feuilles d`exercices - Université d`Orléans

Universit´e de TOURS - M1 Math´ematiques - 2016/2017
TD 1
1 Applications directes du th´eor`eme de Baire
Exercice 1
D´emontrer que tout espace vectoriel Ede dimension infinie d´enombrable n’est pas complet.
Indication : prouver d’abord que tout sous-espace strict de Eest d’int´erieur vide puis on notera (en)n∈N
une base (alg´ebrique) de E. On posera En= Vect {ei,0≤i≤n}.
Exercice 2 [Les fonctions continues nulle part d´erivables sont denses]
On munit E=C0([0,1]) de la norme uniforme. On pose pour tout n∈N,
Fn={f∈E, ∃x∈[0,1],∀y∈[0,1],|f(x)−f(y)| ≤ n|x−y|}.
1. Prouver que l’ensemble des fonctions d´erivables en un point est inclus dans [
n∈N
Fn.
2. D´emontrer que pour tout n∈N,Fnest ferm´e.
3. Prouver que pour tout n∈N,Fnest d’int´erieur vide.
On peut consid´erer les fonctions x7→ f(x) + δsin(Nx) pour un Nbien choisi et δ > 0.
4. En d´eduire que l’ensemble des fonctions continues nulle part d´erivables est dense dans E.
Remarque : un exemple d’une telle fonction est
f(x) = X1
2n[2nx],o`u [x] d´esigne la distance entre xet l’entier le plus proche.
Exercice 3
Soit fune fonction de Rdans C. Rappelons que l’oscillation de fen un point x∈Rest mesur´ee par
ω(f, x) = inf
δ>0sup
y,z∈]x−δ,x+δ[|f(y)−f(z)|.
1. Observer que fest continue en xsi et seulement si ω(f, x) = 0.
2. V´erifier que Ur={x∈R|ω(f, x)< r}est un ensemble ouvert dans R, pour tout r > 0.
3. Supposons dor´enavant que fest une fonction dans la premi`ere classe de Baire, i.e., fest limite
simple (ou ponctuelle) d’une suite de fonctions continues fn:R→C. Soit ε > 0. On pose pour tout
n∈N,Fn={x∈R| |fn(x)−fm(x)| ≤ ε, ∀m≥n}. D´emontrer qu’il existe n∈Ntel que
◦
Fn6=∅.
4. En d´eduire que les Ursont non vides.
5. Montrer que les ensembles Ursont denses dans R.
6. En d´eduire que les points de continuit´e (resp. de discontinuit´e) de fconstituent un ensemble dense,
(resp. maigre) dans R.
7. Prouver que la d´eriv´ee de toute fonction d´erivable est continue sur un ensemble dense de r´eels.
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2 Le th´eor`eme de Banach-Steinhauss
Exercice 4 Soit E1un espace de Banach et E2et Fdeux espaces vectoriels norm´es. Soit B:E1×E2→F
une application bilin´eaire dont les applications partielles sont continues. Montrer que Best continue.
Exercice 5 [S´erie de Fourier]
On note C2πl’ensemble des fonctions de Rdans Cqui sont 2πp´eriodiques et continues et on munit cette
espace de la norme k·k∞. Pour tout f∈ C2π, on rappelle que les coefficients de Fourier de fsont donn´es
par
∀p∈Z, cp(f) = 1
2πZπ
−π
f(t)e−ipt dt.
Pour tout n∈N∗, on consid`ere l’application
ln:C2π→C:f7→
n
X
p=−n
cp(f).
1. Montrer que lnest une forme lin´eaire continue et calculer sa norme klnk.
2. Montrer que lim
n→+∞klnk= +∞.
3. En d´eduire l’existence de fonction f∈ C2πdont la s´erie de Fourier diverge en 0 (Profitez en pour
vous rappeller des diff´erents r´esultats de convergences sur les s´eries de Fourier).
3 Application ouverte
Exercice 6 [Sur les hypoth`eses]
´
Enoncer le th´eor`eme de l’application ouverte.
1. Montrer qu’une application bijective entre deux espaces topologiques est ouverte si et seulement si
son inverse est continue.
2. Donner un exemple d’application continue surjective f:R→Rnon ouverte.
3. Donner un exemple d’application lin´eaire (continue) f:R→Rnon ouverte.
4. Soit El’ensemble des suites r´eelles nulles sauf en un nombre fini d’indice muni de la norme infinie.
D´eterminer une application lin´eaire bijective de Edans lui-mˆeme tel que T−1n’est pas continue.
Quelle hypoth`ese n’est pas v´erifi´ee ?
Exercice 7 Soit Eun espace de Banach pour deux normes k·kaet k·kb. Montrer que si une norme
domine l’autre alors elles sont ´equivalentes.
Exercice 8 On utilise les notations de l’exercice 5. On note Ul’espace vectoriel des suites complexes
index´ees par Z,U0le sous-espace vectoriel des suites complexes index´ees par Zqui tendent vers z´ero quand
n→+∞et n→ −∞ et
F:C2π→ U, f 7→ (cn)n∈Z.
1. Montrer que Im(F)⊂ U0.
2. La fonction Fest-elle surjective ?
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TD 2
4 Th´eor`eme du graphe ferm´e
Exercice 9 Th´eor`eme de Hellinger-Toeplitz
Soit Hun espace de Hilbert et Tlin´eaire telle que
∀x, y ∈H, hT x, yi=hx, T yi.
Montrer que Test continue.
