Fonctions Analytiques

Fonctions Analytiques
Cours de Mathématiques
Licence de Physique 2000 – 2001
lphy-fonctions-analytiques-2000.tex (2000nov04)
Ces notes sont un complément à la brève Introduction aux Fonctions Analytiques faite en
cours. Elles donnent (sans démonstrations) les résultats de base sur les fonctions analytiques.
1
Définitions et premières propriétés
1.1
Fonctions de la variable complexe
Étant donné un nombre complexe z ∈ C,
l nous noterons Re(z) sa partie réelle,
Re(z) =
1
(z + z̄),
2
Im(z) =
1
(z − z̄).
2i
et Im(z) sa partie imaginaire,
Nous noterons |z| son module,
|z| :=
p
Re(z)2 + Im(z)2 .
Si z = x + iy, alors Re(z) = x, Im(z) = y, |z|2 = x2 + y 2 .
Dans différents problèmes, internes aux mathématiques ou d’origine physique, apparaissent
naturellement des expressions algébriques de la variable complexe.
Exemples 1.1. . —
1. z → Re(z), ou z → Im(z) ;
2. z → z n , pour n ∈ IN ;
3. z → z p z̄ q , pour p, q ∈ IN ;en particulier z → |z|2 = z z̄ ;
4. z → 1/z, pour z 6= 0 ;
5. z → 1/z̄, pour z 6= 0 ;
6. z → 1/(1 − z), pour z 6= 1 ;
7. Pour z ∈ C,
l qui n’est pas une racine du polynôme à coefficients complexes Q(z),
on définit la fraction rationnelle R(z) := P (z)/Q(z) comme le quotient des deux
polynômes complexes P (z) et Q(z).
On est ensuite naturellement amené à considérer des fonctions de la variable complexe.
Exemples 1.2. . —
1. Les expressions algébriques de l’Exemples 1.1 sont des fonctions de la variable complexe ;
P∞
2. Pour tout z = x + iy ∈ C,
l la série entière n=0 z n /n! est convergente, et on définit la
fonction exponentielle (complexe) ez par
∞
X
zn
z → e :=
,
n!
n=0
z
c’est une fonction de la variable complexe ;
3. On peut également introduire les fonctions trigonométriques de la variable complexe :
∞
X
z 2n
1 iz
−iz
cos(z) := (e + e ) =
(−1)n
2
(2n)!
n=0
et
sin(z) :=
∞
X
1 iz
z 2n+1
(e − e−iz ) =
(−1)n
;
2i
(2n + 1)!
n=0
4. Étant donné un polynôme complexe P , on peut définir la fonction z → eP (z) .
De manière générale, on peut construire de nouvelles fonctions en utilisant les opérations
de somme, produit, quotient, composition de fonctions de la variable complexe (là où ces
opérations sont bien définies), comme dans le cas des fonctions d’une variable réelle.
Note. Il est important de garder à l’esprit l’interprétation géométrique des nombres complexes et de voir aussi une fonction de la variable complexe f , comme une application de
U ⊂ IR2 dans IR2 .
On peut également introduire la notion de continuité d’une fonction de la variable complexe
z = x + iy (elle coı̈ncide avec la notion de continuité de f par rapport au couple de variables
réelles (x, y)).
Définition 1.3. Soit U un ouvert du plan complexe Cl (voir Section 5.1, Précis de topologie)
et soit f : U → Cl une fonction. On dit que f est continue au point z0 ∈ U si, pour tout
ε > 0, il existe δ > 0 tel que pour tout z ∈ U , vérifiant |z − z0 | ≤ δ, on a |f (z) − f (z0 )| ≤ ε.
Exercice. Montrer que les fonctions de l’Exemple 1.1 sont continues là où elles sont définies.
1.2
Fonctions analytiques, premiers exemples
Par analogie avec les fonctions d’une variable réelle, on définit une dérivée (au sens complexe)
en considérant la limite
f (z + ζ) − f (z)
,
ζ→0
ζ
lim
si elle existe, où l’accroissement ζ est lui aussi un nombre complexe.
2
Définition 1.4. On dit que la fonction f : U → Cl (de la variable complexe z) est analytique
dans l’ouvert U ⊂ C,
l s’il existe une fonction continue g : U → Cl telle que, pour tout z ∈ U ,
f (z + ζ) − f (z)
= g(z)
ζ→0
ζ
lim
(cela signifie que la limite existe et qu’elle est égale à g(z)) ou, ce qui revient au même, si
l’on peut écrire
(1.1)
f (z + ζ) = f (z) + g(z)ζ + o(ζ)
quand ζ tend vers 0 (par valeurs complexes). La fonction g s’appelle la dérivée (au sens
complexe) de la fonction f et on la note généralement f 0 .
