Equations différentielles

Premier ordre Ordre sup´erieur Syst`emes d’ED
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Equations diff´erentielles
Pr. Lacroix
SEATECH
Universit´e de Toulon
15 avril 2014
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Premier ordre Ordre sup´erieur Syst`emes d’ED
1Premier ordre
D´efinitions
Variables s´eparables
R´eduction 1
Mod´elisation
Formes exactes
R´eduction 2
ED lin´eaires
R´eduction 3 : Bernoulli
Picard
It´eration
2Ordre sup´erieur
Ordre 2 lin´eaire homog`ene
Reduction
2nd ordre homog`ene coefs constants
Le ressort
Euler-Cauchy
Wronskien
Non homog`ene
Coefficients ind´etermin´es
Variation de la cte
Oscillateur forc´e
Ordre n
Coefs Csts
Variation de la cte 2
3Syst`emes d’ED
D´efinitions
Lin´eaire cst
Non homog`ene
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Premier ordre Ordre sup´erieur Syst`emes d’ED
D´efinition
Une ´equation diff´erentielle (ED) du premier ordre est une
´equation de la forme F(x,y,y0) = 0 , parfois de la forme
y0=f(x,y), o`u y est une fonction d´erivable de la variable r´elle x,
et y0sa d´eriv´ee.
Une solution d’une telle ´equation sur un intervalle ouvert ]a,b[est
une fonction d´erivable y =h(x)qui la satisfait.
Parfois la solution de l’´equation diff´erentielle se pr´esente sous une
forme implicite H(x,y)=0, en contraste de la forme explicite
y=h(x).
Exemple
y=x2est solution sur Rde l’ED xy0= 2y.
x2+y2−1 = 0 est une solution implicite sur ] −1,1[ de
yy0=−x.
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Premier ordre Ordre sup´erieur Syst`emes d’ED
On cherche parfois une solution de l’ED du premier ordre
satisfaisant une condition initiale du type y(α) = βou
y0(α) = β. Sans ajout d’une condition initiale une ED du premier
ordre a le plus souvent une infinit´e de solutions.
Consid´erons l’´equation y0=f(x,y). Les courbes d’´equation
f(x,y) = ksont appel´ees les isoclines. Elles permettent de tracer
de fa c con approximative les solutions de l’ED (les tracer pour
l’exmple y0=xy).
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Premier ordre Ordre sup´erieur Syst`emes d’ED
D´efinition
Une ED est dite `a variables s´eparables si elle peut s’´ecrire sous la
forme g(y)y0=f(x), ce qui permet de la r´esumer sous la forme
f(x)dx =g(y)dy en adoptant une convention de notation
y0=dy/dx.
La strat´egie pour r´esoudre ces ´equations consiste alors `a int´egrer
Rg(y)dy =Rf(x)dx +c.
Exemple
9yy0+ 4x= 0 ⇒x2
9+y2 4=c: les solutions implicites sont
des ellipses.
y0= 1 + y2⇒y= tan(x+c).
y0=ky ⇒y=cekx .
y0=−2xy ⇒y=ce−x2(courbes de Bell).
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