Sous-groupes distingués

Probl` emes de Math´ ematiques
Sous-groupes distingu´ es
´
Enonc´e
Sous-groupes distingu´es
Soit Gun groupe, qui n’est pas suppos´e ab´elien. On note (a, b)7→ ab la loi de G.
On note ele neutre de G, et a−1le sym´etrique de tout ´el´ement ade G.
Pour toute partie Xnon vide de G, et pour tous ´el´ements a, b de G, on pose :
aX ={ax, x ∈X}Xb ={xb, x ∈X}aXb =a(Xb) = (aX)b={axb, x ∈X}
Les propri´et´es suivantes sont ´evidentes et n’ont pas `a ˆetre d´emontr´ees :
X⊂Y⇒
aX ⊂aY
Xb ⊂Y b
aXb ⊂aY b
a(bX) = (ab)X
(Xa)b=X(ab)
a(bXc)d= (ab)X(cd)
eX =Xe =X
On rappelle que les automorphismes int´erieurs de Gsont les applications ϕad´efinies par :
∀a∈G, ∀x∈G, ϕa(x) = axa−1
Partie I. D´efinition des sous-groupes distingu´es
1. Soit Hun sous-groupe de G.
Montrer que les conditions suivantes sont ´equivalentes :
i) Pour tout ade G,aH ⊂Ha
ii) Pour tout ade G,Ha ⊂aH
iii) Pour tout ade G,aH =Ha
On dit qu’un sous-groupe Hde Gest distingu´e s’il v´erifie ces conditions. [S]
2. Soit Hun sous-groupe d’un groupe G.
Montrer que les conditions suivantes sont ´equivalentes :
i)Hest distingu´e dans G
ii)∀a∈G, aHa−1=H
iii)∀a∈G, aHa−1⊂H
Exprimer cette propri´et´e avec la terminologie des automorphismes int´erieurs de G.[S]
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Sous-groupes distingu´ es
´
Enonc´e
Partie II. Exemples de sous-groupes distingu´es
1. Soit Gun groupe. V´erifier que {e}et Gsont distingu´es dans G.[S]
2. Que peut-on dire des sous-groupes distingu´es d’un groupe ab´elien G?[S]
3. Soient Get e Gdeux groupes. Soit f:G→e Gun morphisme de groupes.
(a) On suppose que e Hest un sous-groupe distingu´e de e G.
Montrer que son image r´eciproque par fest un sous-groupe distingu´e Hde G.[S]
(b) Dans cette question, on suppose que le morphisme fest surjectif.
Soit Hun sous-groupe distingu´e de G.
Montrer que e H=f(H) est un sous-groupe distingu´e de e G.[S]
(c) Que dire du noyau de f?[S]
Partie III. Centre et centralisateurs
Soit Gun groupe. Soit Xune partie non vide quelconque de G.
On appelle centralisateur de Xl’ensemble X0={a∈G, ∀x∈X, ax =xa}.
On appelle centre de Gl’ensemble C={a∈G, ∀x∈G, ax =xa}.
Le centre de Gest donc le centralisateur G0de Glui-mˆeme.
1. (a) Montrer que X0est un sous-groupe de G.[S]
(b) Montrer que le sous-groupe Cest distingu´e dans G.[S]
2. Avec les automorphismes int´erieurs, retrouver que Cest distingu´e dans G.[S]
3. Dans cette question Xet Ysont deux parties non vides quelconques de G.
(a) V´erifier que X⊂Y⇒Y0⊂X0.[S]
(b) On pose X00 = (X0)0. Montrer que Xest inclus dans X00.[S]
(c) On pose X000 = ((X0)0)0). Montrer que X0=X000.[S]
4. Dans cette question, on suppose que Hest un sous-groupe de G.
(a) Montrer les ´equivalences : Hab´elien⇔H⊂H0⇔H00 ab´elien. [S]
(b) Montrer que si Hest distingu´e, alors H0est distingu´e. [S]
Partie IV. Produit de deux sous-groupes
Dans cette partie, Het Ksont deux sous-groupes quelconques de G.
On pose HK ={hk, h ∈H, k ∈K}et KH ={kh, k ∈K, h ∈H}.
1. Montrer que HK ⊂KH ⇔KH ⊂HK ⇔HK =KH.[S]
2. Montrer que HK est un sous-groupe de Gsi et seulement si HK =KH.[S]
3. On suppose que l’un des deux sous-groupes Hou Kest distingu´e.
Montrer que HK =KH. Conclusion ? [S]
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Sous-groupes distingu´ es
´
Enonc´e
Partie V. Quotient par un sous-groupe distingu´e
Soit Hun sous-groupe quelconque de G.
On d´efinit sur Gune relation Rpar xRy⇔x−1y∈H.
1. Montrer que Rest une relation d’´equivalence sur G.
Quelle est cette relation si H=G? si H={e}?[S]
2. V´erifier que la classe d’´equivalence d’un ´el´ement ade Gest a=aH.[S]
3. Dans cette question, on suppose que Hest un sous-groupe distingu´e de G.
On note G/H l’ensemble des classes d’´equivalence de Gpour la relation R.
(a) Soient xet ydeux ´el´ements de G. Montrer que xy ne d´epend que de xet de y.[S]
(b) On peut donc d´efinir une loi sur G/H en posant : ∀(x, y)∈G2, x y =xy.
Montrer qu’alors G/H est un groupe. Quel est le neutre ? l’inverse de x?
On dit que G/H est le groupe quotient de Gpar le sous-groupe distingu´e H.[S]
(c) Montrer l’´equivalence des deux propri´et´es :
– Le groupe G/H est commutatif.
– Pour tous x, y de G, l’´el´ement y−1x−1yx est dans H.
