1 L`anneau Z/nZ.

Universit´e Paris-Est Cr´eteil, UFR Sciences et Technologie 2016
Licences deuxi` eme-Troisi` eme ann´ ees Structure Alg`ebrique
TD 6 : Anneaux et corps
1 L’anneau Z/nZ.
a) Soit l’´equation ax +by =cavec (a, b, c)∈Z∗×Z∗×Z.
(a) D´eterminer une condition n´ecessaire et suffisante pour que cette ´equation ad-
mette au moins un solution. D´eterminer, dans ce cas, l’ensemble des solutions.
(b) Application : en multipliant mon jour de naissance par 12 et mon mois de
naissance par 31, j’obtiens 442. Quelle est ma date de naissance ?
b) Le groupe ((Z/nZ)×,×).
(a) Montrer qu’un ´el´ement de Z/nZest inversible si et seulement s’il est premier
avec n.
(b) Montrer que l’ensemble (Z/nZ)×des ´el´ements inversibles est un groupe com-
mutatif.
(c) On note ϕ(n) l’ordre de (Z/nZ)×:ϕest appel´ee la fonction indicatrice d’Euler.
Montrer le th´eor`eme d’Euler : pour tout n≥2 entier, pour tout a∈Z∗premier
avec n, on a
aϕ(n)=1[n].
Application : d´eterminer les inverses des ´el´ements de (Z/10Z)×.
(d) Montrer le petit th´eor`eme de Fermat. Soit pun nombre premier. Alors
i. pour tout a∈Z∗, premier avec p, on a ap−1= 1 [p] ;
ii. pour tout a∈Z, on a ap=a[p].
(e) On va donner une deuxi`eme d´emonstration des propri´et´ees ´enonc´es au (d).
Montrer que si pest premier, alors pdivise p
kpour tout k∈ {1,· · · , p−1}.
En d´eduire, en faisant une r´ecurrence sur a∈N, la propri´et´e P(a) : ap=
a[p].Puis en d´eduire la propri´et´e P(a) pour tout a∈Z. Enfin, en d´eduire la
propri´et´e ´enonc´e au (d) i.
c) (Le syst`eme RSA de cryptage - Rivest, Shamir, Adleman - 1978.) Soit n≥2 un
entier libre de tout carr´e, c’est-`a-dire tel que sa d´ecomposition en facteurs premiers
ne comporte pas de facteur carr´e. On note n=p1· · · pk, o`u les nombres premiers
pisont tous distincts. Soit mun multiple commun aux nombres p1−1, . . . , pk−1.
Soient cet ddeux entiers naturels tels que cd = 1 [m].
(a) Montrer que xcd =x[n] pour tout x∈Z. (Indication : on pourra appliquer le
petit th´eor`eme de Fermat.)
(b) En d´eduire que si m≥0, alors xm+1 =x[n], pour tout x∈Z, puis que
xϕ(n)+1 =x[n] pour tout x∈Z, o`u ϕ(n)=(p1−1) · · · (pk−1).
(c) Application. Soient pet qdeux entiers premiers, et soit n=pq. Soient cet d
tels que cd = 1 [ϕ(n)], o`u ϕ(n)=(p−1)(q−1). Pour chiffrer x∈ {1,· · · , n},
on calcule C(x) = xc[n], puis pour d´echiffer y∈ {1,· · · , n}on calcule D(y) =
1

yd[n]. V´erifier que ces fonctions sont bien les fonctions de chiffrement et de
d´echiffrement associ´ees, c’est-`a-dire que D◦C=id [n] et C◦D=id [n].
Exemple 1 (trop simple pour ˆetre utilis´e dans la pratique). p= 3, q= 5,
n=pq = 15, ϕ(n) = 8. D´efinir c, puis d(en utilisant l’algorithme d’Euclide),
enfin coder un nombre xcompris entre 1 et 15.
Exemple 2 (plus r´ealiste) : p= 163, q= 359, n=pq = 58 517. Calculer ϕ(n).
