8.1 à 8.4 Définitions

Chapitre 8
La conservation de l’énergie
8.0 Introduction
Les interrogations sur le mouvement d’un pendule avec
Galilée, marque le début de l’emploi du concept de l’énergie
pour expliquer et surtout prédire le mouvement d’un objet.
L’idée selon laquelle le mouvement d’un objet est
gouverné par une quantité qui demeure constante
remonte à cette époque.
Par la suite, de nombreux physiciens se sont
penchés sur ce concept assez difficile à saisir
donc difficile à représenter.
1
Chapitre 8
La conservation de l’énergie
8.0 Introduction
Nous avons vu dans le chapitre précédent que le travail effectué par
une force résultante modifie l’énergie cinétique d’un objet
Wnet = ∆K
Nous verrons dans ce chapitre que la force résultante peut-être une
combinaison de deux types de forces: des forces conservatives et
des forces non-conservatives
Wnet = W f .cons + W f .non −cons
W f .cons
diminuera l’énergie potentielle
U
2
Chapitre 8
La conservation de l’énergie
8.0 Introduction
Wnet = ∆K
Nous verrons dans ce chapitre que la force résultante peut-être une
combinaison de deux types de forces: des forces conservatives et
des forces non-conservatives
Wnet = ∆K = W f .cons + W f .non −cons
W f .cons
diminuera l’énergie potentielle
U
Exemple : Force gravitationnelle
W f. non .cons
modifiera les autres formes d’énergie, comme,
par exemple, l’énergie thermique Q ou encore
l’énergie mécanique Em , etc.
3
Chapitre 8
La conservation de l’énergie
8.0 Introduction
W f .cons
W f. non .cons
Wnet = ∆K = W f .cons + W f. non .cons
diminuera l’énergie potentielle
U
modifiera les autres formes d’énergie,
comme par exemple l’énergie thermique Q
Dans des systèmes isolés, les principes de conservation de l’énergie
découlent de l’application de ces travaux.
L’énergie mécanique Em sera conservée uniquement sous l’action des
forces conservatives.
Em = K + U = cte ou
∆Em = 0
Elle est composée d’énergie cinétique K et d’énergie potentielle U
4
Chapitre 8
La conservation de l’énergie
8.0 Introduction
L’énergie mécanique Em sera conservée uniquement sous
l’action des forces conservatives
Em = K + U = cte
ou
∆E m = 0
∆Em = ∆K + ∆U = 0
En présence de forces non-conservatives, exemple frottement
∆Em ≠ 0
Wf.non.-cons = ∆Em
Cependant , la valeur de l’énergie totale E sera égale à une
constante.
Autrement dit, l’énergie totale peut uniquement changer de forme.
5
Chapitre 8 La conservation de l’énergie
8.0 Introduction
C’est le travail fait par des forces, comme nous l’avons vu, qui
transfert l’énergie d’un endroit à l’autre du système. La valeur de
l’énergie reste la même elle change simplement de forme.
Ces principes qui gouvernent les phénomènes du monde dans lequel
nous vivons rend l’analyse et la prédiction de ces phénomènes
plus simple à effectuer.
Transformation d’énergie potentielle en énergie
cinétique
Cette approche caractérise la façon de faire des physiciennes et des
physiciens depuis l’époque de Galilée lorsque ce dernier a réfléchi,
avec d’autres, au mouvement d’un pendule.
Dans un premier temps, comment pouvons-nous définir l’énergie
potentielle ?
6
Chapitre 8 La conservation de l’énergie
8.0 Introduction
Nous montrerons que l’énergie potentielle U désigne l’énergie d’un
système qui est attribuable uniquement aux positions relatives des
objets (particules) du système qui sont en interaction.
Exemples: Énergie potentielle gravitationnelle
Énergie potentielle élastique (ressort)
Énergie potentielle électrique
+
-
Nous définirons l’énergie thermique d’un système comme
l’énergie associée à l’agitation des particules du système.
7
Chapitre 8 La conservation de l’énergie
8.4 Les fonctions énergie potentielle:
A) L’énergie potentielle gravitationnelle Ug
y
Vous avez vu en sec V que l’énergie
potentielle d’un objet à une hauteur « h »
au-dessus de la surface de la Terre était
donnée par la relation suivante :
h
U = mgh = mgy
Système (Terre-objet)
Question à se poser?
D’où vient cette expression ?
U = mgy
J ( Joule )
8
8.4 A) L’énergie potentielle gravitationnelle Ug
D’où vient cette
expression ?
y
U = mgh
Lorsque la balle tombe, son énergie cinétique K augmente. D’où
vient cette énergie? De la diminution de l’énergie potentielle U.
h
En faisant appel au principe de conservation de l’énergie mécanique
Em , nous dirons que la somme de l’énergie cinétique et de l’énergie
potentielle demeure constante si les forces de résistance de l’air sont
nulles
E m = K + U = constante
Autrement
dit
J (Joule)
∆E m = ∆K + ∆U = 0
que l’augmentation de l’énergie cinétique vient de la diminution de
l’énergie potentielle gravitationnelle.
9
8.4 A) L’énergie potentielle gravitationnelle Ug
E m = K + U = constante
J (Joule)
∆E m = ∆K + ∆U = 0
que l’augmentation de l’énergie cinétique vient de la diminution de
l’énergie potentielle gravitationnelle.
Par conséquent
∆K = −∆U
Autrement dit, lorsque la balle descend, le gain de l’énergie
cinétique est égal à la perte de l’énergie potentielle.
Ce fait étant vérifié pour
chaque position de la
balle on peut écrire
dK = −dU
10
8.4 A) L’énergie potentielle gravitationnelle Ug
Autrement dit, lorsque la balle descend, le gain de l’énergie
cinétique est égal à la perte de l’énergie potentielle.
Ce fait étant vérifié pour
chaque position de la
balle on peut écrire
dK = −dU
De plus, selon le théorème qui relie le travail et la variation de
l’énergie cinétique, on peut écrire
Wtot
 
