Inéquations et systèmes d`équations


Une inéquation se résout comme une équation mais lors de la division:
o Si on divise par un nombre positif, on conserve le sens de l’inégalité
o Si on divise par un nombre négatif, on change le sens de l’inégalité
3x  5  5 x  12
3x  15  5x  12
3x  5x  15  12
 2x  3
3
x
2
On développe si nécessaire
On met les x à gauche et les nombres à
droite
On réduit
On change le sens de l’inégalité si on divise
par un nombre négatif
Les solutions
sont les nombres
inférieurs ou
3
égaux à 
2

On donne les solutions
4x  5  x  1
4x  20  x  1
4x  x  20  1
3x  19
19
x
3
Les solutions
sont les nombres
supérieurs ou
19
égaux à
3
Les systèmes d’équation peuvent se résoudre soit par substitution soit par
combinaison:
On décide de résoudre par substitution car
le coefficient de y dans la première
équation vaut 1
 x  y  1

3x  2 y  12
On exprime y en fonction de x dans la
première équation
y  x 1

3x  2 y  12
On substitue y dans la seconde équation
y  x 1

3x  2x  1  12
On développe la seconde équation
y  x 1

3x  2 x  2  12
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On réduit la seconde équation
y  x 1

5 x  10
On trouve x = 2
y  x 1

x  2
On trouve y = 3
y  3

x  2
Le couple (2;3) est la solution du système
On décide de résoudre par combinaison
On multiplie la première équation par -3 et
la seconde par 2 pour éliminer les x
-6x et 6x vont s’éliminer
On conserve la première équation et on
remplace la seconde par l’addition des
deux équations membre à membre
On trouve y = 2
On remplace y par sa valeur dans la
première équation
Il ne reste plus qu’à résoudre la première
équation
2 x  3 y  4

3x  4 y  11
 (3) || 2 x  3 y  4

 2 || 3x  4 y  11
 6 x  9 y  12

6 x  8 y  22
 6 x  9 y  12

17 y  34
 6 x  9 y  12

34

y
2

17

 6 x  9  2  12

34

y
2

17

 6 x  12  18

34

 y  17  2
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 6 x  6

y  2
6

1
x 
6

 y  2
On trouve x = 1
Le couple (1;2) est la solution du système

 x  y  1
Interprétation graphique du premier système 
:
3x  2 y  12
 x  y  1
peut aussi

3x  2 y  12
y
D1
3
A
1
x
O
1
2
D2
y  x 1

s’écrire 
et peut
3
 y   2 x  6
se traduire par les droites (D1):
3
y  x  1 et (D2): y   x  6 .
2
La solution du système (2;3)
correspond aux coordonnées de
A, point d’intersection de (D1)
et (D2).
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