Vers la condensation de Bose-Einstein dans un résonateur optique

Rapport de
Stage de fin d’études
réalisé au
Laboratoire Charles-Fabry de l’Institut d’Optique
groupe d’Optique Atomique
Sous la direction de
Philippe Bouyer
Vers la condensation de Bose-Einstein
dans un résonateur optique de haute finesse
VANDERBRUGGEN Thomas
Institut d’Optique Graduate School
Promotion 2008
Table des matières
Remerciements
1
Introduction
3
1 Présentation de l’expérience BIARO
1.1 Contexte de l’expérience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Piégeage et évaporation : optique versus magnétique .
1.1.2 Condensation tout optique avec et sans cavité . . . . .
1.2 Principe de l’expérience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Chargement du piège magnéto-optique . . . . . . . . .
1.2.2 Piégeage dipolaire et évaporation . . . . . . . . . . . .
1.3 Objectifs de l’expérience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Condensation de Bose-Einstein tout optique dans un
résonateur de haute finesse . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Interférométrie atomique et réalisation d’un senseur
inertiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Mesure quantique non destructive . . . . . . . . . . .
5
5
5
6
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8
2 Présentation de quelques phénomènes physiques
2.1 Le refroidissement d’atomes par laser . . . . . . . . . .
2.1.1 Concepts de base . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Le refroidissement Doppler . . . . . . . . . . .
2.1.3 Le piège magnéto-optique (MOT) . . . . . . .
2.2 La condensation de Bose-Einstein . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Idée générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Statistiques des bosons et fermions . . . . . . .
2.2.3 L’équation de Gross-Pitaevskii . . . . . . . . .
2.2.4 Le régime de Thomas-Fermi . . . . . . . . . . .
2.3 Notion de mesure quantique non destructive . . . . . .
2.3.1 Une mesure quantique ”idéale” . . . . . . . . .
2.3.2 La mesure en mécanique quantique : couplage
système observé et appareil de mesure . . . . .
2.3.3 Définition formelle d’une mesure QND . . . . .
i
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entre
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12
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17
17
17
17
19
3 La cavité de haute finesse : caractérisation théorique et
expérimentale
3.1 Description du laser et de la cavité . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Le laser à 1560 nm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 La cavité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Propagation du faisceau dans la cavité et adaptation de mode
3.2.1 Calcul de la matrice ABCD de la cavité, prise en
compte de l’astigmatisme . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Adaptation de mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Mesure du couplage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Etude des modes de la cavité . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Le fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Les modes d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Mesure de la finesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Mesure directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Mesure via le temps de vie des photons dans la cavité
21
21
21
22
23
23
25
26
26
26
27
31
31
31
4 Asservissement de la cavité
35
4.1 Schéma d’un asservissement de type Pound-Drever-Hall . . . 35
4.2 Présentation de la technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.3 Implémentation à l’aide d’un acousto-optique . . . . . . . . . 38
4.3.1 Modulation du signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.3.2 Le signal d’erreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.3.3 Conclusions sur la méthode avec acousto-optique . . . 40
4.4 Retour au modèle initial : modulation à l’aide d’un électrooptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.4.1 Extraction du signal d’erreur . . . . . . . . . . . . . . 41
4.4.2 Le dispositif de rétroaction . . . . . . . . . . . . . . . 42
Conclusion
45
ANNEXES
49
A Quelques éléments sur le formalisme de seconde quantification
A.1 Espace de Fock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2 Opérateurs de création et d’annihilition . . . . . . . . . . . .
A.2.1 Pour les bosons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2.2 Pour les fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3 Opérateurs de champ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.4 Construction des opérateurs en seconde quantification . . . .
A.5 L’approximation de champ moyen . . . . . . . . . . . . . . .
49
49
50
50
50
51
51
52
ii
B Caractérisation expérimentale d’une mesure QND
53
B.1 Préparation d’état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
B.2 Répéteur quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
C Notions d’optique gaussienne
57
C.1 Une solution de l’équation de Helmholtz . . . . . . . . . . . . 57
C.2 Rayon de courbure complexe et loi ABCD . . . . . . . . . . . 57
C.3 Expressions de R(z) et w(z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
D Code Matlab pour le calcul
D.1 main.m . . . . . . . . . .
D.2 Lorentz.m . . . . . . . . .
D.3 fitcurve.m . . . . . . . . .
D.4 ConvLorentzExp.m . . . .
d’ajustement
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Bibliographie
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59
59
60
60
61
63
iii
iv
Table des figures
1.1
1.2
1.3
Schéma des grandes étapes de l’expérience. . . . . . . . . . .
Présentation de la cavité atomique. . . . . . . . . . . . . . . .
Evolution du condensat au cours d’un cycle. . . . . . . . . . .
7
9
10
2.1
2.2
2.3
Principe du piège magnéto-optique. . . . . . . . . . . . . . . .
Couplage entre le système observé et l’appareil de mesure. . .
Conditions pour la réalisation d’une mesure QND . . . . . . .
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19
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
Déplacement de la cale piézo-électrique du laser. . . . . . . .
Photographie de la cavité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schéma du montage de la cavité : injection et détection. . . .
Paramètres pour le calcul du mode-matching. . . . . . . . . .
Réflexion sur le miroir d’entrée. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Transmission de la cavité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Comparaison des spectres de différentes géométries de cavité.
Spectre de la cavité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Comparaison des spectres théoriques et expérimentaux. . . .
Mesure du temps de vie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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34
Asservissement de type Pound-Drever-Hall. . . . . . . . . . .
Allure du signal d’erreur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schéma du système de modulation à acousto-optique. . . . .
Schéma de l’électronique pour l’acousto-optique. . . . . . . .
Observation de la modulation lors d’un scan de la cavité. . .
Signal d’erreur obtenu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fluctuations de phase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schéma général du montage Pound-Drever-Hall à rétroaction
large bande. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.9 Signal d’erreur obtenu lors d’un scan de la cavité. . . . . . . .
4.10 Electronique du montage Pound-Drever-Hall. . . . . . . . . .
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38
39
39
40
40
B.1 Différents régimes de mesure. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
v
41
42
42
vi
Liste des tableaux
3.1
3.2
Spectre mesuré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Spectre calculé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vii
30
30
viii
Remerciements
Je remercie tout d’abord Alain Aspect de m’avoir accueilli au sein de
son groupe pour la réalisation de ce stage. Je remercie également Philippe
Bouyer de m’avoir proposé ce stage et de l’avoir encadré. Merci aussi à Arnaud Landragin pour ses conseils et les fructueuses discussions associées.
Je tiens aussi tout particulièrement à remercier Simon Bernon et Andrea
Bertoldi avec qui j’ai eu le plaisir de travailler sur ce projet, pour leur soutien tout au long de ce stage. Un remerciement spécial va à Simon pour son
attentive relecture de ce rapport.
Je souhaite également remercier Sébastien Gleyzes et Karim el Amili
pour m’avoir ”supporté” dans leur laboratoire une bonne partie de ce stage.
Enfin merci à tous les membres du groupe que je n’ai pas encore cités pour
l’ambiance chaleureuse qu’ils contribuent à créer chaque jour.
1
2
Introduction
L’étude des atomes froids est un champ scientifique très actif depuis
environ deux décennies récompensé par deux prix Nobel à quatre ans d’intervalle : en 1997 pour le refroidissement et le piégeage d’atomes par laser (C. Cohen-Tannoudji, W. Phillips et S. Chu) ainsi qu’en 2001 pour la
condensation de Bose-Einstein de gaz ultra-froids (E. Cornell, C. Wieman
et W. Ketterle). La recherche en atomes froids offre aujourd’hui des applications très intéressantes par exemple en créant des interactions avec d’autres
domaines notamment la physique de la matière condensée en permettant
d’effectuer des simulations de modèles quantiques complexes, ou bien plus
en analogie avec l’optique, l’interférométrie atomique ouvre la voie à de nouveaux détecteurs de très grande précision, notamment des senseurs inertiels
(gravimètres, gyromètres).
L’objectif de l’expérience proposée est de réaliser un gravimètre basé sur
une cavité à onde atomique cohérente résonnante qui devrait permettre une
sensibilité accrue. De plus l’expérience se propose de générer la source atomique dans une cavité optique de haute finesse devant faciliter la mesure du
nombre d’atomes dans la cavité atomique. D’un point de vue plus pratique
cette expérience se propose aussi de valider un certain nombre de concepts
devant permettre de facilité sa mise en place notamment dans le cadre d’applications spatiales.
Lors de stage je me suis particulièrement focalisé sur l’étude théorique et
expérimentale de la cavité de haute finesse essentiellement sa caractérisation
et son asservissement. Je me suis bien entendu aussi intéresser à la physique
des atomes froids. J’ai aussi eu l’occasion de m’intéresser aux techniques de
l’ultra-vide mais je ne developperai pas ce point dans ce rapport.
Ce rapport s’organise de la manière suivante, tout d’abord une présentation
de l’expérience et de ses objectifs, puis une description d’un certain nombre
de phénomènes physiques que l’expérience ce propose d’utiliser, les deux
derniers chapitres sont consacrés au travail expérimental avec tout d’abord
l’étude et la caractérisation de la cavité de haute finesse et enfin l’asservissement de cette dernière.
3
4
Chapitre 1
Présentation de l’expérience
BIARO
L’expérience dont nous allons parler dans ce rapport est BIARO (acronyme pour condensation de Bose-einstein et Interférométrie Atomique dans
un Résonnateur Optique de haute finesse), elle a pour objectif la formation et la manipulation d’un condensat de Bose-Einstein dans un résonateur
optique de haute finesse devant servir de source atomique pour un senseur
inertiel. Dans ce chapitre, nous allons tout d’abord replacer l’expérience
au sein de ce champ scientifique qu’est l’étude des atomes froids et de la
condensation de Bose-Einstein, nous décrirons le principe de l’expérience et
les objectifs que cette dernière se propose d’atteindre.
1.1
1.1.1
Contexte de l’expérience
Piégeage et évaporation : optique versus magnétique
La réalisation d’un condensat de Bose-Einstein (voir la seconde partie
du chapitre suivant pour une description plus détaillée) s’effectue en deux
étapes :
– Une première étape de piégeage et de refroidissement par laser des
atomes (voir la première partie du chapite suivant) permet d’obtenir
un nuage dit thermique dont la température est inférieure au milliKelvin (typiquement ∼ 100µK).
– Le phénomène de condensation n’apparaı̂ssant qu’en dessous d’une
température critique de l’ordre de 100nK (dans les conditions habituelles de nos expériences), il est nécessaire d’effectuer un seconde
étape dite d’évaporation. Celle-ci consiste à éjecter du piège les atomes
les plus énergétiques, on obtient alors après rethermalisation une énergie
moyenne par atome plus faible. L’objectif étant d’obtenir la température
critique en éjectant le moins d’atomes possible (afin disposer d’un
5
condensat le plus gros possible).
Pour cette deuxième phase deux méthodes sont principalement utilisées :
l’évaporation magnétique et l’évaporation optique. La majorité des condensats réalisés sont obtenus par évaporation magnétique dont la réalisation
est assez robuste et techniquement bien maı̂trisée. Mais cette étape peut
aussi être réalisée de manière complètement optique i.e. sans l’intervention
aucune d’un champ magnétique. Ceci a été réalisé pour la première fois en
2001 par l’équipe de Chapman à Georgia Tech [1].
