 3, puis 4 et ainsi de suite jusqu’’à n carrés de côté. {(1);4;9;14;19;24 ; ....; 5·n –– 6}
B. Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
1) La somme de deux impairs consécutifs est toujours divisible par 4.
2) Le produit de deux entiers consécutifs (>1) est toujours divisible par 3 ; 5 ou 7.
3) La somme d’’un entier (> 1) et de son carré admet toujours au moins quatre diviseurs.
4) La somme de trois entiers consécutifs est toujours divisible par 3.
5) La somme de quatre entiers consécutifs non divisibles par 5 est un multiple de 10.
6) Si p est un nombre premier alors la somme des diviseurs de p2 est aussi un premier.
7) Si f est la fonction définie par f : n 6 n 2 + 9n + 1 et que n parcourt tous les entiers entre 0 et
10 alors qu’’une seule des images de n par f est un nombre composé.
-7-
Complément théorique sur les entiers relatifs
Supposons que chaque nombre entier n admette un nombre opposé, noté -n ayant la propriété que n +
(-n) = 0. On dénotera le nouvel ensemble constitué de tous les nombres entiers naturels et de leurs
opposés par la lettre majuscule ' (qui vient de l’’allemand Zahlen). Cet ensemble s’’étend donc vers
l’’infini à gauche et à droite du zéro : ' = {... ; -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ...} . On supposera que '
vérifie les mêmes propriétés par rapport à l’’addition et à la multiplication que l’’ensemble des
nombres naturels , à savoir, pour tous les nombres entiers a, b et c on a :
a+b=b+a
(a + b) + c = a + (b + c)
0+a=a
la commutativité de l’’addition
l’’associativité l’’addition
0 est appelé l’’élément neutre additif
a·b=b·a
(a · b) · c = a · (b · c)
1·a=a
la commutativité de multiplication
l’’associativité de la multiplication
1 est appelé l’’élément neutre multiplicatif
a·(b + c) = a·b + a·c la distributivité de la multiplication sur l’’addition, valable aussi bien
pour la soustraction a·(b –– c) = a·b –– a·c.
Dès lors il est possible de montrer les propriétés élémentaires suivantes :
1) -0 = 0 car -0 = 0 + (-0) = 0 (puisque la somme d’’un nombre et de son opposé égale 0)
2) -(-1) = 1 car -(-1) = -(-1) + ((-1) + 1) = (-(-1) + (-1)) + 1 = 0 + 1 = 1
Ce résultat peut être généralisé pour obtenir -(-n) = n pour tout nombre.
3) L’’opposé d’’un nombre n n’’est autre que (-1)·n, c’’est-à-dire -n = (-1)·n car
-n = -n + 0 = -n + (1 + (-1))·n = -n + 1·n + (-1)·n = (-n + n) + (-1)·n = 0 + (-1)·n = (-1)·n.
Rappel. La soustraction dans ' se définit comme dans : a − b = c ⇔ a = b + c (*)
4) 0·a = 0 car 0·a = (1 –– 1)·a = 1·a –– 1·a = a –– a = 0
5) a − b = a + (-b) car d’’après la définition (*) on a bien a = b + (a + (-b ))
Quelques exemples de calculs élémentaires.
1) (-5) + 9 = (-5) + [5 + 4] = [(-5) + 5] + 4 = 0 + 4 = 4
2) (-3) + (-6) = (-1)·3 + (-1)·6 = (-1)·(3 + 6) = (-1)·9 = -9
3) 4 + (-7) = 4 + (-4) + (-3) = 0 + (-3) = -3
4) (-5) –– 4 = (-5) + (-4) = (-9)
5) 7 –– (-6) = 7 + -(-6) = 7 + 6 = 13
6) (-1)·(-1) = -(-1) = 1
7) (-3)·5 = (-1)·(3·5) = -15
8) (-2)·(-7) = (-1)·2·7·(-1) = (-1)·(-1)·2·7 = 14
Remarque. Dans les preuves des propositions de 1) à 5) ci-dessus, à aucun moment le fait de
travailler avec des entiers relatifs a été exploité. Ce qui signifie que tout système de nombres
‘‘complété’’ par des nombres opposés, qui muni de l’’addition et de la multiplication vérifie les lois de
commutativité, d’’associativité et de distributivité comme en haut de page, vérifie forcément alors les
propriétés élémentaires de 1) à 5). En particulier ceci s’’applique aux nombres décimaux, aux
nombres rationnels et aux nombres réels.