= F • dr = Fy dy = dK = −dU
On obtient alors
dU
Fy = −
dy
11
8.4 A) L’énergie potentielle gravitationnelle Ug
Wtot
 
= F • dr = Fy dy = dK = −dU
On obtient alors
dU
Fy = −
dy
On dira que la force dérive de la fonction énergie potentielle U
Puisque
Fy = −mg
U(y) = ???
L’énergie potentielle gravitationnelle doit être donnée par
U ( y ) = mgy
(J)
C’est une fonction de la position de la masse, de la
configuration du système
12
8.4 B) L’énergie potentielle d’un système masse -ressort Ures
Reprenons la même démarche avec un système masse-ressort
Dans ce système, l’énergie potentielle emmagasinée dans le sera donnée
par :
1 2
U=
Question à se poser ?
2
kx
(J)
D’où vient cette expression?
13
8.4 B) L’énergie potentielle d’un système masse -ressort Ures
D’où vient cette
expression ?
1 2
U = kx
2
(J)
Lorsque la masse se met en mouvement, son énergie cinétique K
augmente. D’où vient cette énergie? De la diminution de l’énergie
potentielle U.
En faisant appel au principe de conservation de l’énergie mécanique
Em, nous dirons qu’en absence de frottement, que la somme de
l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle demeure constante
E m = K + U = constante
Autrement
dit,
J (Joule)
∆E m = ∆K + ∆U = 0
que l’augmentation de l’énergie cinétique vient de la diminution de
l’énergie potentielle du système.
14
8.4 B) L’énergie potentielle d’un système masse -ressort Ures
E m = K + U = constante
J (Joule)
∆E m = ∆K + ∆U = 0
que l’augmentation de l’énergie cinétique vient de la diminution de
l’énergie potentielle gravitationnelle.
Par conséquent
∆K = −∆U
Autrement dit, lorsque la masse se déplace, le gain de l’énergie
cinétique est égal à la perte de l’énergie potentielle.
Ce fait étant vérifié pour
chaque position de la
masse on peut écrire
dK = −dU
15
8.4 B) L’énergie potentielle d’un système masse -ressort Ures
Autrement dit, lorsque se déplace, le gain de l’énergie cinétique est
égal à la perte de l’énergie potentielle.
Ce fait étant vérifié pour
chaque position de la
masse on peut écrire
dK = −dU
De plus, selon le théorème qui relie le travail et la variation de
l’énergie cinétique, on peut écrire
Wtot
 