La méthode toute optique offre l’avantage d’un temps d’évaporation
plus rapide (∼ 2 s) comparer a l’évaporation magnétique (∼ 10 s) ce qui
relâche considérablement les contraintes liées au temps de vie des condensats et permet un taux accru de répétition des expériences. Ne pas faire
intervenir de champs magnétiques est aussi un avantage pour l’utilisation
de condensats dans des systèmes embarqués, notamment spatiaux, où la
présence d’un champ magnétique peut être gênante voire néfaste, de plus
les bobines et la nécéssité d’un blindage sont une source d’encombrement et
de poids supplémentaire.
Toutefois, dans l’expérience de Chapman le piège dipolaire est créé par un
laser CO2 de forte puissance (12 W) ce qui est loin d’être facile à contrôler
et impensable à utiliser dans un système embarqué tellement ce type de
laser est imposant et possède un rendement électrique/optique faible, c’est
notamment ce problème que l’utilisation d’une cavité se propose de résoudre
grâce à l’exaltation du champ électrique qu’elle procure.
1.1.2
Condensation tout optique avec et sans cavité
Sans cavité
Si l’expérience de Chapman [1] offre une démonstation de la faisabilité
d’une telle méthode de refroidissement évaporatif, ces derniers ne sont parvenus à capturer que 8 % des atomes du nuage thermique initial. La puissance
des laser actuels (lasers à fibre) permet d’enviger la capture quasi-complète
d’un nuage de plusieurs centaines de millions d’atomes. Cela ne résout toutefois pas les problèmes liés au rendement des laser qui excède rarement les
10 % et nécessite donc des puissances électriques de plusieurs kilo-Watts.
Avec cavité
L’utilisation d’une cavité de part l’exaltation du champ électrique quelle
produit apporte alors un avantage décisif puisque qu’avec une finesse & 1000
un laser d’une puissance ∼ 100mW produit alors un piège dipolaire aussi
profond que ceux décrit précédement pour une consommation électrique bien
moindre, c’est ce que l’expérience BIARO se propose de réaliser.
Notons que le piégeage d’atomes est déjà à l’étude dans les groupes de A.
Hemmerich et C. Zimmermann où des atomes de 85 Rb ont été placés dans
6
un piège dipolaire intra-cavité a été obtenu [2].
1.2
Principe de l’expérience
Nous allons ici présenter les grandes étapes que l’expérience se propose
de réaliser pour obtenir un condensat de Bose-Einstein. Ces étapes sont
schématisées Fig. 1.1.
Fig. 1.1 – Schéma des grandes étapes de l’expérience. (a) Création d’un
filet atomique (piège magnéto-optique 2D). (b) Chargement du MOT 3D à
partir du MOT 2D. (c) Activation du piège dipolaire (pince optique) et coupure du champ magnétique du MOT 3D, mise en marche du refroidissement
évaporatif optique.
1.2.1
Chargement du piège magnéto-optique
Le chargement du piège magnéto-optique (ou MOT pour Magneto-Optic
Trap) s’effectue en deux étapes :
Le MOT 2D
Tout d’abord on obtient un filet atomique grâce à un MOT 2D ou les
atomes sont refroidis dans deux dimensions transverses de l’espace. On peut
alors éventuellement ajouter un faisceau à l’arrière du filet qui vient pousser
les atomes dans la chambre d’expérience vers le centre de la cavité.
Le MOT 3D
Un piège magnéto-optique confinant les atomes dans les trois dimensions
de l’espace (MOT 3D) est centrée sur la cavité. On obtient alors un nuage
d’atomes froids.
7
1.2.2
Piégeage dipolaire et évaporation
Une fois le nuage d’atomes froids obtenu on fait résonner un faisceau
laser à 1560 nm dans la cavité créant un piège dipolaire au centre de celleci. On coupe alors le champ magnétique produit par les bobines du MOT 3D
et on piège une partie des atomes au niveau du waist de la cavité. On peut
dès lors appliquer les étapes d’évaporation tout optique jusqu’à obtention
d’un condensat.
1.3
1.3.1
Objectifs de l’expérience
Condensation de Bose-Einstein tout optique dans un
résonateur de haute finesse
Le premier objectif dont nous avons déjà beaucoup parlé est de réussir
la condensation tout optique d’atomes de rubidium 87 dans une cavité. Jusqu’à présent toutes les études de condensats en cavité ont été réalisées en
formant un condensat extra-cavité puis en le transférant dans la cavité, ici
le condensat sera directement produit dans la cavité.
1.3.2
Interférométrie atomique et réalisation d’un senseur
inertiel
L’interférométrie offre une approche très prometteuse à l’origine d’une
famille récente de senseurs inertiels. Le principe étant de placer en ”chute
libre” des atomes dans un référentiel inertiel issus d’une source ultra-froide,
à l’aide de faisceaux laser contra-propageants on induit des variations de
phase dans l’onde de matière que l’on mesure par interférométrie.
Ces senseurs peuvent trouver des applications très intéressantes dans des
domaines comme :
– la métrologie des constantes fondamentales,
– des tests de relativité générale,
– les technologies de navigation,
– les communications, ...
Dans notre cas on se propose de réaliser un nouveau type de senseur inertiel basé sur un schéma de cavité atomique résonante (voir Fig. 1.2) où un
condensat est stabilisé par des impulsions Raman gaussiennes périodiques.
Si la période des impulsions Raman est adaptée à l’accélération gravitationnelle il y a alors une résonance sur le nombre d’atomes préservés dans la
cavité après un certain nombre de cycles permettant ainsi une mesure de
l’accélération liée au champ gravitationnel.
L’un des miroirs à atomes de la cavité étant les faisceaux Raman l’autre
la gravité elle-même. Le condensat étant une onde contenue dans un espace
fini celle-ci diffracte lors de la chute, il faut que le front d’onde de faisceaux
8
Fig. 1.2 – Présentation de la cavité atomique. L’un des miroirs de la cavité
étant obtenu par les faisceaux Raman, l’autre étant le gravité.
Raman compense exactement celui du condensat afin d’obtenir un mode
propre de la cavité atomique autrement dit assurer le confinement transverse de l’onde atomique. L’idée étant un peu analogue avec la méthode qui
consiste à mesurer le coefficient de réflexion d’un miroir en plaçant celui-ci
dans une cavité Fabry-Pérot dont les pertes du second miroir sont bien calibrées, ici le miroir dont on cherche à mesurer la réflexion est directement
lié à la gravité et donc à g.
Le cycle effectué par le condensat est présenté Fig. 1.3. Le condensat est
initialement au repos à une altitude z0 dans un état noté |z = z0 , gi, il est
ensuite soumis à une chute libre pendant un temps T /2 avant de recevoir
une première impulsion raman π lui transférant une vitesse v = 2~k
m z (k
est le vecteur d’onde des lasers). On inverse alors le désaccord des lasers
par rapport à la résonance atomique puis on soumet le condensat à une
seconde impulsion π. A chaque cycle l’onde atomique reçoit alors un transfert
d’impulsion 4~k.
Si on répète le cycle des impulsions miroirs avec une période T0 = 2~k
mg
alors le condensat repasse périodiquement dans l’état initial. Un faible écart
à cette période va engendrer une accélération du condensat et une perte
d’atomes augmentant à chaque cycle. En balayant la période T d’un cycle, on
observera donc une résonance pour T = T0 ce qui nous permettra de mesurer
g. Si n est le nombre de cycles effectués alors la largeur de la résonance est
proportionnelle à n−3/2 , la précision de la mesure est donc d’autant plus
précise que le nombre de cycles est grand.
1.3.3
Mesure quantique non destructive
La limite ultime de toute mesure est le processus de mesure lui-même
(nous en reparlerons avec plus de détails dans le chapitre suivant). Dans
9
Fig. 1.3 – Evolution du condensat au cours d’un cycle.
le cas d’un interféromètre atomique, l’état de sortie est une superposition
cohérente de deux états quantiques, la mesure de la population atomique
dans un état affecte la population du second puisque lors du processus de
mesure la projection d’un état implique nécessairement celle de l’autre, il
est donc impossible de connaı̂tre avec certitude la population dans chacun
des deux états.
De plus si les atomes sont indépendants il apparaı̂t un bruit de projection
quantique (bruit de grenaille atomique) limitant la sensibilité comme √1N où
N est le nombre total d’atomes, dans le cas des interféromètres atomiques
on a typiquement N ∼ 104 − 106 , ce bruit de projection quantique est donc
le principal facteur limitant.
Toutefois, la principale limite fondamentale est la limite d’Heisenberg
où la sensibilité varie comme 1/N [3]. Pour atteindre cette limite il est
nécessaire d’effectuer une mesure quantique non destructive (QND) dont
une description détaillée est faı̂te au chapitre suivant.
Pour mesurer non destructivement la différence de population, deux
paires de faisceaux laser asservis en phase seront utilisé permettant d’explorer une gamme de paramètres expérimentaux beaucoup plus large. La
cavité offrant en plus d’exalter le déphasage induit par les atomes de part le
grand temps passé par la lumière à l’intérieur (on s’attend à un gain dans
le rapport signal à bruit variant comme la racine carrée de la finesse), elle
permet aussi une parfaite superposition des atomes et des faisceaux lasers.
10
Chapitre 2
Présentation de quelques
phénomènes physiques
Lors de la description du projet dans le chapitre précédent nous avons
aborder un certain nombre de phénomènes physiques devant permettre la
réalisation de l’expérience. Nous allons ici en présenter trois qui sont le
refroidissement d’atomes par laser, la condensation de Bose-Einstein et la
notion de mesure quantique non destructive. La physique associée à la cavité
sera quant à elle traitée en détail dans le chapitre suivant.
2.1
Le refroidissement d’atomes par laser
L’avènement dans les années 1980 des techniques de refroidissement
d’atomes par laser fut une révolution dans le monde de la physique atomique, leurs inventeurs : C. Cohen-Tannoudji, W. Phillips et S. Chu se
voyant récompensés du prix Nobel en 1997. Les physiciens disposerons alors
d’outils nouveaux qui conduirons entre autres à :
– la condensation de Bose-Einstein en 1995 (prix Nobel 2001 : E. Cornell,
C. Wieman, W. Ketterle), dont nous reparlerons un peu plus loin dans
ce rapport.
– le piègeage d’atomes uniques (voir par exemple [4])
– l’étude des processus de collisions atomiques
– l’étude des effets non linéaires optiques
– et bien d’autres encores ...
Nous allons exposer ici les principales idées du refroidissement d’atomes
par laser, pour plus de détails on pourra ce référer à [5] ainsi qu’à [6].
Nous nous attacherons principalement ici à la description des principaux
phénomènes physiques intervenant associés à de rapides calculs des ordres
de grandeur des températures atteignables.
11
2.1.1
Concepts de base
Le refroidissement atomique par laser repose sur l’action mécanique de
la lumière sur les atomes et notament sur le transfert d’impulsion entre le
photon et l’atome. Afin d’étudier ce phénomène considérons un atome à
deux niveaux : |f i et |ei, lorsqu’un photon de vecteur d’onde ~k est absorbé
par un atome de masse m ce dernier reçoit un ”kick” ∆~
p = m∆~v = ~~k, on
constate immédiatement que l’absorption d’un photon induit un changement
de vitesse ∆~v de l’atome et par conséquent un changement de température
de celui-ci.
