V-SUFFISANCE DE JETS DEFINIS SUR UN ESPACE DE BANACH

No d'ordre : 954
L'UNIVERSITÉ DES SCIENCES ET TECHNIQUES DE LILLE 1
POUR OBTENIR
CYCLE
LE GRADE DE DOCTEUR DE ~ È M E
SPÉCIALITÉ : MATHEMATIQUES PURES
PAR
V-SUFFISANCE DE JETS
DEFINIS SUR UN ESPACE DE BANACH
APPLICATION A UNE ÉQUATION D'ÉVOLUTION
MEMBRES DU JURY : G. CCEURÉ,Président
Ph. ANTOINE, Rapporteur
J.P. PENOT (Université de PAU)
F. BERQUIER
F. VAN ISEGHEM
SOUTENUE LE 19 MARS 1982
I
Examinateurs
"
Solitaire
Dans mon horreur de l a solitude,
J ' a i cru, s a l u t a i r e ,
La science du Symbole.
Téméraire
Est ma t e n t a t i v e
Comme une g o u t t t e d'eau
Dans l'océan du Savoir.
Dans la foulée de mes pensées
La genèse d'une passion
Encore fragi l e .
Mise à part,
' i l l u s i o n facile
D 'un devoir accompli
Demeure en moi
La frustation inassouvie
De l ' A b s t r a i t
".
Acharfi S i d i Mohamed
.
Monsieur Ph. Antoine m'a i n i t i é aux techniques du calcul
d i f f é r e n t i e l . Ses suggestions nombreuses e t ses remarques pertinemment
constructives sont à l a base de l'élaboration de ce t r a v a i l . J ' a i trouvé,
auprès de l u i , beaucoup de patience pour m'aider à cheminer e t une grande
d i s p o n i b i l i t é pour se pencher sur mes travaux, parfois au prix de son
temps personnel. Ses q u a l i t é s pédagogiques m'ont profondément marqué. Je
s a i s i s donc c e t t e occasion pour l u i exprimer t o u t e ma gratitude.
Je remercie Monsieur G. Coeuré d'avoir b i e n voulu présider
l e j m y de c e t t e thèse a i n s i que Monsieur F. Van Iseghem e t
MademoiselZe F. Berquier qui m'ont f a i t l e p l a i s i r de juger ce t r a v a i l .
Monsieur J. P. Penot s ' e s t déplacé de Z 'Université de Pau,
pour examiner c e t t e thèse. Sa présence m'honore e t je l ' e n remercie
vivement.
Je remercie également l e s enseignants e t Zes étudiants
chercheurs en Mathématiques pour Zes discussions chaleureuses aue j ' a i
eues avec eux, de même que t o u t e s l e s personnes qui m'ont sincèrement
apporté, à un moment ou à un autre, leur sympathie ou l e u r amitié.
Enfin, je remercie chaleureusement A r l e t t e Lengaigne
qui a dactylographié c e t t e thèse avec soin e t compétence a i n s i que
t o u t l e personnel de Z 'Imprimerie de 2'U.E.R.
e t Z 'empi lage
.
qui en assuré l e t i r a g e
NOTATIONS.
---------
. Soit
norme dans
dans
lE
E
E
(resp. F)
E
, BE(xo;r)
,L(E)
un espace de Banach. On notera
la boule ouverte de centre x
E
l'endomorphisme identité de
linéaires continues de
E
dans F
,
L(E,F)
.
H
et
Soit
le dual de
E,
x
l'espace des applications
E
dans
H un espace de Hilbert. On note
F.
1 IH
,
la norme dans
le produit scalaire dans H.
<,>
. Si
f
est une application de classe
ouvert U
de
d l f(x,y)
(resp. d
E
x
,
F
2
.
Si M
dans E
(E
et
F
£(x,~))
première variable (resp
de M
E
, E*
la
l'espace des applications
, L2S (E,F)
bilinéaires symétriques et continues de
E
1 / 1 jE
et de rayon r
O
l'espace des endomorphismes de
,
2 1
, d'un
étant des espaces de Banach). On notera
la différentielle de
f par rapport à la
. la deuxième variable) .
est un sous-espace de E
et si
cr , r
,
-
,
on note M
f est une application de
E
dans
l'adhérence
F
,
flM
l
désignera la restriction de
f
au sous-espace M.
x
pour une relation d'équivalence.
. b]
=
. Si
A est une matrice, on désignera par A
classe de
%
sa transposée.
TABLE DES MATTERES.
------------------
CHAP1TRE 1 - FORMALISME 7NTERVENANT DANS L'ENONCE DU THEOREME.
7.1 - Coupla d ' u p a c a de Banach en dudLté.
1.2 - Monpkinmu de coupla.
1.3 - Monpkinmu b&néahu
ayrnéa2icjuu de couplen.
7.4 - Opdna-teunn a y m W y u u awr un couple.
1.5 - Couplu hd?be,tfim.
7.6 - Monpkinmu admcttaMA: une quai-section.
7.7 - D u d p $ i o n de Sacteukrl dite&
~ b ~ e r u .
7.8 - Did~énev&iabilLtéau h e m d a coupla.
1.9 - ThQohQmu d' exinfence awr lu couplen
7.70 - Gumeh k-écju,ivded
CHAPITRE 77
-
CU
h eru
.
d a coupla.
THEOREME DE V-SUFFISANCE DU JET D'ORDRE 2 D'UNE
APPLTCATlON DlFFERENTlABLE ENTRE COUPLES.
CHAPITRE 111 - APPLICATlON A UNE E?UATION D'EVOLUTION D ' U N SYSTEhfE
AUTONOME
.
2
111.2
-
Exphesnion de
111.3
-
C o n U o a pouh qu'une dondonneeee q u a & d q u e
j
6
O
A
~ ( T ~ , X ~ , U ~ , O ) .
1
du xype
a ( t ) (h(t) ,h(t)) d t
v é h i d i e iea
O
c o n U o n ( R ) du khéohEme 11.7.
111.5
-
D h c u o i o n de la c c o u o n ( C ) d a a l e c a ~
d'un contxôle n c d h e .
ANNEXE.
62
Soient E
et
F
deux espaces de Banach, U
£
contenant l'origine dans E. Si
de
U dans F
telle que
£(O)
ou
k-jet
- de
f
d'ordre
de
f
k
en
=
en
k
J (E,F)
O. On note
k
J (n,p)
finie n
et
est une application de classe
O
, pour
O
,
O d k 6 r
le polynôme taylorien de degré
cr , r
E
dans
le même ensemble lorsque E
et
F
sont de dimension
f
1.-
et
Soit
z
dans
Jk ( E , F ) . On dit que
g étant deux réalisations de
D é ~ i h h % n 2.-
dans
pour la
de
z,
Soit
z
dans
k
ii)
CO
a(0)
cr ,
=
J (E,F). On dira que
O
et
z
est
1
C -équivalence de contact si pour toutes réalisations
de classe
de
z est
z , de classe
tel que h(0)
cr , r
k , il existe un voisinage V
E, un difféomorphisme local h de classe C
de classe
F, nulles en
de
r 2 k, il existe un homéomorphisme local h
g
k
p. Considérons les notions suivantes :
v-suffisant si
f et
appelle jet
2 k
Dé&mun
suffisant
-
, on
cr ,
l'ensemble de tous les k-jets de germes
en 0, d'applications de classe
O et
un ouvert
V
=
dans
L(F)
1
de
O
et une application a
tels que :
IF ,
Suivant R. Magnus [II, nous considérerons une troisième notion
1
d'équivalence de contact : la C -équivalence de contact "polaire"
1
qui est plus faible que la C -équivalence de contact. Pour cela nous
supposerons qu'il existe sur l'espace de Banach
préhilbertienne. Soit
la sphère unité de
C
bertienne ; à tout germe
E
cr
dans
dans
x C
E pour la norme préhil-
O d'application de classe cL , de
f en {O} x C , d'application de classe
f en
F, on associe un germe
de IR
E , une structure
de la façon suivante :
F
DéO.inÜion 3.- Soit z dans Jk (E,F) , on dira que z est
suffisant
-
1
C -équivalence de contact "polaire" si pour toutes
pour la
réalisations f et
V et V'
voisinages
local
C
de
de
de classe
(p,8)
de classe
g
1
,
ii)
V
de
E
C
C
dans
,
1
z
, de
{O)
x C
classe
dans IR
, de V
Dans le cas où les espaces E
=
x C
dans V'
3 k
, un
, il
existe des
difféomorphisme
et une application
a
tels que :
L(F),
a(0,S)
cr , r
IF
et
F
sont de dimension finie, un critère
de v-suffisance a été donné par Tzee-Char Kuo dans [2].
Ce critère
peut s'énoncer ainsi :
Un
il existe
E
z dans
>
O
k
J (n,p)
est v-suffisant si et seulement si,
-
tel que,pour tout
la différentielle
- dz(x)
x
vérifiant
admet une section s(x)
1 1 z(x) 1 1 <
telle que
E
( 1x1 l k ,
Ce critère permet dans le cas des espaces de dimension finie de déterminer
l'aspect topologique local de la surface de niveau d'une application de
classe
cr , au
voisinage d'un point. Pour notre cas, nous nous intéres-
sons aux jets d'ordre 2, qu'on pourra (*) supposer homogènes. En dimension
finie, pour un
k-jet homogène, la v-suffisance entraîne la
lence de contact [3].
dans
141
1
C -équiva-
Pour les espaces de Hilbert, Ph. Antoine a montré
que le critère de Tzee-Char Kuo étendu de manière évidente aux
cas des espaces de dimension infinie,entraîne encore la
1
C -équivalence
de contact. Notre propos est de démontrer un résultat analogue pour des
espaces plus généraux. L'idéal serait de faire cette extension aux espaces
de Banach quelconques ! Malheureusement, les techniques de démonstrations
ne s'y prêtent pas ; et c'est pourquoi on fait appel à des espaces de
Banach munis d'une structure supplémentaire qui tient lieu du produit
scalaire des espaces hilbertiens, à savoir les "couples hilbertiens"
définis au paragraphe 1.5. Cette classe d'espaces contient entre autres
la classe des espaces de Hilbert. Ajoutons, par ailleurs, que les fonctionnelles du calcul de variations sont définies et différentiables sur des
"couples hilbertiens". Les hypothèses que l'on fera (condition (R) page 36)
sont plus faibles que la généralisation naturelle sur l'espace de Banach
du critère de Tzee-Char Kuo ; en contrepartie nous ne démontrerons
(théorème 11.1.) que la suffisance pour la
1
C -équivalence de contact
polaire. Nous donnons une démonstration du théorème 11.1. au chapitre II,
après avoir, au préalable, au chapitre 1, d'une part rappelé le
formalisme de calcul différentiel sur les couples [5]
et d'autre part
établi certains résultats techniques (notamment les propriétés des
morphismes de couples admettant une quasi-section) dont on se sert au
....................................
(*) : voir proposition 1.10.2. page 30
.
chapitre II. Nous présentons ensuite au chapitre III une application
du théorème I I . l . ,
dans le cas d'une équation d'évolution d'un système
autonome. Après avoir fait apparaître l'ensemble des solutions de cette
équation comme la surface de niveau d'une application différentiable
entre couples, nous donnons une condition nécessaire et suffisante (C)
(XX>
pour que la différentielle seconde intrinsèque de cette application
vérifie la condition (R) (du théorème 11.1.). La condition (C) présente
l'avantage d'être locale et finidimentionnelle et peut donc être facilement
vérifiée sur un exemple.
......................................
(**) : La condition (C) est donnée au théorème 1 1 1 . 3 . page 64
.
FORMALISME INTERVENANT DANS L'ENONCE DU TUEOREME.
.................................................
Nous énonçons ici (paragraphes 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.8
et 1.9) les résultats du calcul différentiel sur les couples d'espaces
de Banach en dualité dont nous aurons besoin. La plupart des démonstrations se trouvent dans [5].
N*
eanmoins,nous donnons des résultats
nouveaux avec leurs démonstrations aux paragraphes 1.6, 1.7 et 1.10
.
1.1. - COUPLES D'ESPACES DE BANACU EN DUALITE.-
D ~ @ ~ O M . -On
1.7.7. -
en dualité et on le note iE
,
sont des espaces de Banach et
E et E'
2
=
le triplet
@
(E,E1,@) où E
et
E'
une forme bilinéaire continue mettant
en dualité séparante.
2.1.2.
IE
appelle couple d'espaces de Banach
(E ,Et,@ )
2 2 2
Couple pkadW* : soient E
-
1
=
(el,E'1' m 1 )
et
deus couples d'espaces de Banach en dualité, on définit
le couple produit
El x E2 (au sens de la catégorie des couples d'espaces
de Banach en dualité), par le triplet
est la dualité donnée par :
(El X E 2 , Ei (BE;, @)
où
@
.-
1 . 2 . - MORPHISMES DE COUPLES ( * )
- Dé&iWan.-
1.2.7.
F
(resp. u')
F'
(resp. de
dans
et IF
=
(F,F1,Y)
( , l E l ) et
du couple E dans le couple IF
II(u,ul)\I
=
de IF
dans 6
l'ensemble des morphismes
L@,lF)
est un espace de Banach pour
Compo~Ltiond u manpkinrna de caupRe~.
et
6
trois couples d'espaces de Banach
(u,ul) un morphisme de E
morphisme de IE
1.3.
.
L(&,lF)
c'est-à-dire le
SUP(IIUII, IIu'II)
Etant donnés, E , IF
en dualité,
dans
deux couples d'espaces de Banach
le morphisme identité de E
couple d'applications
-
E
(u,ul)
vérifiant :
E')
en dualité, on note
1.2.2,
couple d'applications
est une application linéaire et continue de
Soient E = (E,E1,@)
la norme
, un
dans le couple IF = (F,Ff,y)
E = (E,E1,Q)
où u
On appelle morphisme du couple
. Alors
dans
(v,v')
G
O
dans IF
(u,ul) = (v
O
et
u, u'
(v,vl) un morphisme
O
v')
est un
.
- MORPHISME 81LINEAIRE SYMETRl!,?UE DE COUPLES. 1.3.7. - P é ~ i ~ u n . Soient
E
=
(E,E',@) et D?
=
(F,F' , Y )
deux couples d'espaces de Banach en dualité, on appelle morphisme bilinéaire symétrique, le couple d'applications
où A
est bilinéaire symétrique et continue de
bilinéaire continue, de F'
x
E
.........................
:
x
E
dans
F
et A',
dans E t , vérifiant la propriété
d' adjonction suivante :
(t)
E
dans IF
de E x E
(A,A1)
Couples d'espaces de Banach en dualité.