[S]
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Probl` emes de Math´ ematiques
Sous-groupes distingu´ es
Corrig´e
Corrig´e du probl`eme
Partie I. D´efinition des sous-groupes distingu´es
1. Il suffit ´evidemment de montrer l’´equivalence des conditions i) et ii).
– On suppose que l’hypoth`ese i) est v´erifi´ee. Soit adans G.
Avec l’hypoth`ese, a−1H⊂Ha−1. On multiplie par a`a gauche et `a droite.
On en d´eduit a(a−1H)a⊂a(Ha−1)ac’est-`a-dire Ha ⊂aH.
– C’est la mˆeme d´emonstration pour passer de ii) `a i).
On part de Ha−1⊂a−1Hqui d´ecoule de ii) et on multiplie par ades deux cot´es.
[Q]
2. – On suppose que Hest distingu´e dans G.
Pour tout ade G:aHa−1=a(Ha−1) = a(a−1H) = (aa−1)H=H.
– La condition ii) implique ´evidemment la condition iii).
– On suppose que la condition iii) est v´erifi´ee.
Pour tout ade G:aH ⊃a(a−1Ha), et a(a−1Ha) = (aa−1)Ha =Ha.
On en d´eduit aH ⊃Ha :Hest donc distingu´e, ce qui ach`eve la d´emonstration.
– Les automorphismes int´erieurs de Gsont les ϕa:x7→ axa−1.
Soit Hun sous-groupe de G. Pour tout ade G, on a ϕa(H) = aHa−1.
Donc Hest distingu´e⇔il v´erifie les deux conditions ´equivalentes suivantes :
i)Hest stable par les automorphismes int´erieurs : ∀a∈G, ϕa(H)⊂H.
ii)Hest invariant par les automorphismes int´erieurs : ∀a∈G, ϕa(H) = H.
[Q]
Partie II. Exemples de sous-groupes distingu´es
1. Pour tout ade G:a{e}={e}a={a}. Le sous-groupe {e}est distingu´e dans G.
Pour tout ade G,x7→ ax et x7→ xa sont des bijections de Gdans lui-mˆeme.
On a donc aG =Ga =G: le groupe Gest un sous-groupe distingu´e de G.[Q]
2. Si G´etait ab´elien, tout sous-groupe Hde Gserait distingu´e (aH =Ha ´etant ´evident)
[Q]
3. (a) Hest un sous-groupe de G(image r´eciproque de e Hpar un morphisme de groupes.)
Soit aun ´el´ement de G. Il reste `a montrer, par exemple, que aHa−1⊂H.
Pour tout hde H,ona:f(aha−1) = f(a)f(h)f(a−1) = bf(h)b−1, en notant b=f(a).
Or e h=f(h) est dans e Hqui est distingu´e dans e G.
On en d´eduit f(aha−1) = be hb−1∈e H.
Autrement dit, aha−1est dans H, ce qui prouve que Hest distingu´e. [Q]
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Sous-groupes distingu´ es
Corrig´e
(b) e Hest un sous-groupe de e G(image directe de Hpar un morphisme de groupes.)
Soient eadans e Get e hdans e H. Il suffit de montrer que eae hea−1est dans e H.
f´etant surjective, il existe adans Get hdans Htels que ea=f(a) et e h=f(h).
On en d´eduit ea−1=f(a−1) puis eae hea−1=f(a)f(h)f(a−1) = f(aha−1).
Hors Hest distingu´e. Il en r´esulte que aha−1est dans H.
On en d´eduit que eae hea−1est dans e H, ce qui prouve que e Hest distingu´e. [Q]
(c) {ee
G}est un sous-groupe distingu´e de e
G.
Ainsi ker f=f
-1({ee
G}) est un sous-groupe distingu´e de G.[Q]
Partie III. Centre et centralisateurs
1. (a) Le neutre ecommute avec tous les ´el´ements de X, donc il est dans X0.
Soient aet bdeux ´el´ements de X0. Pour tout xde X:
On a ax =xa donc x=a−1xa puis xa−1=a−1x. Ainsi a−1∈X0.
On a (ab)x=a(bx) = a(xb) = (ax)b= (xa)b=x(ab). Ainsi ab ∈X0.
L’ensemble X0est non vide, stable pour la loi de Get pour le passage `a l’inverse.
X0est donc un sous-groupe de G.[Q]
(b) Il reste `a montrer que le sous-groupe Cde Gest distingu´e.
Or : ∀a∈C, ∀x∈G, ax =xa (car acommute avec tous les xde G).
Pour tout xde G, on a donc xC =Cx, ce qui ach`eve la d´emonstration.
Remarque 1 : la restriction `a Cd’un automorphisme int´erieur est l’identit´e. [Q]
2. On sait que ϕ:a7→ ϕaest un morphisme de Gdans le groupe Aut(G).
Soit adans G:a∈C⇔ ∀ x∈G, ax =xa ⇔ ∀ x∈G, axa−1=x⇔ϕa= Id.
Ainsi le centre de Gest le noyau du morphisme ϕ.
Or on sait (II.3.c) que le noyau d’un morphisme de groupes est un sous-groupe distingu´e.
[Q]
3. (a) Supposons X⊂Y. Soit y0un ´el´ement de Y.
y0commute avec tous les ´el´ements de Ydonc `a fortiori avec ceux de X.
Autrement dit, y0est un ´el´ement de X0. On a donc Y0⊂X0.[Q]
(b) Soit xun ´el´ement de X. Par d´efinition de X0,xcommute avec les ´el´ements de X0.
Autrement dit xappartient au centralisateur X00 de X0.
On a donc l’inclusion X⊂X00.[Q]
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