Le refroidissement proprement dit a lieu grace à l’émission spontanée, en
effet le photon fluorescant est émis dans une direction aléatoire de l’espace
et par conséquent le recul de l’atome se fait lui aussi dans une direction
aléatoire. Si maintenant on éclaire cet atome avec un faisceau laser résonant
constitué d’un nombre macroscopique de photons, alors puisqu’un grand
nombre de photons sont émis de manière spontanée le recul moyen dû à
la fluorescence est nul. Par contre le recul lié à l’absorption devient très
important et donc un atome arrivant de manière contrapropageante face au
faisceau laser sera ralenti par ce recul, autrement dit il est refroidit.
Calculons un ordre de grandeur de la température atteignable lors du refroidissement d’un atome unique par cette méthode. Supposons que l’atome
recoive une impulsion moyenne ∆~
p par absorption et ∆~
p 0 par émission
spontannée, l’énergie moyenne de l’atome pour une absorption vaut alors :
¢2 E
1 D¡
∆~
p + ∆~
p0
,
(2.1)
hEi ∼
2m
D
E 
D
E
® 
®
or (∆~
p + ∆~
p 0 )2 = ∆~
p2 + ∆~
p 02 + 2~2 k 2 cos(~k, ~k 0 ) ,
D
E
 2® 
®
puisque cos(~k, ~k 0 ) = 0 et ∆~
p = ∆~
p 02 = ~2~k 2 = ~2 ω 2 /c2 alors :
~2 ω 2
(2.2)
,
mc2
enfin ramenons nous à une température en utilisant hEi ∼ 2kB Tγ , autrement
dit :
hEi ∼
Tγ ∼
~2 ω 2
,
2kB mc2
(2.3)
qui est la température limite de recul à un photon i.e. la diminution moyenne
de température d’un atome lors de l’absorption/émission d’un photon. En
prenant m ∼ 1, 4.10−25 kg (pour le 87 Rb) et ω = 2, 4.1015 rad.s−1 (λ =
780 nm), on trouve Tγ ∼ 180 nK.
2.1.2
Le refroidissement Doppler
La rapide modélisation effectuée précédemment ne prend pas en compte
le désaccord entre la fréquence ω du photon et la transition atomique du
12
fait de l’effet Doppler associé à la vitesse v de l’atome. Plaçons nous dans le
référentiel de l’atome alors la fréquence apparente du photon est :
³
v´
ω0 = ω 1 +
.
(2.4)
c
Si ω0 est la fréquence de résonance de la transition |f i → |ei pour l’atome
au repos, alors si ω < ω0 le faisceau est dit décalé vers le rouge. Le laser interagira alors préférablement sur les atomes se déplaçant dans le sens opposé
à ~k générant une force sur les atomes dans cette direction. On exerce donc
sur les atomes une force dispersive dépendante de leur vitesse. En exerçant
une force selon toutes les directions on peut donc ralentir les atomes.
Il faut donc ajuster le décalage de la fréquence du laser au fur et à
mesure que la vitesse des atomes diminue lors du refroidissement (décalage
de la fréquence du laser ou modification des niveaux d’énergie atomique par
effet Zeeman).
Si Γ est la largeur naturelle de la transition atomique et ΓD l’élargissement
Doppler tel que :
r
ω0 2kB T
,
(2.5)
ΓD =
c
m
on peut alors trouver la température T ∗ lorsque Γ ∼ ΓD :
T ∗ ∼ Γ2
mc2
.
2kB ω02
(2.6)
Pour le 87 Rb Γ = 38.106 rad.s−1 d’où T ∗ ∼ 114 mK soit nettement plus
chaud que Tγ .
On peut montrer (voir par exemple [10]) que dans le cas où la puissance
lumineuse est suffisament faible pour négliger l’émission stimulée, la force
dispersive Doppler peut s’écrire sous la forme :
FD = −4
κΓ~ω β
,
c 4 + β4
(2.7)
2 2
d E0
v
ˆ
avec β = 2ω
Γ c et κ = Γ2 où E0 est l’amplitude du champ laser et d = he|d|f i
est l’élément de matrice dipolaire.
On peut aussi montrer que la température limite atteignable par refroidissement Doppler est directement proportionnelle à la largeur de la transition atomique :
TD =
~
Γ ∼ 144 µK.
2kB
(2.8)
On peut aussi noter que TD est la moyenne
géométrique des deux échelles
p
de température précédentes : TD = T ∗ Tγ .
13
2.1.3
Le piège magnéto-optique (MOT)
Si les méthodes précédemment présentées permettent de refroidir les
atomes elles ne permettent pas de les piéger. Il existe pour cela plusieurs
techniques la plus répandue étant le piège magnéto-optique (PMO ou MOT
en anglais).
L’idée étant d’effectuer à la fois un ralentissement selon le mécanisme
précédement décrit et de piéger les atomes dans un gradient de champ
magnétique. Le principe est décrit Fig. 2.1, l’inhomogénéı̈té du champ magnétique
décale les sous-niveaux Zeeman, on sélectionne le sous-niveau sur lequel on
désire agir via la polarisation du champ laser, de sorte que les atomes à
gauche du piège diffuserons plus de photons du laser se propageant vers la
droite et réciproquement les atomes à droite du piège diffuserons plus de
photons du laser se propageant vers la gauche.
Fig. 2.1 – Principe du piège magnéto-optique à une dimension (d’après [10]).
2.2
La condensation de Bose-Einstein
La condensation de Bose-Einstein dans des vapeurs atomiques a été observée pour la première fois en 1995 à Boulder [7], à la Rice University [8]
et au MIT [9]. Les condensats de Bose-Einstein sont depuis devenus, à l’instar du refroidissement d’atomes par laser dont il en est l’héritier, un outil
fondamental de l’expérimentateur et du théoricien en physique atomique, il
a de plus permis l’ouverture d’un ”pont” entre cette dernière et la physique
du solide.
14
2.2.1
Idée générale
Si l’air qui nous entoure peut être considéré comme constitué de particules, comme le décrit la thermodynamique ”classique”, cela tient beaucoup
au fait que la vitesse des atomes y est très grande (de l’ordre de 300 m/s) et
par conséquent leur longueur d’onde de De Broglie associée est très petite
puisque (λ = h/p) : les particules sont bien localisées spatialement.
Mais si l’on diminue la vitesse des atomes, i.e. si on les refroidis alors
le caractère ondulatoire va devenir prépondérant jusqu’au moment où la
longueur d’onde de De Broglie de chaque particule va devenir supérieure à la
distance interatomique. A partir de ce moment là, les différentes ondes vont
pouvoir interférer, destructivement pour les fermions (en vertu du ”principe”
de Pauli) et constructivement pour les bosons engendrant dans ce cas la
formation d’une onde de matière macroscopique appellée condensat de BoseEinstein.
Cette approche en apparence simple permet toutefois d’obtenir un ordre
de grandeur de la température de condensation Tc . En effet, si on considère
que les atomes suivent une statistique de Maxwell-Boltzmann, leur vitesse
moyenne vérifie alors la relation :
r
2kB T
,
(2.9)
hvi =
m
par conséquent
q la longueur d’onde de De broglie associée aux atomes s’écrit
2 ~2
2π~
λ ∼ mhvi = k2π
. De plus, si les atomes sont confinés dans un volume
B mT
V , la condensation de Bose-Einstein ayant lieu lorsque la distance interato¡ ¢−1/3
, on touve
mique est de l’ordre de λ autrement dit lorsque λ ∼ N
V
immédiatement que :
2π 2 ~2
Tc ∼
kB m
µ
N
V
¶2/3
.
(2.10)
En prenant les paramètres typiques attendus dans notre expérience :
N = 106 , V = 10−3 mm3 et m ∼ 1, 4.10−25 kg (pour le 87 Rb), on obtient
Tc ∼ 114 nK.
Pour une approche plus détaillée de la condensation de Bose-Einstein du
point de vu de la physique statistique on pourra se reporter à l’ouvrage [10]
2.2.2
Statistiques des bosons et fermions
La densité d’états dans l’espace des phases est donnée par la statistique
de Bose-Einstein pour les bosons :
1
f (E) =
e
E−µ
kB T
15
(2.11)
−1
et la statistique de Fermi-Dirac pour les fermions :
1
f (E) =
e
E−µ
kB T
(2.12)
+1
où µ est le potentiel chimique.
On notera dans le cas des fermions que f (E) < 1 n’autorisant pas deux
fermions à être dans le même état, conformément au ”principe” de Pauli.
De manière inverse, la statistique de Bose-Einstein autorise la densité
d’état à diverger dans le cas E = µ ce qui est l’énergie du fondamental.
En d’autre terme il est possible de placer un très grand nombre de bosons
dans l’état fondamental d’un système donné, i.e. réaliser un condensat de
Bose-Einstein.
2.2.3
L’équation de Gross-Pitaevskii
On peut montrer qu’un condensat dans l’approximation de champ moyen
(cf. Annexe A) peut être décrit par une onde classique Φ(r, t) appellée
fonction d’onde du condensat ou paramètre d’ordre telle que la densité
du condensat puisse s’écrire n0 (r, t) = |Φ(r, t)|2 . Nous allons ici décrire
l’équation d’onde vérifiée par Φ(r, t).
En se plaçant dans le cas d’un gaz dilué et froid on ne considère que des
collisions à deux corps de faible énergie, le potentiel d’interaction considéré
ne dépend plus alors que de la longueur de diffusion a de l’onde s associée
aux atomes. Le potentiel peut donc s’écrire :
V (r − r’) = g δ(r − r’),
(2.13)
2
a
où g = 4π~
est la constante de couplage.
m
Dans ce cadre on peut montrer que l’onde Φ(r, t) est solution de l’équation
suivante dite de Gross-Pitaevskii :
µ
¶
~2 2
2
i~∂t Φ(r, t) = −
∇ + Vext (r) + g |Φ(r, t)| Φ(r, t).
(2.14)
2m
Dans le cas de particules libres (Vext ≡ 0) évoluant dans un volume
de quantification V , cette équation a pour solution Φ(r) = √1V eik·r . Cette
équation admet aussi pour solution des solitons (en effet, l’équation de GrossPitaevski est une équation de Schrödinger non linaire).
Si on considère une solution stationnaire de la forme Φ(r, t) = φ(r) e−iµt/~ ,
l’équation de Gross-Pitaevskii s’écrit alors :
µ
¶
~2 2
2
−
∇ + Vext (r) + gφ (r) φ(r) = µφ(r).
(2.15)
2m
et n(r) = φ2 (r).
16
2.2.4
Le régime de Thomas-Fermi
L’approximation de Thomas-Fermi considère que dans le cas où le nombre
de particules condensées est très grand, le terme d’énergie cinétique peut être
~2
négligé : gn(r) À 2m
∇2 , d’où d’après 2.15 :
n(r) = g −1 [µ − Vext (r)]
2.3
(2.16)
Notion de mesure quantique non destructive
Nous allons ici brièvement décrire ce que l’on entend par la notion de
mesure quantique non destructive. Un complément sur la caractérisation
expérimentale d’une telle mesure est donné Annexe B.