A retenir : 1) -(-n) = n
2) a –– b = a + (-b)
3) -n = (-1)·n
-8-
Exercices d’’arithmétique 9e année
Problème 1. Comment calculer 232 mentalement ?
Proposition de réponse. Interprétons géométriquement le problème.
Calculons l’’aire d’’un grand carré de côté 23 en le découpant
comme ci-contre. L’’aire du carré moyen égale 202, ajouté à l’’aire
des deux rectangles isométriques 2·(20·3), auquel il faut encore
ajouter l’’aire du petit carré (32). D’’où :
3
20
232 = (20 + 3)2 = 202 + 2·(20·3) + 32 =400 + 120 + 9 = 529
20
3
Exercice : En t’’inspirant de l’’interprétation géométrique effectue les carrés « de tête » ci-dessous
1) 212
2) 322
3) 412
4) 172
5) 222
6) 512
7) 312
8) 422
9) 112
10) 272
11) 422
12) 712
13) 242
14) 322
15) 332
16) 512
17) 522
18) 712
19) 912
20) 392
Généralisation. Pour a et b des nombres positifs quelconques on a (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Exercice d’’entraînement. Complète les pointillés afin d’’obtenir des égalités vraies
1) (10 + 5) 2 = 102 + ……………… + 52
2) (20 + …………) 2 = 202 + ………….. + 64
3) (25 + 20) 2 = 400 + ……………… + 625
4) (13 + 7) 2 = …………. + 182 + 49
5) (12 + 0,5) 2 = 122 + ……………… + 0,25
6) (10 + 103) 2 = 102 + 2·104 + 10……..
7) (13 + ……..) 2 = 169 + 130 + (…………) 2
8) (14 + ……..) 2 = 196 + 56 + (…………) 2
9) (3+4+5) 2 = 32 + 42 + 52 + 2· (…………+………….+…………)
10) (12 + 15) 2 = 32 · ( 42 + ……………… + 52 )
Prolongement.
A) Calcule, observe, conjecture puis démontre
10,12 = ..... ; 100, 012 = ...... ; 1000,0012 = ........ ; ... ; 1000...0,0...00012 = .............
Indication. La notation exponentielle est indispensable pour la formule générale.
B) Identifie (à la main) les carrés parfaits ci-dessous.
Indication : observe en particulier le(s) dernier(s) chiffre(s), utilise les critères de divisibilité, exploite si nécessaire
l’’identité remarquable précédente et enfin décompose éventuellement en produit de facteurs premiers.
123 ; 225 ; 1000 ; 289 ; 897 ; 5005 ; 10001 ; 2468 ; 3675 ; 3969 ; 12321
C) Écris chacune des expressions littérales ci-dessous sous la forme ax2 + bx + c, avec a, b et c ∈ '
1) (x + 1)2
2) (2x + 3)2
3) (5x + 3)2
4) (2x + 7)2
5) (6x + 5)2
6) ((-2)x + 1)2
7) (12x + 15)2
8) (x + (-3))2
-9-
Problème 2. Comment calculer facilement 392 mentalement ?
Le numéro 20 de l’’exercice du haut de la page précédente peut être effectué plus simplement en
regardant 39 comme étant 40 –– 1.
Proposition de réponse. À nouveau interprétons géométriquement du problème.
Calculons l’’aire grisée, 392 en partant de l’’aire d’’un carré de 40 de
côté, à laquelle on ôte l’’aire des deux rectangles isométriques
1
2·(40·1), puis en ajoutant l’’aire du petit carré noir 12, puisque cette
dernière avait été enlevée deux fois dans la manipulation
40
392
précédente. D’’où :
392 = (40 –– 1)2 = 402 –– 2·(40·1) + 12 = 1600 –– 80 + 1 = 1521
1
40
Exercice : En t’’inspirant de l’’interprétation géométrique effectue les carrés ci-dessous
1) 282
2) 392
3) 482
4) 172
5) 292
6) 582
7) 382
8) 492
9) 192
10) 272
11) 492
12) 792
13) 682
14) 992
15) 9992
Généralisation. Pour a et b des nombres positifs quelconque on a (a –– b)2 = a2 –– 2ab + b2
Exercice récapitulatif des problèmes 1 et 2.
Énoncé. Utilise la méthode de ton choix pour calculer oralement les produits ci-dessous.
1) 192
2) 222
3) 272
4) 132
5) 252
6) 312
7) 30,52
8) 29,52
9) 1012
10) 2,012
Prolongement.
