Chap.1 – Equations de Maxwell - Physique PSI Moreggia Sylvain

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Chap.1 – Equations de Maxwell
1. Charge et courant électrique
1.1. Le courant électrique : un débit de charge électrique
1.2. Vecteur densité de courant électrique
1.3. Equation locale de conservation de la charge
2. Equations de Maxwell
2.1. Equations locales
2.2. Forme intégrale
2.3. Compatibilité avec la loi de conservation de la charge
3. Relations de passage du champ EMic à la traversée d’une surface
4. Energie électromagnétique : une nouvelle forme d’énergie
4.1. Equation locale de conservation de l’énergie en présence d’un champ EMic
4.2. Force de Lorentz (rappel)
5. Existence du potentiel scalaire et du potentiel vecteur
Intro : Les équations Maxwell sont postulées et constituent les principes fondamentaux de l’électromagnétisme.
Ce domaine de la physique est particulièrement vaste, puisqu’il est impliqué dans un grand nombre de
phénomènes (liste non exhaustive) : lumière (visible et invisible), ondes radio, micro-ondes, cohésion de la
matière, interaction entre molécules, etc… Tout ce qui n’est pas nucléaire ou gravitationnel est
électromagnétique !
Le cours de sup n’était qu’une introduction à cette théorie, et tous les résultats déjà vus sont déductibles des lois
que l’on va énoncer dans ce chapitre (ce que l’on admettra).
1. Charge et courant électrique
Sauf indication contraire, par défaut, les modélisations de charges et de courants sont volumiques. Les autres
modélisations continues (linéique, surfacique) sont des approximations qui permettent parfois de simplifier les
raisonnements.
1.1. Le courant électrique : un débit de charge électrique
 En mécanique des fluides, rappeler les définitions des débits volumique et massique.
Définition de l’intensité électrique
L’intensité électrique est la charge électrique qui traverse une surface donnée par unité de temps () :
Si la surface est orientée, l’intensité électrique est une grandeur algébrique.
Son signe renseigne alors sur le sens de l’écoulement de la charge électrique.

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1.2. Vecteur densité de courant électrique
(Rappel) En physique, un débit peut toujours être écrit comme étant le flux d’un certain vecteur.
Ce vecteur s’appelle densité de courant, et est noté . Il est défini par l’écriture suivante :
 Ecrire la définition du vecteur densité de courant électrique.
 On considère un courant électrique s’écoulant dans un fil de cuivre. Par analogie avec le débit massique en
mécanique des fluides, et en considérant le courant électrique comme un écoulement de charge, donner
l’expression du vecteur  en fonction de la charge volumique, et du vecteur vitesse de l’écoulement.
 Généraliser cette expression dans le cas où « plusieurs fluides électriques » s’écoulent dans le fil (i.e.
plusieurs porteurs de charge circulent)
Si l’on veut faire le lien entre la modélisation volumique de la distribution de charges, et la modélisation
corpusculaire (en faisant apparaître la notion de « porteurs de charge »), on peut retenir que :
où  est le nombre de porteurs par unité de volume 
où q est la charge des porteurs (un seul type de porteurs ici)
où  est la vitesse moyenne, la vitesse d’enseemble, la vitesse de dérive des porteurs de charges.
1.3. Equation locale de conservation de la charge
La charge électrique est une grandeur qui se conserve. C’est un postulat de la physique. Elle est aussi invariante
par changement de référentiel.
 Par analogie avec l’équation locale de conservation de la masse, donne celle de la conservation de la charge.
 Donner son équivalent intégral en vous appuyant sur un schéma.
 Faire le lien avec la loi des nœuds.
 Rappeler ce qu’est l’ARQS dans le cadre de l’étude des circuits électriques. Quelles sont les conséquences
lorsqu’elle n’est pas vérifiée ?
2. Equations de Maxwell
Ces équations sont postulées, et constituent les principes qui fondent la théorie de l’électromagnétisme
(équivalents des principes de Newton pour la mécanique de Newton). Elles sont valables en régime variable, i.e.
lorsque les champs   et   et les sources   et   dépendent aussi du temps (contrairement au
cas « statique » vu en première année). Elles permettent notamment de déduire tous les résultats vus en première
année en électrostatique et magnétostatique.
2.1. Equations locales
div
div
E = Maxwell-Gauss
B = 0 Maxwell - flux
rot E = - B
t Maxwell- Faraday
rot B = j + E
t Maxwell- Ampère
0
0 0 0

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Les constantes 0 et µ0 sont liées au système d'unités ; dans le système MKSA :
0 est la permittivité du vide ; 0 = 8,854.10-12 F.m-1 ;
µ0 est perméabilité magnétique du vide ; µ0 =  = 1,2566.10-6 H.m-1
Remarque : Les champs   et   vérifient des équations différentielles couplées. Ils ne peuvent pas être
étudiés indépendamment l’un de l’autre. C’est pourquoi l’on parle de champ électromagnétique  , les
champs électrique et magnétique étant simplement deux facettes de cette entité. En physique moderne, on décrit
même ce champ par une seule entité : le tenseur électromagnétique.
Remarque : Ces équations sont linéaires, on peut donc appliquer le principe de superposition aux champs
électrique et magnétique.
Remarque : Une propriété générale d’analyse vectorielle nous dit que lorsque le rotationnel et la divergence d’un
champ sont connus, alors le champ peut être déterminer complètement si l’on se donne des conditions initiales et
des conditions aux limites.
Remarque : Comme toutes les équations différentielles, les équations de Maxwell donnent l’évolution des champs
dans l’espace et dans le temps. Si initialement il n’y a pas de champ, alors les termes   et 
apparaissent bien comme les sources du champ électromagnétique. Si un champ préexistant rencontre des charges
et des courants, il est alors simplement modifié, pas véritablement « créé » (exemple : diffusion de la lumière par
les molécules de l’air, une partie de l’onde électromagnétique incidente « rebondit » sur les molécules d’air).
2.2. Forme intégrale
E dS
B dS
e
B dl i dS
.
.
. .
= Q
0
= - d
d t
+ j
int
0
0 D
 La 3e loi mise à part, que vous inspirent ces écritures intégrales ?
2.3. Compatibilité avec la loi de conservation de la charge
 A partir de l’équation de Maxwell-Ampère, démontrer l’équation de conservation de la charge.
3. Relations de passage du champ EMic à la traversée d’une surface
On considère une surface chargée et parcourue par un courant.
Les limites du champ  « à droite et à gauche » (ou « en-dessus et en-dessous ») de la surface (notées 
 et 
) ne
sont pas égales : le champ électrique est discontinu à la traversée d’une surface chargée.
Les limites du champ  « à droite et à gauche » (ou « en-dessus et en-dessous ») de la surface (notées 
 et 
) ne
sont pas égales : le champ magnétique est discontinu à la traversée d’une nappe de courant surfacique.