2.3.1
Une mesure quantique ”idéale”
Dans le cadre d’une mesure quantique telle que décrite par les postulats
de la mesure (voir par exemple [12]), la réduction du paquet d’onde fait que
durant le processus de mesure un système initialement décrit par un état
quelconque dans l’espace de Hilbert se retrouve projetté sur un des états
propres. La seule grandeur prédictible étant la probabilité de trouver tel ou
tel état propre à la fin du processus de mesure.
Cette vision sugère que :
– le processus de mesure n’affecte pas le système observé
– le système observé n’est pas détruit par le processus de mesure
– le système reste dans l’état final après la mesure
Ceci définit la mesure quantique idéale appellée mesure quantique non
destructive (QND). Dans la majorité des mesures effectuées le système quantique est détruit lors de la mesure, par exemple :
– dans le cas de la photodétection, le photon est absorbé pour donner
un électron,
– lors de la mesure par fluorescence de la densité d’un condensat, celui-ci
est détruit de part l’énergie apportée au système et l’émission spontanée induite.
2.3.2
La mesure en mécanique quantique : couplage entre
système observé et appareil de mesure
La présentation qui suit est largement inspirée de la réfrence [14].
Considérons un système S possèdant deux observables en quadrature P
et Q dont un état est décrit par un ket |ψi sur lequel on désire effectuer une
mesure l’aide d’un appareil M représenter par la sonde (photon, électron,
...) qu’il utilise possèdant elle aussi deux observables en quadrature X̂ et Ŷ
et est décrit par un ket |ϕ̂i.
17
h Lesi deux observables en quadrature ne commutant pas [P, Q] = i~ et
X̂, Ŷ = i~, il existe une relation de Heisenberg 1 entre elles :
~
2
~
∆X̂∆Ŷ ≥
2
∆P∆Q ≥
(2.17)
(2.18)
ce qui conduit l’existence d’un bruit dans la mesure. Intrinsquement, cela
tient au fait que la particule effectuant la médiation entre le système observé
et l’appareil de mesure (photon, électron, ...) est de nature quantique.
De plus, comme décrit sur la figure 2.2, l’existence d’un couplage entre
les systèmes S et M induit une action sur P lors d’une mesure de Q. Ce
couplage est décrit par un hamiltonien HI . On voit alors apparaı̂tre l’existence d’une limite quantique liée à un compromis entre bruit de la mesure
et action en retour, en effet il est possible de réduire le bruit sur la mesure en augmentant le couplage entre la sonde et le système mesuré mais
cela conduit à une destruction plus importante sur le système observé. Un
exemple de calcul de ces limites appliqué aux condensats et notament aux
condensats en cavité est donné dans [15].
Fig. 2.2 – Schéma symbolisant le couplage entre le système observé et l’appareil de mesure (d’après [14])
Si initialement (avant toute mesure) les deux systèmes sont séparés, i.e.
le système {S + M} est dans l’état |ii = |ψi ⊗ |ϕ̂i, alors le couplage lors
de la mesure va faire évoluer (temporellement durant un temps τ ) cet état
vers un état corrélé (intriqué) via l’action de l’opérateur d’évolution associé
à HI : U(τ ) = e−iHI τ /~ , autrement dit :
|f i = U(τ ) |ψi ⊗ |ϕ̂i.
1
(2.19)
D’une manière générale, si A et B sont deux observables, il existe entre elles la relation
d’Heisenberg suivante :
|h[A, B]i|
∆A∆B ≥
2
18
2.3.3
Définition formelle d’une mesure QND
Lors d’une mesure QND, on ne veut pas de perturbation de la quantité
mesurée, il faut donc :
– une absence d’action en retour sur l’observable mesurée
– que l’observable soit une constante du mouvement ultérieur
Analysons les conditions pour chacun de ces deux cas. Un schéma résumant
ces différentes conditions est donné figure 2.3.
Fig. 2.3 – Illustration des conditions pour la réalisation d’une mesure QND
(d’après [14])
Absence d’action en retour sur l’observable mesurée
Supposons qu’initialement S soit dans un état propre de Q : |ψi = |qi,
afin de réaliser une mesure QND sur celui-ci il est nécessaire que le système
reste dans ce même état propre : Q |f i = q |f i, soit QU |ψi ⊗ |ϕ̂i = qU |ψi ⊗
|ϕ̂i = Uq |ψi ⊗ |ϕ̂i = UQ |qi ⊗ |ϕ̂i. Autrement dit, il faut :
[Q, U] |ϕ̂i = 0.
(2.20)
Cette relation correspond bien à une abscence d’action en retour, en
effet puisque (en représentation d’Heisenberg) Q(τ )|ϕ̂i = U† (τ )QU(τ )|ϕ̂i,
en utilisant 2.20, on obtient :
Q(τ )|ϕ̂i = Q|ϕ̂i.
(2.21)
Montrant ainsi l’invariance temporelle de Q.
Il existe alors deux possibilités pour réaliser cette condition :
– Préparer l’état initial |ϕ̂i de la sonde de sorte qu’il s’agissent d’un état
propre du commutateur [Q, U] de valeur propre 0.
– Choisir un cas où Q reste constant durant le couplage, une condition
suffisante 2 est alors [Q, HI ] = 0.
2
Cela vient du théorème d’Ehrenfest, qui décrit l’évolution temporelle de la valeur
19
L’observable est une constante du mouvement ultérieur
Afin d’éviter tout couplage de l’action en retour sur P avec Q, il faut que
l’observable mesurée soit une constante du mouvement ultérieur du système
S. En d’autres termes, il faut vérifier la condition :
[Q, HS ] = 0
(2.22)
On trouvera en complément dans l’annexe B les critères permettant la
caractérisation expérimentale d’une mesure QND.
moyenne d’une observable A :
d hAi
i
= [H, A] .
dt
~
Dans le cas [H, A] = 0, on dit que l’opérateur A est constant.
20
Chapitre 3
La cavité de haute finesse :
caractérisation théorique et
expérimentale
Nous allons maintenant passer à l’étude de la cavité à proprement parler. L’objectif étant la validitation du concept de la cavité ainsi que sa caractérisation avant que celle-ci ne soit placée dans l’enceinte à vide. Après
une description du laser et de la cavité nous examinerons la propagation
du faisceau au sein de celle-ci ainsi que ses modes de résonance. Puis nous
présenterons les résultats des mesures de finesse et du couplage.
3.1
3.1.1
Description du laser et de la cavité
Le laser à 1560 nm
La source à 1560 nm est un laser fibré de marque Koheras capable de
délivrer une puissance comprise entre 30 et 100 mW et muni d’un actuateur
piézo-électrique permettant la modulation en fréquence nécessaire à l’asservissement de celui-ci sur la cavité.
On a cherché à caractériser la réponse de cet actuateur notamment pour
connaı̂tre sa plage de réponse linéaire. Pour cela on a utiliser une cavité
Fabry-Pérot (linéaire), de finesse ∼ 200 avec un intervalle spectral libre de
1 GHz, au seins de laquelle deux modes relativement ”proches” sont excités
puis connaissant la distance séparant ces deux modes en fonction de la tension appliquée sur le piézo on a pu remonter à la dérivée du déplacement
par rapport à la tension appliquée et ainsi en déduire, par intégration, le
déplacement en fonction de la tension. Le résultat est présenté figure 3.1.
On constate un bon comportement linéaire à partir de 60 V. L’amplitude du
déplacement est obtenue sachant qu’un intervalle spectral libre est parcouru
21
avec une rampe de 110 V sur la zone de réponse linéaire, on obtient alors :
∆λ =
λ2
∆ν = 0, 07pm/V.
c
(3.1)
Fig. 3.1 – Déplacement de la cale piézo-électrique du laser en fonction de la
tension appliquée dessus. La droite est un ajustement linéaire effectué sur
les 7 derniers points.
3.1.2
La cavité
Il s’agit d’une cavité en papillon, i.e. une cavité en anneau croisée. Sa
forme est un carré de diagonale 90 mm dont les quatre miroirs, tous identiques, possèdent un rayon de courbure de 10 mm et sont munis d’un excellent traitement réfléchissant à deux longueurs d’ondes (99,998 % à 780
nm pour la détection des atomes et 99,965 % @ 1560 nm pour le piège dipolaire). Elle possède un intervalle spectral libre de 1 GHz et une finesse
théorique de 3800 à 1560 nm et d’environ 75 000 à 780 nm. La figure 3.2
présente la cavité telle qu’initialement imaginée ainsi que la réalisation et le
montage de la plaque pour les tests.
Deux des quatres miroirs sont fixes et les deux autres ajustables, l’un
servant à l’alignement grossier à l’aide de deux actionneurs ”picomotor”
permettant un réglage à distance (nécessaire lorsque la cavité sera dans l’enceinte à vide), l’autre miroir étant monté sur une platine de nanopositionnement composée de trois actionneurs piezo-électriques hautement linéaires,
fournissant le réglage fin nécessaire à toute rétroaction d’un asservissement.
22
Fig. 3.2 – (a) La cavité telle que montée pour la caractérisation et les divers
tests préalables à l’installation dans l’enceinte à vide, on peut voir la platine
de nanopositionnement en titane en haut à gauche. (b) La cavité initialement
conçue avec les bobines telle qu’elle sera dans l’enceinte à vide.
La figure 3.3 présente le montage de la cavité : l’injection et la lentille
pour l’adaptation de mode (mode-matching) (voir paragraphe suivant) ainsi
que la détection (en réflexion et transmission) avec l’électronique associée.
Nous allons dans la suite de ce chapitre présenter les résultats théoriques
et expérimentaux obtenus. Pour une présentation plus détaillée des phénomènes
physiques et du formalisme utilisé on se référera à [18]-[21].
3.2
3.2.1
Propagation du faisceau dans la cavité et adaptation de mode
Calcul de la matrice ABCD de la cavité, prise en compte
de l’astigmatisme
La cavité étant constituée de quatre miroirs sphériques hors d’axes qui
présentent donc un astigmatisme. De ce fait tous les calculs seront effectués
en ”double” : l’un étudiera la propagation du faisceau selon l’axe x parallèle
au plan d’incidence sur les miroirs, l’autre selon l’axe y orthogonal au plan
d’incidence.
Si on note θ l’angle d’incidence du faisceau sur les miroirs alors les focales
de ces derniers selon les axes x et y sont données par les relations :
R
cos θ
2
R
fy0 =
2 cos θ
fx0 =
23
(3.2)
(3.3)
Fig. 3.3 – Schéma du montage de la cavité : injection et détection.
On notera L la longueur de la diagonale de la cavité.
On peut à partir de là calculer les matrices ABCD associées à la cavité.
Les matrices de propagation libre sur une distance l s’écrivent :
µ
¶
1 l
(3.4)
Mprop (l) =
0 1
Les matrices des miroirs s’écrivent :
– selon l’axe x :
¶ µ
µ
1
1
0
x
=
Mmir =
2
0
− R cos
−1/fx 1
θ
0
1
¶
(3.5)
– selon l’axe y :
µ
y
Mmir
=
1
0
−1/fy0 1
24
¶
µ
=
1
θ
− 2 cos
R
0
1
¶
(3.6)
La cavité possèdant quatre waists (un sur chaque côté et deux waists
croisés au centre) il faut définir pour le calcul de la matrice ABCD le ”waist
de référence” à partir duquel on écrira la première matrice de propagation,
ici le waist au centre. Pour obtenir la matrice ABCD, on écrit le produit des
matrices de chaque élément rencontré (alternance d’une propagation libre et
d’un miroir) jusqu’à revenir dans le plan du waist de référence. La matrice
ABCD de la cavité selon l’axe x étant bien entendu obtenu en prenant la
x pour les miroirs (respectivement M y pour l’axe y).
matrice Mmir
mir
Les calculs effectuées avec Matlab nous donnent les matrices suivantes :
µ
¶
µ
¶
0, 9362
−0, 0047 m
0, 4831
−0, 0292 m
Mx =
, My =
.