,
2
On notera Ls(lE,lF)
l'ensemble des morphismes bilinéaires symétriques
de E x E
dans IF.
I I(A,A1)I I
=
sup(l
IAI
2
Ls @3 ,IF)
1,
est un espace de Banach pour la norme
I IA' I I ) .
1 . 4 . - OPERATEURS SYMETRlQUES SUR UN COUPLE. 1.4.7.
- DéBi&iA%on.-
Soit IE
=
(E,E1,Q) un couple d'espaces
de Banach en dualité. Un opérateur symétrique sur IE
tion
T , linéaire et continue de
On notera L )
s
le couple IE.
l'ensemble des opérateurs symétriques sur
S
- hoponiAion. -
Démonstration :
dans
L~ (lE ,IR)
S
,
L
)
s'identifie à
Considérons l'application ri
2
Ls @,IR)
de
.
LS@)
définie par :
'di
où AT
E T , telle que :
est un espace de Banach pour la norme :
L @3)
1.4.2.
dans
E
est une applica-
E
LS@)
,
n(T)
=
(AT, A+)
désigne une application bilinéaire symétrique et continue
de
E
E
x
dans 1R
,
définie par :
une application bilinéaire et continue, de IR
et
E dans El,
x
définie par :
1 1Q 1 1
est une application linéaire ; elle est continue car
En outre
AT
q
est injective. En effet, n(T)
identiquement nul;dfoù, O(Tx,y)
dans E. Ceci entraîne, puisque
Tx
=
O
, pour
tout x
de
@
=
O
,
=
O
q
1 1@ 1 1) .
entraîne en particulier
quels que soient x
et
y
est une dualité séparante, que
.
E donc T est identiquement nul.
autre part n est surjective (puisque T
Ainsi
sup ( 1 ,
est un isomorphisme de
Ls@)
dans
L:(E&).
=
A' ( 1 , .)
E
L~("))
1.4.3. - Vé&Lnb%on.-
Soit T c L S m )
, T
est dit positif
1.4.4.
Soit T
,
est dit coercif
.
si :
- VE&inb%on.-
E
LSm)
T
s'il est intérieur à l'ensemble des opérateurs positifs sur le couple IE
1.4.5.
-
PhopohLii.on.-
Soit
T est un isomorphisme de E dans E'
T
E.
Ls(lE),
alors
T positif, si
T est coercif sur le
.
7 . 5 . - COUPLES ffTLBERT7ENS.7.5.7.
- Dé&LvLi;tion.
-
Etant donné IE
d'espaces de Banach en dualité. On dira que IE
=
(E ,E' ,@)
,
un couple
est un couple hilbertien
s'il existe un opérateur coercif sur IE.
1.5.2.
- PnoptLiéXéd d' un o p ~ a t e u hc o e h c i O d u h un c o u p l e .
Un opérateur coercif T
sur un couple IE
=
(E,E1,@) (hilbertien)
définit une structure préhilbertienne séparée sur l'espace
Les structures préhilbertiennes définies sur l'espace
opérateurs coercifs T, et
On note
séparée sur E
et
% , le
de norme
.
par deux
sont équivalentes.
E pour la structure préhilbertienne
complété de
(définie par un opérateur coercif T
sur le couple E)
, quel que soit x de E.
lx/% = lxlT
7.5.3.
T2
E
E
-
Ptopoa&on.-
Tout facteur direct d'un couple hilbertien
est un couple hilbertien.
7.5.4.
- Rmmque.-
Tout couple IE
de dimension finie est un
c o u ~ l ehilbertien.
7.5.5.
et % ,
-
- PtopoaiAion.-
Soit IE
-
=
(E,E1,@) un couple hilber~ien
l'espace de Hilbert associé au couple IE. On a les propriétés
suivantes :
1) L'injection canonique, a
2) Pour tout x'
de
-
de
-
E
dans
-
est continue.
E', la forme linéaire ( x , . )
sur
-
E,
. Et
s'étend en une forme linéaire continue sur
' ,
E'
sur % ,
-
dans l$
, définie
par
est la prolongée de
@(xl,.)
est une injection continue et d'image dense.
3) Tout opérateur T
opérateur hT
Si l'on pose
L~(%)
a(xl)
l'application linéaire
symétrique sur E
dans
symétrique de
L s)
=
Ls (
,
)
s'étend en un
c'est-à-dire
l'application
r
a
de
y
O
T
hT
=
Lsm)
O
a.
dans
définie par :
est linéaire continue.
7 . 5 . 6 . - Ptrapaai,tian.-
de E
,-
linéaire continue h u , e
ainsi définie de Lm$?)
l'application u' de F'
continue de
<
1.5.7.
hilbertiens et
dans
-
% dans %
dans
dans
L
,
E'
et IF = (F,F' , Y )
dans IF
.
F , s'étend en une application
dans
)
et l'application linéaire
est continue. En outre,
s'étend en une application linéaire
; cette extension h*
u
est la transposée
Cana~aihe.- Soient IE et F deux couples
(u,ul) un morphisme de IE
rateur coercif sur le couple IF
existe alors b
= (E,E1,@)
(u,ul) un morphisme de IE
deux couples hilbertiens et
Alors 1'application u
Soient IE
dans F. Si S est l'opé-
qui a servi à construire
strictement positif tel que
5
,
1.5.8. - Ca&aUdAe.-
Soit IE = (E,E1,@) un couple hilbertien.
On considère
(A,A1) un élément de
où T.
1 '
i
1
$
$
n
,
est un opérateur symétrique sur le couple E et
-
, constante
Il existe alors D
2
LS @,Rn) défini par
strictement positive telle que :
1.6. - MORPHlSMES ADMETTANT UNE QUASl-SECTION.On considère IE
=
, IF
(E,E1,@)
d'espaces de Banach en dualité et
v
=
=
(F,F1,Y) deux couples
(u,ul) un morphisme du couple IE
dans le couple IF.
1.6.7. - D 5 ~ i n d i o n . - On dit que v
s'il existe un morphisme
5 =
admet une quasi-section
(s,sl) du couple IF
dans le couple E
tel que :
Soient
i
l'injection canonique de
la surjection canonique de
El
dans
Coker u'
Keru dans
E , i'
1 . 6 . 2 . - P x c r p o n a o ~ -.
sur
-
Coker u' x Ker u
t/x
,
Ker u
E
La forme b i l i n é a i r e
définie
O
par :
-
vx'
E
E'
,
Si
@ l ( [ ~ ' ] , X) = O
Q1([x1],x) = Q 1 ( i f x ' , x ) = @ ( x l , i x )
e s t une d u a l i t é s é p a r a n t e .
Démonstration :
on a
@(xl,ix)= O
ix = O
,
quel que s o i t
@(XI,ix) = O
de
@l([x'],
X) =
O
x ; donc
q u e l que s o i t
x = O
:
,
x'
h']
q u e l que s o i t
d ' o ù , puisque
i é t a n t i n j e c t i f , il v i e n t
et,
D'autre p a r t , s i
a
x'
,
O
e s t séparante,
.
q u e l que s o i t
x
on
a p p a r t i e n t au p o l a i r e
Ker u.
Nous a l l o n s montrer que ce p o l a i r e e s t é g a l à
Im u f .
On a :
VY'
Donc
I m u'
E
Fr
, YX E
Ker u
u
@ ( u tY '
,
X) = Y ( Y 1 , uX) = O
e s t contenu dans l e p o l a i r e de
Réciproquement.
Corne
,
Soit
admet une q u a s i s e c t i o n
X'
Ker u
.
un élément du p o l a i r e de
s
,
Ker u
.
il v i e n t que :
Donc :
d'où :
X' - u' o s ' X' e s t n u l c ' e s t - à - d i r e
e t donc l e p o l a i r e de
Ker u
e s t contenu dans
Xf
appartient à
I m u'
.
Im u'
x'
P a r conséquent,
I m u'
E
1 . 6 . 2 . - P&di&on.e t on n o t e r a
Ker v
entraîne
[x']
= O
.
0
v = (u,ul)
On a p p e l l e r a noyau du morphisme
ou IKer(u,u1), l e couple d'espacesde Banach en d u a l i t é
défini par l e t r i p l e t :
(Ker u , Coker u '
On v é r i f i e que
i
,
, QI).
e s t un monomorphisme du c o u p l e lKer v
)
dans l e couple IE.
1.6.3.
- Dc?!b&p~%on du couple
Soient
et
k'
- Pnopob&on.
F
,Y
K e r u'
-
Coker u
.
F'
dans
sur
La forme b i l i n é a i r e
Y
définie
par :
-
Ker u ' x Coker u
YY E
F
l a s u r j e c t i o n canonique de
l ' i n j e c t i o n canonique d e
1.6.3.
sur
-
k
(Coker v .
'
E
,
K e r u'
Y I ( y l , [y])
= Yl(yl,ky) = Y(kly',y)
e s t une d u a l i t é s é p a r a n t e .
Démonstration :
alors
Y(kly',y)
k'
de
e s t n u l q u e l que s o i t
y
d ' o ù , puisque
e s t injectif,on obtient
Par a i l l e u r s , s i
Y(k'y',y)
Y l ( y l , [y])
e s t n u l q u e l que s o i t
k t y ' = O ; e t comme
on a
Si
Y I ( y ' , [y])
n u l q u e l que s o i t
y'
Donc
E ,
YY' E
Im u
Keru'
,
e s t séparante,
y' = 0.
e s t n u l q u e l que s o i t
; donc
y
y'
,
a p p a r t i e n t au p o l a i r e
Ker u ' . Nous a l l o n s prouver que c e p o l a i r e e s t é g a l à
XE
Y
Iy]
Im u
Y(Y1,uX) = @ ( u ' Y 1 , X ) = O
e s t i n c l u s dans l e p o l a i r e de
Ker u ' .
on a :
Réciproquement si l'on prend
étant donné que u'
'dy'
Y
dans le polaire de
admet une quasi-section
F'
E
,
Y'
-
s'
ut Y'
O
s'
E:
, on
Ker u',
a :
Ker u'
il vient alors :
d'où
Y
-
u
polaire de
à
sY
O
Ker u'
Im u et
Ly]
=
Y
appartient à
est contenu dans
(Coker u
par le triplet
et donc le
finalement y
appartient
On appellera Conoyau du morphisme
et on le notera Coker v
= (u,u')
Im u
Im u
O.
- Dé&iuU;tion.-
7.6.3.
v
est nul i.e.
On vérifie que
, Ker
ou
Coker(u,ul), le couple défini
.
u', Y i >
(k,kl) est un épimorphisme du couple
Coker v
dans le couple IE.
- DacnipZLon du couple a m v .
7.6.4.
Soient j
l'injection canonique de
surjection canonique de F '
dans F
,
j'
la
LI'.
- P t r o p o a ~ o n . - La forme bilinéaire Y 2
7.6.4.
CoIm u'
sur CoIm
Im u
définie sur
Im u par :
x
est une dualité séparante.
Démonstration : Si
on a Y(zl,jz)
jz = O
et
=
O
Y2([z1]
quel que soit
,z) =
z'
quel que soit
d'où, puisque
j, étant injectif, il vient
autre part, si YZ(k1] ,z)
O
[z']
Y est séparante,
z = 0.
=
O
quel que soit
z, il
vient :
Y(zl,jz) = O
q u e l que s o i t
z ; donc
I m u . Montrons que c e p o l a i r e e s t é g a l à
de
YZ'
E
, YX e
Ker u'
Donc
Ker u '
, Y(Z1,uX)
E
u
,
Ker u '
Z'
admet une q u a s i - s e c t i o n
on a :
= @ ( u 1 Z ,X)
'
= O
e s t i n c l u s dans l e p o l a i r e d e
Réciproquement, p r e n o n s
Sachant que
a p p a r t i e n t au p o l a i r e
z'
.
I m u.
Im u
un élément du p o l a i r e d e
s,
.
il v i e n t :
D ' a u t r e p a r t , on a :
YZ E:
d'où
Z'
,
Y(Z1
= Z'
-
F
d é d u i t que
-
s'
-
(Z'
s'
u' Z'
O
. Comme
appartient à
Z'
est contenu dans
u'
(Z - u
O
s Z)) = O
admet une q u a s i - s e c t i o n
Ker u ' . E t donc l e p o l a i r e de
s'
on
Im u
Ker u'.
P a r conséquent
,
z'
E
Ker u '
soit
[z']
= O
.
- D E ~ i W a n . - On a p p e l l e r a image du morphisme
1.6.4.
e t on l e n o t e r a
-
u ' Z ' ) , Z) = y ( Z 1 , Z
O
Em v
ou
v = (u,ul)
Hm(u,ul), l e couple d é f i n i p a r l e t r i p l e t
(Im u , CoIm u ' , Y 2 > .
On v é r i f i e que
( j , )
e s t u n monomorphisme du c o u p l e
Hm v
dans l e c o u p l e P.
- Lemme.-
1.6.5.
on suppose que
u
Soit
u : E +F
admet une q u a s i - s e c t i o n
une a p p l i c a t i o n l i n é a i r e c o n t i n u e
s, (i.e.
on a l e s v r o v r i é t é s s u i v a n t e s :
1)
p = s
O
u
e s t un p r o j e c t e u r s u r
E.
2)
q
u
O
s
e s t un p r o j e c t e u r s u r
F.
3)
Ker p = Ker u
=
.
: u
O
s
O
u
=
u)
alors
3) On a évidemment
pour
x
dans
,
Kerp
4)
s , il v i e n t que
un
x
E
. Soit
élément de
section,
y
De t o u t e é v i d e n t e ,
Im u C Im q
que
s o u x = O d'où
ona
admet une q u a s i s e c t i o n
E
y
t e l que
et
x
Ker u .
E
I m u. Montrons
I m q e s t contenu dans
,
Im u
il e x i s t e a l o r s
y = u x . Sachant que
y = u
O
s
O
u x
Ker p C Ker u .
que
u o s o u x = u O = O . Corne
ux = O
un élément de
s , il v i e n t que
. Montrons
K e r u C Ker p
u
y = u
d'où
admet une q u a s i O
s y
e t donc
R
ï m q.
7.6.6.
-
Lmme.-
Soit
IE = ( E , E 1 , @ ) dans l e couple IF
a
une q u a s i - s e c t i o n
v = (u,ul)
=
(F,F',Y)
,
un morphisme du couple
v
on suppose que
admet
= ( s , s l ) . Alors on a l e s p r o p r i é t é s s u i v a n t e s :
1)
(S
O U,
ut
O
s') = (p,pl)
e s t un p r o j e c t e u r s u r l e couple IE.