On choisit c= 5015 : v´erifier qu’il est premier avec n. En d´eduire une valeur
(possible) de d(on utilisera l’algorithme d’Euclide). On chiffre les caract`eres de
l’alphabet par deux chiffres, qui caract´erise leur rang dans l’alphabet, c’est-`a-
dire A=01, B=02, etc. et l’espace entre deux mots par 00. Chiffrer une phrase
simple, et v´erifier en la d´echiffrant que vous avez bien chiffr´e.
d) Soit m, n ∈N∗. Consid´erons l’application
f:Z−→ Z/mZ×Z/nZ
x7→ ([x]m,[x]n),
o`u [x]mest la classe de xmodulo m.
(a) Montrer que fest un morphisme de groupes additifs et d´eterminer son noyau.
(b) Cas particulier : montrer que si met nsont premiers entre eux, alors Z/mnZ
est isomorphe `a Z/mZ×Z/nZ(th´eor`eme des restes chinois).
(c) Montrer que l’ordre d’un ´el´ement d’un groupe est invariant sous l’action d’un
isomorphisme. En d´eduire une d´emonstration de la r´eciproque du th´eor`eme
des restes chinois : si Z/mnZest isomorphe `a Z/mZ×Z/nZ, alors met n
sont premiers entre eux. (Indication : on pourra ´etudier l’ordre de ([1]m,[1]n).)
(d) Montrer que si met nsont premiers entre eux, alors ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n). En
d´eduire que si n=Qipri
i, alors
ϕ(n) = nY
i1−1
pi.
2 Anneaux
Exercice 1. Soient (A, +,·) un anneau commutatif. On consid`ere les op´erations ⊕,⊗
d´efinies par :
∀a, b ∈A, a ⊕b=a+b+ 1 et ,∀a, b ∈A, a ⊗b=ab +a+b.
a) Montrer que (A, ⊕,⊗) est un anneau commutatif.
b) Montrer que (A, ⊕,⊗) et (A, +,·) sont isomorphes. (On d´eterminera l’isomorphisme
d’anneau.)
Exercice 2. Soient Aet Bdeux anneaux. On d´efinit sur A×Bles lois
(x, y)+(x0, y0)=(x+x0, y +y0)
(x, y)(x0, y0)=(xx0, yy0)
a) Montrer que A×Best alors un anneau.
b) Si Aet Bsont des corps, en est-il de mˆeme pour A×B?
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Exercice 3. Soient les ensembles
L= x0
0 0 ∈ M2(R) : x∈Ret M= x x −x−x∈ M2(R) : x∈R
´
Etudier si, munis des lois usuelles, Let Msont des anneaux, des corps.
Exercice 4. On note M2(Z) l’ensemble des matrices 2 ×2 `a coefficients entiers.
a) Montrer que (M2(Z),+,×) est un anneau. Est-il commutatif ?
b) D´eterminer tous les ´el´ements inversibles de (M2(Z),+,×)
Exercice 5. Soit (A, +,×) un anneau.
On appelle centre de Al’ensemble C={x∈A/∀y∈A, xy =yx}.
Montrer que Cest un sous-anneau de A.
Exercice 6. Soit (A, +,×) un anneau. On dit que x∈Aest nilpotent ssi il existe n∈N
tel que xn= 0.
a) Montrer que si xest nilpotent alors 1 −xest inversible.
b) Montrer que si xet ysont nilpotents et commutent, alors xy et x+ysont nilpotents.
c) Un corps admet-il des ´el´ements nilpotents ?
Exercice 7. Soient M2(Q) l’anneau des matrices carr´ees d’ordre 2 `a coefficients dans
Q, et Al’ensemble des matrices qui commutent avec M=1 1
0 1.
a) Montrer que Aest un sous-anneau de M2(Q).
b) Montrer que Aest isomorphe `a l’anneau Q[X]/(X2), o`u (X2) est l’id´eal de Q[X]
engendr´e par le polynˆome X2.
Exercice 8 (Caract´eristique d’un anneau).Soit (A, +,·) un anneau. On consid`ere l’ap-
plication f:Z→Ad´efinie par :
f(0) = 0A,∀n∈N∗, f(n)=1A+· · · + 1A
| {z }
nfois
et ∀n∈N, f(−n) = −f(n).
a) Montrer que fest l’unique morphisme d’anneau de Zdans A.
b) Si fest injectif, on dit que Aest de caract´eristique nulle. Montrer que f(Z) est
isomorphe `a Z. En d´eduire que Aest infini.
c) On suppose fnon injectif.
