1 L`anneau Z/nZ.

Université Paris-Est Créteil, UFR Sciences et Technologie
Licences deuxième-Troisième années
2016
Structure Algèbrique
TD 6 : Anneaux et corps
1
L’anneau Z/nZ.
a) Soit l’équation ax + by = c avec (a, b, c) ∈ Z∗ × Z∗ × Z.
(a) Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que cette équation admette au moins un solution. Déterminer, dans ce cas, l’ensemble des solutions.
(b) Application : en multipliant mon jour de naissance par 12 et mon mois de
naissance par 31, j’obtiens 442. Quelle est ma date de naissance ?
b) Le groupe ((Z/nZ)× , ×).
(a) Montrer qu’un élément de Z/nZ est inversible si et seulement s’il est premier
avec n.
(b) Montrer que l’ensemble (Z/nZ)× des éléments inversibles est un groupe commutatif.
(c) On note ϕ(n) l’ordre de (Z/nZ)× : ϕ est appelée la fonction indicatrice d’Euler.
Montrer le théorème d’Euler : pour tout n ≥ 2 entier, pour tout a ∈ Z∗ premier
avec n, on a
aϕ(n) = 1 [n].
Application : déterminer les inverses des éléments de (Z/10Z)× .
(d) Montrer le petit théorème de Fermat. Soit p un nombre premier. Alors
i. pour tout a ∈ Z∗ , premier avec p, on a ap−1 = 1 [p] ;
ii. pour tout a ∈ Z, on a ap = a [p].
(e) On va donner une deuxième démonstration
propriétées énoncés au (d).
des
p
pour tout k ∈ {1, · · · , p−1}.
Montrer que si p est premier, alors p divise
k
En déduire, en faisant une récurrence sur a ∈ N, la propriété P (a) : ap =
a [p]. Puis en déduire la propriété P (a) pour tout a ∈ Z. Enfin, en déduire la
propriété énoncé au (d) i.
c) (Le système RSA de cryptage - Rivest, Shamir, Adleman - 1978.) Soit n ≥ 2 un
entier libre de tout carré, c’est-à-dire tel que sa décomposition en facteurs premiers
ne comporte pas de facteur carré. On note n = p1 · · · pk , où les nombres premiers
pi sont tous distincts. Soit m un multiple commun aux nombres p1 − 1, . . . , pk − 1.
Soient c et d deux entiers naturels tels que cd = 1 [m].
(a) Montrer que xcd = x [n] pour tout x ∈ Z. (Indication : on pourra appliquer le
petit théorème de Fermat.)
(b) En déduire que si m ≥ 0, alors xm+1 = x [n], pour tout x ∈ Z, puis que
xϕ(n)+1 = x [n] pour tout x ∈ Z, où ϕ(n) = (p1 − 1) · · · (pk − 1).
(c) Application. Soient p et q deux entiers premiers, et soit n = pq. Soient c et d
tels que cd = 1 [ϕ(n)], où ϕ(n) = (p − 1)(q − 1). Pour chiffrer x ∈ {1, · · · , n},
on calcule C(x) = xc [n], puis pour déchiffer y ∈ {1, · · · , n} on calcule D(y) =
1
y d [n]. Vérifier que ces fonctions sont bien les fonctions de chiffrement et de
déchiffrement associées, c’est-à-dire que D ◦ C = id [n] et C ◦ D = id [n].
Exemple 1 (trop simple pour être utilisé dans la pratique). p = 3, q = 5,
n = pq = 15, ϕ(n) = 8. Définir c, puis d (en utilisant l’algorithme d’Euclide),
enfin coder un nombre x compris entre 1 et 15.
Exemple 2 (plus réaliste) : p = 163, q = 359, n = pq = 58 517. Calculer ϕ(n).
On choisit c = 5015 : vérifier qu’il est premier avec n. En déduire une valeur
(possible) de d (on utilisera l’algorithme d’Euclide). On chiffre les caractères de
l’alphabet par deux chiffres, qui caractérise leur rang dans l’alphabet, c’est-àdire A=01, B=02, etc. et l’espace entre deux mots par 00. Chiffrer une phrase
simple, et vérifier en la déchiffrant que vous avez bien chiffré.
d) Soit m, n ∈ N∗ . Considérons l’application
f : Z −→ Z/mZ × Z/nZ
x 7→ ([x]m , [x]n ),
où [x]m est la classe de x modulo m.