2)
(u
O
s , s'
O
u ' ) = (q,ql)
e s t un p r o j e c t e u r s u r l e couple IF.
3)
Ker p = Ker u
I m p' = I m u'
Im q
4)
=
Im u
Ker q' = Ker u '
Pheuve
:
1 ) Sachant que
et
u ' = u'
O
s'
.
O
u')
s u r l ' e s p a c e de Banach
v
on a
admet une q u a s i - s e c t i o n
(lemme 1.6.5.)
E . E t e n remplaçant
que
u
(i.e.
p = s
par
u'
O
:
u
u = u
O
s
O
u
e s t un p r o j e c t e u r
dans l ' h y p o t h è s e
u
du même l e m e 1 . 6 . 5 . il v i e n t que
p' = u's'
E'. D'autre p a r t , s i
l ' e s p a c e de Banach
e s t un p r o j e c t e u r s u r
e s t l a d u a l i t é s u r l e couple
Q
E, o n a :
c'est-à-dire
:
,
YxsE
et
(p,pl)
vx'
E'
E
,
@ ( x l , px) = Q ( p ' x ' , x )
2) D ' a p r è s l e lemme 1.6.5.
s u r l ' e s p a c e d e Banach
du même lemme I . 6 . 5 . ,
ailleurs,
F
et
O
\JY
E
F
,
vy'
F',
E
Y(yl, u
en
s
e s t un p r o j e c t e u r
u'
dans l ' h y p o t h è s e
O
F ' . Par
F , on a :
s y) = Y(sl
u'y',
O
y)
:
e s t un p r o j e c t e u r s u r l e c o u p l e IE'.
3) D'après l e lemme I . 6 . 5 . ,
s i l ' o n remplace
vientque :
u
Imu'
par
0
u'
e n remplaçant
u
par
u ' = Ker u '
u'
soit
on a :
Ker p = Ker u. En o u t r e ,
dans l ' h y p o t h è s e de ce lemme I . 6 . 5 . ,
s' = I m u '
4) Du lemme I . 6 . 5 . ,
O
u
O
e s t un p r o j e c t e u r s u r
u'
é t a n t l a d u a l i t é s u r l e couple
(q,ql)
Ker s '
q = u
e n changeant
q' = s'
on a
on a
Y
c'est-à-dire
et
.
e s t un p r o j e c t e u r s u r l e c o u p l e JE
Soit
Imp' = Imu'
on d é d u i t que
I m q = I m u. E t
dans ce lemme I . 6 . 5 . ,
Ker q' = Ker u '
.
.
on o b t i e n t que
il
7.6.7, - P&~pobh%on.- Soit v
= (u,ul) un morphisme du couple
E = (E,E1,Q) dans le couple IF = (F,F1,Y). Si v
v
o = (s,sl) alors le couple Ker
Démonstration :
dans
E
et
est un facteur direct du couple H.
Soient
i, l'injection canonique de
i f , la surjection canonique de
allons établir que le monomorphisme
(y ,y1), de JE
savoir un morphisme
y o i =
E'
dans
0
y* =
Ker u
Coker u'. Nous
admet une projection, à
(i,)
,tel
dans IKer v
i'
l ~ e ru
admet une quasi-section,
] Coker
que :
u'
On sait (définition 1.6.2.) que Ker v = (Ker u, Coker u', Q 1 )
où
@
1
est définie par :
V[x1]
Coker u'
E
,
[x']
vx
i'x',
=
/x
On définit une projection
(p,pl) = (s
U,
O
sur lKer v
de IE
(y,y')
s')
U' O
(lemme 1.6.6 .) , 1'endomorphisme
x)
-
(1,
dans Ker v
(lE
D'autre part,
on a :
-
p, lE1
y = IE
i
O
-
p')
1) i
uoi=O)
O
d'où
2) (i'
i'
O
(y
i)
O
(i
=
y o i =
O
u' = O)
y')
O
d'où
y)
' ~ e ru
i'
=
i'
i'
O
O
@(x1,ix)
dans E.
par :
-
,
p')
du couple H ,
(y,yl) linéaires et continues
p
,
et y'
O
i'
=
étant un morphisme de E
i , )
O
-
p, ',1
]Et
.
- P'
dans
sur Ker v. Vérifions que
lui-même, (y,yl) est un morphisme de IE
(y,yl) est une projection de
=
étant un projecteur sur le couple JE
se factorise en un couple d'applications
(car
Ql([xl],
, i f ) est le monomorphisme canonique de lKer v
et que
de E
,
Ker u
on a :
i = (lE
-
p)
i = i ,
O
(car
'
O (
y'
O
il) = i'
y' = '~okerU'
.a
O
(IEl
-
pl) = i'
,
- Phopoai.tion.-
1.6.8.
Soient IE
deux couples d'espaces de Banach en dualité. Si v
lim v
,
dans IF
de IE
-
admet une quasi-section
F
et
j'
. Alors
o = (s,sl)
Soient, j
le couple
l'injection canonique de
la surjection canonique de
j ,j )
que le monomorphisme
Xm v
=
est un facteur direct du couple TF.
Démonstration :
dans
et IF = (F,F',Y)
(u,ul) , morphisme
(E,E',@)
=
F'
sur
admet une projection
CoIm u'
r , )
Im u
. Montrons
de TF
sur
tel que :
r o j = l
et
Im u
jfor'=1
CoIm u'
On sait (définition 1.6.4.) que Im v
par le triplet :
(Im u, CoIm u t , Y2)
où
Y2
'
est le couple défini
est la dualité définie
par :
Vb']
et que
E
CoIm u'
,
[y']
=
(u
O
j'y'
,
yy c
s, s'
O
,
u')
,
de
sur IIm v
continues de IF
(q,q')
y2([;'],
y)
, par
=
Y2(j'y',y)
=
Y(y',j Y)
dans TF. On
:
étant un projecteur sur le couple IF (lemme 1.6.6.),
)
il se factorise en un couple d'applications
Comme
,
Im u
est le monomorphisme canonique de Hm v
(j,)
définit une projection
(q,q')
=
linéaires et
sur Hm v , comme suit :
est un endomorphisme du couple IF ,
morphisme du couple IF
sur le couple I m v
.
r , )
est un
, a 1 ) est une projection de IF
Vérifions que
1
d'où
jo(aoj)=(jo~)oj=qoj=j
a o j = I Im u
(car Ker u'
=
0 nt) 0
Ker q')
j'
d'où
j'
=
j'
0
n'
O
- P&opo~Ltion.-
7.6.9.
(nl O j')
=
dans IF ,
-
=
j'
qou=u)
Soient IE
O
(E ,E' ,@)
=
q' = j '
m
1 CoIm u'
deux couples d'espaces de Banach en dualité et
IE
(car
'
(j:
2)
.
sur Em v
et
(F,F' ,Y)
=
(u,ul) un morphisme de
(s,sl) , alors on a les proprié-
admettant une quasi-section
tés suivantes :
de
i) L'application u
Im p
de
-
F'
dans
dans
-
g
Im q
E'
,
p
s
=
O
E
dans
F, induit une application v
q = u
u
Et l'application
O S.
dans
-
induit une application v' ,de
- Im q'
ii) La restriction
QI
de
,-
à
-
Im P'
x
Im p
,
dualité séparante. On note IF
Y,
1
,
,de
Y à Im q'
x
Im q
.
est une
: (Im q, Im q' , YI)
le couple
est un isomorphisme du couple
iv)
,
Im p'
est une
dualité séparante. On note E l , le couple : (Im p, Im p', 01)
iii) La restriction
u'
.
dans le couple
Démonstration :
i) Montrons que v
dans
Im q
. On a
u
sur
Im p
,
est à valeurs
:
v x ~ : I m p ,j y c E
une quasi-section
induite par
s).
,
v x = u x = u o s o u y
(car u
admet
Posons
appartient à
Im q
e s t à v a l e u r s dans
b'z'
. D'autre
,3 z
admet une q u a s i - s e c t i o n
Posons
En o u t r e
v'
O
s x'
induite par
donc
u'
,
Im q'
sur
= u'z'
= u'
O
s'
,
v'z'
= U'
O
S'Y'
il v i e n t
O
u'z
(car
u'
(resp. v')
e s t l i n é a i r e continue c a r
,
que
(p,pl)
u
(resp. u')
(resp. (q,ql))
e s t un p r o j e c t e u r s u r IE
( r e s p . IF)
et
I m p'
s o n t fermés r e s p e c t i v e m e n t dans
et
E'
(resp. Im q')
donc
.
l ' e s t . P a r a i l l e u r s , s a c h a n t (lemme 1 . 6 . 6 . )
I m p (res. I m q)
l e s sous-espaces
E
( r e s p . F)
( r e s p . F ' ) . I l s s o n t donc des e s p a c e s de Banach.
ii)
, définie
La forme
sur
e s t une forme b i l i n é a i r e c o n t i n u e ( c a r
q u e l que s o i t
y
dans
Im p
,
section
s ' , on a : @ ( u t O s'x:
tout
x
dans
soit
y ' = O. S i
E.
s a c h a n t que , u
O S'X:
s
Im P' x Im p
a l o r s sachant que,
s
O
,y) = O
O
u X) = @(x', s
@
s
I l v i e n t donc, puisque
@
(U
O
s
O
@I(y',y) = O
admet une q u a s i -
O
u'
O
s'x'
e s t s é p a r a n t e : u'
q u e l que s o i t
O
u'
u x) = @ ( u l O s '
admet une q u a s i - s e c t i o n
par :
l'est).
@
Il v i e n t donc,puisque
m l (y'
,
e s t s é p a r a n t e . En e f f e t s i
Montrons que
@(u'
v x
:
, v'z'
F'
t~
U'Z
Imp'
v
part,
v x = u
s').
y' =
appartient à
v'z'
il v i e n t
. En e f f e t
I m p'
Irn q '
E
,
x' = u y
,
y'
dans
I m p'
O
,x) = O , pour
s'x'
,
= O
alors
on a :
u x)) = O
e s t s é p a r a n t e que :
s
0
, pour
u x = O
tout
x'
soit
E'
dans
y = O
.
.
La forme Il définie sur
iii)
Im q'
Y
est une forme bilinéaire continue (car
l'est). Montrons qu'elle est
séparante. En effet si
Yl(zl,z) = O
alors sachant que, u'
admet une quasi-section
Y(S'
,u
u'y'
O
O
s y)
=
Y(S'
(u'
O
Si Yl(zl,z)
que
u
Y(s'
O
O
=
quel que soit
O
s y)
=
11 vient donc, puisque
iv)
v
Y(yl, u
x
u x
et
1
O
=
Im v
x
1
=
O
Im u
=
=
. En outre
et
=
O
u
O
O
v
v (resp. v')
Im p
e Im p
1
=
Im u'
=
Im
Im q
=
Ker q '
d'où
v'
ml)
v x
n Ker
x
=
1
et IFl
,
,
O
on a x
et
v' y;
=
.
.
O
dans
1
u. Comme d'après le
1
E
Im p 0 Ker p
Im u
=
Im q
on a y'
1
,
on a :
est
dans
y' o Im q'n Ker u'. Or d'après le
I
donc y' o Im q'
1
Im u'
=
n
Im p'
Ker q'
où IE
1
soit y;
on a :
est surjective. Vérifions que
est un morphisme de El dans IF1
(Im p, Im P',
O
quel que soit y '
dans F'
s y = O soit z = O
est bijective.
il vient que
Par ailleurs sachant (lemme 1.6.6.) que
Im v'
et
,
est surjective. D'autre part, v'
c'est-à-dire
lemme 1.6.6. on a Ker u'
.
z' = O
soit
alors, du fait
= O
(s y))
sachant (lemme 1.6.6.) que
Im q d'où
u' y;
,
Ker u
=
injective car pour y; dans
Im q'
s
x
c'est-à-dire
lemme 1.6.6. on a Ker p
donc
O
dans
1
que soit y
dans F ;
s, on a :
Montrons d'abord que
est injective car pour
Im p
,
Im q'
est séparante, que : u
Y
, quel
O
=
: s' O u'y' = O
dans
Im q
s', on a :
u1)y' ,y)
, que
z'
admet une quasi-section
utY', u
z dans
quel que soit
O S' O
il vient, puisque Y est séparante
par :
Im q
x
(v,vl)
est le couple :
le couple : (Im q, Im q', YI). On a :
=
O.
(u,ul) est un morphisme de IE
Comme
dans IF
,
il vient que :
Par conséquent :
Ainsi
dans IFl
(v,vf) est un morphisme de B I
est bijectif, (v,vl) est un isomorphisme de E l
. Comme
v (resp. v')
dans IF1
.
1.7. - DESCRlPTlUN D E S FACTEURS DIRECTS H1LBERTlENS.Soient E
(E,E1,@)
=
v
de Banach en dualité et
=
, F
=
(F,F1,Y) deux couples d'espaces
(u,ul), un morphisme de IE
admettant une quasi-section o
=
dans IF
,
(s,sl). On fait l'hypothèse supplémentaire
suivante :
(M)
:
Il existe un opérateur
A
de
E
dans
E' , symétrique
positif et inversible.
L'opérateur A
est donc coercif (proposition 1.4.5.) et le
couple IE
est hilbertien. Le couple lKer v
couple E
(proposition 1.6.7.) il est aussi hilbertien (proposition 1.5.3.).
Il existe alors sur lKer v
S
=
il
O
n
O
i
(où
étant un facteur direct du
un opérateur coercif ; par exemple
(i,il) est le monomorphisme de lKer v
est coercif sur IKer v
.
dans E)
1 . 7 . 7 . - Dé&LrLtion.-
Etant donné un couple IE = (E,E1,@),
'L
'L
E 1 , E , où
@
%
on note IE
le couple donné par le triplet :
dualité définie sur E
x
par :
E'
(M)
Remarquons d'abord qu'en vertu de l'hypothèse
de
E'
est la
, l'opérateur A - 1
dans E est symétrique positif et inversible ; il est donc
%
(Proposition 1.4.5.) coercif sur le couple IE
7.7.2.
isométrique de
- i.emm&.- L'identité de E'
6
Pheuve :
A
Soit
est inversible
Ainsi l'identité de
x'
un élément de
E'
,
,
E'
évaluons
lx'
1
.
G
qui a permis de construire
%
9
il vient :
induit une isométrie de
outre, cette isométrie.est surjective car E'
(Proposition 1.5.5.).
induit un isomorphisme
Q.
A étant l'opérateur coercif (sur JE)
Comme
qui est hilbertien.
