22) Les nombres premiers

Les nombres premiers
Les nombres premiers sont indispensables pour le travail avec les fractions.
Pour pouvoir effectuer des transformations des réductions ou simplement des
opérations telles que des additions, soustractions, multiplications ou divisions
de fraction, il est indispensable de savoir si la fraction est composée de
nombre premier.
Un nombre premier c’est quoi ?
Dans une définition banale, on peut dire que c’est un nombre qui présente
deux critères de divisibilité particuliers et que pour qu’il soit premier, ce
nombre doit regrouper à chaque fois ces 2 critères et uniquement ces 2
critères.
Critère N°1 :
Ce nombre doit pouvoir se diviser par 1
Critère N°2 :
Ce nombre doit pouvoir se diviser par lui-même.
IMPORTANT
A chaque fois le nombre doit regrouper ces 2 critères
Pour les nombres qui peuvent se diviser par des nombres différents que 1 et
lui-même, on parle de nombres composés.
Remarque :
Le nombre « 1 » répond aux deux critères du nombre premier mais il y a un
problème, car Il se divise bien par 1 et par lui-même mais c’est deux fois le
même nombre.
Donc on ne peut pas inclure le « 1 » comme nombre premier.
En résumé :
Un nombre premier se divise par 1 et par lui-même (Sauf le « 1 »)
Un nombre composé regroupe tous les nombres qui répondent à plus de
critères.
Pour définir quels sont les nombres premiers et le nombres composés, nous
allons utiliser un outil qui va nous permettre de faire une sélection.

Le crible d’Ératosthène
Un peu d’histoire pour comprendre d’où vient cet outil :
Il y a bien plus de 2000 ans, il y avait un savant Grec qui portait le nom
d’Ératosthène.
Il a été reconnu pour avoir défini avec une précision impressionnante la
longueur des méridiens terrestres et ainsi a réussi à calculer la circonférence
de notre globe terrestre.
Par ailleurs, Monsieur Ératosthène a été l’inventeur d’une méthode assez
ingénieuse pour extraire les nombres premiers.
Nous allons utiliser sa méthode qui s’appelle « Le crible d’Eratosthène » pour
définir quel nombre est un nombre premier.
Qu’est ce que c’est qu’un crible ?
Avec d’autres mots, un crible, c’est un tamis ou un filtre.
Ce crible va nous permettre de sélectionner ou de trier les nombres avec une
méthode très structurée.
Pour cette démonstration, nous allons prendre comme exemple un tableau de
chiffre allant de 1 à 100.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
On peut évidemment faire une grille plus grande, mais dans cette théorie, on
s’arrêta au nombre 100. Ceci qui nous permettra amplement de comprendre
le processus exact à appliquer selon Ératosthène, pour l’extraction des
nombres premiers.

Méthode pas à pas
1) J’élimine le chiffre 1 (car il ne répond pas aux 2 critères des nombres
premier)
2) Je souligne le chiffre 2 et j’élimine tous les multiples de 2 dans la grille.
3) Je souligne le chiffre suivant pas encore éliminé (Ici le chiffre 3) et
élimine tout les multiples de ce chiffre.
4) Je répète le point trois jusqu'à ce que il n’y ait plus que des chiffres non
divisibles.
5) Les chiffres restants sont des nombres premiers.
Point 2
Point 1
2 3 x 5 x 7 x 9 x
11 x 13 x 15 x 17 x 19 x
Point 3
X 2 3 x 5 x 7 x x x
11 x 13 x x x 17 x 19 x
Ensuite on continue avec le chiffre suivant. (Chiffre 5)
Ce triage prend fin après avoir effectué toutes les étapes jusqu’au point 5.
Ainsi on obtient une dernière série de nombres dans cette grille.
Les nombres qui resteront seront les nombres premiers compris entre 1 et
100.
Le Point 2 continue jusqu’au dernier
multiple. C'est-à-dire jusqu'à 100
dans notre exemple
Le Point 3 continue jusqu’au dernier
multiple. C'est-à-dire jusqu'à 99 dans
notre exemple
x

Comment peut on savoir si un nombre est premier?
Peut-on dire que 167 est un nombre premier?
Oui ou non?
Comment peut on faire pour le savoir?
Premier point on élimine les diviseurs 2, 3 et 5
On sait que pour diviser par 2, le nombre doit être pair.
On sait que pour diviser par 3, l'addition de tous les chiffres doit être un
multiple de 3.
On sait que pour diviser par 5, le nombre doit finir par 5 ou par 0.
1) Donc on commence à diviser par 7
167 7
14 23
27
21
6
2) On continue jusqu'à ce qu'on trouve un résultat (quotient) plus petit que le
diviseur.
167 11
11 15
57
55
2 On voit que le quotient 15 est encore plus
grand que le diviseur 11
3) On procède à une nouvelle division avec le nombre premier suivant qui est
le 13
167 13
13 12
37
26
11
Règle à retenir
Lorsqu'il il y a un reste, et que le quotient est
inférieur au diviseur, alors on est certain d'être en
présence d'un nombre premier.
Dans l'exemple
On a un reste qui est 11
Le quotient 12 est inférieur au diviseur 13.
On peut dire que 167 est un nombre premier.
On sait alors qu'il ne se divise que par 1 et par 167 uniquement