= F • dr = Fx dx = dK = −dU
On obtient alors
dU
Fx = −
dx
16
8.4 B) L’énergie potentielle d’un système masse -ressort Ures
Wtot
 
= F • dr = Fx dx = dK = −dU
On obtient alors
dU
Fx = −
dx
On dira que la force dérive de la fonction énergie potentielle U
Puisque
Fx = −kx
U(x) = ??
L’énergie potentielle du système masse-ressort doit être
donnée par
1 2
U ( x) = kx
2
(J)
C’est une fonction de la position de la masse, de la
configuration du système
17
8.4 Les fonctions énergie potentielle
Résumé :
Lorsque qu’un système isolé n’est soumis qu’à l’action de forces conservatives
nous pouvons utiliser le principe de conservation de l’énergie mécanique, pour
analyser le mouvement ( position et vitesse) des éléments du système.
K i + U i = K f + U f = Em
∆K + ∆U = ∆E m = 0
Autrement dit
Énergie
cinétique
Énergie
potentielle
Énergie
mécanique
dU
Fc = −
dr
Wc = ∆K = −∆U
Fonction énergie potentielle de position U
U ( y ) = mgy
gravitationnelle
J
1
U ( x) = kx 2 J
2
ressort
18
8.4 Exemples
Exemple:
Un bloc glisse sur une surface sans frottement à partir d’une
hauteur H. Il rencontre une colline de rayon R. a) Déterminez
à quelle hauteur minimale H le bloc doit-il partir pour qu’il rase
le sommet de la colline sans vraiment le toucher?
Situation
H
R
Problème: Je cherche H pour que la normale soit nulle au
sommet de la colline.
19
8.4 Exemples
H
R
Problème: Je cherche H pour que la normale soit nulle au
sommet de la colline.
Solution possible : J’utilise le principe de conservation de l’énergie
mécanique
∆K + ∆U = ∆E m = 0
Ki + U i = K f + U f
20
8.4 Exemples
H
R
Solution possible
Nous avons
∆K + ∆U = ∆E m = 0
Ki + U i = K f + U f
Ki = 0
1
K f = mv 2
2
U i = mgH
U f = mgR
21
8.4 Exemples
H
R
Solution possible
Ki = 0
1
2
K f = mv
2
U i = mgH
U f = mgR
Je dois trouver la vitesse au sommet de la colline.
Sur la colline, le bloc effectue un mouvement circulaire. Il est donc soumis
à une force centripète.
22
8.4 Exemples
H
R
Sur la colline, le bloc effectue un mouvement circulaire. Il est donc soumis
à une force centripète.
Selon la deuxième loi
N
de Newton
Identifions les
forces au sommet
de la colline
N : normale
Fg : poids
Fg


∑ F = ma
mv 2
= mg − N
∑F =
R
23
8.4 Exemples
H
R
Sur la colline, le bloc effectue un mouvement circulaire. Il est donc soumis
à une force centripète.
Lorsque la normale soit nulle,
Selon la deuxième loi
la vitesse est donnée par
de Newton