$
. En
dans
est dense dans
Elle est donc un isomorphisme entre
$
$
et
%.a
Soient
le monomorphisme canonique de lKer v
(i,)
dans IE
N
et
(i,il). Le couple Ker v
(p,pl) une projection de
1.6.7.)
hilbertien et l'opérateur
D'autre part ,n considère
de l'espace
L
=
%er
et
w
(coercif sur le couple lKer v).
%er
,
est (proposition 1.5.3.)
r u
p
O
est coercif sur Rer v.
l'espace de Hilbert, complété
S
%yv
, l'espace de Hilbert complété
pour le produit scalaire associé à l'opérateur
Coker u'
dans
A- 1
O
,
pour le produit scalaire associé à l'opérateur
Ki.r u
de l'espace
p
v
(coercif sur le couple Ker v)
Ker u
2
un facteur direct du couple
étant (proposition
v
On notera
t'
y
L
t, l'injection canonique de
l'injection canonique de
Coker u'
dans
%yv
. On a le lemme suivant :
1.7.3.
- Lemme.-
Pneuve
:
L'identité de
S , ni l'opérateur
D'après la proposition 1.5.6.
*
linéaires continues hi
de
P'
a'
O
p'
&yv
dans
=
*
h
P
O
t'
induit un isomorphisme
Ce lemme ne résulte pas du lemme 1.7.2.
car ni l'opérateur
h
Coker u'
,
t'
Y
O
i'
ne sont bijectifs en général.
on sait qu'il existe des applications
de
%,
L
précédent
dans
hi, de
=
*
h.
1
O
a'
a
Ger
dans
,
hp,
Y
h*
de
$er v
dans
%yv
telles que :
O
e=
u
O
p'
.
faisons un schéma d'application entre couples pour situer le problème :
$
,
i
Ker uc
*
1)
de
hp
on a h*(~m t')
P
r!
Im h
P
=
r!
h ( ~ mt')
P
Wr
tjKer
phisme de
(
la norme
1
v
<
al(Im
Or
r!
h (Im t')
P
=
sur
=
E'
étant d'image dense,il vient :
al(Im p')
. Ainsi
h*
P
&%
w(1m pl)
Im p'
pour
de
sur
% , induit par
induit à son tour un isomorphisme
y
l'identité
de
sur o(1m pl).
P'
.
sur
est un isomorphisme
Im h
Comme le diagramme est commutatif on a
P
w(Im p')
En outre
étant d'image dense,on a :
h '(Im &) =
P
Im h
= w(Im pl)
P'
est un isomor-
qui est le complété de
3) hpl est une section de hi, donc h
de
est un isomorphisme
.
(lemme I.7.2.),
a' (Im p')
t'
al(Im pl)
2) L'isomorphisme y
de
donc h*
P
part, comme le diagramme est commutatif
Im h
P
=
E1
est une sectionde
* . D'autre
sur
Ger v
+
.
et donc h
P'
est un isomorphisme de
qui est le complété de
Y ' & ! %
Im p'
pour la norme
1 1%
.
4) L'application
..
Ger
~ide
dans
%ê;/V
définie
par :
X
est un isomorphisme induit par l'identité de Coker u'
h , o p = y O h
P
P
car le diagramme étant commutatif on a pour tout z' dans Coker u' :
Comme
h
est injective, il vient,pour tout
P'
p O t' z' =
.
1 z'
dans
Ce qui signifie exactement que
Coker u'
par l'identité de
z'
Coker u' :
est induite
p
.
VlFFERENTlAB7L7TE SUR LES COUPLES.1 . 6 . 7 . - Dé~i&crn.-
Soient IE
=
(E,E1,@)
deux couples d'espaces de Banach en dualité et
de U
(ouvert de
aux couples IE
i)
Banach E
et
ii)
définie sur U
E)
dans
et IF
si :
f
F.
est de classe
, IF
(F,F1,Y)
f , une application
cr ,
f est dite de classe
cr
=
relativement
relativement aux espaces de
F.
Il existe une application d'f
à valeurs dans
Autrement dit, l'application
en une application
b!x
Sf
E:
L(F1,E')
df, de
de classe
U
,
6f(x)
Cr- 1
Y
telle que :
U dans L(E,F)
cr-' , de
=
de classe
(df(x),
U
se factorise
dans Lm$?)
d'f (x))
.
, dé£inie
par :
Si
7 . 8 . 2 . - Rmcutyue.-
f
définie sur U
valeurs dans F, est une application de classe
et IF.
relativement aux couples E
2
6 f(x)
=
2
(d f(x),
ddlf(x))
cr ,
(ouvert de
avec
Alors pour tout x
de
r
>
2
E) à
,
U, le morphisme
est bilinéaire symétrique et vérifie la
propriété d'adjonction suivante :
YX,E
YY'E F '
E ,tfX2cE,
,
~ x o U ,
2
@(ddl£(x) (Y' ,X2) ,XI) = Y(Y' ,d f (x) (XI,X2))
2
6 f de
En d'autres mots l'application
1.8.3.
- RWnahque.-
U
dans
Etant donnés E
=
2
Ls@3,1F)
est de classe
(E,E1,@) et IF
deux couples d'espaces de Banach en dualité. Une application u
dans
F, linéaire continue, est de classe
définit un morphisme de couples
cas on a :
(u,ul), de IE
=
de
(F,F1,Y)
E
si et seulement si elle
dans IF. Et dans ce
1 . 9 . - THEOREMES D'EXTSTENCE SUR LES COUPLES.Soient
et IF
-
(F,F1,Y) deux couples d'espaces de Banach en dualité, U un
=
E et f une application de U
ouvert de
dans
relativement aux couples IE et IF. Si en un point
6f(a)
î.
W de b
£(a)
=
de V sur
-
tels que
f
U
de a
et
-
- Théonème d u d u n c ü o l u ~
'IF
(r 3 1)
on a
et un voisinage
soit un difféomorphisme de classe
W, relativement aux couples IE
1.9.2.
de
a
il existe un voisinage ouvert V
Isom(E,F),
cr
F, de classe
CI
.
~-
p
Soient
~
~
n
.
deux couples d'espaces de Banach en dualité,
U
un ouvert de
,
E
f une application de classe
V
il existe un voisinage
Ker df(a)
g(~)
6g(0)
1.70.
-
=
et lE
=
Cx
=
(i,il)
,
un voisinage
,
1
x
E
W
dans F.
dans
W
de l'origine dans
cL
E, de classe
relativement
telle que :
v ,
f(x)
=
£(a))
,
g(0)
=
a
monomorphisme canonique de lKer 6f(a)
dans IE.
GERMES ~L-E~,U~VALENTS
AU SENS DES COUPLES.- .DédiWon.-
1.70.1.
IE2
a
et une application g
aux couples Ker 6f(a)
et
-
de
U
de
admet une section,
U , la différentielle
Si en un point
cr
(E ,E1,@ )
2 2 2
,
1F
1
=
F IF
Y
Soient El = (E~,E;,@~)
,
, P2
=
(F ,F' ,Y )
2 2 2
d'espaces de Banach en dualité et deux applications
E l dans
FI
(resp. de
E2
dans
F 1. On notera
2
quatre couples
f
(resp. f') de
(f,x0)
le germe
de
f
en x
(f',Yo)
O '
(f,xo)
et
(£',yo)
le germe de
sont
f'
en yo. On dira que ces germes
r-équivalents au sens des couples s'il existe
1 (resp. 1') un difféomorphisme local de E l dans E2 (resp. de F I
dans
F ) , de classe
IF, et
2
cr
5) tels que
(f'
et
1 , x0)
O
7 . 7 0 . 2 . - Pttopohh'i0n.-
=
Soient IE
(1'0
une quasi-section. Alors le germe de
sens des couples au germe en
de
un ouvert V
Im df (xo)
Im df(xo)
,
Coker df (xo)
x
x
(0,O)
cr
, vérifiant
g(0,O)
Démonstration :
au cas où x
O
Sachant que
=
O et
vement des couples IE
(-y,yl)
x
est
-
O
U
admet
r-équivalent au
d'une application m
définie sur
à valeurs dans
où
= (x,g(x,y))
g
de
V , à valeurs dans Coker df(xo)
=
O
et
x
Sg(0,O)
Ker Sf (xo)
=
et
-
0.
Par translations, on commence par se ramener
f(xo)
=
O
et on pose
et Em(u,ul)
et IF
(u,ul) = (df(0),dlf(O))
=
=
Sf(0).
(s,sl),
sont des facteurs directs respecti-
(Propositions 1.6.7. et 1.6.8.).
une projection de IE
projection de IF
(F,F1,Y)
relativement
dans
-
O
(u,ul) admet une quasi-section, notons la a
les couples Ker(u,ul)
alors
f en x
relativement aux couples Im Sf (xo)
Coker 6 f (xo)
r
C (r 1 2)
pour
de la forme m(x,y)
est une application définie sur
classe
6f(xo),
Ker df(xo),
=
f une application de
E), à valeurs dans F, de classe
et IF. Si le morphisme
aux couples IE -
f, xo)
(E,E1,<a) , IF
=
deux couples d'espaces de Banach en dualité et
(ouvert de
(resp.
:
l(Xo)=.yo
U
et IE2
relativement aux couples IE1
sur IKer(u,ul)
et
sur lm(u,ul), les couples lKer(T,~')
,
Soient
une
et Em(u,u1)
sont supplémentaires dans F. Considérons une application
1 de U
E), à valeurs dans
(voisinage ouvert de l'origine dans
Im u
Ker u,
x
définie par :
b
'
x
E:
u ,
L(x)
= (IT
O
1' , de F dans Im u
et une application
y x)
f(x),
Ker
x
IT
, définie
(resp.
Montrons, en utilisant le théorème I.9.1., que
cr
difféomorphisme local de classe
(resp. IF
lm(u,ul) x IKer(u,ul)
par :
L')
est un
relativement aux couples E
et IIm(u,u1)
et
IKer(.rr,.rrl)). Remarquons
x
d'abord, en vertu du théorème de composition d'applications de classe
cr
L
entre couples que
aux couples IE
(resp.
et ICm(u,ul)
x
l') est de classe cr relativement
IKer(u,ul) (resp. IF
Il reste à établir que le morphisme 61(0)
isomorphisme de IE
6R1(0)
=
sur IIm(u,u1)
x
et Ilm(u,u1)
(d&(0),
=
IKer(u,u1)
d1L(0))
IKer(IT,vl)).
est un
et que le morphisme
est un isomorphisme de IF
(dL1(0), d'l'(O))
x
sur
Im(u,ul) x IKer(.rr,.rr1)). En effet :
(1)
Sachant (lemme 1.6.6.) que
projecteur sur E on a : E
=
l'application
dans
où x
E'
=
dans
d1(0),
est dans
1
Im
8 Ker
de E
Im p
,
CoIm u' 8 Ker p'
et
x2
Im p 8 Ker p
Im u
dans
Im p' = Im u'
,
(P,~') =
x
,
(S O
Ker p
Ker u
Ker p.
u, u'
,
Ker u
s')
est un
et
est donnée par :
D'autre part,on a
et l'application
est donnée par :
=
O
d'L(0)
,
de
E'
vx'
où x'
1
E
,
E'
est dans
d'L(0)
Im p'
et
x' = (u'x'1' x'2)
dans Ker p'. En posant :
xi
1
(v,vl) = (dt(0)
il vient que
El
(v,vl) = 6L(0)
est le couple :
, d'après la proposition I.6.9.,
où
ml)
(Im p, Im pl,
avec
1 = 0 /ïm p1 x Irn p
(v,vl) est un isomorphisme de El sur Im(u,ul). Par ailleurs
Ainsi
Iwr
(p ,p ' )
lKer
(U(O)
=
3
IKer
d't(0)
'
('~er p
-
1
(lKer u y Coker u' )
61(0)
d'où
p(reKl
,p1
Comme E = E lBIKer(u,u1), 61(O)
isomorphisme de E
(2)
Ker
x
, on a
IT =
Ker q
:
.
IKer(u,u1)
Sachant (lemme 1.6.6.) que
projecteur sur F
sur lui-même.
(v,vl) 8 h<er(U,U1) est donc un
=
sur lm(u,ul)
'
ker<u,ul>
est un isomorphisme de IKer(u,ul)
)
' 'Ker p' 1
=
(q,ql) = (u s, s'u')
F = Im q B Ker q
et l'application dt'(0)
,
,
de
Im q
=
Im u
est un
,
F dans Im u
x
Ker n
est donnée par :
Im q
où y 1 est dans
de F
sur
Im u
x
Ker
identité de CoIm u'
$
et
T
Y2
dans Ker q. Ainsi
; par adjonction
Coker n'
sur F'
d'tl(0)
dx'(0)
est l'identité
est l'application
et donc le morphisme
61' (O)
est un isomorphisme de TF
sur IIm(u,u')
IKer(.rr,.rrl).
x
m ,de V
Considérons enfin l'application
Im u
x
,
Ker u
Im u
dans
cr
elle est de classe
x
Ker
ouvert de
définie par : m
IT
1' O f ,
=
O
relativement aux couples Em(u,ul)
et IIm(u,ul) x lKer(m,.rrl). En outre m
x
IKer(u,u1)
est de la forme souhaitée
puisqu'elle s'écrit :
où
x
de V
Im u
est dans
1
dans
Ker u
et
g,llapplication
Ker IT,définie par :
dans
L'application
g
est de classe
O et
=
cr
relativement aux couples
et lKer(.rr,.rrl); de plus elle vérifie
ILm(u,u1) x IKer(u,ul)
(car R ( O )
, x2
£(O)
=
O)
g(O,O)
=
O
et sa différentielle en zéro (au sens
banachique) est donnée par :
dg(0,O)
Comme
dl(0)
morphisme
O
dR(0)
=
(1-IT)
O
u
O
=
est inversible, il vient que
6g(0,0)
(car
dg(0,O)
o u
IT
=
O
=
u)
.
et donc le
est identiquement nul.
Pour clore la démonstration de la proposition, il nous reste
à établir que Ker(.rr,rl) est isomorphe à
d'après le lemme 1 . 6 . 6 .
Coker u
: Im u = Im q. D'où un isomorphisme entre
Ker q. D'autre part, on rappelle que
et
phisme canonique de IIm(u,ul)
Ker q = Ker
que
IT'O
(Coker(u,ul). En effet on a
et
T
j'
=
q'
Coker u
,
on a
dans IF et comme
est donc isomorphe à
Im q'
=
Im
IT'
et
(j,)
q
=
Ker
Coker
j
O IT
IT.