26, 5112 m−1
0, 9362
26, 2254 m−1
0, 4831
(3.7)
On en déduit alors les tailles de waist suivantes :
w0x = 81µm et w0y = 129µm,
(3.8)
soit un volume du mode V = π4 Lw0x w0y = 2, 5 mm3 , on trouve aussi les
distances de Rayleigh suivantes :
ZRx = 13, 3mm et ZRy = 33, 4mm.
3.2.2
(3.9)
Adaptation de mode
L’adaptation de mode (mode-matching) consiste à faire en sorte que le
mode du faisceau injecté dans la cavité se superpose au mode fondamental
de la cavité. Ceci s’effectue usuellement à l’aide d’une lentille, il y a donc
deux paramètres à calculer : la focale f 0 de la lentille et la distance L entre
la lentille et le waist de la cavité, connaissant le rayon de courbure complexe
πw2
dans le plan incident sur la lentille, qin = i λin , ainsi que le rayon de courπw2
bure complexe dans le plan du waist, qout = i λ 0 , selon les notation de Fig.
3.4.
Pour le calcul des paramètres f 0 et L, il suffit alors d’écrire la loi ABCD
connaissant la matrice ABCD de la cavité :
qout =
Aqin + B
,
Cqin + D
(3.10)
puis en identifiant les parties réelles et imaginaires de cet équation, on obtient
un système de deux équations à deux inconnues f 0 et L :
½
¾
Aqin + B
Re {qout } = Re
(3.11)
Cqin + D
½
¾
Aqin + B
Im {qout } = Im
(3.12)
Cqin + D
25
Fig. 3.4 – Schéma des différents paramètres pour le calcul du mode-matching
d’une cavité.
3.3
Mesure du couplage
Le couplage, rapport entre l’intensité lumineuse incidente sur la cavité
et l’intensité lumineuse transmise, est mesuré à l’aide de la lumière réfléchie
sur le miroir d’entrée (voir Fig. 3.5). Le couplage théorique maximum est
de l’ordre de 70 %, expérimentalement nous avons mesuré un couplage de
l’ordre de 25-30 %, l’écart avec la théorie pouvant entre autre s’expliquer par
une adaptation de mode non parfaite et notamment la nécessité de corriger
l’astigmatisme.
Il est également à noter que dans le configuration choisie pour la cavité
les waists ne sont pas situés au niveau des miroirs ce qui rend l’adaptation
de mode plus complexe et donc le couplage plus difficile.
3.4
3.4.1
Etude des modes de la cavité
Le fondamental
On rappelle qu’un mode propre est défini comme étant un mode invariant
lors des passages succéssifs du faisceau dans la cavité, un mode étant lui
même défini comme
³ ´ la donnée d’un vecteur d’onde et d’une polarisation
i.e. un couple ~k,~² .
On aligne la cavité de sorte à n’exciter que le mode fondamental TEM00
qui est gaussien, le résultat obtenu est présenté sur la figure 3.6.
26
Fig. 3.5 – Lumière réflechie par le miroir d’entrée lors de la résonance de la
cavité. Ici le couplage est de 24,5 %.
Fig. 3.6 – Transmission de la cavité lors d’un balayage de sa longueur.
3.4.2
Les modes d’ordre supérieur
Quelques rappels théoriques
Pour une description plus détaillées on pourra se référer à [18]-[21].
La cavité admettant un mode propre gaussien (voir annexe C), il existe
par conséquent une famille de fonctions elles-mêmes modes propres de la
cavité constituant l’ensemble de ces modes transverses. En recherchant des
solutions scalaires de l’équation de Helmholtz (∇2 E(r) + k 2 E(r) = 0) sous
27
la forme :
E(x, y, z, t) = u(x, y, z)e−ikz eiωt ,
(3.13)
et en supposant que les variations de l’enveloppe u sont faible lors de la
propagation selon l’axe longitudianl z autrement dit en prenant ∂z2 u ¿ k∂z u,
on montre aisément que l’équation de Helmholtz peut se réécrire :
∇2⊥ u − 2ik∂z u = 0,
(3.14)
où ∇2⊥ désigne le laplacien transverse ∇2⊥ = ∂x2 + ∂y2 .
Au vu de la symétrie du problème 1 , on recherche une solution séparable
en x et y de la forme (voir l’annexe C pour les notations) :
u(x, y, z) = g(x)h(y)eiP (z) e
2 +y 2
w2 (z)
−x
e
−i k2
x2 +y 2
R(z)
,
(3.15)
on montre alors (à l’aide d’un changement de variable) que l’équation 3.14 est
analogue à l’équation de Schrödinger dans le cas d’un oscillateur harmonique
et admet donc des solutions quantifiées sur la base des polynômes de Hermite
2 , le champ du mode d’ordre (m, n) pouvant alors s’écrire dans le cas d’une
cavité anisotrope :
„
«
Ã√ !
Ã √ !
2
2
−i k2 q x(z) + q y(z)
w0x w0y
2x
2y
x
y
Emn (x, y, z) = E0
Hm
Hn
eiφm,n (z) e
wx (z)wy (z)
wx (z)
wy (z)
(3.16)
³
´
³
´
1
z
1
z
avec φm,n (z) = (m + 2 ) arctan ZRx + (n + 2 ) arctan ZRy qui est la phase
de Gouy, on démontre alors que la fréquence du mode TEMpmn vaut :
·
µ
¶
µ
¶ µ
¶
µ
¶¸
By
1
Bx
1
c
2πp − m +
arg Ax +
− n+
arg Ay +
,
νpmn =
4π[L]
2
qx
2
qy
(3.17)
où [L] est la longueur effective de la cavité, A et B étant les éléments de la
matrice ABCD associée à la cavité.
Confrontation à l’expérience
La configuration choisie pour la cavité est quasi-concentrique (afin d’assurer une taille de waist la plus petite possible). Dans cette situation le
1
On considère ici le cas d’une symétrie planaire (base (x, y)) où les modes se
décomposent sur les polynômes de Hermite, dans le cas d’une symétrie cylindrique (base
(r, θ)) la décomposition aura lieu sur la base des polynômes de Laguerre mais cela ne
change pas profondément la physique du problème.
2
Le n-ième polynôme de Hermite étant proportionnel à la dérivée n-ième de la gaussienne :
n
2 d
2
Hn (x) = (−1)n ex
e−x
dxn
.
28
passage d’un mode supérieur au suivant acquière une phase supplémentaire
de 2π par rapport au cas d’une cavité planaire, comme le montre le schéma
3.7.
Fig. 3.7 – Organisation des modes d’ordre supérieurs pour diverses
géométries de cavité (d’après [18]). On y voit bien le déphasage de 2π
supplémentaire dans le cas concentrique.
Afin de simplifier l’exploitation des résultats expérimentaux et théoriques,
nous prendrons pour convention de ramener tous les modes dans le même
intervalle spectral libre i.e. que l’on soustrait une phase 2π(m + n) au mode
TEMpmn , cela revient encore à prendre :
¶
µ
B
< π.
(3.18)
−π 6 arg A +
q
La Fig. 3.8 nous permet de mesurer les fréquences de résonance des premiers
modes d’ordre supérieur. Le résulat obtenu est donné Tab. 3.1.
En utilisant la formule 3.17 du paragraphe précédent, on peut calculer
le spectre théorique de la cavité. Les résultats calculés sont donnés Tab. 3.2,
les résultats étant, là encore, tous ramenés dans le même intervalle spectral
libre.
On constate alors que dans le cas d’une diagonale de longueur 90 mm
si le résultat est à la bonne échelle de grandeur il n’est toutefois pas très
quantitatif avec la mesure expérimentale. Ce même calcul effectué avec une
diagonale de longueur 88 mm donne un résultat nettement plus proche de
l’expérience.
29
Fig. 3.8 – Spectre de la cavité obtenu lors d’un balayage en longueur de
la cavité légèrement désalignée. Le mode fondamental étant beaucoup plus
important que les autres son amplitude n’est pas représentative.
N° du mode
Fréquence (MHz)
1
77
2
158
3
236
4
324
5
404
6
483
Tab. 3.1 – Spectre mesuré, le mode fondamental a le numéro 0 puis les
modes sont numérotés par ordre de fréquences de résonance croissantes. Les
fréquences donnés sont l’écart avec la fréquence du fondamental. On a ici
supposé un intervalle spectral libre de 976 MHz. Le mode numéro 5 est très
peu excité mais toutefois distinguable.
N° du mode (m, n)
Diagonale = 90 mm
(1,0)
56
(2,0)
112
(3,0)
167
(0,1)
211
(4,0)
223
(5,0)
279
(6,0)
334
Diagonale = 88 mm
79
159
238
213
317
396
476
Tab. 3.2 – Spectre calculé pour des cavités avec de diagonales de longueurs
90 mm et 88 mm. Les valeurs sont données en MHz.
On remarque aussi que seuls les modes TEMpm0 sont excités, ceci s’explique du fait qu’on a du légèrement désaligner la cavité pour mieux en observer la structure modale ce désalignment ayant été opéré préférentiellement
selon l’axe x. Une comparaison graphique entre les résultats expérimentaux
et théoriques est donée Fig. 3.9.
30
Fig. 3.9 – Comparaison des spectres théoriques et expérimentaux.
3.5
3.5.1
Mesure de la finesse
Mesure directe
Afin d’obtenir rapidement une estimation de la finesse de la cavité, nous
mesurons celle-ci en effectuant le rapport entre la taille d’un intervalle spectral libre et la largeur d’un pic, on utilise en fait directement la définition
de la finesse :
F=
∆ν
,
δν
(3.19)
où ∆ν est l’intervalle spectral libre et δν la largeur de résonance. On trouve
une finesse de l’ordre de 3000 ce qui est en bon accord avec la finesse
théorique (3800).
3.5.2
Mesure via le temps de vie des photons dans la cavité
Nous avons ici chercher à obtenir une mesure plus précise de la finesse,
pour cela nous mesurons directement le temps de vie τ des photons dans la
1
cavité. En effet, la largeur de résonance de cette dernière vaut δν = 2πτ
, ce
qui permet connaissant l’intervalle spectral libre d’en déduire la finesse.
La méthode habituellement employée pour effectuer ce type de mesure
consiste à asservir la cavité puis à placer un chopper afin de couper l’injection
et d’observer le temps de décroissance du flux lumineux en sortie lorsque
l’injection est bloquée. Ceci pose toutefois l’inconvénient qu’il faut asservir
la cavité hors nous voulions pouvoir la caractériser avant de commencer à
travailler sur son asservissement.