Exercice. Déterminer, parmi les fonctions de l’Exemple 1.1 celles qui sont analytiques (là
où elles sont définies).
Note. On utilise également l’appellation fonction holomorphe, au lieu de fonction analytique. Les différentes fonctions que nous venons de considérer sont qualifiées de fonctions
uniformes. Cette dénomination sera justifiée quand nous introduirons la notion de fonction
multiforme.
Remarque. Une fonction analytique sur un ouvert U est continue sur U .
Proposition 1.5. La somme et le produit de deux fonctions analytiques définies sur le
même ouvert U sont analytiques.
Si f est analytique et ne s’annule nulle part sur l’ouvert U , l’application z → 1/f (z) est
analytique dans U .
Étant donnés deux ouverts U et V et deux applications analytiques f : U → Cl et g : V → C,
l
avec f (U ) ⊂ V , l’application g ◦ f : U → Cl est analytique.
De plus, les dérivées sont données par les formules suivantes : (f + g)0 = f 0 + g 0 , (f g)0 =
f 0 g + f g 0 , (1/f )0 = −f 0 /f 2 , (g ◦ f )0 = (g 0 ◦ f ) f 0 .
1.3
Somme d’une série entière de la variable complexe
Le théorème suivant est fondamental (voir la Section 2). Il permet en particulier d’affirmer
que la fonction exponentielle complexe, que les fonctions trigonométriques ou hyperboliques
complexes sont analytiques sur C
l tout entier.
P∞
n
Théorème 1.6. La somme f (z) =
n=0 an (z − z0 ) d’une série entière, de rayon de
convergence positif R, est analytique sur le disque ouvert de convergence D(z0 , R) := {z ∈
Cl : |z − z0 | <
R}. La dérivée (au sens complexe) de la fonction f est donnée par la forP∞
mule f 0 (z) = n=1 nan (z − z0 )n−1 . En particulier, la fonction f est indéfiniment dérivable
(au sens complexe) sur le disque de convergence et les coefficients de la série entière sont
déterminés par les formules f (n) (z0 ) = n!an .
Exemples 1.7. . —
P n
1. La série entière
z est convergente pour tout z P
∈C
l tel que |z| < 1 et divergente
∞
pour tout z ∈ C
l tel que |z| ≥ 1. Sa somme f (z) = n=0 z n coı̈ncide avec la fonction
analytique z → 1/(1 − z) dans le disque ouvert de convergence ;
3
P n
2. La série entière
z /n est convergente pour tout z ∈ C
l tel que |z| ≤ 1, z 6= 1
et divergente
pour
z
=
1
et
pour
tout
z
∈
C
l
tel
que
|z|
> 1. Soit g sa somme,
P∞
g(z) = n=1 z n /n. La fonction g 0 (z) coı̈ncide avec la fonction analytique z → 1/(1−z)
dans le disque ouvert de convergence ;
P n 2
3. La série entière
z /n est convergente pour tout z ∈ C
l tel que |z| ≤ 1 et divergente
pour tout z ∈ C
l tel que |z| > 1.
Note. Ces exemples illustrent en particulier le fait qu’il convient d’examiner au cas par cas
le comportement d’une série entière sur le bord du disque de convergence D(0, R) (c’est à
dire sur le cercle C(0, R)).
Note. Plus généralement, on peut considérer des séries, appelées séries
P de Laurent, en
puissances positives et négatives de (z − z0 ), c’est à dire de la forme n∈ZZ an (z − z0 )n ,
autour d’un point z0 . On peut montrer qu’une telle série converge sur un anneau {z ∈ C
l |r<
|z − z0 | < R}.
1.4
Équations de Cauchy – Riemann
On identifie le plan IR2 au plan complexe C
l au moyen de l’application IR2 3 (x, y) → z :=
(x + iy) ∈ C.
l On peut donc voir une application f de la variable complexe z comme une
application (d’un ouvert) de IR2 dans IR2 .
Le but de ce paragraphe est d’examiner les relations qui existent entre la dérivée (au sens
complexe) d’une fonction analytique f (z) et les dérivées partielles de la fonction f , vue
comme fonction des deux variables réelles x, y, où z = x + iy.