∑ F = ma
mv 2
= mg − N
∑F =
R
mv 2
= mg
R
v = gR
2
24
8.4 Exemples
H
R
Sur la colline, le bloc effectue un mouvement circulaire. Il est donc soumis
à une force centripète.
v 2 = gR
En revenant au principe conservation de l’énergie mécanique, nous avons
Ki + U i = K f + U f
1
mgH = mgR + mgR
2
25
8.4 Exemples
H
R
En revenant au principe conservation de l’énergie mécanique, nous avons
1
mgH = mgR + mgR
2
3
H= R
2
Résultat probable : Il faut laisser partir le bloc à H=1,5 R
26
8.4 Exemples
R
b) Après avoir effectué son mouvement circulaire, le bloc de 0,5 kg
arrive à 5,0 m/s au haut d’un plan incliné de 12o , parcourt 1,2 m
avant d’entrer en contact avec le ressort pour le comprimer avant de
s’arrêter un court instant. Déterminer alors la compression maximale
du ressort si sa constante de rappel est de 20,0 N/m
Problème : Je cherche à compression maximale « x »
27
8.4 Exemples
x
R
b) Après avoir effectué son mouvement circulaire, le bloc de 0,5 kg
arrive à 5,0 m/s au haut d’un plan incliné de 12o , parcourt 1,2 m
avant d’entrer en contact avec le ressort pour le comprimer avant de
s’arrêter un court instant. Déterminer alors la compression maximale
du ressort si sa constante de rappel est de 20,0 N/m
Problème : Je cherche à compression maximale « x »
Solution possible
J’utilise le principe de conservation de
l’énergie mécanique
28
8.4 Exemples
x
R
b) v= 5,0 m/s , plan incliné de 12o , parcourt 1,2 m , m = 0,5 kg
Déterminer alors la compression maximale du ressort si sa constante
de rappel est de 20,0 N/m
Problème : Je cherche à compression maximale « x »
Solution possible
J’utilise le principe de conservation de
l’énergie mécanique
Ki + Ui = K f + U f
29
8.4 Exemples
x
R
b) v= 5,0 m/s , plan incliné de 12o , parcourt 1,2 m , m = 0,5 kg
Déterminer alors la compression maximale du ressort si sa constante
de rappel est de 20,0 N/m
Solution possible
J’utilise le principe de conservation de
l’énergie mécanique
Ki + Ui = K f + U f
1 2
K i = mv U i = mg sin θ (1,2 + x)
2
Kf =0
1 2
U f = kx
2
30
8.4 Exemples
x
R
b) v= 5,0 m/s , plan incliné de 12o , parcourt 1,2 m , m = 0,5 kg
Déterminer alors la compression maximale du ressort si sa constante
de rappel est de 20,0 N/m
Ki + Ui = K f + U f
1
K i = mv 2 U i = mg sin θ (1,2 + x)
2
Kf =0
1 2
U f = kx
2
6,25 + 4,905 sin 12 o (1,2 + x) − 10 x 2 = 0
31
8.4 Exemples
x
R
b) v= 5,0 m/s , plan incliné de 12o , parcourt 1,2 m , m = 0,5 kg
Déterminer alors la compression maximale du ressort si sa constante
de rappel est de 20,0 N/m
Kf =0
1 2
K i = mv U i = mg sin θ (1,2 + x)
2
1 2
U f = kx
2
6,25 + 4,905 sin 12 o (1,2 + x) − 10 x 2 = 0
7,47 + 1,02 x − 10 x = 0
2
32
8.4 Exemples
x
R
b) v= 5,0 m/s , plan incliné de 12o , parcourt 1,2 m , m = 0,5 kg
Déterminer alors la compression maximale du ressort si sa constante
de rappel est de 20,0 N/m
6,25 + 4,905 sin 12 o (1,2 + x) − 10 x 2 = 0
7,47 + 1,02 x − 10 x 2 = 0
En résolvant on obtient
X1 =0,9168
x2 = -0,8140
Résultat probable : La compression maximale du ressort sera de 0,917 m
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8.2 et 8.3 L’énergie potentielle et les forces conservatives Rappel
•
On utilise la conservation de l ’énergie mécanique pour analyser une
mouvement lorsque nous sommes en présence de forces conservative s
variables ( ex.Ressort)
•
Ces forces conservatives possèdent comme caractéristiques de dériver de
dU
la fonction énergie potentielle.
F (r ) = −
dr
Les forces conservatives possèdent également les caractéristiques
suivantes:
1) Le travail effectué par la force conservative sur un trajet allerretour est nul
yi
Fg
Fg
WFg = − ∆U = 0
Avec le frottement
W fc < 0
négatif
34
8.2 et 8.3 L’énergie potentielle et les forces conservatives
2) Le travail effectué par la force conservative est indépendant du trajet suivi
pour aller d’un point A à un point B
A
yi
Trajet (1)
B
Fg
A
Trajet (2)
yi
B
Fg
WFg = − ∆U = ∆K
W fc (1) > W fc (2)
Travaux différents
avec le frottement
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