Fonctions Analytiques

Fonctions Analytiques
Cours de Math´ematiques
Licence de Physique 2000 – 2001
lphy-fonctions-analytiques-2000.tex (2000nov04)
Ces notes sont un compl´ement `a la br`eve Introduction aux Fonctions Analytiques faite en
cours. Elles donnent (sans d´emonstrations) les r´esultats de base sur les fonctions analytiques.
1 D´efinitions et premi`eres propri´et´es
1.1 Fonctions de la variable complexe
´
Etant donn´e un nombre complexe z∈lC, nous noterons Re(z) sa partie r´eelle,
Re(z) = 1
2(z+ ¯z),
et Im(z) sa partie imaginaire,
Im(z) = 1
2i(z−¯z).
Nous noterons |z|son module,
|z|:= pRe(z)2+Im(z)2.
Si z=x+iy, alors Re(z) = x, Im(z) = y, |z|2=x2+y2.
Dans diff´erents probl`emes, internes aux math´ematiques ou d’origine physique, apparaissent
naturellement des expressions alg´ebriques de la variable complexe.
Exemples 1.1. . —
1. z→ Re(z), ou z→ Im(z) ;
2. z→zn, pour n∈IN ;
3. z→zp¯zq, pour p, q ∈IN ;en particulier z→ |z|2=z¯z;
4. z→1/z, pour z6= 0 ;
5. z→1/¯z, pour z6= 0 ;
6. z→1/(1 −z), pour z6= 1 ;
7. Pour z∈lC, qui n’est pas une racine du polynˆome `a coefficients complexes Q(z),
on d´efinit la fraction rationnelle R(z) := P(z)/Q(z) comme le quotient des deux
polynˆomes complexes P(z) et Q(z).

On est ensuite naturellement amen´e `a consid´erer des fonctions de la variable complexe.
Exemples 1.2. . —
1. Les expressions alg´ebriques de l’Exemples 1.1 sont des fonctions de la variable com-
plexe ;
2. Pour tout z=x+iy ∈lC, la s´erie enti`ere P∞
n=0 zn/n! est convergente, et on d´efinit la
fonction exponentielle (complexe) ezpar
z→ez:= ∞
X
n=0
zn
n!,
c’est une fonction de la variable complexe ;
3. On peut ´egalement introduire les fonctions trigonom´etriques de la variable complexe :
cos(z) := 1
2(eiz +e−iz) = ∞
X
n=0
(−1)nz2n
(2n)!
et
sin(z) := 1
2i(eiz −e−iz) = ∞
X
n=0
(−1)nz2n+1
(2n+ 1)! ;
4. ´ Etant donn´e un polynˆome complexe P, on peut d´efinir la fonction z→eP(z).
De mani`ere g´en´erale, on peut construire de nouvelles fonctions en utilisant les op´erations
de somme, produit, quotient, composition de fonctions de la variable complexe (l`a o`u ces
op´erations sont bien d´efinies), comme dans le cas des fonctions d’une variable r´eelle.
Note. Il est important de garder `a l’esprit l’interpr´etation g´eom´etrique des nombres com-
plexes et de voir aussi une fonction de la variable complexe f, comme une application de
U⊂IR2dans IR2.
On peut ´egalement introduire la notion de continuit´e d’une fonction de la variable complexe
z=x+iy (elle co¨ıncide avec la notion de continuit´e de fpar rapport au couple de variables
r´eelles (x, y)).
D´efinition 1.3. Soit Uun ouvert du plan complexe lC (voir Section 5.1, Pr´ecis de topologie)
et soit f:U→lC une fonction. On dit que fest continue au point z0∈Usi, pour tout
ε > 0, il existe δ > 0tel que pour tout z∈U, v´erifiant |z−z0| ≤ δ, on a |f(z)−f(z0)| ≤ ε.
Exercice. Montrer que les fonctions de l’Exemple 1.1 sont continues l`a o`u elles sont d´efinies.
1.2 Fonctions analytiques, premiers exemples
Par analogie avec les fonctions d’une variable r´eelle, on d´efinit une d´eriv´ee (au sens complexe)
en consid´erant la limite
lim
ζ→0
f(z+ζ)−f(z)
ζ,
si elle existe, o`u l’accroissement ζest lui aussi un nombre complexe.