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21
0
1
2nEE 
21
s
0
1
2njµBB 
La composante tangentielle du champ  est toujours une fonction continue de l’espace.
La composante normale du champ  est toujours une fonction continue de l’espace.
4. Energie électromagnétique : une nouvelle forme d’énergie
4.1. Equation locale de conservation de l’énergie en présence d’un champ EMic
A partir des équations de Maxwell, on peut établir l’équation suivante (admis).
Dans le vide :
 est l’énergie par unité de volume stockée par le champ électromagnétique 
 est le vecteur de Poynting, c’est un vecteur densité de courant d’énergie électromagnétique
. Il représente le débit d’énergie par unité de surface (la puissance surfacique) transportée par l’onde
électromagnétique hors du volume élémentaire considéré
 Traduire mathématiquement cette dernière affirmation.
Dans un milieu conducteur, i.e. en présence de porteurs de charge :
est la puissance par unité de volume, reçue par les porteurs de charge , et fournie par le champ
électromagnétique. Si les porteurs « frottent » sur un milieu support (réseau de cations d’un fil de cuivre par
exemple), alors c’est aussi la puissance volumique dissipée par effet Joule.
Cette équation locale de conservation de l’énergie en présence d’un champ électromagnétique s’appelle aussi
« équation locale de Poynting ». Avec des mots, elle signifie que toute l’énergie perdue par le champ présent dans
un volume a été :
- soit transférée aux porteurs de charge présents dans ce volume,
- soit emportée par le champ qui a traversé la surface délimitant ce volume (notion d’onde
électromagnétique derrière cette idée de « mouvement » / propagation du champ électromagnétique)
4.2. Force de Lorentz (rappel)
 Donner l’expression de la force subie par une particule chargée, placée dans un champ électromagnétique
 En se plaçant dans un conducteur contenant un seul type de porteurs de charge, évaluer la puissance fournie
par le champ aux porteurs de charge contenus dans un volume élémentaire, et démontrer l’expression de la
puissance volumique dissipée par effet Joule, admise au paragraphe précédent.

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5. Existence du potentiel scalaire et du potentiel vecteur
 En utilisant l’annexe d’analyse vectorielle, montrer à partir de l’équation de Maxwell-flux qu’il existe un
champ vectoriel 
 tel que :
 est appelé potentiel vecteur
 Toujours à l’aide de l’annexe d’analyse vectorielle, montrer que le potentiel vecteur est défini au gradient
d’un champ scalaire près.
(hors programme) Le choix de ce gradient détermine « le choix de jauge » que l’on se donne pour définir
complètement le potentiel vecteur. Ce choix étant arbitraire, il n’a donc pas de signification physique (on la
choisit pour obtenir des calculs les plus simples possibles).
 A partir de l’annexe d’analyse vectorielle et de l’équation de Maxwell-Faraday, montrer qu’il existe un champ
scalaire  tel que :
 est appelé potentiel scalaire
En régime stationnaire, on retrouve la propriété du champ électrostatique : c’est un champ de gradient, il est à
circulation conservative. Comme en statique, le potentiel scalaire est défini à une constante (de la position !) près :
donc ici à une fonction du temps près. On la choisit arbitrairement (elle n’a pas de signification physique).
Remarque : A quoi servent les potentiels ? Dans la théorie générale de l’électromagnétisme, il est en fait plus
simple de déterminer les expressions intégrales vérifiées par les potentiels, puis d’en déduire celles du champ
électromagnétique, plutôt que de résoudre directement les équations de Maxwell. A notre niveau, nous
n’étudierons que des situations particulières, et n’aurons généralement pas recours aux potentiels. Aux concours,
si l’énoncé veut vous faire passer par les potentiels, il vous donnera leur expression pour que vous puissiez en
déduire le champ électromagnétique.
Notions clefs
Savoirs :
 Définition de l’intensité du courant électrique (débit de charge)
 Définition de son vecteur densité de courant + son expression en fonction vitesse porteurs
 Equation locale de conservation de la charge
 Equations de Maxwell + leur forme intégrale
 Relations de passage (notamment continuité d’une composante de chaque champ)
 Equation locale de conservation de l’énergie (en présence d’un champ EMic)
 Expression Force de Lorentz (action champ EMic sur particule chargée)
 Existence potentiel vecteur et potentiel scalaire
Savoirs faire :
 Etablir l’expression de la puissance volumique dissipée par effet Joule
 Démontrer l’existence des potentiels vecteur et scalaire