1.4.1
Dérivées partielles d’une fonction de deux variables
Soit g une application d’un ouvert U ⊂ IR2 , à valeurs dans IR2 . On dit que g est continûment
différentiable si elle admet des dérivées partielles du premier ordre gx0 et gy0 continues. On
peut alors écrire (il s’agit d’une égalité entre vecteurs de IR2 ) :
(1.2)
g(x + ξ, y + η) = g(x, y) + ξgx0 (x, y) + ηgy0 (x, y) + o(|(ξ, η)|)
quand ξ, η tendent vers 0.
On peut également écrire le vecteur g de IR2 au moyen de ses composantes,
g(x, y) = (u(x, y), v(x, y) .
L’égalité vectorielle ci-dessus devient alors l’égalité matricielle :
0
ux (x, y) u0y (x, y)
u(x + ξ, y + η)
u(x, y)
ξ
=
+
+ o(|(ξ, η)|).
vx0 (x, y) vy0 (x, y)
η
v(x + ξ, y + η)
v(x, y)
Soit maintenant f une fonction de la variable complexe z = x + iy, définie sur un ouvert U
de C.
l On peut soit regarder f comme une fonction de la variable complexe z, et se demander
si elle est analytique, soit la regarder comme une fonction des deux variables réelles x, y, à
valeurs dans IR2 , et se demander si elle est de classe C 1 .
La proposition ci-dessous est fondamentale.
4
Proposition 1.8. (Cauchy - Riemann) La fonction f , de la variable complexe z = x + iy,
est analytique par rapport à z si et seulement si la fonction f est continûment différentiable,
comme fonction de (x, y), et si ses dérivées partielles par rapport à x et à y vérifient les
équations de Cauchy - Riemann fy0 (z) = ifx0 (z). On a alors fy0 (z) = ifx0 (z) = if 0 (z).
Remarques.
1. Si on écrit f comme f = u + iv, avec u, v fonctions à valeurs réelles, les équations de
Cauchy - Riemann deviennent
u0x = vy0 et u0y = −vx0 ;
2. Si on utilise les coordonnées polaires (ρ, θ), les équations de Cauchy - Riemann deviennent
fθ0 = iρfρ0 ;
3. Si on voit f comme une fonction à valeurs dans IR2 , les équations de Cauchy - Riemann
signifient que la matrice
u0x (x, y) u0y (x, y)
vx0 (x, y) vy0 (x, y)
est une matrice de similitude directe, de module |f 0 (z)| et d’angle arg f 0 (z). Cela
signifie en particulier, si le module de la dérivée f 0 n’est pas nul, |f 0 (z)| 6= 0, que
l’application f préserve les angles. On dit alors que l’application f est conforme.
Notations.
On a l’habitude d’introduire les notations de “dérivées partielles” ∂/∂z et ∂/∂ z̄. Elles sont
définies de la manière suivante :
(1.3)
(1.4)
1 ∂
∂
∂
:= (
−i )
∂z
2 ∂x
∂y
∂
1 ∂
∂
:= (
+ i ).
∂ z̄
2 ∂x
∂y
Avec ces notations, f est analytique si et seulement si ∂f /∂ z̄ = 0 et on a f 0 (z) = ∂f /∂z
(ces égalités traduisent les équations de Cauchy – Riemann).
1.5
Déterminations analytiques de la racine carrée
Dans ce paragraphe, nous introduisons un nouvel exemple de fonctions de la variable complexe.
L’objectif est d’inverser (au sens de la composition des applications) l’application w → w2 .
Rappelons que pour tout nombre complexe z 6= 0, il existe deux nombres complexes distincts
w1 et w2 (w2 = −w1 ) tels que w12 = w22 = z.
Pour atteindre notre objectif il faut, dans un premier temps, répondre à deux questions :
• Quelle est l’image par l’application f : w → w2 d’une région donnée du plan complexe ;
• Sur quelles régions du plan complexe l’application f est-elle injective ?
5
Nous nous limiterons à l’examen de certains secteurs angulaires particuliers.
Considérons la fonction f : w → w2 comme allant du “plan des w” C
l w , dans le “plan des
z” C
l z , et introduisons les deux paires de secteurs angulaires ouverts suivants.
Le premier secteur angulaire est le secteur C0 = {w | Re(w) > 0}. Dans ce secteur, un
nombre complexe w a un unique argument appartenant à l’intervalle ] − π/2, π/2[. Nous
posons donc
π π l w,
C0 := w = reiθ r > 0, θ ∈] − , [ ⊂ C
2 2
et nous associons à C0 le secteur angulaire C00 = C
l \ IR− des nombres complexes z ayant un
argument dans l’intervalle ] − π, π[,
C00 := z = ρeiω ρ > 0, ω ∈] − π, π[ ⊂ C
l z.