IT'
est le monomoron a :
En outre sachant
est isomorphe à
Ker q '
. Or
d'après le lemme I . 6 . 6 . ,
phisme entre
e r ( )
Ker u'
et
dualité sur IF)
et
@oker(u,ul)
Ker q ' = Ker u'
d'où un isomor-
Coker T'. Par ailleurs les dualités sur
s'identifient
donc IKer(n,T1)
(comme restrictions de la
est isomorphe à
Coker(u,ul).
TUEOREME DE V-SUFFISANCE DU JET D'ORDRE
D'UNE
2
APPLlCATlON DlFFERENTlABLE ENTRE COUPLES.
..................................................
11.1
.-
ENONCE. DU TUEOREME. Soient IE
(E,E1,@) et IF
=
de Banach en dualité, U
=
un voisinage ouvert de l'origine dans
,à
une application définie sur U
valeurs dans
,
relativement aux couples E
et IF
1'application bilinéaire de
[~er df (O)]
par : A
=
Ker df(0)
k
O
2
d £(O)
dans E
On désignera par
dans
et
i
2
k
, où
,
élément de
2
s
L m e r &£(O),
=
O. On notera A
Coker df (0) dé£inie
bilinéaire de
définie par : A'
Ker d'£(O)
dans
£(O)
F sur Coker df(0).
E'
=
sur
i'
O
dd' f (0) o(k:i),
Coker d'£(O)
dans F'. Notons que
(Coker &£(O)).
Ker df(0)
et
Ker d'£(O)
x
où
i'
,
k'
l'injec-
(A,A1) définit un
On se propose de démontrer le
résultat suivant :
11.7.1. - T h é ~ h è m ~ . -Si f est de classe c3 relativement
aux couples IE
et IF
-
et vérifie les conditions suivantes :
i) Le morphisme
ii) Le couple
&£(O)
admet une quasi-section
a
=
(s,sl).
Coker 6f(0) est de dimension finie.
iii) Il existe un opérateur A
coercif et inversible sur le
couple IE.
iv) Le morphisme bilinéaire symétrique
condition (R) suivante :
f
c3
F, de classe
la surjection canonique de
est la surjection canonique de
tion canonique de
telle que
E et
i est l'injection canonique de
, l'application
A'
Coker d' f(O)
O
(F,F1,Y) deux couples d'espaces
(A,A1) vérifie la
3 ~ > 0 ,\dx
(RI :
Ker df(0)
E
, \YY
c Ker d'f(0)
Alors le jet d'ordre 2 de f est suffisant pour la
1
C équivalence
de contact polaire (au sens de la définition 3 de l'introduction).
En vertu de la proposition 1.10.2. et du lemme 1.7.3. il suffit
de démontrer le théorème 11.1. dans le cas où
suivantes : Le couple F
6f(0)
=
O
sous les hypothèses
est de dimension finie n, les couples E et
%
E
est canoniquement isomorphe à
sont hilbertiens et
bilinéaire symétrique
2
(A,A1) = 6 £(O)
I$
,
le morphisme
vérifie la condition ( R O )
suivante :
la démonstration du théorème dans ce cas repose sur le lemme fondamental
suivant :
11.2.1.
- Lemme.-
de Banach en dualité et
de
-
E dans IRn
. On
Soient E
=
(E,E1,(a) un couple d'espaces
(A,A1) un morphisme bilinéaire symétrique
%
suppose que les couples E
E
sont hilbertiens
%
est canoniquement isomorphe à
vérifie la condition
fi = {x
Soit R , l'ouvert de E , défini par
1 x c E , -1< 1 x /% < -3 1, il existe alors un
et une application
R à valeurs dans L m )
pour tout
x
pour tout x
de R
-
de
-
voisinage
U de
2
(A,A1) dans L;(J,E$~)
x
(A,A1)
(Ro).
2
U
et que le morphisme
((u,ul), v), définie sur
L(IR~) , de classe
x
et tout
(B,B')
de
-
cW ,
telle que :
U.
R.
Démonstration :
Nous utilisons essentiellement un théorème
de fonctions implicites dépendant d'un paramètre dont voici l'énoncé,
sa démonstration étant donnée en annexe.
7 7 . 2 . 2 . - ThéohZrne. -
ck+l
xO
et un point
de U
-
i)
ii)
dlg(x ,A)
O
cation
, no
g(xo,A)
R dans F. On suppose qu' il existe un point
x
de F
y0 -
=
,
y,
L'application
s de R
C a,
tels que :
quel que soit
dlg(xo,.)
admet une section s(A)
iii)
ho
de U
dans L(F,E)
A de R.
de R
dans
quel que soit
est de classe
ck
h
L(E,F)
tel que la famille d'applications
x
O
.
est bornée,
de R et l'appli-
.
AO dans R, il existe un voisinage
Pour tout
équicontinue au point
des espaces de
E , R un ouvert de G , g une application
Banach, U un ouvert de
de classe
et G
Soient E, F
R
O
de
-
{dg(. ,A) }AERo soit
Il existe alors un voisinage 7- de
et une application 5
2)
de classe
~ ( y o y A )= xO
,
ck de
T
quel que soit
(Yo)x
E
dans
R
dans
F
x
R
telle que :
A de R.
Considérons l'application g , de &@)
x LQR~)]
x
Q
dans
IRn , définie par :
g
est de classe
cm
et vérifie l'hypothèse (i) du théorème 1 1 . 2 . 2 .
en effet :
D'autre part on a :
Il vient,en utilisant le corollaire I.5.8., que :
où D
est une constante strictement positive, c'est-à-dire :
27
Ildlg(((lE
Ainsi
hn), x)II
9
dlg(((lE
,
f -D
4
IEl), hn) ,.)
2
, pour tout x de il.
A
est une application bornée sur
Par ailleurs on a :
dtlg(((u,ul) ,v) ,x) ((UI ,U;), VI) ((U2, U;),
V2) =
2v A(U x, U x) + 2 V A(U2x, ux) + 2 V2 A(U]X, ux)
2
1
1
Soit en réutilisant le corollaire 1.5.8.
1 / d2 llg(((u,u')
:
,v) ,x) ((UI ,U;) ,VI) ((U2,U;)
,V2)
11
S
2 D~ sup<ll<~~,~;)II,
IIvlII) SUP(II(U~~U;)I~,
D'où l'inégalité (1) suivante :
pour tout
x
de
.
R.
D'un autre côté, on a :
c'est-à-dire, l'inégalité (II) suivante :
IIv21l)
I~(AYA')~\
a.
.
x de R
pour tout
Moyennant les inégalités (1) et (II), on peut conclure
(théorème des accroissements finis) que la famille d'applications
{dg(((.,.),.),x)InER
((lE
est équicontinue au point
,
lE1), hn)
et donc a fortiori g vérifie l'hypothèse (iii) du théorème 11.2.2. Pour
que l'application
g vérifie toutes les hypothèses de ce théorème II.2.2.,
il reste à prouver que
s(x)
pour tout x de
dans
L(R~, L m )
x
revient à résoudre en
pour
x
dans
en
(U,U1) et
de IRn
soit de classe
=
1 =
11.2.1. devient la condition
dans
[O,
E
de la condition
11, de
pour tout
classe
cm ,
x
de
Q
l'équation (C) suivante :
. Pour cela nous allons construire
c
en deux équations
1 XI %
il
s, de
Notons que montrer l'exis-
IE,), Ln), x)
dans IR de classe
(C)
cm.
qui nous permettra de
(C2)
et
(CI) respectivement
V. Remarquons d'abord que pour tout x de
vérifiant
Pour le
,
dlg(((lE
((U,U1) ,V)
une application de R
admet une section
de telle manière que l'application
y dans IRn
R et
séparer l'équation
R
L@~)),
tence d'une section de
, IEl), hn) , X)
dlg(((lE
/ 1 y ( Inn , la
condition (Ro)
R et tout y
du lemme
(RI) suivante :
(RI)
considérons
dé£inie par :
O
+
une fonction de IR
$ l'application de IR dans
et
4
+
restreinte à IR
cation, de
R
de classe
cm
B(x)
=
[O,
11
cm.
est de classe
dans I R , définie par :
B
et
I($ IA(x,)
l'application, de
1 1 2.),
dé£inie par :
D'autre part soient, a
a(x)
=
B(~~A(x,x)!I~~)
, a
IR
dans IR
R
l'appli-
,
est
définie par :
B est de classe cm.
IR
L'équation (C) est équivalente aux équations
et
(C2)
(en
(Cl) (en V)
suivantes :
(U,U1))
(c,)
:
VA(x,x)
= a(x)y
(c2)
:
A(Ux,x)
=
1 -a (x)
,
pour
y
, pour
x
x
dans R
dans
et
R
dans IR*
y
et
y
dans lRn
2
11.2.3.
<,>
on considère
.-
- R é ~ o U o nde l'équation ( C I )
étant le produit scalaire dans IRn
SV(x)
,
, pour
l'application linéaire de IRn
dans
x
dans
L@)
R,
définie
par :
On vérifie aisément que
Sv (x).~ est solution de l'équation (Cl). On a
donc défini ainsi une application
Sv
de
R
dans L O R ~ ,L@"))
, de
.
Considérons d'abord le lemme suivant :
7 2 . 2 . 4 . 7 . - Lemme.-
Soit IE = (E,E1,<a) un couple d'espaces
et
de Banach en dualité. On suppose que les couples IE
et que
est canoniquement isomorphe à
%
%
IE
sont hilbertiens
*
%
et
Soient T un opérateur coercif sur le couple IE
un morphisme de E
dans IRn
tel que, pour
I u ' ~ ~ * 3 1 lu/ 1
positif on ait
ll(u
réel strictement
E
pour tout
y
IRn
Alors l'application
dans lui-même et
,
E
%
O
T
O
u
T
O
O
u')-~II<
.
de IRn
-
est un isomorphisme de IRn
u'
1
où K
2 , -
K
(u,uf)
est une constante
E
strictement positive.
Démonstration :
Soit
y
n
un élément de IR
I)UOTOU'~~J
IIuoTou'YII
IRn
<,>
le produit scalaire dans IRn.
, évaluons 1 lu
=
IRn
Soit encore, si
On note
SUP
1121
1
<z,
O
T
O
u'yl
1
,
il vient :
O
u1y,u'y)
IRn
u
O
T
O
uly>
,=1
est la dualité sur le couple IE :
@
3
1
@(uty, T
IlYlI
d'
O
u'y) =
1
I l ~ IIRnl
%
@(T
=
Comme
%
constante K > O
est canoniquement isomorphe à
y
telle que pour tout
$
,
il existe une
de IRn on ait :
Il en découle que l'application linéaire continue u
O
T
O
u'
de IRn
dans lui-même, est injective donc bijective et que
d'où :
Remarquons que si
A
pour tout
IIA(x,x)I~
X
14% I
x
de
EP
,
l
L
2
IRn
4-
4
3 E
-
ona:
26
3 E
2
•
2
1
-4 i
1~1%
2
- 9
2
3
0.
La condition (R )
1
entraîne donc pour tout
y
de IRn que :
d'où :
soit encore :
c'est-à-dire : pour tout y
de
R~ :
%
Si T
de
xn
A(.,x)
O
T
O
est un isomorphisme
A1(x,.)
dans lui-même.
D'autre part si
on considère
S (x)
u
P est un opérateur coercif sur le couple IE ,
l'application linéaire, de
n<"
par :
pour
x
en appliquant le
u' = A' (x,.) , on
et
l e m e 11.2.4.1. aux applications u = A(. ,x)
conclut que l'application
,
E
est un Qpérateur coercif sur le couple
dans
fi
tel que
1 (A(x,x) 1 1 2
IRn
sU(x) = O
,
sinon
.
3 €
2
.
dans L(E)
, définie
On vérifie que
S (x).y
est solution de l'équation (2). En outre
u
se met sous la forme canonique suivante :
S (x).y
U
A
avec
1 -a (x)
=
,
AEIR
2@ (Px,x)
D'où par un calcul élémentaire d'adjonction,llexpression de l'application
Su, (x) y pour tout y de
u , (x)
S
:
est une application linéaire de IRn
,
(S ,S ,)
u u
de
R
dans
L Q R ~, Lm))
dans
L(Ef)
et l'application
cm.
ainsi définie est de classe
Finalement les équations (C ) et (C ) admettent respectivement
1
2
des solutions
, lEl)
dlg(((lE
, de
52
(SU,SU1)
, $p) , X)
définie par :
s(x)
s
Sv et
dans
s(x)
, de
cW.
classe
admet donc pour tout
((SU(x),
=
L ( ~ R,~ L m )
Lmn))
x
,
SU,(x))
x
fi
dans IRn
de T
dans
n(y,x)
A(S(y,x)x
et
x
R
et une application
L ( E ) x L@~)
,
=
A(x,x)
lEI
Par ailleurs, on considère U
défini par :
de
SV(x))
fi
une section
et l'application
cm.
un voisinage T
((5,5'),q)
de
de classe
cm,
telle que :
S(y,x)x)
~(0.x) = I E , cl(O,x)
x
ainsi définie est de classe
Par conséquent, il existe (théorème 11.2.2.)
{O)
L'application
,
=
,
y
"0,~)
=
pour tout
kn
le voisinage de
,
(y,x)
pourtout
(A,A')
de
x
T
de
dans L2@,Xn)
s
R.
et on définit des applications
de
U x 52
dans
cm
de U
x 52
dans
Lm)
et
v,
par construction et vérifient les
et (2) du lemme II.2.1., du fait des propriétés correspon-
dantes pour les applications 5 , 5 '
démontré.
,
Lmn) par :
Ces applications sont de classe
propriétés (1)
(u,ul)
et
q.
Ainsi le lemme 11.2.1. est
m
Remarquons enfin que les applications u
, 2' , 1
définies
par :
sur U
x
n , jouissent respectivement des mêmes propriétés que u , u' , v.
De plus elles sont homogènes de degré zéro en x.
L'application
à valeurs dans
et IRn
,
U
f, de
(ouvert contenant l'origine dans E),
F, étant de classe C
2
6 £(O)
le morphisme
2
et l'application 6 f
,
de
3
relativement aux couples IE
2
(d £(O),
=
ddlf(0))
est bilinéaire symétrique
dans LQOEJX~) est de classe
U
outre s'étant placé dans le cas où
£(O)
=
O
et
df(0)
,
O
=
C
. En
1
on a
par la formule de Taylor à l'ordre 2 avec reste intégral :
[
=
1
2
d ~ ( A x )d~] (x,x)
(1-A)
,
pour tout
x
3
B(0, - r)
2
de
JO
3
B(0, - r) est une boule ouverte de centre l'origine de
2
3
de rayon - r contenue dans U.