31
Pour passer ce problème, nous avons décider d’utiliser une méthode de
mesure impulsionnelle (au lieu d’une réponse à un échellon comme décrit
au dessus) en prenant pour impulsion la réponse fréquentielle de la cavité
lors d’un scan du laser. Nous allons donc dans un premier temps donné une
expression théorique de la réponse du sytème à une telle excitation puis nous
présenterons les résultats expérimentaux.
Modélisation du problème
Soient Nc (t) le nombre de photons présents dans la cavité à un instant
t, Ninc le nombre de photons incident sur le miroir d’entrée de la cavité, η le
couplage sur le miroir d’entrée et τ le temps de vie de la cavité. De plus si
on note p(ν) la probabilité de transition autour de la résonance de la cavité
et puisqu’ici on scanne la fréquence du laser on a ν(t) ∝ t, par conséquent le
nombre de photons entrant dans la cavité par unité de temps à un instant t
donné s’écrit ηNinc p(ν(t)) avec Ninc le nombre de photons incidents. De plus
le nombre de photons sortant de la cavité par unité de temps vaut τ1 Nc (t).
Il suffit alors de dire que la variation du nombre de photons intracavité est
la différence entre le nombre de photons entrants et le nombre de photons
sortants, on obtient alors l’équation de population suivante :
1
dNc
= − Nc (t) + ηNinc p(ν(t)),
dt
τ
(3.20)
ce que l’on peut aussi écrire comme la réponse d’un système du premier
ordre à une excitation en p(ν(t)) :
dn 1
+ n(t) = ηp(ν(t)),
dt
τ
(3.21)
où on a posé n = Nc /Ninc .
Résolvons maintenant l’équation précédente. Introduisons les transformées
de Fourier de n(t) et p(t) = p(ν(t)) :
Z
+∞
n(t) =
−∞
Z +∞
p(t) =
dν n
e(ν) e2iπνt ,
(3.22)
dν pe(ν) e2iπνt ,
(3.23)
−∞
(ν)
En insérant (3.22) et (3.23) dans (3.21), on trouve n
e(ν) = η 1/τpe+2iπν
.
On remonte alors la solution de notre équation en prenant la transformée
de Fourier inverse de (3.5.2) :
½
−1
n(t) = η TF
−1
{e
p(ν)} ∗ TF
32
1
1/τ + 2iπν
¾
(3.24)
Or TF−1
n
1
1/τ +2iπν
o
= e−t/τ u(t), où u(t) désigne la distribution de Hea-
viside. On obtient alors : n(t) = η p(t) ∗ e−t/τ u(t). Soit de manière plus
explicite 3 :
Z +∞
0
n(t) = η
dt0 p(t0 ) e−(t−t )/τ u(t − t0 ).
(3.25)
−∞
Il nous reste alors à choisir la probabilité de transition associée à la cavité,
en l’occurence une lorentzienne :
p(t) ≡ Lor(t) =
δt
1
2
2π (t − t0 ) + (δt/2)2
(3.26)
On notera que dans le cas δt ¿ τ , on peut faire l’approximation Lor(t) ∼
δ(t − t0 ), l’équation 3.25 se réduit alors à n(t) = ηe−(t−t0 )/τ u(t − t0 ).
Résultats expérimentaux
Afin d’obtenir une mesure du temps de vie des photons, on scanne rapidement la fréquence du laser de sorte que la largeur temporelle de la
lorentzienne soit inférieure ou de l’ordre de la durée de vie. On fait alors une
acquisition d’un pic de résonance à l’aide d’un moyennage sur 128 mesures.
Puis à l’aide d’un programme écrit en Matlab (voir Annexe D) on ajuste
la formule 3.25 sur les données expérimentales 4 . Afin que la recherche du
minimum de la fonction d’erreur soit la plus efficace possible, on fournit au
programme les paramètres initaux obtenus par l’ajustement de la première
partie de la courbe avec une lorentzienne et de la seconde partie avec une
exponentielle décroissante comme présenté dans le cadre en haut à droite
de la figure 3.10. On exécute alors l’algorithme d’ajustement sur l’équation
3.25 avec la densité de probabilité 3.26, le résultat est donné figure 3.10 et
le programme nous retourne alors les valeurs suivantes pour les paramètres
du fit :
(3.27)
δt = 560 ns, t0 = −800 ns et τ = 380 ns.
La largeur de résonance est alors données par δν =
418, 8 kHz autrement dit on a une finesse :
F = 2388
1
2πτ
soit δν =
(3.28)
pour un intervalle spectral libre de 1 GHz.
3
On aurait pu tout simplement dire que la fonction de Green associée à l’équation 3.21
0
est g(t, t0 ) = e−(t−t )/τ u(t − t0 ) et écrire directement ce résultat.
4
Dans le cas présent l’approximation δt ¿ τ n’est plus valable puisque ici δt ∼ τ d’où
la nécessité d’effectuer l’ajustement directement sur l’équation 3.25.
33
Fig. 3.10 – Mesure du temps de vie. La courbe bleu est l’allure d’un pic
de résonnance lors d’un scan rapide de la fréquence du laser, il s’agit d’une
moyenne de 128 acquisitions. La courbe rouge est un ajustement de la formule 3.25 dans le cas d’une probabilité données par 3.26. La courbe dans le
coin en haut à droite montre les fits lorentzien (début de courbe) et exponentiel (fin de courbe) permettant d’obtenir les paramètres initiaux pour le
calcul du fit de l’équation 3.25.
34
Chapitre 4
Asservissement de la cavité
Maintenant la caractérisation de la cavité effectuée, il est temps de l’asservir de sorte à maintenir cette dernière à résonance avec le laser. Pour cela
deux approches sont possibles : faire varier la longueur de la cavité de sorte à
compenser les variations de fréquence du laser ou bien asservir la fréquence
du laser pour compenser les variations de longueur de la cavité. C’est cette
deuxième approche que nous avons choisi de mettre en place dans le cadre
d’un asservissement de type Pound-Drever Hall.
Le principe de la méthode à été initialement proposé par Pound [22] dans
le domaine des micro-ondes, il a ensuite été étendu par Drever [23] dans le
domaine optique, cette technique au départ développée pour la stabilisation
fréquentielle d’un laser sur une cavité de référence permet bien entendu
d’effectuer l’opération inverse i.e. stabiliser la cavité. On pourra utilement
regarder les présentations de Black sur le sujet : [24] et [25].
Nous allons ici dans un premier temps donner une courte présentation de
la technique, puis dans un second temps nous présenterons l’implémentation
expérimentale ainsi que les résultats obtenus.
4.1
Schéma d’un asservissement de type PoundDrever-Hall
Le montage typique d’un asservissement Pound-Drever-Hall présenté
Fig. 4.1 consiste à asservir la fréquence d’un laser sur une cavité. Le signal
est extrait via une modulation/démodulation de phase, la modulation du
faisceau s’effectuant typiquement à l’aide d’un modulateur électro-optique.
4.2
Présentation de la technique
Afin de savoir si la fréquence du laser se situe au dessus ou en dessous de
la résonance de la cavité, il nous faut pouvoir mesurer la phase du faisceau
35
Fig. 4.1 – Schéma général d’un asservissement de type Pound-Drever-Hall
(d’après [24]).
réfléchi. La phase optique n’étant bien entendu pas directement mesurable
par l’électronique de détection, l’idée consiste à mesurer le battement entre
le faisceau et une bande latérale ajoutée par modulation de la phase de ce
dernier.
Si on module la phase du champ incident Einc à une fréquence Ω celui
s’écrit alors Einc = E0 ei(ωt+β cos Ωt) , ce qui se développe en série de Fourier
sur les fonctions de Bessel :
∞
X
(4.1)
Einc = E0 eiωt
in Jn (β)einΩt ,
n=−∞
En prenant le cas d’une modulation peu profonde (β ¿ 1), cette expression
peut s’approcher par :
h
i
Einc ∼ E0 J0 (β)eiωt + iJ1 (β)ei(ω+Ω)t − iJ−1 (β)ei(ω−Ω)t .
(4.2)
On voit donc apparaı̂tre :
– une porteuse à la fréquence ω, d’énergie Pp = J02 P0 ,
– deux bandes latérales aux fréquences ω + Ω et ω − Ω, d’énergie Pb =
J12 (β)P0 ,
où P0 = |E0 |2 .
Notons F (ω) = Erefl /Einc le coefficient de réflexion de la cavité en fonction de la fréquence ω de l’onde incidente, le champ modulé réfléchi s’écrit
alors :
h
i
Erefl = E0 F (ω)J0 (β)eiωt + iF (ω + Ω)J1 (β)ei(ω+Ω)t − iF (ω − Ω)J−1 (β)ei(ω−Ω)t
(4.3)
36
On peut alors calculer la puissance réfléchie avec la relation Prefl = |Erefl |2 ,
on obtient :
h
i
Prefl = Pp |F (ω)|2 + Pb |F (ω + Ω)|2 + |F (ω − Ω)|2
p
+2 Pp Pb {
(4.4)
Re [F (ω)F ∗ (ω + Ω) − F ∗ (ω)F (ω − Ω)] cos Ωt
+Im [F (ω)F ∗ (ω + Ω) − F ∗ (ω)F (ω − Ω)] sin Ωt}
+(termes en 2Ω)
Lors de la démodulation on ne garde que la quadrature en sin Ωt, le
signal d’erreur s’écrit alors :
p
² = −2 Pp Pb Im {F (ω)F ∗ (ω + Ω) − F ∗ (ω)F (ω − Ω)} .
(4.5)
L’allure de celui-ci est donnée Fig. 4.2. On constate que le signal d’erreur ne
descend pas à zéro entre ω et ω ± Ω ce qui offre une plage de capture de 2Ω
autour de ω.
Fig. 4.2 – Allure du signal d’erreur.
37
4.3
4.3.1
Implémentation à l’aide d’un acousto-optique
Modulation du signal
Le schéma typique d’implémentation d’un montage Pound-Drever-Hall
supose une modulation à l’aide d’un électro-optique, toutefois ne disposant
pas ce dernier au commencement du stage, nous avons décider de le remplacer pas un acousto-optique monté en double passage selon le montage
présenté Fig. 4.3.
Fig. 4.3 – Schéma du système de modulation pour le Pound-Drever-hall à
l’aide d’un modulateur acousto-optique (AO) en double passage.
Le montage de l’électronique de modulation/démodulation et d’extraction du signal d’erreur étant quant à lui donné Fig. 4.4.
La modulation appliquée sur l’acousto-optique étant à 150 MHz, de part
le double passage les bandes lattérales sont donc situées à 300 MHz. On
constate bien ceci Fig. 4.5, les grandes résonances correspondant à la porteuse et les petites à la bande latérale, un intervalle spectral libre faisant 1
GHz on mesure alors des bandes latérales à 326 MHz.
4.3.2
Le signal d’erreur
Une illustration du signal d’erreur obtenu via cette méthode est donnée
Fig. 4.6. On notera que l’amplitude du signal est faible puisque de l’ordre
de 20 mV et possède un bruit de l’ordre de 2-3 mV d’où un rapport signal
à bruit de ∼ 8.
38
Fig. 4.4 – Schéma de l’électronique permettant la modulation/démodulation
du signal et l’extraction du signal d’erreur.
Fig. 4.5 – Observation de la modulation lors d’un scan de la cavité.