De même, nous introduisons le secteur angulaire C1 = {w | Im(w) > 0} des nombres w
dont l’argument est dans l’intervalle ]0, π[,
C1 := w = reiθ r > 0, θ ∈]0, π[ ⊂ C
l w,
et nous lui associons le secteur C10 = C
l \ IR+ des nombres complexes z dont l’argument est
dans l’intervalle ]0, 2π[,
C10 := z = ρeiω ρ > 0, ω ∈]0, 2π[ ⊂ C
l z.
Lemme 1.9. La fonction f : w → w2 envoie bijectivement,
• la demi-droite IR•+ eiθ sur la demi-droite IR•+ e2iθ ;
• le secteur angulaire C0 sur le secteur angulaire C00 ;
• le secteur angulaire C1 sur le secteur angulaire C10 .
Du point de vue géométrique, l’application f déplie un secteur angulaire ouvert, d’angle
inférieur à π, bijectivement sur un secteur angulaire ouvert, d’angle inférieur à 2π.
Les secteurs C 0 sont obtenus en enlevant au plan complexe une demi-droite issue de 0. On
dit que l’on a pratiqué une coupure dans le plan C
l z.
Les applications obtenues par restriction de l’application f : w → w2 aux deux secteurs
angulaires C considérés ci-dessus,
f0 : C0 → C00 ,
f1 : C1 → C10 ,
étant bijectives par construction, elles admettent des applications réciproques que nous
noterons respectivement g0 , g1 . Ces applications sont définies de la manière suivante : étant
donné z ∈ C00 , on écrit z de manière unique sous la forme z = ρeiω , avec ρ > 0 et ω ∈] − π, π[
√
et on pose g0 (z) = ρeiω/2 ; on a bien g0 (z) ∈ C0 . De même, étant donné z ∈ C10 , on écrit z de
√
manière unique sous la forme z = ρeiω , avec ρ > 0 et ω ∈]0, 2π[ et on pose g1 (z) = ρeiω/2 ;
on a bien g0 (z) ∈ C0 .
On a alors les deux égalités
2
gj (fj (w)) = w, pour j = 0, 1.
Pour cette raison, on dit que les applications gj sont des déterminations de la racine carrée
(dans leurs domaines de définition respectifs).
6
Note. Remarqons que l’application −gj vérifie également
aussi une détermination de la racine carrée.
2
− gj (fj (z)) = z. C’est donc
Les fonctions g0 , g1 pouvant être étudiées de manière analogue, nous nous limiterons à l’étude
de l’une d’entre elles, la fonction g1 .
Proposition 1.10. La fonction g1 ,
g1 : C10 = Cl \ IR+ → C1 = {w | Im(w) > 0},
définie ci-dessus est analytique dans Cl \ IR+ et on a g10 (z) = 2/g1 (z).
La fonction g1 est localement bornée dans Cl \ IR+ et on a les limites,
lim g1 (1 − iy) = −1.
lim g1 (1 + iy) = 1,
y→0+
y→0+
En particulier, la fonction g1 ne peut pas s’étendre continûment à C.
l
Remarques. 1) On traduit l’existence de plusieurs déterminations différentes de la racine
carrée en disant que la racine carrée est une fonction multiforme.
2) On remarquera le comportement particulier des déterminations de la racine quand on
suit un cercle qui entoure 0 dans le plan complexe : il y a un changement de signe d’un côté
à l’autre de la coupure. Pour cette raison, on dit que 0 est un point de branchement.
2
2.1
Points singuliers,
Développements en série de puissances
Notion de point singulier, exemples préliminaires
Soit U ⊂ C
l un ouvert et soit f : U → C
l une fonction analytique. Soit F le bord de U ,
∂U = F (voir le Précis de topologie, Section 5.1).
L’ensemble F peut être par exemple un ensemble fini de points de C
l ou l’ensemble des points
d’une suite : voir les exemples ci-dessous.
L’ensemble F peut également être un segment, une droite, ou une demi-droite, comme pour
les déterminations de la racine carrée.
On dit qu’un point de F est un point singulier (ou une singularité) de la fonction f .
On dit que z0 est un point singulier isolé de la fonction f si l’ouvert U sur lequel f est
analytique contient un disque épointé D• (z0 , r) := D(z0 , r) \ {z0 }, pour un rayon r > 0
assez petit.