2
où
Soient
de
{O}
ZE dans IR
x
1
ZE={x
1~1%
X E E ,
=
E défini par : V
x
11
=
V
et
u (1-rx
O
O
X
O
est un voisinage ouvert de
-
cation a
,
O
(1-A)
-
a
2
6 f(Atx)
est de classe
(t,x)
et que pour tout
dans
C
1
de
(A,A1) dans
(R )
O
(t,x)
dans
V
O
V O avec t # O , on a
:
1 2
(A,A1) = - 6 £(O)
2
du lemme 11.2.1. Soit U
le voisinage
2
s
L @,En) donné par le lemme 11.2.1. ; il existe
alors un voisinage
V
de
{O}
x
G,
O
.
qu'elle est homogène de degré O
Par ailleurs le morphisme bilinéaire symétrique
vérifie la condition
C r wx )
O
:
dh , pour
,
, rX
dans E ; définissons une appli-
2
V O dans L~OE,IR~)
, en posant
de
Remarquons que
x
et
un voisinage ouvert
O
x €CE
où w
E
contenu dans
V
O
-
tel que
L@)
a(V)C
--
-
et donc une application ((u,ul),v),
de
V dans
,
pour tout
x L(R~), définie par :
et on a ;(o,x)
de
U
CE
= 1E
,
-
u'(0,x)
=
lEl
, v(0,x)
=
L n
x
.
L'application
(
( est de classe C
construction) elle est en outre homogène de degré
d'après la conclusion (1)
du lemme 11.2.1.
Considérons à présent l'application h
de
O
1
sur
en x
V
et l'on a
:
V dans
IEt x E
définie
par :
Notons que h
est de classe
h(0,x)
, pour
=
(0,x)
1' identité. 8
tout x
CI
de
sur
V
(par
(par construction) et
LE .C'est-à-dire
hl iOlxLE est
D'autre part on a :
dh(t,x)(T,X)
Comme ;(0,x)
dh(O,x)(T,X)
=
1
=
(T, dl;(t,x)(~,x)
d2;(t,x)(x,x)
+
.
;(t,x)~)
,
pour tout x de LE on a d2 u(0,x)
E
=
O
et
est inversible pour tout x
+ X)
(T,dl ;(o,x)(T,x)
=
+
de LE .Par le théorème d'inversion locale on a :
i)
x
E
difféomorphisme de
qn'
LE9- x
>
O ,Ir:, > O
1- ri;
,x[;n
tels que h
B(x,r;)
soit un
sur son image.
-
Par ailleurs la continuité de l'application u sur V
et la propriété u(0,x) = l E , pour tout x de lE, entraînent que :
ii)
v(E,x)
vx
'x
> O
~~,]n"
X
el]-
,
W
h
1 {OlxZ,
tels que
~(x,r;)
n"[x
- - , 1 lu(t,x) -
1
rX'
1
< -5 11x1
I
1
i n - rX , r , x
) et
5
le sous-ensemble de 7R x E défini comme suit :
est un ouvert de IR
Comme h
> 0
X
On choisit qx =inf(nlx )y''n
on considère W
, Ir"
=
x
E
identité
et
r
X
, il contient {O)
x cE 0
,
{O}
h(W)
est un difféomorphisme (de W
contient
x
lE
. Pour montrer
que
sur son image), au sens de la définition 3
de l'introduction, il suffit d'établir que
h
est injective sur W.
Si h(tl,xl)
=
h(t2,x2)
pour
(ti,xi)
E
W
Y
i = 1 , 2 ,
il vient :
Comme
(ti,xi)
W , il existe x!1 tel que x.1
E
on suppose que
xi
,
B(xj, rx !)
i = 1,2 ;
1
. Or
5 r'
IE
rxl ayant été choisi tel que
i
et d'après ii),
autre
-
-
part, sachant que u(tlyxl)xl = u(t2,x2)x2
IIx2
-
1
xi11 < -
r'
et par ailleurs,
1x
-
x
on peut écrire :
X'
5
2
1
<
-1 r
< r
x'
2
5
, ri,)
appartiennent à B(x;
phisme de
h(tl , x , )
=
]-
qxl
2
h(t2,x2)
injective sur W.
,
TI
et
.
D'où
:
x
1
et
.
x2
Enfin sachant que h est un difféomor2
[ x ~ ( x ;, r' ,) sur son image et ayant supposé
x;
X2
on a donc
x1
=
X2
; par conséquent h
est
CHAPITRE III
APPLICATION A U N E E@iATION D'EVOLUTION D'UN SYSTEME
AUTONOME.
...................................................
Nous faisons dans ce chapitre une étude locale d'une équation
d'évolution d'un système autonome, en d'autres mots une étude locale
d'une équation différentielle décrivant l'évolution d'un objet sous
certaines contraintes. Nous mettons en particulier la différentielle
seconde intrinsèque de la fonction (définissant l'évolution et les
contraintes du problème) sous forme d'une fonctionnelle quadratique.
Après quoi, nous établissons une condition nécessaire et suffisante (C)
pour qu'une telle fonctionnelle vérifie la condition (R) du théorème 11.1.
Nous interprétons ensuite la condition (C) dans le cadre du problème initial
pour un contrôle scalaire.
777.1. - FORMALISATION ET ETUDE LOCALE D U PRO8LEME.Soient, 1
1' intervalle
,
[a,b]
w0(1,IF?)
Banach des fonctions intégrables bornées de
l'espace de
1 dans IRn
1 dans IRn
l'espace de Banach des fonctions continues de
dérivée au sens des distributions est un élément de
777.7.7.
on définit
x
*
y
-
,
et
W' (l,TRn)
dont la
wO(l,lRn).
PE~iniAion.- Pour x et y quelconques dans IRp ,
,
l'élément de IRP
composante par composante de
x
aura pas de confusion, l'élément
obtenu comme le produit
et de
x
*
dont chaque composante est égale à 1.
x
y. On notera
et
1
P
,
2
x
quand il n'y
l'élément de IRp
On se donne le système d'équations différentielles (équation
d'évolution et contraintes du problème) suivant :
r
x I(O) = y
y
xl(d
=
5
où r
est un nombre réel strictement positif, x l un élément de
w
O)
(
,
u I un élément de
d'un ouvert U
O
de JRn
x
JRP
,à
wO( [0,r] , IRP)
et
n
valeurs dans IR
,
f, une application
trois fois partiel-
lement continûment différentiable en les 2 variables.
On va formaliser ce problème afin de faire apparaître l'espace
des solutions comme la surface de niveau d'une application de classe
C
3
entre couples d'espaces de Banach en dualité. Pour cela on commence
par poser :
On définit ainsi des éléments x
de
et une application f d'un ouvert
W] ([0,11,
1
IRn) , u de wO(&,
(de IRn x
np), dans
11, $)
IRn
trois fois partiellement continûment différentiable en les 2 variables.
Puis, en introduisant une fonction auxiliaire v
E
wO([O,
11, ïRP)
,
,
-
1
<
à la contrainte bilatérale suivante :
u
*
u + v
on ramène la contrainte unilatérale
Le système (1)
1
*
v
=
=
...,P
1,
u2 + v
2
1
=
l'intervalle fixe
[
0
,
1
]
,
ou dans lRP
on définit les couples IE
et F
et
1
<P
<P
la dualité entre
de la manière
et
E'
et
E définie par :
est séparante et on définit ainsi un couple d'espaces de Banach
en dualité
Y
.
,
suivante ; on pose :
et
P
devient alors :
désignant le produit scalaire dans lRn
<,>
,i
u. s 1
(E,E1,<P) que l'on note E. D'autre part, on pose :
la dualité entre
F'
et
F définie par :
Y
,
est séparante et on note IF
le couple d'espaces de Banach en dualité
(F,F1,) ainsi défini.
U l'ouvert de E, ensemble des quadruplets
Par ailleurs soit
(T,
X,
U,
tels que :
V)
il existe un compact K C U l
ii)
pour presque tout
et
g
t
dans
,
et IF
Les points
(r,x,u,v)
(x(t),u(t))
définie par :
de
U
tels que
g(r,x,u,v)
=
O , sont dits :
points admissibles". En se plaçant en un point quelconque
U , il vient pour tout (T,X,U,V) dans E
En posant
A
= T
applications A
O
,
K ,
F, de classe c3 relativement aux
dans
11
de
E
[0,1]
llapplication,de U
couples E
tel que
d f(x , u )
1
O
de
p,11
0
,
B =
dans
T
0
(T~,x~,u~,v~)
:
d f(x ,u )
2
O
0
,
on définit des
Lmn)
et
B , de
0
, dans
LmP,En),
intégrables bornées et l'on
obtient :
D'autre part, un calcul élémentaire d'adjonction donne :
b'(g,
ri, h, k)
,
F'
E
d1g(r0, x0, uo, v0) (5, ri, h, k)
=
pour un point
"admissible"
X
En outre
f(xo,uo) =
O
-
(T~,
x0, u0, v0)
7
O
et l'on a :
dlg(ro, xo, uo, vol (5, ri, h, k )
=
On se place désormais dans le cas où v
est presque partout nul (et
O
u
2
presque partout égal à
O
qu'alors le morphisme
couple
le morphisme
O
6g(ro,x ,u ,O)
O
O
; montrons
contrôle de type "bang-bang"
Gg(ro,xo,uo ,O)
Coker Og(ro,x ,u ,O)
O
1 )
P
admet une quasi-section et le
est de dimension finie. Pour montrer que
admet une quasi-section,on utilise les
deux lemmes suivants :
1 1 7 . 7 . 2 . - -Lemme.E
=
(E,E',o)
Soit v
dans un couple IF
une quasi-section
O
o
O
O
un morphisme d'un couple
de dimension finie. Alors
de Po dans IE
-
.
v
admet
0 -
Démonstration
-:
une base de
Im u
, i
1
et
,
u;
=
N
1
ci) =
hi
i= l
{ E ~ } ~ = de
~
tels que u (e.)
.
1 , r
=
1
O
Fo
.
E. et l'on pose
1
De la propriété d'adjonction de
@(el, e.)
. On définit
fiij
=
J
r
hi ei et
sf(x')
oO
et on vérifie aisément que
7 7 7 . 7 . 3 . - Lemme.couple ïE
a
u
O
SA)
(so,
=
O
,
e.)
i= l
1
Soit v
*
1
x
O
F 1 . On suppose que le
est de dimension finie et que le morphisme
section a
1
. Alors
le morphisme
dans E . De
-
Soit
dans IFo
-
vO
admet une
admet une quasi-section
plus, le couple Coker v
Démonstration :
un morphisme de iE
v
.
vO
vI) un morphisme d'un
(v
=
=
v
O
O
par :
E.
est une quasi-section de
dans un produit de couples IF
couple
@(XI
=
O
i= 1
IFo xIFI
{E~}I=~
on choisit
*
r
1
,
= (uo,uA)
il résulte que :
On a en particulier
sO(
O
{cili=] la base duale de cette base. On choisit
r
EeiIi=] de E
des éléments
v
que l'on complète en base
O
D'autre part on note
m
e! = u;(ci)
Soit
a de
est de dimension finie.
(k- a l
O
vl)
-
, vO
est
(de dimension finie). Par ailleurs, on
pose en écriture matricielle :
Si o
=
s(yo,yl)
(s,~') on a donc, pour tout
= (lE
-
S1 0 U1
0 SO
et on vérifie aisément que
a
y
.
de
+ (si - (lE
Fo et tout y l de
-
S1 O U1) O
est une quasi-section de
v.
sO
F1 :
O U O
O
sl) y 1
D'autre part, le conoyau de
projecteur u
s
O
u
est isomorphe au noyau du
(u0,uI)
=
(car d'après le lemme I.6.6., Im u
s
=
Im u). De
s 1 o u 1)
O
sO
O
plus on a :
D'où
Ker u
O
.
s est isomorphe à
Ker uo
est justement de dimension finie.
Si on pose
=
wO(l,IRn)
x
u
O'
O)
O'
,
w~(I,~R~) (*)
v1
vérifier que
6g(r0, x
(vo,vl)
=
admet une section a
R
soit de dimension finie. Soient
= AX
de
et
wO(l,IRn)
A
= X(0)
,
o
on pose
x WO(I,IR~)
On vérifie aisément que
dans
a1
E
1
et
(Coker 6g(-ro, xO' uO' O)
la résolvante de l'équation
=
1
,
(sl,si)
où
s1
est l'application
définie par :
u
2
A g(ro, xO' uO' O)
seconde intrinsèque de l'application
g
Pour exprimer les formes quadratiques f3
(+)
=IRn xlRn
6g(-ro, xo, uo, O)
pour que
est une section de
Par ailleurs, on note
est une forme linéaire sur
, PO
qui
il suffit d'après le lemme III. 1.3. de
admette une quasi-section et que le couple
X
-
(IE
O
au point
la différentielle
(rO, x0, u0, O).
2
A g(ro, xO' uO' O)
O
Coker dg(-ro, x
O'
u
On note WO(I,IR~) , le couple dé£ini par
O'
O).
(wO(l$),
oil
B
Nous allons dans
WO(I,IR~), @ )
un premier temps expliciter
à
Ker drg(r0, xo, uo, O)
(Coker dg(ro, xO' uO' O))*
qui s'identifie
et ensuite Ker dg(ro, xo, uo, O).
2 2 2 . 1 . 4 . - Canactéhisation de Ker d1g(r0, xo, uo, O).
(6,
Un point quelconque
Ker dlg(ro, xo, uo, O)
q,
h, k)
de
F'
est dans
si et seulement si il vérifie le système
d'équations suivant :
"
(4) : $ u O * k - T O B h = O
X
Si
( T ~ ,x0, u0, 0) est un point "admissible" on a
O
f (xo,uo) = 7
O
et l'équation (1)
l'équation (2) résulte alors
on obtient
q =
.
devient (1)'
- h(1)
5
x (t)> dt
= h(0)
=
O
. De
et en utilisant l'équation (3)
. De plus 'endifférentiant l'équation
(2),
on obtient l'équation (2)' suivante :
Soit R
la résolvante de l'équation
x = Ax
, en tenant
compte du lemme suivant :
2 2 2 . 1 . 4 . 1 . - Lemme.x = Ax
, la résolvante S de
la transposée de A)
Si
estlarésolvante de l'équation
. "
'
l'équation x + Ax = O (où
- A désigne
'
R
est donnée par : S(t,s)
= R(s,t).