(a) Montrer que f est un morphisme de groupes additifs et déterminer son noyau.
(b) Cas particulier : montrer que si m et n sont premiers entre eux, alors Z/mnZ
est isomorphe à Z/mZ × Z/nZ (théorème des restes chinois).
(c) Montrer que l’ordre d’un élément d’un groupe est invariant sous l’action d’un
isomorphisme. En déduire une démonstration de la réciproque du théorème
des restes chinois : si Z/mnZ est isomorphe à Z/mZ × Z/nZ, alors m et n
sont premiers entre eux. (Indication : on pourra étudier l’ordre de ([1]m , [1]n ).)
(d) Montrer que si m etQn sont premiers entre eux, alors ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n). En
déduire que si n = i pri i , alors
ϕ(n) = n
Y
1−
i
2
1
.
pi
Anneaux
Exercice 1. Soient (A, +, ·) un anneau commutatif. On considère les opérations ⊕, ⊗
définies par :
∀a, b ∈ A, a ⊕ b = a + b + 1
et
, ∀a, b ∈ A, a ⊗ b = ab + a + b.
a) Montrer que (A, ⊕, ⊗) est un anneau commutatif.
b) Montrer que (A, ⊕, ⊗) et (A, +, ·) sont isomorphes. (On déterminera l’isomorphisme
d’anneau.)
Exercice 2. Soient A et B deux anneaux. On définit sur A × B les lois
(x, y) + (x0 , y 0 ) = (x + x0 , y + y 0 )
(x, y)(x0 , y 0 ) = (xx0 , yy 0 )
a) Montrer que A × B est alors un anneau.
b) Si A et B sont des corps, en est-il de même pour A × B ?
2
Exercice 3. Soient les ensembles
x 0
x
x
L=
∈ M2 (R) : x ∈ R et M =
∈ M2 (R) : x ∈ R
0 0
−x −x
Étudier si, munis des lois usuelles, L et M sont des anneaux, des corps.
Exercice 4. On note M2 (Z) l’ensemble des matrices 2 × 2 à coefficients entiers.
a) Montrer que (M2 (Z), +, ×) est un anneau. Est-il commutatif ?
b) Déterminer tous les éléments inversibles de (M2 (Z), +, ×)
Exercice 5. Soit (A, +, ×) un anneau.
On appelle centre de A l’ensemble C = {x ∈ A/∀y ∈ A, xy = yx}.
Montrer que C est un sous-anneau de A.
Exercice 6. Soit (A, +, ×) un anneau. On dit que x ∈ A est nilpotent ssi il existe n ∈ N
tel que xn = 0.
a) Montrer que si x est nilpotent alors 1 − x est inversible.
b) Montrer que si x et y sont nilpotents et commutent, alors xy et x+y sont nilpotents.
c) Un corps admet-il des éléments nilpotents ?
Exercice 7. Soient M2 (Q) l’anneau des matrices carrées d’ordre
2 à coefficients dans
1 1
.
Q, et A l’ensemble des matrices qui commutent avec M =
0 1
a) Montrer que A est un sous-anneau de M2 (Q).
b) Montrer que A est isomorphe à l’anneau Q[X]/(X 2 ), où (X 2 ) est l’idéal de Q[X]
engendré par le polynôme X 2 .
Exercice 8 (Caractéristique d’un anneau). Soit (A, +, ·) un anneau. On considère l’application f : Z → A définie par :
f (0) = 0A ,
∀n ∈ N∗ , f (n) = 1A + · · · + 1A
|
{z
}
et
∀n ∈ N, f (−n) = −f (n).
n fois
a) Montrer que f est l’unique morphisme d’anneau de Z dans A.
b) Si f est injectif, on dit que A est de caractéristique nulle. Montrer que f (Z) est
isomorphe à Z. En déduire que A est infini.
c) On suppose f non injectif.