Cette faible amplitude pose le problème que la moindre fluctuation de
phase dans le système décale l’offset du signal d’erreur de bien plus que l’amplitude de celui-ci d’où un décrochage de l’asservissement. Cette fluctuation
de phase apparaı̂t de manière sensible au niveau du double passage dans
l’acousto-optique car on modifie alors la phase entre la porteuse et la bande
latérale (problème n’existant pas dans le cas d’un électro-optique) comme
on peut le constater Fig. 4.7.
39
Fig. 4.6 – Signal d’erreur obtenu.
Fig. 4.7 – Observation des fluctuations de phase induite au niveau de
l’acousto-optique sur le signal d’erreur.
4.3.3
Conclusions sur la méthode avec acousto-optique
Le principal problème avec cette méthode de modulation via un acoustooptique en double passage monté en espace libre est l’importance des fluctuations de phase sur le signal.
Une autre limitation importante est la faible bande-passante de notre
rétroaction étant donné que celle-ci est limitée par la bande passante de
l’amplificateur haute-tension d’alimentation du piézo qui est réduite à ∼ 1
40
kHz soit bien trop peu étant donné la grande finesse de la cavité.
4.4
Retour au modèle initial : modulation à l’aide
d’un électro-optique
Dans un second temps disposant d’un modulateur électro-optique, nous
avons décidé de réaliser un montage Pound-Drever-Hall disposant d’une
rétroaction à grande bande passante basée sur l’utilisation d’un acoustooptique en double passage
Nous avons monté cet asservissement sur une ”petite” cavité Fabry-Pérot
de finesse ∼200 afin de valider le concept. Le schéma général du montage
est donné Fig. 4.8.
Fig. 4.8 – Schéma général du montage Pound-Drever-Hall à rétroaction
large bande.
4.4.1
Extraction du signal d’erreur
L’extraction du signal d’erreur se base rigoureusement sur le même principe que dans le cas précédent. Le signal d’erreur obtenu est présenté Fig.
4.9, on remarquera que celui-ci est très similaire au signal théorique présenté
Fig. 4.2.
Le détail de l’électronique utilisée pour le contrôle de l’électro-optique,
de l’acousto-optique et l’extraction du signal d’erreur est donné Fig. 4.10.
41
Fig. 4.9 – Signal d’erreur obtenu lors d’un scan de la cavité. En pointillés
rouges il s’agit de la transmission du Fabry-Pérot, en bleu le signal d’erreur
associé.
Fig. 4.10 – Electronique du montage Pound-Drever-Hall : modulation/démodulation et rétroaction.
4.4.2
Le dispositif de rétroaction
Le dispositif de rétroaction utilisé est basé sur deux dispositifs :
– le piézo du laser permet de contrôler les dérives lentes (. 1 kHz)
– un acousto-optique en double passage assure un contrôle très rapide
de la fréquence du laser
42
Le contrôle de la rétroaction se fait via deux modules PID en série, comme on
peut le voir Fig. 4.10, le PID contrôlant le piézo ayant pour but de s’assurer
d’envoyer un signal de moyenne nulle sur la modulation du VCO contrôlant
l’acousto-optique.
On notera que sur la cavité de finesse 200 il ne nous a pas été possible de
faire osciller le système, les gains des PID étant trop limités. La conséquence
étant que nous n’avons pas pu mesurer la bande passante de l’asservissement
mais montre aussi que celle-ci est bien supérieure à celle nécessaire à l’asservissement du Fabry-Pérot de finesse 200, ce qui nous donne bon espoir
pour l’asservissement de la cavité de grande finesse.
43
44
Conclusion
Ce stage a tout d’abord été pour moi l’occasion d’acquérir des notions en physique atomique et plus particulièrement dans le domaine des
atomes froids. Les conférences auxquelles j’ai pu participer m’ont montrer
un vaste champ de recherche très riche aussi bien sur le plan théorique
qu’expérimental.
Ce fut aussi l’occasion d’approfondir mes connaissances sur la physique
des cavités et sur l’asservissement de ces dernières. D’un point de vue plus
pratique j’ai aussi découvert les techniques de l’ultra-vide et les contraintes
(importantes) que cela apporte lors de la réalisation d’une expérience.
D’une manière générale j’ai acquis une meilleure compréhension du fonctionnement de la recherche (en physique notamment) : évolution des carrières,
mise en place d’une expérience, organisation d’un laboratoire, ...
Enfin je tiens à noter que j’ai eu la chance de trouver une ambiance
de travail chaleureuse et stimulante donnant lieu à de riches discussions où
chacun peut partager son expérience et ses idées. C’est donc un grand plaisir
pour moi que de pouvoir y effectuer ma thèse et continuer dans l’élaboration
de cette expérience.
45
46
ANNEXES
47
Annexe A
Quelques éléments sur le
formalisme de seconde
quantification
Lors de l’étude de systèmes de particules identiques ont est ammené
à considérer des fonctions d’ondes symétrisées ou anti-symétrisées ce qui
ammène à des calculs souvent laborieux. De plus, cette approche ne permet de traiter des problèmes où le nombre de particules varie (absorption ou émission de particules (photon, phonon, ...), création d’une paire
particule/anti-particule à partir du vide, ...). C’est pour palier à ces problèmes
que le formalisme dit de seconde quantification a été introduit.
Pour une introduction plus détaillée sur le foemalisme de seconde quantification on pourra regarder [13]
A.1
Espace de Fock
Si on note H l’espace de Hilbert à une particule, alors l’espace de Hilbert
à n particules s’écrira comme le produit tensoriel de cet espace E (n) = H⊗n .
L’espace de Fock associé à l’espace H est alors définit comme la somme
directe des espaces de Hilbert à n particules :
F (H) =
∞
M
S± H⊗n ,
(A.1)
n=0
avec S± l’opérateur de symétrisation (S+ ) ou d’anti-symétrisation (S− ).
Dans le cas n = 0, l’espace E (0) est engendré par l’état vide |0i (ne pas
confondre avec le vecteur nul).
49
A.2
Opérateurs de création et d’annihilition
Ils sont à distinguer pour chacun des cas :
– bosons : les opérateurs vérifient des règles de commutation
– fermions : les opérateurs vérifient des règles d’anti-commutation
A.2.1
Pour les bosons
Il s’agit des opérateurs qui créent où annihilent une particules. L’opérateur
de création d’une particule dans l’état α vérifie :
â†α : E (n) −→ E (n+1)
√
=
nα + 1 |n0 , n1 , . . . , nα + 1, . . .i
â†α |n0 , n1 , . . . , nα , . . .i
(A.2)
et pour l’opérateur d’annihilition :
âα : E (n) −→ E (n−1)
√
âα |n0 , n1 , . . . , nα , . . .i =
nα |n0 , n1 , . . . , nα − 1, . . .i
(A.3)
= 0 si nα = 0
Ces opérateurs vérifient alors les relations de commutation suivantes :
h
i
h
i
âα , â†β = δαβ , [âα , âβ ] = 0, â†α , â†β = 0.
(A.4)
Notons enfin qu’un état quelconque de l’espace de Fock peut-être obtenu
par application succéssive des opérateurs de création à partir du vide :
|{nν }ν i =
∞
O
ν=0
A.2.2
1 ³ † ´nν
√
â
|0i .
nν ! ν
(A.5)
Pour les fermions
Les relations sont analogues mais doivent vérifier la règle de Fermi, autrement pour un état α donné nα ∈ {0, 1}. On a donc, par l’opérateur de
création :
â†α : E (n) −→ E (n+1)
â†α |n0 , n1 , . . . , 0, . . .i
â†α |n0 , n1 , . . . , 1, . . .i
(A.6)
= |n0 , n1 , . . . , 1, . . .i
= 0
et pour l’opérateur d’annihilition :
âα : E (n) −→ E (n−1)
√
âα |n0 , n1 , . . . , 1, . . .i =
nα |n0 , n1 , . . . , 0, . . .i
âα |n0 , n1 , . . . , 0, . . .i = 0
50
(A.7)
Ces opérateurs vérifient alors les relations d’anti-commutation suivantes :
i
h
i
h
âα , â†β = δαβ , [âα , âβ ]+ = 0, â†α , â†β = 0.
+
+
(A.8)
où [·, ·]+ est l’anti-commutateur : [A, B]+ = AB + BA.
Enfin, on peut là aussi construire n’importe quel état de fock à partir du
vide :
|{nν }ν i =
∞
O
â†ν |0i .
(A.9)
ν=0
A.3
Opérateurs de champ
Les opérateurs de champ sont :
– l’opérateur Ψ̂(r) qui détruit une particule au point r
– l’opérateur conjugué Ψ̂† (r) qui construit une particule au point r
Si on note P
|Ψα i le vecteur d’état
P d’une particule dans l’état α alors
puisque |ri = ( α |Ψα i hΨα |) |ri = α Ψ∗α (r) |Ψα i, par conséquent l’action
P
de Ψ̂† (r) sur le vide s’écrit Ψ̂† (r) |0i = α Ψ∗α (r)â†α |0i. On obtient finalement :
X
(A.10)
Ψ̂† (r) =
Ψ∗α (r)â†α
α
Ψ̂(r) =
X
Ψα (r)âα
(A.11)
α
Il vérifie les relations de commutation (anti-commutation) suivantes :
h
i
Ψ̂(r), Ψ̂† (r’)
= δ(r − r’),
(+)
h
i
h
i
Ψ̂(r), Ψ̂(r’)
= 0, Ψ̂† (r), Ψ̂† (r’)
= 0.
(+)
A.4
(A.12)
(+)
Construction des opérateurs en seconde quantification
Pour un ensemble de N particules localises en des positions ri , un opérateur
noté Ô en seconde quantification ce déduit de ce même opérateur Ô en premire quantification par la relation :
Z
Ô ≡ dr1 dr2 . . . drN Ψ̂† (rN ) . . . Ψ̂† (r2 )Ψ̂† (r1 ) Ô Ψ̂(r1 )Ψ̂(r2 ) . . . Ψ̂(rN ).
(A.13)
51
A.5
L’approximation de champ moyen
Une approche très employée pour décrire un condensat (et bien d’autres
systèmes quantiques dégénérés) est une description de champ moyen dont
nous allons introduire l’idée. La présentation faı̂te ici s’inspire pour beaucoup
de la référence [11] et décrira plus spécifiquement le cas des bosons.
Considérons un système de N bosons de masse m, ceux-ci sont confinés
par un potentiel externe Vext (r) et interagissent via le potentiel à deux corps
V (r − r’). Le hamiltonien à plusieurs corps décrivant ce système s’écrit dans
le formalisme de la seconde quantification :
µ
¶
Z
~2 2
†
Ĥ =
dr Ψ̂ (r) −
∇ + Vext (r) Ψ̂(r)
(A.14)
2m
Z
1
+
drdr’Ψ̂† (r)Ψ̂† (r’)V (r − r’)Ψ̂(r’)Ψ̂(r),
2
où Ψ̂(r) et Ψ̂† (r) sont les opérateurs de champ bosoniques.
La condensation de Bose-Einstein apparaissant lorsqu’on grand nombre
de particules est dans le niveau fondamental d’excitation du champ i.e.
lorsque N0 À 1 et le rapport N0 /N reste fini à la limite thermodynamique (N → ∞). Dans ce cas, puisque N0 ± 1 ∼ N0 on peut considérer
√ les
opérateurs de création et d’anihilition comme des scalaires a0 = a∗0 = N0 .