A) Écris chacune des expressions littérales ci-dessous sous la forme ax2 + bx + c, avec a, b et c ∈ '
1) (2x + 1)2
2) (3x –– 2)2
3) (5x + 3)2
4) (-2x + 7)2
5) (-x –– 1)2
6) (x + 1)2
7) (12x + 12)2
8) (2x + 3x)2
9) (x –– 0,3)2
10) (x + 0,4)2
11) (2x –– 0,5)2
12) (0,5x –– 0,2x)2
B) MERM 80b (Calcul littéral) Complète les égalités le plus simplement possible :
2
2
b) (....... − 2 ) = 4 x 2 − ...... + ......
a) ( x + ......) = ...... + ...... + 9
c) ( x + ......) = ...... + 10 x + ......
d) (....... + .......
e) (....... − 1,5
f) (....... +
2
2
)
2
= ...... + 6 x + ......
1·
§
g) ¨ ...... + ¸ = ...... + 6x + ......
3¹
©
)
2
....... )
2
= ....... + 80 x + 25
= x 2 − ...... + 0,25
2
§ x
·
− ....... ¸ = ...... − x + ......
h) ¨
© 4
¹
C) Sachant que tout nombre premier plus grand que 4 s’’écrit forcément sous la forme d’’une des deux
écritures suivantes, 6n –– 1 ou 6n + 1 (où n est un entier positif) démontre que la différence des carrés
de deux premiers jumeaux (c’’est-à-dire séparés par exactement un nombre composé, par exemples 5
et 7, 11 et 13 ou 17 et 19) est toujours divisible par 24.
- 10 -
Problème 3a.
Quel rapport y a-t-il entre 152 et 14·16 ? Même question pour ……
1) 122 et 11·13
2) 192 et 18·20
3) 202 et 19·21
4) 162 et 15·17
5) 292 et 28·30
Déduis une formule puis prouve-la par un argument géométrique.
Même questions pour : 1) 122 et 10·14
2) 92 et 7·11
3) 182 et 16·20
4) 162 et 14·18
Déduis une formule puis prouve-la par un argument géométrique.
Problème 3b. Comment calculer 312 –– 292 mentalement ?
Proposition de réponse. Cela revient à calculer l’’aire du gnomon1 ci-dessous en gris foncé.
Transforme le gnomon en un rectangle te permettant aisément d’’effectuer le calcul.
Complète.
312 –– 292 = ……………………………………………………………………. = …………....…….. = ...........
Calcule à l’’aide de ta formule les produits suivants :
1) 1012 –– 992
2) 712 –– 692
3) 142 –– 122
4) 522 –– 482
5) 222 –– 182
6) 722 –– 682
7) 412 –– 392
8) 242 –– 162
9) 322 –– 282
10) 212 –– 192
11) 232 –– 172
12) 322 –– 282
13) 412 –– 392
14) 532 –– 472
15) 1052 –– 952
16) 262 –– 242
Problème 3c.Comment calculer facilement 13·17 mentalement ?
Proposition de réponse. En mettant en œœuvre l’’identité a2 –– b2 = (a –– b)·(a + b) de l’’exercice
précédent et en s’’aidant de la liste des carrés >100 et ≤ 202 (pour ceux qui ne les connaissent
toujours pas) : 121 ; 144 ; 169 ; 196 ; 225 ; 256 ; 289 ; 324 ; 361 et 400
Exemple : 13·17 = (15 –– 2)(15 + 2) = 152 –– 22 =225 –– 4 = 221
1) 102·98
2) 69·71
3) 12·14
4) 49·51
5) 18·22
6) 72·68
7) 39·41
8) 18·24
9) 28·32
10) 19·21
11) 17·23
12) 28·32
13) 41·39
14) 53·47
15) 105·95
16) 26·24
17) 12·18
18) 13·27
19) 17·13
20) 12·28
1
Instrument datant de l’’Antiquité en forme de ‘‘L’’, obtenu en ôtant un carré d’’un carré plus grand.
- 11 -
Problème 4. Décomposition à la Fermat
Décompose en produit de facteurs premiers les entiers ci-dessous en les écrivant d’’abord sous la
forme d’’une différence de deux carrés, puis à l’’aide de l’’identité a2 –– b2 = (a –– b)·(a + b)
Rappel de quelques carrés : 121 ; 144 ; 196 ; 225 ; 256 ; 289 ; 324 ; 361 ; 400
Exemple : 143 = 144 –– 1 = 122 –– 12 = (12 –– 1)(12 + 1) = 11·13
1) 399
2) 221
3) 391
4) 117
5) 9991
6) 323
7) 135
8) 231
9) 119
10) 171
11) 299
12) 9919
Prolongement.