2

D´efinition 1.4. On dit que la fonction f:U→lC (de la variable complexe z) est analytique
dans l’ouvert U⊂lC, s’il existe une fonction continue g:U→lC telle que, pour tout z∈U,
lim
ζ→0
f(z+ζ)−f(z)
ζ=g(z)
(cela signifie que la limite existe et qu’elle est ´egale `a g(z)) ou, ce qui revient au mˆeme, si
l’on peut ´ecrire
(1.1) f(z+ζ) = f(z) + g(z)ζ+o(ζ)
quand ζtend vers 0(par valeurs complexes). La fonction gs’appelle la d´eriv´ee (au sens
complexe) de la fonction fet on la note g´en´eralement f0.
Exercice. D´eterminer, parmi les fonctions de l’Exemple 1.1 celles qui sont analytiques (l`a
o`u elles sont d´efinies).
Note. On utilise ´egalement l’appellation fonction holomorphe, au lieu de fonction analy-
tique. Les diff´erentes fonctions que nous venons de consid´erer sont qualifi´ees de fonctions
uniformes. Cette d´enomination sera justifi´ee quand nous introduirons la notion de fonction
multiforme.
Remarque. Une fonction analytique sur un ouvert Uest continue sur U.
Proposition 1.5. La somme et le produit de deux fonctions analytiques d´efinies sur le
mˆeme ouvert Usont analytiques.
Si fest analytique et ne s’annule nulle part sur l’ouvert U, l’application z→1/f (z)est
analytique dans U.
´
Etant donn´es deux ouverts Uet Vet deux applications analytiques f:U→lC et g:V→lC,
avec f(U)⊂V, l’application g◦f:U→lC est analytique.
De plus, les d´eriv´ees sont donn´ees par les formules suivantes : (f+g)0=f0+g0,(fg)0=
f0g+fg0,(1/f)0=−f0/f2,(g◦f)0= (g0◦f)f0.
1.3 Somme d’une s´erie enti`ere de la variable complexe
Le th´eor`eme suivant est fondamental (voir la Section 2). Il permet en particulier d’affirmer
que la fonction exponentielle complexe, que les fonctions trigonom´etriques ou hyperboliques
complexes sont analytiques sur lC tout entier.
Th´eor`eme 1.6. La somme f(z) = P∞
n=0 an(z−z0)nd’une s´erie enti`ere, de rayon de
convergence positif R, est analytique sur le disque ouvert de convergence D(z0, R) := {z∈
lC :|z−z0|< R}. La d´eriv´ee (au sens complexe) de la fonction fest donn´ee par la for-
mule f0(z) = P∞
n=1 nan(z−z0)n−1. En particulier, la fonction fest ind´efiniment d´erivable
(au sens complexe) sur le disque de convergence et les coefficients de la s´erie enti`ere sont
d´etermin´es par les formules f(n)(z0) = n!an.
Exemples 1.7. . —
1. La s´erie enti`ere Pznest convergente pour tout z∈lC tel que |z|<1 et divergente
pour tout z∈lC tel que |z| ≥ 1. Sa somme f(z) = P∞
n=0 znco¨ıncide avec la fonction
analytique z→1/(1 −z) dans le disque ouvert de convergence ;
3

2. La s´erie enti`ere Pzn/n est convergente pour tout z∈lC tel que |z| ≤ 1, z 6= 1
et divergente pour z= 1 et pour tout z∈lC tel que |z|>1. Soit gsa somme,
g(z) = P∞
n=1 zn/n. La fonction g0(z) co¨ıncide avec la fonction analytique z→1/(1−z)
dans le disque ouvert de convergence ;
3. La s´erie enti`ere Pzn/n2est convergente pour tout z∈lC tel que |z| ≤ 1 et divergente
pour tout z∈lC tel que |z|>1.
Note. Ces exemples illustrent en particulier le fait qu’il convient d’examiner au cas par cas
le comportement d’une s´erie enti`ere sur le bord du disque de convergence D(0, R) (c’est `a
dire sur le cercle C(0, R)).
Note. Plus g´en´eralement, on peut consid´erer des s´eries, appel´ees s´eries de Laurent, en
puissances positives et n´egatives de (z−z0), c’est `a dire de la forme Pn∈ZZ an(z−z0)n,
autour d’un point z0. On peut montrer qu’une telle s´erie converge sur un anneau {z∈lC |r <
|z−z0|< R}.
1.4 ´ Equations de Cauchy – Riemann
On identifie le plan IR2au plan complexe lC au moyen de l’application IR23(x, y)→z:=
(x+iy)∈lC. On peut donc voir une application fde la variable complexe zcomme une
application (d’un ouvert) de IR2dans IR2.