De plus pour un volume de quantification V√donné, le condensat apparaı̂t
comme l’état d’une particule unique Ψ0 = 1/ V , l’opérateur de champ Ψ̂(r)
peut alors se décomposer comme la somme d’un scalaire et d’un opérateur
traité comme une perturbation (approximation de Bogoliubov) : Ψ̂(r) =
q
N0
V
+ Ψ̂0 (r). Ce que l’on généralisera au cas dépendant en temps :
Ψ̂(r, t) = Φ(r, t) + Ψ̂0 (r, t),
(A.15)
où Φ(r, t) ∈ C est défini comme la valeur moyenne de l’opérateur de champ,
d’où l’expression de champ moyen :
D
E
Φ(r, t) ≡ Ψ̂(r, t) ,
(A.16)
la densité du condensat
donnée par la relation n0 (r, t) = |Φ(r, t)|2 ,
R est alors
2
autrement dit N = dr |Φ(r)| .
La fonction Φ(r, t) est une onde classique souvent appellée fonction
d’onde du condensat ou paramètre d’ordre.
52
Annexe B
Caractérisation
expérimentale d’une mesure
QND
Dans le cadre de la mise en oeuvre expérimentale d’une mesure QND, il
est important de disposer de critères permettant d’affirmer que l’on réalise
bien ce type de mesure. Deux critères sont à prendre en compte, afin de
caractériser :
– la qualité de l’état initialement préparer,
– la capacité à garder l’état mesuré le long d’une chaı̂ne de mesure
(répéteur quantique).
Pour une description plus détaillée de ces critères, on pourra se reporter
(par exemple) à [14] et [16]. Pour voir un exemple de ces critères appliqués
à un cas expérimental précis on pourra se référer à [17]. Les notations prises
ici sont celles du chapitre 2.
B.1
Préparation d’état
Il faut tout d’abord être en mesure de caractériser l’état préparé, cela
s’effectue par le biais de mesures de corrélations.
On utilisera pour un opérateur A quelconque les notions habituelles

®1/2
. On peut alors écrire les
suivantes : δA = A − hAi et ∆A = δA2
équations d’entrée-sortie dans le cas idéal :
(
out
in
δ Ŷ = δ Ŷ
(B.1)
out
in
δ X̂ = δ X̂ + gδPin
(
δPout = δPin
in
δQout = δQin + gδ Ŷ
53
(B.2)
La seconde équation de B.1 traduisant la mesure elle même, la première
équation de B.2 montrant la non démolition quant à la seconde elle exprime
l’action en retour. Le facteur g désignant le couplage entre la sonde et le
signal à mesurer.
On caractérisera alors une mesure QND réelle par :
- La qualité de la mesure effectuée est caractérisée par la corrélation
out
entre Pin et X̂ :
E¯
¯D
¯ δPin δ X̂out ¯2
2
¯
¯
¯ = g .
CS,M = ¯¯
(B.3)
out
¯
1 + g2
¯ ∆Pin ∆X̂
¯
Par conséquent, les mesures sont décorrélées (CS,M = 0) si g = 0 et
parfaitement corrélées (CS,M = 1) si g → ∞, autrement dit plus le
couplage entre la sonde et le signal à mesurer est important meilleure
est la mesure.
- La dégradation produite par la mesure sur le signal observé est
quant à elle caractérisée par la corrélation entre Pin et Pout :
¯
¯
¯ δPin δPout ® ¯2
¯
¯
CS in ,S out = ¯
(B.4)
¯ = η2.
¯ ∆Pin ∆Pout ¯
Il est toutefois important de noter que les corrélations entre entrée et
sortie ne sont pas accessible expérimentalement, les seules corrélations accessibles étant celles effectuées sur les sorties. Pour cette raison, on définit
la corrélation suivante :
E¯
¯D
¯ δPout δ X̂out ¯2
2 2
¯
¯
0
¯ = η g .
(B.5)
CS,M
= ¯¯
out
¯
1 + g2
¯
¯ ∆Pout ∆X̂
On appelle alors préparation d’état quantique (QSP : Quantum State
Preparation) en mesurant la variance conditionnelle du faisceau signal en
sortie connaissant l’état de la sonde :
¢2 ¡
¡
¢2 ¡
¢
0
(B.6)
∆PS|M = ∆Pout
1 − CS,M
.
0
= 1),
Le cas ∆PS|M = 0 étant obtenu pour des corrélations parfaites (CS,M
la mesure de la sonde permet donc de parfaitement connı̂tre l’état du signal
après la mesure, l’état quantique du signal est donc parfaitement préparé.
B.2
Répéteur quantique
Si la préparation d’un état quantique bien défini est une première étape
nécessaire à toute mesure QND ce n’est toutefois pas une conditions suffisante. Il faut en effet pouvoir s’assurer qu’une fois l’état préparé celui-ci
54
n’est pas détruit par une chaı̂ne de mesures successives. Pour cela on étudie
la manière dont les rapport signal à bruit (SNR) sont préservés le long de
cette chaı̂ne. On définit donc des coefficients de transfert du SNR, pour le
signal S et pour la mesure M :
TS =
SNRout
SNRout
S
M
,
T
=
M
in
SNRS
SNRin
M
(B.7)
On définit alors le critère suivant pour distinguer mesure classique de mesure
QND :
– mesure classique TS + TM ≤ 1
– mesure QND TS + TM > 1
Le cas d’une mesure QND idéale étant obtenu pour TS = TM = 1 soit
TS + TM = 2.
n
¡
¢2 o
On reporte alors ces critères dans le plan TS + TM , ∆PS|M
comme
le montre la figure B.1.
Fig. B.1 – Caractérisation
¡ du type
¢2 de mesure effectuée selon les valeurs des
paramètres TS + TM et ∆PS|M (d’après [16]). NA (Noiseless Amplifier )
caractérise le régime d’amplification sans bruit.
55
56
Annexe C
Notions d’optique gaussienne
Pour une description (beaucoup) plus complète on regardera [18], [19],
[20] et [21].
C.1
Une solution de l’équation de Helmholtz
Lors de la propagation libre d’une onde électromagnétique, le champ
électrique vérifie l’équation de Helmholtz :
∇2 E(r) + k 2 E(r) = 0,
(C.1)
Une solution particulière de cette équation dans le cas paraxial possède pour
amplitude complexe :
2
u(x, y, z) =
2
2 +y 2
u0 − xw2+y
−i k2 xR(z)
(z) e
e
,
q(z)
(C.2)
où w(z) est le rayon du faisceau à 1/e, R(z) le rayon de courbure et q(z) la
courbure complexe.
C.2
Rayon de courbure complexe et loi ABCD
Le rayon de courbure complexe q(z) est définit selon :
1
1
λ
=
−i 2 .
q(z)
R(z)
πw (z)
(C.3)
La propagation de ce dernier ce calcule aisément à l’aide de la loi dite ABCD,
soient q le rayon de courbure complexe en entrée d’un système optique décrit
par sa matrice ABCD et q 0 le rayon de courbure complexe en sortie, on a
alors la relation suivante :
q0 =
Aq + B
.
Cq + D
57
(C.4)
Par conséquent pour calculer le rayon de courbure R(z) et le rayon du faisceau w(z) en un point quelconque du système connaissant le rayon de courbure complexe à un endroit donné, il suffit d’appliquer la loi ABCD puis
d’extraire les parties réelles et imaginaires du résultat.
C.3
Expressions de R(z) et w(z)
Dans le cas particulier où l’on se place au niveau du waist du faisceau
alors puisque par définition en ce point le rayon de courbure est infini (R0 =
∞) i.e. que l’on a un front d’onde plan alors le rayon de courbure complexe
πw2
πw2
s’écrit q0 = i λ 0 . En introduisant la distance de Rayleigh ZR = λ 0 qui
correspond au point où R(z) est minimum, on montre les relations suivantes :
·
µ
¶¸
ZR
R(z) = z 1 +
(C.5)
z
s
µ
¶
z
w(z) = w0 1 +
(C.6)
ZR
58
Annexe D
Code Matlab pour le calcul
d’ajustement
D.1
main.m
% Script pour le fit sur produit de convolution
% lorentzienne / exponentielle décroissante
% parameters mesure 4
%dt = 7.3359E-7 ;
%t0 = -5.7276E-7 ;
%A = 1.5291E-7 ;
%B = 0 ; %B = -0.01768 ;
%tau = 0.713E-6 ;
t1 = -1.24E-6 ;
t2 = 3.758E-6 ;
Nb pts = 2500 ;
% % parameters mesure 5
% dt = 7.64E-7 ;
% t0 = -1.587E-7 ;
% A = 1.118E-7 ;
% B = 0 ; %B = -2.68E-3 ;
% tau = 0.728E-6 ;
% t1 = -3.44E-6 ;
% t2 = 6.556E-6 ;
% Nb pts = 2500 ;
pas = (t2-t1)/(Nb pts-1) ;
t = t1 :pas :t2 ;
59
M = csvread(’F0005CH4.CSV’) ; % mesure 4
data = M( :,2)’ ;
disp(’Calcul fit en cours ...’) ;
[estimates, model] = fitcurve(t,data)
% On affiche le résultat
plot(t,data) ;
hold on
plot(t,ConvLorentzExp(estimates(1),estimates(2),estimates(3),estimates(4),estimates(5),t),’r’) ;
D.2
Lorentz.m
% Définition d’une fonction Lorentzienne
% VANDERBRUGGEN Thomas 2008
function res = Lorentz(dt,t0,A,B,t)
res = (A*dt./(2*pi*((t-t0).^2+(dt/2).^2)))+B ;
D.3
fitcurve.m
% Programme adapté d’un exemple pour le calcul du fit
% utilisant fminsearch.
% VANDERBRUGGEN Thomas 2008
function [estimates, model] = fitcurve(xdata, ydata)
% Il faut donner une estimation initiale des paramètres du fit
start point = [7E-7,-5E-7,1E-7,0,0.7E-6] ; % Pour mesure 4
model = @fitfun ;
estimates = fminsearch(model, start point) ;
% fitfun accepts curve parameters as inputs, and outputs sse,
% the sum of squares error for fit function - ydata,
% and the FittedCurve. FMINSEARCH only needs sse, but we want to
% plot the FittedCurve at the end.
function [sse, FittedCurve] = fitfun(params)
dt = params(1) ;
t0 = params(2) ;
A = params(3) ;
B = params(4) ;
60
tau = params(5) ;
FittedCurve = ConvLorentzExp(dt,t0,A,B,tau,xdata) ;
ErrorVector = FittedCurve - ydata ;
sse = sum(ErrorVector .^ 2) ;
end
end
D.4
ConvLorentzExp.m
% Calcul la convolution d’une lorentzienne avec
% une exponentielle décroissante.
% VANDERBRUGGEN Thomas 2008
function res = ConvLorentzExp(dt,t0,A,B,tau,t)
pas = t(2)-t(1) ;
Lor = Lorentz(dt,t0,A,B,t) ;
Exp = exp(-t/tau)/tau ;
for k = 1 :length(t)
res(k) = 0 ;
for j = 1 :k
res(k) = res(k) + Lor(j)*Exp(k+1-j)*pas ;
end
end
61
62
Bibliographie
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of an Atomic Bose-Einstein Condensate, Phys. Rev. Lett., 87, 010404
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