v4 - Equations et problèmes

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Equations et problèmes
Définition
Une équation s’écrit sous la forme
Expression 1 = expression 2
Attention
Le signe « = » des équations n’est pas le signe « habituel ».
D’habitude, le signe « = » signifie que les expressions de
chaque côté du signe « = » représentent la même quantité ou la
même valeur.
Par exemple : 3+2 = 5 ou 2x + 4x = 6x
Le signe « = » est toujours vrai.
Exemple d’équation
2x + 9 = 5x
Le signe « = » n’est pas toujours vérifié.
Par exemple ; lorsque x vaut 2, le membre de gauche vaut
2×2+9=13 et le membre de droite vaut 5×2=10. Or 13 ≠ 10 donc le
signe « = » est faux.
Mais, lorsque x vaut 3, le membre de gauche vaut 2×3+9=15
et le membre de droite vaut 5×3=15 ; le signe « = » est alors vrai.
Définition
Un nombre est dit solution d’une équation si le signe « = » est
vrai lorsqu’on remplace l’inconnue par ce nombre.
Exemples
2 n’est pas solution de l’équation 2x + 9 = 5x
3 est une solution de l’équation 2x + 9 = 5x

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Exemple d’exercice
Soit l’équation 5x - 3 = 2x + 3
Tester si 3 et 2 sont des solutions.
Si x = 3 alors le membre de gauche devient 5 × 3 – 3 = 12
et le membre de droite devient 2 × 3 + 3 = 9
Or 12 ≠ 9 donc 3 n’est pas solution de l’équation.
Si x = 2 alors 5x – 3 = 5 × 2 – 3 = 7
et 2x + 3 = 2 × 2 + 3 = 7
Donc 2 est une solution de l’équation.
Définition
Résoudre une équation c’est trouver toutes les solutions de
cette équation.
Propriété - admise
On ne change pas les solutions d’une équation si :
1. On additionne (ou soustrait) une même quantité aux deux
membres de l’équation
2. On multiplie (ou divise) les deux membres par une même
expression non nulle.
Exemples
x + 3 = 5
↓
-3
↓
-3
x = 2
La solution de cette équation est 2.

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x - 3 = 5
↓
+3
↓
+3
x = 8
La solution de cette équation est 8.
5x = 10
↓
÷
5
↓
÷
5
x = 2
La solution de cette équation est 2
3
x
=
7
↓
×
3
↓
×
3
x = 21
La solution de cette équation est 21
Comment résoudre une équation ?
1°) On simplifie l’écriture de chaque membre
2°) On isole les inconnues dans un membre en utilisant le 1. de la
propriété précédente.
3°) On simplifie l’équation en utilisant le 2. de la propriété
précédente.
4°) On vérifie.
5°) On conclue par une phrase.

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Exemple :
Résoudre l’équation 2(x - 7) + 3x = 3(x + 8)
2(x - 7) + 3x = 3(x + 8) On réécrit l’équation
donc 2x - 14 + 3x = 3x + 24 On développe
donc 5x - 14 = 3x + 24
On réduit
↓
-3x
↓
-3x On isole les inconnues dans un membre
donc 2x - 14 = 24
↓
+14
↓
+14 On isole les nombres dans l’autre membre
donc 2x = 38
↓
÷
2
↓
÷
2 On termine
donc x = 19
Vérification :
Si x = 19 alors 2(x - 7) + 3x = 2×(19 - 7) + 3×19 =81
et 3(x + 8) = 3×(19 + 8) = 81
La solution de l’équation est 19.
Comment résoudre un problème ?
Dans la cour de la ferme, il n’y a que des poules et des lapins.
J’ai compté 174 têtes et 400 pattes.
Combien y a-t-il d’animaux de chaque sorte ?
A la calculatrice