Les nombres premiers impairs ont une écriture particulière sous la forme d’’une différence de deux
carrés. Laquelle ?
Problème 5.
Les égalités ci-dessous sont-elles vraies ? Utilise la mise en évidence, les identités remarquables ou
tout autre outil algébrique te permettant d’’arriver à tes fins et si possible, mentalement !
?
?
1) 122 + 52 =132
?
2) 142 + 152 = 292 − 30 ⋅14
?
?
5) 17 2 + 162 = 1 + 2 ⋅17 ⋅16
?
7) 22 + 392 = 92 + 382
?
?
9) 262 + 262 + 132 = 392
?
10) 282 + 242 + 242 = 442
?
11) 152 + 162 + 122 = 252
12) 292 + 222 + 142 = 392
?
?
14) 34 − 43 =(32 − 23 )(32 + 23 )
?
?
13) 134 − 2 ⋅133 + 132 = 1562
?
15) 33 + 43 + 53 = 63
16) 216 + 48 + 44 + 162 = 217 + 29
?
17) (2 ⋅ 24 + 23 ⋅ 4) 2 = 212
4) 412 + 92 = 402
?
6) 7 2 + 222 = 22 + 232
8) 242 − 52 =192 + 10 ⋅19
?
3) 242 + 7 2 = 252
18) 54 + 42 − 34 − 24 = 16 ⋅ 34
5
4
?
19) 22 − 22 = 216 ⋅ 257 ⋅17 ⋅ 5 ⋅ 3
Problème 6. Calcule mentalement en utilisant l’’interprétation géométrique du calcul de l’’aire, les
propriétés des puissances et des racines carrées.
1) 412
6)
0, 0009
2) 322
7)
3) 232
25000000
4)
(16 ⋅10 )
8) (10−5 ) ⋅ (105 )
2
5) ( 31⋅103 )
5 2
−2
9) 215 ⋅1255
2
10)
2−6 ⋅106
Problème 7. Les solutions des équations ci-dessous appartiennent-elles à , ', , , ou Rappel : Un nombre est décimal s’’il peut s’’écrire sous la forme d’’un quotient de deux entiers, dont le
dénominateur est une puissance de 10.
1) 123456 + x = 12345
4)
x +1
= 1234567
x
2) 123456 ⋅ x = 1234
3) x 2 = 1234567
5) 1234567 ⋅ x + 9876 = 123
6)
- 12 -
x
=1
x +1
QUELQUES PROBLÈMES D’’ARITHMÉTIQUE 9e
A...bel Problèmes de niveau moyen d’’arithmétique.
1) La différence des carrés de deux impairs consécutifs est-elle toujours divisible par 8 ?
2) La moyenne des carrés des extrêmes de trois entiers consécutifs est-elle toujours 1 de plus que
le carré du milieu ?
3) Si on remplace n par 1, 2, 3, ... alors la différence n3 –– n est-elle toujours divisible par 6 ?
4) Pour quels entiers n est-ce que n2 –– 4 est premier ?
5) Quel est le plus petit carré dont la division par 3 donne 2 pour reste ?
6) Prouve que le reste de la division par 30 d’’un nombre premier est premier ou égal à 1.
7) Quels sont tous les nombres premiers p pour lesquels p + 10 et p + 14 sont premiers.
B...anach Véritables problèmes d’’arithmétique.
1) Quels sont les entiers pouvant s’’écrire sous la forme d’’une différence de deux carrés ?
2) Quels sont les nombres pouvant s’’écrire sous la forme d’’une somme d’’entiers naturels
consécutifs ? (Exemple : 3 = 1 + 2 ; 9 = 2 + 3 + 4 ; 10 = 1 + 2 + 3 + 4 etc.)
3) Prouve que si p et p 2 + 2 sont des nombres premiers alors p 3 + 2 l’’est aussi.
C...antor. Recherche à domicile (voir aussi MERM I.17 « Le premier dernier »)
1) Tout nombre impair ≥ 3 peut-il s’’écrire sous la forme d’’une somme d’’une puissance de 2 et
d’’un nombre premier ?
2) Existe-t-il un entier < 1000 admettant plus de 30 diviseurs ?
3) ** En 1658 John Wallis à trouvé la solution x = 1728148040 et y = 140634693 à l’’équation
x 2 − 151 y 2 = 1 . En te servant intelligemment de ta calculatrice TI34, des critères de divisibilité
et des identités remarquables, vérifie l’’exactitude de sa solution.