Le but de ce paragraphe est d’examiner les relations qui existent entre la d´eriv´ee (au sens
complexe) d’une fonction analytique f(z) et les d´eriv´ees partielles de la fonction f, vue
comme fonction des deux variables r´eelles x, y, o`u z=x+iy.
1.4.1 D´eriv´ees partielles d’une fonction de deux variables
Soit gune application d’un ouvert U⊂IR2, `a valeurs dans IR2. On dit que gest continˆument
diff´erentiable si elle admet des d´eriv´ees partielles du premier ordre g0
xet g0 ycontinues. On
peut alors ´ecrire (il s’agit d’une ´egalit´e entre vecteurs de IR2) :
(1.2) g(x+ξ, y +η) = g(x, y) + ξg0
x(x, y) + ηg0 y(x, y) + o(|(ξ, η)|)
quand ξ, η tendent vers 0.
On peut ´egalement ´ecrire le vecteur gde IR2au moyen de ses composantes,
g(x, y) = (u(x, y), v(x, y).
L’´egalit´e vectorielle ci-dessus devient alors l’´egalit´e matricielle :
u(x+ξ, y +η)
v(x+ξ, y +η)=u(x, y) v(x, y)+u0
x(x, y)u0 y(x, y)
v0
x(x, y)v0 y(x, y) ξ
η+o(|(ξ, η)|).
Soit maintenant fune fonction de la variable complexe z=x+iy, d´efinie sur un ouvert U
de lC. On peut soit regarder fcomme une fonction de la variable complexe z, et se demander
si elle est analytique, soit la regarder comme une fonction des deux variables r´eelles x, y, `a
valeurs dans IR2, et se demander si elle est de classe C1.
La proposition ci-dessous est fondamentale.
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Proposition 1.8. (Cauchy - Riemann) La fonction f, de la variable complexe z=x+iy,
est analytique par rapport `a zsi et seulement si la fonction fest continˆument diff´erentiable,
comme fonction de (x, y),et si ses d´eriv´ees partielles par rapport `a xet `a yv´erifient les
´equations de Cauchy - Riemann f0
y(z) = if0 x(z). On a alors f0 y(z) = if0 x(z) = if0(z).
Remarques.
1. Si on ´ecrit fcomme f=u+iv, avec u, v fonctions `a valeurs r´eelles, les ´equations de
Cauchy - Riemann deviennent
u0
x=v0 yet u0 y=−v0 x;
2. Si on utilise les coordonn´ees polaires (ρ, θ), les ´equations de Cauchy - Riemann devien-
nent
f0
θ=iρf0 ρ;
3. Si on voit fcomme une fonction `a valeurs dans IR2, les ´equations de Cauchy - Riemann
signifient que la matrice
u0
x(x, y)u0 y(x, y)
v0
x(x, y)v0 y(x, y)
est une matrice de similitude directe, de module |f0(z)|et d’angle arg f0(z). Cela
signifie en particulier, si le module de la d´eriv´ee f0n’est pas nul, |f0(z)| 6= 0, que
l’application fpr´eserve les angles. On dit alors que l’application fest conforme.
Notations.
On a l’habitude d’introduire les notations de “d´eriv´ees partielles” ∂/∂z et ∂/∂ ¯z. Elles sont
d´efinies de la mani`ere suivante :
∂
∂z := 1 2(∂ ∂x −i∂ ∂y )(1.3)
∂
∂¯z:= 1 2(∂ ∂x +i∂ ∂y ).(1.4)
Avec ces notations, fest analytique si et seulement si ∂f/∂¯z= 0 et on a f0(z) = ∂f/∂z
(ces ´egalit´es traduisent les ´equations de Cauchy – Riemann).
1.5 D´eterminations analytiques de la racine carr´ee
Dans ce paragraphe, nous introduisons un nouvel exemple de fonctions de la variable com-
plexe.
L’objectif est d’inverser (au sens de la composition des applications) l’application w→w2.
Rappelons que pour tout nombre complexe z6= 0, il existe deux nombres complexes distincts
w1et w2(w2=−w1) tels que w2
1=w2 2=z.
Pour atteindre notre objectif il faut, dans un premier temps, r´epondre `a deux questions :
•Quelle est l’image par l’application f:w→w2d’une r´egion donn´ee du plan complexe ;
•Sur quelles r´egions du plan complexe l’application fest-elle injective ?
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