R(s,s) = 1
Démonstration : Sachant que
(où
1 désigne
'L
l'identité) on a aussi
quantité
R(t,s)
R(s,s)
R(s,t)
O
=
1 . D'autre part en différentiant la
=
,
1
il vient :
En passant aux transposées, on obtient :
C'est-à-dire la relation (*) suivante :
'L
Comme ~ ~ ( t , s=)A(t)
O
R(t,s)
on a donc
'L
Rl(t,s)
'L
R(t,s)
=
0
A(t)
.
D'où :
En utilisant la relation (*) ; on obtient :
'L
Cette dernière relation jointe à
la résolvante de l'équation
.
'L
= 1
R(s,s)
'L
x + Ax
=
O
=
R(0,t) 5
, T-I
En outre l'équation (4) jointe à
'L
- R(0,l) 5.
=
uO
*
uO
=
entraîne que :
k
=
1
-u
2
Enfin l'équation (1)'
O
*
'L
(Bh)
=
-1 uO *
R(s,t)
.a
'L
Il vient que : h(t)
assure que
'L
(B
'L
O
R(O,.))
2
prend la forme suivante :
5
2
uO
= 1
P
,
est
Ce qui donne la condition (1)"
5 :
suivante sur
De (1)'' résulte deux cas :
R(0,t) xo(t) dt
=
O , on n'a pas de condition sur
il en découle que l'anormalité du problème est
5,
n.
1
R(O,t) xo(t) dt f O , la condition (1)"
définit alors
10
l'équation d'un hyperplan de IRn et donc l'anormalité du problème
ii)
est
n-l
.
En supposant désormais n 2 2
,
on se place dans le cas
03 l'anormalité du problème est
n-l ; le noyau de
est alors le sous-espace de
suivant :
F'
où R est la résolvante de l'équation x
111.1.5. - CmaotQrtinaxXovz de
Un point quelconque
Ker dg(ro,xo,uo,O)
(T,X,U,V)
=
Ax
d'g(ro,xo,uo,O)
.
Ker d g ( ~ ,x ,u ,O)
O
de
0
0
.
E est dans
si et seulement si il vérifie le système d'équations
suivant, où l'on a supposé que le point
( T ~ , x ~ , u ~ , Oest
) "admissible" :
Sachant que u
2
O
que
U
=
O. L'équation (1)
=
u
O
*
u
0
=
devient :
1
P
?=
,
l'équation (4) entraîne
A X + T ;
T
;
O
soit X
O
la solution de cette équation, X est nulle pour
t
=
O
d'après (2)
et l'on a :
5 jo
1
Pour avoir
X(1)
=
O
,
il faut donc que :
R(1,s)
Y O (a)
ds
=
O
.
O
Comme
R(l,s)
soit, R(1,O)
= R(1,O)
O
. Cette condition s'écrit
R(0,s)
:
étant inversible :
Or s'étant placé dans le cas où l'anormalité du problème est
Ainsi
c'est-à-dire
Ker dg(r0,x
w0(1,EP)
au couple WO(I,XP).
O
,u ,O)
O
est le sous espace de
et le couple Ker 66g(io,x ,u ,O)
O
O
n-1.
E suivant :
est isomorphe
111.2. - EXPRESSION DE
6
2
A g(r0,xo,uo,O).
O
Pour tout élément
Si 6
(O,O,O,V)
est une forme linéaire sur
par un élément
(C,q,h,k)
du noyau de
dg(ro,xo,uo,O)
Coker dg(ro,xoyuo ,O)
représentée
Ker d ' g ( ~ ~ , x ~ , ~ ~ ,on
O )a donc :
de
=
1
1
,
<k(t)
2v(t)
*
v(t)>
dt
.
O
En remplaçant k par son expression dans
Ker d'g(ro,xo,~o,O)
,
on obtient :
On pose
a: .(t)
,
la
j
ème
composante de
uo(t)
*
%
(B(t)
%
O
R(0,t))
5
J 9 5
qui dépend linéairement de
5
et
a5 (t)
la forme bilinéaire symétrique
sur IRp dont la matrice est la matrice diagonale suivante :
(t) O
,5
............ O
O
,... ........ O aP ,5(t)
On a donc :
En se bornant aux contrôles u
continus par morceaux, l'application
O
a
de
5
[O,
11 dans
2 P ,IR)
Ls(R
est continue par morceaux.
On se place dans cette hypothèse et on est ainsi ramené à
1 'étude d'une fonctionnelle quadratique Q
n- 1
,
à valeurs dans IR
où h
est dans
de
2 p n-1
dans Ls@ ,iR
1
,
~(IJRP)]~ ,
définie sur
du type :
WO(I,IR~)
et
a une application continue par morceaux
>
111.3. - CONDlTlONS POUR QU'UNE FONCTlONNELLE DU TYPE
VERlFlE LA COWlTlON (R) DU THEOREME 11.7.On considère les couples d'espaces de Banach en dualité
E
O
et
=
WO(I,IR~)
et IF
O
=IRr , où 1 désigne l'intervalle
(Q,Q1) le morphisme bilinéaire symétrique,de E
O
x
E
O
k,l]
dans
défini par :
Il résulte de la propriété d'adjonction de
Q
et
Q'
que :
IR^ ,
-
d'où :
'du
E
ar , W
e
wO(I,XP)
, Q~ (h,~)=
pour
r
X
(
1
dans IR'
(
r
,
de
ai
le sont aussi. Nous désignerons par
r
+
Xi ai(t))
.
CO,,-4
étant continues par morceaux, les applications f hi
i= 1
1 '
Ls2(lR P ,IR)
Yi ai h
1 d i
Rappelons que les applications a.
dans
1
i= 1
,
la limite à droite de l'application
( 1
i=1
i= 1
hi ai
,
i= 1
L
au point
t et par
hi ai(t))-
,
sa limite à gauche en ce point.
Nous allons démontrer principalement dans ce qui suit le théorème que
voici :
111.3.
-
ThéonErne. -
Une condition nécessaire et su£f isante
pour que le morphisme bilinéaire symétrique
(R) du théorème II. 1. est que
(cl
:
E
Sr
,
(Q,Q1) vérifie la condition
:
sphère unité de IRr
,
3 p
E
Sr
tels que :
Notons que la condition (C) semble pratique à vérifier sur un exemple.
111.4. - D Q r n o m Z t ~ o ndu ;th&otème.- Nous allons dans un
premier temps donner une condition équivalente à la condition (R) par
la proposition suivante :
,
111.4.7. - Pnapaa&ian.-
Les conditions suivantes sont
équivalentes :
(R) :
(R')
> O
]E
:3&> O
,wO(l;IRP>
, tril
,
Vh s c0(1,IRP)
Démonstration :
,
vy s IRr
,
,
vy s IRr
,
Comme
,
C WO(I,IR~)
cO(l$)
la condition (R)
entraîne la condition (R').
Réciproquement, soit h
1
(au sens L ) d'une suite
bornées de
1
dans IRp
chaque espace 'L
,
1
un élément de
est limite
de fonctions continues et uniformément
(hn)na
. Rappelons qu'une
s p
w~(I,~R~), h
telle suite converge dans
et que sur un couple hilbertien tout morphisme
<
bilinéaire symétrique est continu pour la norme préhilbertienne sur le
couple (voir proposition 1.5.5.).
,
de
Q(h,h)
il vient que
si
llQ<h,h)ll
i-lhl
IRr
2
L(1,nP)
E
Q
Ici, en raisonnant sur chaque composante
2
,
que Pour tout n 2 N
2
L
est continu pour la norme
,
. En conséquence
il existe un entier positif N
L
Q
il résulte que pour tout n 2 N
,
IRr
,
6
E
et d'après (R')
Ihnl
L
(13~)
1 Q' (hn,p) 1
2
IIdI
E
L (l,IRP)
pour tout
(hn)n a
Q.,)
v dans 1€tr . En passant
converge vers
h
à la limite sur
au sens L
2
n
,
la suite
et comme l'application
est un opérateur symétrique sur le couple WO(I,IR~)
tout y dans IRr
, Q1(.,y)
est continue pour la norme
2
L
, pour
et l'on a :
pour
KE (Q)
=
{h
1
A
réel strictement positif et
E
, 1Q
c0(1sP)
h
1ln
E
dans
posons :
2
1
\hl
L (1sP)
La condition (R') se réécrie alors de manière équivalente sous la forme :
R') :
> O tel que la condition (
)
'
,
R
E]
(R') :
M e S r
Y
\(QI
fi EA,& =
suivante soit vérifiée,
.
(01
Par ailleurs soient les conditions suivantes :
C ) :
r
(1)
: vt
E
suivante soit vérifiée :
tel que la propriété (Ca)
] a > O
[o,lL
bk
E
Ker (
1
hi ai(t))
i= 1
+
r
,
(
(
1
hi ai(t))-
i= 1
,
(
]a > O
CC") :
(cl)
:A
E
tel que la propriété (Ca)
sr , 311 E sr
tels que :
pi ai(t))
1
"
i= I
r
r
th[ c Ker
(2) : \dt ~]0,1],
+
1
i= 1
ai(t))-
(X,X) 5 a
(X,X) 5 a
suivante soit vérifiée :
11x1 /
2
XP
2
1 lx(/IRP
I l est évident que
(C") =>
(C') ->
(C)
(R)
nécessaire et suffisante pour que
. Pour
établir que
(C)
est
soit vérifiée nous ferons la
démonstration en utilisant le schéma suivant :
(R') =>
(C')
,
proposition 111.4.2.
ii)
(C)
==>
(C")
,
proposition 111.4.3.
iii)
(c")
=>
(RI)
,
proposition 111.4.4.
i)
Ainsi le théorème 111.3. sera démontré.
Démonstration : On va montrer que pour
(ch)
3A
=>
E
sr
# 0 . On connaît le théorème
K7a(Q) "~,7a
Y
réel strictement
non (R' ) ; pour cela nous montrerons que :
7a
positif donné, non (Ca) =>
non
a
suivant :
Théutrème. [6]
.-
bilinéaire symétrique de E
que
-
n
K(Q)
E'
un espace vectoriel, Q
Soient E
dans IRP
-
ne soit pas réduit à
,
E'
une application
un sous-espace de
IO), il suffit que
Q
E. Pour
vérifie la
propriété (N ) suivante : pour toute forme linéaire p non nulle sur
P
IRP , la forme quadratique associée à p O Q I E 1, a une négativité > p
Or ici
et
7a
K7,(Q)
.
n'est pas le cône d'une application bilinéaire
n'est pas un sous-espace vectoriel de
c0(1,I.RP).
Pour être
dans les hypothèses du théorème, nous allons construire une application
bilinéaire
K
7a
(Q)
D
, voisine
de
et u.n sous-espace
tels que D
Q
,
dont le cône K(D)
F de
vérifie la propriété
CO(I,I.R~)
(Np)
soit inclus dans
qui soit inclus dans
sur F. En appliquant le théorème
K(D) fl F
on aura alors un élément non nul de
de
"
EA,7,
Si
(Ca)
K7a(Q)
pour tout
d'où le résultat.
il existe
a
hi ai(tu))
où o
Fi
Fi
Pour p
dans
Sr
1-1
E {+
0 1
, -1
avec
o
dans
Fi
t
,
S
r
,
tels que
Fi
=
O
( lxFi/ 1
'(X~,X~)< a
o
[si
il existe un voisinage Vo
1
= -
:vu
E
vO
, Vt
E
O
I=]t
a.
1 '
11 de
[O,
dans
et
'-'O
IO
si t
1= 1
fixé dans
O
+
=
Fi
hi ai(tp))
assez petit pour que les applications
sur
X
et
tel que
o
(
tels que
= 1
et un intervalle ouvert
- n ,
1O =]t
dans
Fi
r
si t
= -
Fi
t
S
r
dans
O
1
i= l
et
h
était fausse, il existerait
dans
r
Ker(
donc un élément non nul
1
"O
<
,
l-lo
la forme
+ ~ [ s ili O~ = + ,
, t
i s r
de
2
,
soient continues
I~ ,
Ce qui est possible par définition même des limites. Par ailleurs la
sphère
S
r
étant compacte on peut la recouvrir d'un nombre fini de
voisinages V I ,
dans
S
r
...,VN
auquels sont associés des intervalles
On choisit N
sous intervalles J 1 ,
respectivement dans
1 ,< k
correspondant à un choix d'éléments
Il,
s N ,continues sur
...,IN
[0,1]
...,JN
1 ,
.
1
Fil,.
-,FiN
dans
[o,I].
disjoints deux à deux, inclus
et on choisit N
telles que :
applications
ok
3
Soient
1)
Bk
2)
Bk(t)
3)
Ji
s
1
d.
1
ait son support dans
1
Bk(t)
, les
i ,< r
>
1 6 k s N .
N
.
6a 1 ne soit pas vide
,
I 7a , pour tout
= {t
Jk
t
,
1 6k
s
1 6 k iN
.
formes bilinéaires sur IRp définies par :
N
-.
d
i = a
)
- 1
Bk(t)
( ' I ~ )S~ où
S
est l'application produit
k= 1
scalaire sur IRp et
(pk)i
Vérifions que
est inclus dans
K7a(Q)
et seulement si
c'est-à-dire :
D'autre part on a :
En posant
K(D)
,
ème
la i
composante de
où D
'Ik
'
est définie par :
; en effet, un élément
h
est dans
K(D)
si
désigne la fonction caractéristique de l'intervalle
I(k
vient que pour tout
vectoriel
1
F = Ih
h
h(t)
= O
. En effet
E~ ,7a
alors pour tout dans
N
1
~ ( h(~t) 1 =
k= 1
rk
<h(t)
t
=
' i1
O et le sous-espace
, ~ ( t )h(t)
si pour tout
Dy11, on a
=
01
t dans
est
CO, 11,
:
, \>
u(t> Xk
'
\'
<%y
c'est-à-dire,pour tout
\
v(t)
, a E [0,1]
c0(~,lRP)
E
inclus dans l'ensemble
v(t)
,
dans Jk
t
Jk
dans
b,~] :
soit :
Il reste à établir que l'application D vérifie la propriété
en fait
(Nm)
un indice k
, sur l'espace F. Pour tout
, 1
k t N
$
pour toute fonction
dans J i
, posons
4
hg =
tel que
p
LI
dans
appartienne à
définie et continue sur
4 Xk
on a h4
E
F et
[0,1]
Sr
Vk
, il
(Np)
existe
. En outre
à support contenu
La forme bilinéaire
~i
D
O
est donc strictement négative sur
un sous espace de dimension infinie de
F, il résulte donc du théorème
(cité au début de la démonstration) que
K7a(Q)
#
Eh,7ci
n
K(D)
F # (0)
ce qui contredit la condition
{O}
c'est-à-dire
.