(a) Montrer qu’il existe un entier c ∈ N∗ tel que f (Z) est isomorphe à Z/cZ. On
dit que A est de caractéristique c.
(b) Montrer que c = 1 si et seulement si A = {0A }.
(c) Montrer que si A est intègre, alors c est un nombre premier.
d) Quelles sont les valeurs possibles pour la caractéristique d’un corps ? Donner des
exemples.
Exercice 9.
a) J = {(α, α) : α ∈ Z} est-il un idéal de l’anneau Z2 ?
n
o
0
b) J = P ∈ R [X] : P (0) = 0 est-il un idéal de R [X] ?
3
Exercice 10. Soit J = {P ∈ Z [X] : P (0) ∈ 2Z} .
a) (a) Montrer que J est un idéal de Z [X] .
(b) Montrer que J est engendré par les polynômes 2 et X.
b) En remarquant que 2 ∈ J , montrer que l’hypothèse “J est un idéal principal de
Z[X]” est absurde.
Exercice 11. Montrer que 14Z est un idéal maximal de 2Z. Que peut on en déduire sur
2Z/14Z ?
Exercice 12.
a) Soit D = {f ∈ R[X] : f 0 (0) = 0} . Montrer que D n’est pas un idéal
de l’anneau R[X] et que c’est un sous-anneau de l’anneau R[X].
b) Soit E = {f ∈ R[X] : f (0) = f 0 (0) = 0}. Montrer que D n’est pas un sous-anneau
de l’anneau R[X] et que c’est un idéal de l’anneau R[X] dont on donnera un
générateur.
Exercice 13 (Étude de l’anneau Z2 ).
a) Soit d ∈ N. On pose
Ad = {(x, y) ∈ Z2 tq x ≡ y(mod d)}
(x = y pour d = 0). Montrer que Ad est un sous-anneau de Z2 .
b) Montrer que l’on obtient ainsi tous les sous-anneaux de Z2 .
(
I1 = {x ∈ Z tq (x, 0) ∈ I}
c) Soit I un idéal de Z2 . On note :
I2 = {y ∈ Z tq (0, y) ∈ I}.
Montrer que I1 et I2 sont des idéaux de Z, et que I = I1 × I2 .
d) En déduire que I est un idéal principal.
Exercice 14. Soit E l’ensemble des applications de R dans R muni des lois naturelles
+ et ·. Pour x0 ∈ R, on pose :
Ax0 = {f ∈ E|f (x0 ) = 0}.
a)
b)
c)
d)
Montrer que E est un anneau.
Montrer que Ax0 est un idéal de E.
Caractériser les éléments de Ax1 ∩ Ax2 où x1 , x2 sont des réels ditincts.
On suppose encore que x1 6= x2 . Montrer que Ax1 + Ax2 = E. (On pourra utiliser
les fonctions (x − x1 )/(x2 − x1 ) et (x2 − x)/(x2 − x1 ).)
e) Montrer que l’idéal Ax0 est un idéal maximal de E.
n
o
Exercice 15. On note D = 10pn , p ∈ Z, n ∈ N l’ensemble des nombres décimaux.
a) Montrer que D est un sous-anneau de (Q, +, ·).
b) Montrer que les idéaux de D sont principaux (c’est-à-dire de la forme aD avec
a ∈ D).
Exercice 16. Soit A un anneau intègre. On suppose que l’anneau A ne possède qu’un
nombre fini d’idéaux. Montrer que A est un corps.
Exercice 17. Pour n ∈ N∗ , on note ϕ(n) le nombre d’éléments inversibles dans (Z/nZ, +, ×).
a) Calculer ϕ(p) et ϕ(pα ) pour p premier et α ∈ N∗ .
b) Soient m et n premiers entre eux.
On considère l’application f : Z/mnZ → Z/nZ × Z/mZ définie par f (x̄) = (x̂, x̃).
Montrer que f est un isomorphisme d’anneaux.
c) En déduire que ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n).
d) Exprimer ϕ(n) selon la décomposition primaire de n.
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