Indication : Soit (x, y)∈G(T). D´emontrer que pour tout z∈H,hz, yi=hz, T xi.
5 R´eflexivit´e
Soit Eun espace de Banach et E0son dual topologique. On utilisera la notation de crochet de dualit´e :
∀x∈E, ∀f∈E0, < f, x >=f(x).
Exercice 10 Cas de la dimension finie
Soit Eun espace vectoriel norm´e de dimension fini. Montrer que E0est isomorphe `a E. En d´eduire que
tout espace de dimension fini est r´eflexif.
Exercice 11 Montrer que tout espace de Hilbert est r´eflexif.
Exercice 12 Espace dual de `p, 1 <p<+∞
Dans tout l’exercice, p > 1 d´esigne un r´eel et qle r´eel conjugu´e (de sorte que 1
p+1 q= 1.) On note `p
l’ensemble des suites complexes (xn)n≥1telles que Pn≥1|xn|p<+∞que l’on munit de la norme `p.On
note aussi emla suite qui a un 1 en m-i`eme position et des 0 partout ailleurs. Cette suite est dans tous
les `p.
L’objectif de cet exercice est de d´emontrer le fait suivant : Pour 1<p<∞et ql’exposant conjugu´e, le
dual de `pest isom´etrique `a `q.
1. Soit (an)1≤n≤Nun N-uplet de nombres complexes. D´eterminer un N-uplet (bn)1≤n≤Ntel que
N
X
1
anbn=
N
X
1|an|q.
2. Soit Lun ´el´ement de (`p)∗, on note kLk∗sa norme. On d´efinit la suite (yn)n≥1par yn:= L(en).
Montrer que l’on a
∀N≥1, N
X
n=1 |yn|q!
1
q
≤ kLk∗.
3. En d´eduire que l’application Td´efinie par T(L) = (yn)n≥1est une application lin´eaire continue de
(`p)∗dans `q.
3

4. Montrer que si y= (yn)n≥1=T(L) alors, pour tout x= (xn)n≥1∈`p, on a
L(x) = X
n≥1
xnyn.
En d´eduire que,
∀L, kT(L)k`q=kLk∗.
5. Montrer que l’application Test inversible.
Exercice 13 Espace dual de c0, de `1et de `∞
On rappelle que c0est l’ensemble des suites (r´eelles) tendant vers 0 `a l’infini. On pose
Ty(x) = X
n∈N
xnyn∀x∈`p.
1. Montrer que l’application x7→ Tx´etablit un isomorphisme isom´etrique de `1sur c0
0et de `∞sur (`1)0.
2. Montrer que c0,`1et `∞ne sont pas r´eflexifs.
Exercice 14 Repr´esentation de Riesz dans Lp
Soit 1 <p<+∞et 1 < p0<+∞tel que 1
p+1 p0= 1. Soit φ∈(Lp)0. On veut montrer qu’il existe un
unique u∈Lp0tel que
∀f∈Lp, < φ, f >=Zuf,
et que de plus,
kukLp0=kφk(Lp)0.
On consid`ere l’application T:Lp→(Lp)0d´efinie comme suit :
soit u∈Lpfix´e et on note Tul’application f∈Lp07→ Tu(f) = Zuf
1. Montrer que Tuest une forme lin´eaire continue sur Lp0et que
||Tu||(Lp0)0≤ ||u||Lp.
2. Prouver `a l’aide d’un ´el´ement particulier que
||Tu||(Lp0)0=||u||Lp
3. D´emontrer que T(Lp0) est dense dans (Lp)0.
On pourra admettre que Lpest r´eflexif.
4. Conclure.
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TD 3
5 R´eflexivit´e (suite)
Exercice 15 D´emontrer que l’espace des polynˆomes n’est r´eflexif pour aucune norme.
6 Dualit´e
Exercice 16
1. Soient Eun espace vectoriel sur un corps commutatif Ket Fun sous-espace vectoriel de E. V´erifier
que l’ensemble des classes
x+F={x+y|y∈F},
est un espace vectoriel, not´e E/F et appel´e quotient de Epar Fpour les op´erations suivantes :
((x1+F)+(x2+F)=(x1+x2) + F∀(x1, x2)∈E2,
λ(x+F) = (λx) + F∀λ∈K,∀x∈E.
2. Supposons de plus que K=Rou C,Eest norm´e et que Fest ferm´e. Montrer que
kx+Fk= infy∈Fkx+yk,
est une norme sur E/F .
3. Montrer que la projection canonique π(x) = x+Fest une application lin´eaire continue de Esur
E/F .
4. Si Eest complet, montrer que E/F est complet.
Indication : soit (xn+F)n∈Nune suite d’´el´ements de E/F telle que
+∞
X
n=0 kxn+Fk<+∞.
7 Th´eor`eme d’Hahn-Banach
Exercice 17 Soient Eun espace vectoriel norm´e sur F=Rou Cet
H={x∈E|f(x) = α},
un hyperplan affine dans Eo`u f:E−→ Fest une forme lin´eaire non nulle et α∈F.
Montrer que Hest ferm´e si et seulement si fest continue.
Exercice 18 Montrer que, dans Rn, on peut toujours s´eparer deux ensembles convexes non vides disjoints
par un hyperplan affine.
Indications : soient Aet Bdeux ensembles convexes non vides disjoints. On pose K=A−B. D´emontrer
que Kest un ferm´e convexe non vide puis consid´erer un vecteur vde norme minimal.
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