Introduction à l`Optimisation : notions fondamentales

Notions fondamentales
Introduction ` a l’Optimisation : notions
fondamentales
24 septembre 2013

Notions fondamentales
Plan
1Notions fondamentales

Notions fondamentales
Notions d’ensemble structur´ e
Loi de composition interne
On appelle loi de composition interne sur un ensemble Etoute
application de E×Edans E.
L’ensemble structur´ e d´ efini par Emuni de sa loi de composition
interne <.>se note (E, .). Pour une notation additive, la loi de
composition se note g´ en´ eralement <+>et on ´ ecrit alors
a+b=c.
L’ensemble structur´ e d´ efini par Emuni de la loi <+>se note (E,+).

Notions fondamentales
Notions d’ensemble structur´ e
Associativit´ e, commutativit´ e et ´ el´ ement neutre
Soit un ensemble structur´ e(E, .).
(i)la loi <.>est dˆ ıte associative si
∀a,b,c∈E,(ab)c=a(bc).
(ii)la loi <.>est dˆ ıte commutative si
∀a,b∈E,ab =ba.
(E, .)est dit ensemble commutatif,
(iii)l’´ el´ ement e∈Eest dit ´ el´ ement neutre pour la loi < . > si
∀x∈E,ex =xe =x.
Si il existe, il est unique.

Notions fondamentales
Notions d’ensemble structur´ e
Groupe
Un ensemble Emuni d’une loi de composition interne not ´ ee <.>est
un groupe si
1la loi <.>est associative :
∀a,b,c∈E,(ab)c=a(bc)
2elle admet un unique ´
el´ ement neutre e:
∀a∈E,ae =ea =a
3tout ´
el´ ement ade Eadmet un inverse dans Enot´ ea−1tel que
aa−1=a−1a=e
Si de plus la loi est commutative, le groupe est dit commutatif (parfois
d´ enomm´ e groupe ab´ elien).