(a) Montrer qu’il existe un entier c∈N∗tel que f(Z) est isomorphe `a Z/cZ. On
dit que Aest de caract´eristique c.
(b) Montrer que c= 1 si et seulement si A={0A}.
(c) Montrer que si Aest int`egre, alors cest un nombre premier.
d) Quelles sont les valeurs possibles pour la caract´eristique d’un corps ? Donner des
exemples.
Exercice 9. a) J={(α, α) : α∈Z}est-il un id´eal de l’anneau Z2?
b) J=nP∈R[X] : P0(0) = 0oest-il un id´eal de R[X] ?
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Exercice 10. Soit J={P∈Z[X] : P(0) ∈2Z}.
a) (a) Montrer que Jest un id´eal de Z[X].
(b) Montrer que Jest engendr´e par les polynˆomes 2 et X.
b) En remarquant que 2 ∈ J , montrer que l’hypoth`ese “Jest un id´eal principal de
Z[X]” est absurde.
Exercice 11. Montrer que 14Zest un id´eal maximal de 2Z. Que peut on en d´eduire sur
2Z/14Z?
Exercice 12. a) Soit D={f∈R[X] : f0(0) = 0}.Montrer que Dn’est pas un id´eal
de l’anneau R[X] et que c’est un sous-anneau de l’anneau R[X].
b) Soit E={f∈R[X] : f(0) = f0(0) = 0}. Montrer que Dn’est pas un sous-anneau
de l’anneau R[X] et que c’est un id´eal de l’anneau R[X] dont on donnera un
g´en´erateur.
Exercice 13 (´ Etude de l’anneau Z2).a) Soit d∈N. On pose
Ad={(x, y)∈Z2tq x≡y(mod d)}
(x=ypour d= 0). Montrer que Adest un sous-anneau de Z2.
b) Montrer que l’on obtient ainsi tous les sous-anneaux de Z2.
c) Soit Iun id´eal de Z2. On note : (I1={x∈Ztq (x, 0) ∈I}
I2={y∈Ztq (0, y)∈I}.
Montrer que I1et I2sont des id´eaux de Z, et que I=I1×I2.
d) En d´eduire que Iest un id´eal principal.
Exercice 14. Soit El’ensemble des applications de Rdans Rmuni des lois naturelles
+ et ·. Pour x0∈R, on pose :
Ax0={f∈E|f(x0) = 0}.
a) Montrer que Eest un anneau.
b) Montrer que Ax0est un id´eal de E.
c) Caract´eriser les ´el´ements de Ax1∩Ax2o`u x1, x2sont des r´eels ditincts.
d) On suppose encore que x16=x2. Montrer que Ax1+Ax2=E. (On pourra utiliser
les fonctions (x−x1)/(x2−x1) et (x2−x)/(x2−x1).)
e) Montrer que l’id´eal Ax0est un id´eal maximal de E.
Exercice 15. On note D=np
10n, p ∈Z, n ∈Nol’ensemble des nombres d´ecimaux.
a) Montrer que Dest un sous-anneau de (Q,+,·).
b) Montrer que les id´eaux de Dsont principaux (c’est-`a-dire de la forme aDavec
a∈D).
Exercice 16. Soit Aun anneau int`egre. On suppose que l’anneau Ane poss`ede qu’un
nombre fini d’id´eaux. Montrer que A est un corps.
Exercice 17. Pour n∈N∗, on note ϕ(n) le nombre d’´el´ements inversibles dans (Z/nZ,+,×).
a) Calculer ϕ(p) et ϕ(pα) pour ppremier et α∈N∗.
b) Soient met npremiers entre eux.
On consid`ere l’application f:Z/mnZ→Z/nZ×Z/mZd´efinie par f(¯x) = (ˆx, ˜x).
Montrer que fest un isomorphisme d’anneaux.
c) En d´eduire que ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n).
d) Exprimer ϕ(n) selon la d´ecomposition primaire de n.
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