Remarque. Il est possible de prouver que cette équation admet une infinité de solutions
entières. Cependant, celle proposée est la plus « petite » !
D...edekind. Les premiers jumeaux
On appelle 3 et 5 des nombres premiers jumeaux, puisqu’’ils ne sont séparés que par un entier (pair).
Donne d’’autres exemples de nombres premiers jumeaux.
Les mathématiciens pensent qu’’il en existe une infinité, mais pour l’’instant, ils ne sont pas encore
parvenus à le prouver. Cependant, il n’’est pas inintéressant de se poser des questions élémentaires à
leur sujet, du style……
Supposons que a et b soient des premiers jumeaux (avec a < b) :
1) Est-il toujours vrai que a + b est divisible par 4 ?
2) Est-il toujours vrai que a ⋅ b + 1 est un carré (parfait) ?
3) Est-il toujours vrai que b 2 − a 2 est divisible par 8 ?
Encore plus fort !
En fait, pour des entiers supérieurs à quatre il semble que :
- la somme de deux premiers jumeaux est divisible par 12 et que
- la différence des carrés de deux premiers jumeaux est divisible par 24.
Vrai ou faux ?
- 13 -
E...uler Le symétrique de 59 est 95, celui de 32 est 23, et de 12 c’’est 21.
Question : La différence des carrés d’’un entier à deux chiffres et de son symétrique admet-elle au
moins 8 diviseurs ?
Exemple : 212 –– 122 = 297 et Div 297 = { 1 ; 3 ; 9 ; 11 ; 27 ; 33 ; 99 ; 297 }
Indications : Si un entier à deux chiffres s’’écrit 10d + u, son symétrique s’’écrit alors comment ?
Calcule la différence des carrés de chacun, c’’est-à-dire (10d + u ) 2 − (...............)2 ,
puis factorise au maximum l’’expression obtenue.
F...ermat. Une somme de trois carrés encore carrée ?
Observe que :
22 + 32 + 62 = 72
32 + 42 + 122 = 132
42 + 52 + 202 = 212
Est-ce que cela fait partie d’’une configuration générale ?
G...auss. Observe –– conjecture –– teste –– & –– prouve
Observe attentivement les triplets pythagoriciens ci-dessous et vérifie chacune des égalités.
12 + 02 = 12
32 + 42 = 52
52 + 122 = 132
72 + 242 = 252
Trouve un autre triplet ayant la même « forme » que les précédents.
Conjecture une formule générale exprimant un triplet pythagoricien quelconque ayant cette forme.
Teste ta formule sur des entiers supérieurs à 1000.
Prouve la validité de ta formule.
H...ilbert. Considérons l’’ensemble P des nombres pairs. On dira qu’’un entier est irréductible dans P
s’’il ne peut s’’écrire comme produit d’’éléments de P. Exemples : 2 ; 6 ; 12 ; 14 ; 18 ; ....
Est-il vrai que tout entier de P se décompose de manière unique en produit de facteurs irréductibles ?
eI...Q = -1
445π =
Lesquelles des égalités ci-dessous sont-elles vraies ?
π
203
+ 1398
3
(
2 = 10 ⋅ 8 − 62
)
3
7 + 50 − 2 = 1
538 = 164 2 + 178 3 − 5
J....acobi. Considère les cinq entiers consécutifs n, n + 1, n + 2, n + 3 et n + 4.
2n
égale un entier divisible par 3 ?
Si n  -2 et -4 est-il vrai que le quotient
n +1 n + 3
−
n+2 n+4
K..ronecker**
Certains entiers peuvent s’’écrire sous la forme d’’un somme de trois carrés, d’’autres pas.
Exemples :
0 = 02 + 02 + 02 ; 1 = 02 + 02 + 12 ; 2 = 02 + 12 + 12 ; 3 = 12 + 12 + 12 4 = ?
5 = 02 + 12 + 22 ; 6 = 12 + 12 + 22 ; 7 = ? ; 8 = 02 + 22 + 22
9 = 12 + 22 + 22
10 = 02 + 12 + 32 ; 11 = 12 + 12 + 32 ; 12 = 22 + 22 + 22 ; 13 = 02 + 22 + 32 ; 14 = 12 + 22 + 32
Poursuis l’’investigation afin de caractériser les entiers qui semblent ne pas pouvoir s’’écrire sous la
forme d’’une somme de trois carrés, puis démontre rigoureusement ta conjecture.
- 14 -