(R7a)
Démonstration : En première étape nous montrerons la proposi-
<
i
1 d
tion dans le cas où les applications a.
1
y
r
sont continues sur
1
un intervalle fermé
1
aux bords duquel on a prolongé par
j = rij, tj+l
continuité. Par l'absurde, si (CM) était fausse alors pour tout n 6 N
il existerait hn
tn
dans
~i
j
n
n
hi ai(t,,)
r
I I i=11
Sr
xn~i
et
Sr
tel que pour tout
x,,/1
dans
,
l et
6n
n
(x,,
n
1
i= 1
pi ai(tu)
l'intervalle
n
xFi)
S -l .
(t 1 n
suite
j
La sphère
(hn) na
une sous-
.
S
Pour le
dans
r
par la condition (C) on pourrait, sachant que
h
et la sphère
1
y
n
( A ' ~ ) , ~qui convergerait vers A
associé à ce
il existerait
r'
de norme 1 dans IRp tels que
r
n
p
étant compacte, on pourrait extraire de la suite
suite
Sr
1
dans
, une
S
P
dans
sont compacts, extraire de la sous-
sous-suite
qui convergerait vers
t
Fi
et de la sous-suite (xin)na
, une sous-suite (xVn)na
j
qui convergerait vers X
dans S , il en résulterait alors que
Fi
P
r
r
hi ai(t ) x = O et
pi ai(t,,) (XFi,X ) = O ce qui contredirait
1.i
Fi
Fi
i= 1
i=1
dans
1
1
la condition (C).
Enfin si les applications a.
1
'
... <
t
par morceaux et si
de
CO, 11
(C) =>
tl
=
O
<
t2 <
m
1
$
=
1
i 4 r
sont continues
est une subdivision
qui leur est subordonnée alors d'après ce qui précède,
(CI')
sur tout intervalle fermé
kj , tj+l1 , l
,
d j ~ m -
En posant
u =
in£ u
~ijirn j
, on
obtient que
(c")
(C) =>
sur
Démonstration : Remarquons d'abord que si on note
des points de continuité de l'application
d'une façon évidente la condition
Nous allons montrer que
Pour
Si
r'
a
et non
donné par la condition (C"')
(R')
et
(Cu')
(C"' )
dans K E ( Q )
-
{O)
A
l'ouvert
(Cu)
entraîne
suivante :
(R')
entraînent une contradiction.
posons :
était fausse alors pour tout
h
a, la condition
11. m
[O,
E
> O
,
il existerait
c'est-à-dire
h
et
h
X
dans
vérifiant
On aurait alors :
. a 2 j ~ î - a l~h(t)l\~dt
d'où
D'autre part, en prenant le p
la condition
(C"')
En utilisant
(Cu')
Si on a fixé
E
dans
S
r
et en posant M =
, il vient
, associé au A dans S , par
r
1 1 al 1
on a :
:
L
tel que
(M+a)
E
a ,
<-
a2
il vient :
2
.
2
lh(
Comme p est de norme 1 il en
2
L (l,IRP)
résulte que Il~(h,h)I/
5 % lh122
Ce qui est contradictoire avec
nr 2 L(I&
r- 2
l'inégalité i), si l'on s'est fixé E 5 in£(3
2 (M+a)
soit
:
p
O
~(h,h)>
a
-
.
J
111.5.
-
DlSCUSS7ON DE LA CONVITZON (C) PANS LE CAS D'UN CONTROLE SCALAIRE. Sous les mêmes hypothèses et les mêmes données qu'au paragraphe
est scalaire et la matrice
X
n
B(t)
-
= Ax
on a, pour
(%(t)
O
, avec
1
n 3 2
6 dans IRn
a(~,~))
, pour
-
. Soit
$l,...,)n
et
n
t
E
4i
[O, l]
sont continues et l'appli-
définie au paragraphe III.2., est alors
,
donnée par :
l'espace de dimension n
El
.
Ci
i= 1
...,n
i = 1,
engendré par les fonctions
le sous-espace de E , de dimension n-l
i= l
...,an
est alors une matrice
R la résolvante de l'équation
E~ di où 5 vérifie la relation
par les
al,
CO,]])
{O) :
une forme bilinéaire symétrique sur IR
Considérons E
E:
,. .., qn(~)l
=
Remarquons que les fonctions
cation a6(t)
(pour t
lignes. Rappelons que l'on s'est placé dans le cas
unicolonne à n
d'anormalité
continue ; dans ce cas le contrôle uO
et B
111.3. On suppose p = 1
engendré
n
1
ai Si = O
étant les composantes de
R(0,t) Xo(t)
dt
. La condition ( C )
s'écrit alors sous la forme suivante :
(D) :
b'$
,
i= 1
E
El
-
(01,
3~
E:
E' - IO)
9
t/tO racinede 9,
Notons d'abord que si
condition
(D)
u
change de signe en
O
- Ph~p~~i.-tion.-
et suffisante pour que
(D)
n'ait pas de zéro dans
[O,
un générateur de
si
E'
la
, une
condition nécessaire
E'
=
2
,
on a
E'
dim
soit
# O ,
11 auquel cas
to
1
=
,
:
go
si
E' -
2
=
11.
possède une racine t
O
est racine de tout élément de
élément de
Si n
soit vérifiée est qu'un générateur de
Démonstration : Pour n
ii)
,
(racine de $7)
O
est non vérifiée.
111.5.7.
i)
t
dans
[O,
E' - {O) et donc (D) est non vérifiée.
ne possède pas de racine dans
[O, ]l
(0) n'admet de racine dans
[O,]]
alors aucun
et la condition (D)
est trivialement vérifiée (puisqu'elle est vide).
111.5.2. - Phopoai.-tion.pour que
(D)
1 ' intervalle
soit vérifiée est que u
O
[O,
-
2
3
, une
condition nécessaire
soit de signe constant sur
1.
Démonstration :
dans Xln
Si n
(0) avec
Le système d'équations suivant
n 2 3 ,
admet toujours une solution. Par conséquent, pour tout
il existe un
4
, pour 6
dans
est vérifiée alors uO
E' - {O) tel que J)(to)
=
est de signe constant sur
O
tO
dans
si de plus
[0,1].
[O,
(D)
11
u
On suppose dans la suite que
[O,
tout l'intervalle
:
(D')
E
1
1, la condition (D)
E' - 10) ,
est de signe constant sur
O
devient alors la suivante :
E' - {O} , vt O
j$ E
Si E'
111.5.3. - Ptropusaon.-
racine de
(de dimension
9 ,
n-1)
Y(to) > O
vérifie
la condition de Haar suivante.
(H) :
alors
E
E'
E' - { O , $
vérifie (D')
admet au plus
...,tP' avec
racines.
.
Démonstration : Soit
tl,
n-2
4
un élément de
E' - (01, si
4. Par
p 5 n-2, sont les racines de
la propriété
d'interpolation vérifiée par un système de Haar, il existe toujours un
élément
Y
de
E'
-
{O}
tel que
171.5.4. - Rernmyue.-
Y(t.)
1
=
. Ce
1
Dans le cas n
=
qui assure
2
,
(D').
la condition de
Haar qui est déjà suffisante (proposition 111.5.3.) est aussi nécessaire
(Dr) soit vérifiée. Elle traduit exactement que dans ce cas
pour que
(D')
E' - {O}, ne possède aucune
n'est vérifiée que si tout élément de
racine dans
[0,1].
n 2 3
Par contre pour
,
la condition de Haar est
suffisante (proposition 111.5.3.) mais non nécessaire. En effet si n
dès que
E'
=
3
(de dimension 2) est engendré par 1 et une fonction continue
ayant au moins 2 racines dans [O,
11
, alors
et la condition de Haar ne l'est pas.
(D')
est évidemment vérifiée
.
A N N E X E .
- ----------
La démonstration du théorème 11.2.2. repose essentiellement
sur le théorème suivant :
Théanëme 0.ouvert de
G
, xo
et
Soient F
un point de
,
F
U
un voisinage ouvert de
On suppose qu'il existe un point
i)
ii)
g(xo,A)
=
d l g(xo,A)
iii) A
O
r R ,
,
y,
Y0
au point
x
O
de
-
, quel
= 1
dans
-
X de R
de
h
que soit
il existe unvoisinage
R
Idg(.,h)IXEO
R
&
et une application 5
O)
g(<(y,A),A)
1)
S(Y,,~)
2)
d l S(yo,h)
d l g(xo,ho)
ho
dans
soit équicontinue
de {yo)
=
y
,
=
T
dans
, de
quel que soit
= Xo Y quel que soit
=
F
X
dans
O
dans
ck
tels que :
dans T
(y,h)
I F , quel que soit h
X
classe
R dans
x
R
dans
R.
R, l'hypothèse (iii) jointe
IF , entraîne qu'il existe un voisinage VA
de x
O
dans F
R
.
Démonstration : Pour
à
R
de
-
O
Il existe alors un voisinage ouvert T
x
x 2
!
tel que :
F
quel que soit
tel que la famille d'applications
F
{xo}
une application de classe
dans
un
G des espaces de Banach, R
et un voisinage ouvert R
O
de .A
dans
R
tels que :
O
r
En p r e n a n t
x
> O
(BF(xo ; 2 r
2 rh
e t d e rayon
O
e t a s s e z p e t i t pour que l a b o u l e o u v e r t e de c e n t r e
de
A
pour t o u t
VA
O
" , ) n a :
Considérons a l o r s une a p p l i c a t i o n
dans
s o i t i n c l u s e dans
))
A.
O
BF(xo ; 2 r h )
,
f
, de
BF(x0 ; 2 r A )
x
(BF(xo ; r h )
O
O
d é £i n i e p a r :
O
1
- , par
C e t t e a p p l i c a t i o n e s t c o n t r a c t a n t e , de r a p p o r t
rapport à
0
P a r l e théorème du p o i n t f i x e , il e x i s t e une a p p l i c a t i o n
de
SA
O
Th
= B (y
O
F
r
X
0 '
)xRo
BF(x0 ; 2 r A )
dans
O
t e l l e que :
O
soit
, q u e l que s o i t
g ( t A ( Y , A ) ,A) = y
( y , A)
dans
TA
O
L'unicité de l ' a p p l i c a t i o n
CA
,
pourtout
A
O
i n d u i t l ' e x i s t e n c e d'une a p p l i c a t i o n
5 de T
=
O
U Th
Ao€R
dans
R,
dans
F
O
vérifiant :
(0)
g(C(y,A), A ) =
y
,
q u e l que s o i t
(y,A)
dans
T.
D'autre p a r t , l ' u n i c i t é du p o i n t f i x e e t l a r e l a t i o n
f ( x o , y o , h ) = xO + y.
(1)
.
O
-
g(xo,A) = xo
S(y0,A) = x O
,
e n t r a î n e n t que :
q u e l que s o i t
h
de
R.
x.
x
no)
5 étant de nature locale, elle résul~e
La différentiabilité de
de l'application du théorème des fonctions implicites classique en chaque
point et la différentielle de
5
est donnée par les identités :
.
On a en particulier
(2)
d l <(yo,A)
lF,pour tout
=
ThZonëme 7 7 . 2 . 2 . U
E , R
un ouvert de
Ck+1
, de U
et un point
i)
ii)
d l g(xo,h)
cation
R
R
un ouvert de
dans
-
F
. On
,
.
y
=
L'application
s de R
fi.
des espaces de Banach,
G et g une application de classe
suppose qu'il existe un point
dans
d l g(xo,.)
s(A)
,de R
dans
h
quel que soit
ck
est de classe
L(E,F)
de
O
AO de R, il existe un voisinage
1)
5(yo,A)
U
est bornée,
R
et l'appli-
R
O
de ho
-
soit équi-
.
11 existe alors un voisinage T
et une application 5
de
-
.
tel que la famille d'applications
x
O
.
de R
h
quel que soit
L(F,E)
Pour tout
continue au point
x
tels que :
de F
Y0 g(xo,A)
Soient E, F, G
admet une section
iii)
dans
-
x
de
h
de classe
=
xo
,
ck de
de
T
quel que soit
{yo)
dans
h
dans
x
E
de
F
telle que :
R.
fi
~émonstration: L'application
ck
est localement bornée. Pour
voisinage ouvert Ro
de
Xo
étant de classe
L(F,E)
-+
quelconque dans R, il existe un
dans D
Xo
s : R
et un voisinage
VA
de l'origine
O
dans F
tel que :
x
O
+ S(X)
V
C U
,
pour tout
A
u
no)
Considérons l'application
f, de U =
(VA x
Xo&R
de
{O)
R dans F x R)
x
L'application
dans
.
fio
O
O
F, définie par :
à valeurs dans
f est de classe
ck
(voisinage ouvert
par construction et vérifie les
hypothèses du théorème 0. En effet :
y,
,
d l f(0,h) = d l g(x0,h)
O
f(0,h)
= g(xo,X)
=
pour tout
X
de
R
et
s(X) = I F , quel que soit
X
de
R.
Par ailleurs on a les inégalités suivantes :
Les hypothèses (ii) et (iii) jointes au fait que
s et
ds
soient
localement bornées entraînent moyennant les inégalités (1) et (II) que
la famille d'applications
{ d f ( . , ~ ) ) ~,~ fi
~ ~ C R, vérifie l'hypothèse
O
(iii) du théorème O ; il existe donc d'après ce théorème, un voisinage
ouvert
T
de
{yo]
ck , t e l l e
de c l a s s e
f ( q ( y , A) ,A)
n(yo,A) = O
,
Soit
=
dans
Q
x
y
,
q u e l que s o i t
,
+
g(E(y,X),X) = g(xo
(1)
(y,X)
+
dans
s(X)
T
0
dans
q u e l que s o i t
dans
S(X)
ck
C e t t e a p p l i c a t i o n e s t de c l a s s e
q u e l que s o i t
( y , A)
l ' a p p l i c a t i o n , de
S(y,h) = xo
(O)
0
q(y,h)
h
T
T
dans
et
, définie
E
Q.
dans
par :
.
par construction, e l l e v é r i f i e
n(y,X),X) = f ( v ( y , X ) , h ) = y
et
~ ( y o , X ) = x+ s ( X ) o q ( y o , X ) = ~ o quelquesoit
O
II,de
que :
d l n(yo,A) = I F
5
e t une a p p l i c a t i o n
P x Q
X
de
Q.
a
F,
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Fascicule 5, année 1981.