Ainsi, les points du demi-axe réel négatif IR+ , sont des points singuliers de la détermination
g1 : C
l \ IR+ → C
l de la racine carrée construite dans la Section 1.5. Ils ne sont pas isolés.
Le point 0 est un point singulier particulier (point de branchement) comme on l’a déjà vu
ci-dessus.
Le point z = 1 est un point singulier isolé de la fonction f (z) = 1/(1 − z) qui est analytique
sur C
l \ {1}.
Note. Comme nous le verrons ultérieurement, la notion de point singulier est fondamentale
dans la théorie des fonctions analytiques (et ses nombreuses applications). Il est donc utile de
déterminer les points singuliers d’une fonction analytique f et leur nature, puis d’examiner
le comportement de f au voisinage des points singuliers si c’est possible. Nous commençons
par traiter des exemples.
7
Exemple 2.1. . —
La fonction f (z) = 1/(z 3 − 1) est analytique sur U := C
l \ {1, j, j 2 } et les trois points 1, j, j 2
sont des singularités isolées de f .
(a) La fonction f admet la représentation suivante, comme somme d’une série entière,
dans le disque ouvert D(0, 1) (remarquer que c’est le plus grand disque de centre 0 contenu
dans U ),
f (z) = −
∞
X
z 3n ,
∀z ∈ D(0, 1).
n=0
(b) La fonction f peut également être représentée comme la somme
d’une série entière et
√
d’une fraction rationnelle dans le disque épointé ouvert D• (1, 3) (remarquer que c’est le
plus grand anneau de centre 1 contenu dans U ),
∞
X
1
+
f (1 + w) =
an wn .
3w n=1
Pour démontrer cette relation, poser z = 1 + w, écrire z 3 − 1 = (z − 1)(z − j)(z − j 3 ) =
w(1 − j + w)(1 − j 2 + w), développer les fonctions w → (1 − j + w)−1 et w → (1 − j 2 + w)−1
en séries géométriques et faire le produit de ces séries entières.
(c) La fonction f peut aussi être représentée par la somme d’une série en puissances
négatives de z dans le complémentaire du disque D(0, 1) (remarquer que c’est le plus grand
anneau centré en 0, contenu dans U et contenant par exemple le point 2),
f (z) =
∞
X
z −3(n+1) .
n=0
On peut voir ce développement comme un développement en la variable w = 1/z, w 6= 0,
c’est à dire comme un développement dans un disque épointé, de centre le point à l’infini
du plan complexe.
8
Exemple 2.2. . —
Considérons la fonction f (z) := e1/z , définie sur C
l • . Elle est analytique (composition de
fonctions analytiques) et 0 est un point singulier isolé. Le comportement de la fonction f en
ce point singulier est très compliqué ; remarquons en effet que f (iy) = e−i/y reste bornée
quand y tend vers 0 dans IR• , alors que f (x) = e1/x tend vers l’infini quand x tend vers 0
par valeurs positives dans IR et vers 0 quand x tend vers 0 par valeurs négatives dans IR.
On peut écrire :
∞
X
1
f (z) =
.
n! z n
n=0
Exemple 2.3. . —
Considérons la fonction f (z) :=
1
.
sin( z1 )
Elle est définie pour les nombres z 6= 0 qui n’annulent
pas
c’est à dire pour les nombres z 6= 0, 6= 1/kπ, k ∈ ZZ• . Les points 0, 1/kπ, k ∈ ZZ•
sont des points singuliers de f . Le point 0 n’est pas isolé, les points 1/kπ sont isolés.
sin( z1 ),
Exemple 2.4. . —
l • et 0 est un point
Considérons la fonction f (z) := sinz z . C’est une fonction analytique sur C
singulier isolé.
2
2
x
Remarquons que | sinz z | = sh xy+sin
. La fonction f est donc bornée au voisinage de 0.
2 +y 2
Du développement en série entière de la fonction sinus on tire que,
∞
X
sin z
(−1)n z 2n
=
,
z
(2n + 1)!
n=0
et le second membre définit une fonction analytique sur le plan complexe tout entier, qui
coı̈ncide avec f sur C
l • : la fonction f s’étend donc analytiquement en 0.
2.2
Développement en séries de puissances,
le théorème fondamental
La Section 2.1 montre, au moins sur des exemples, que l’on peut représenter les fonctions
analytiques par des sommes de séries de puissances dans certains disques ou dans certains
anneaux. Cette section est consacrée à l’énoncé d’un résultat général.
Théorème 2.5. Soit f une fonction analytique dans un ouvert U de C.
l
1. Si l’ouvert U contient le disque ouvert D(0, R) := {z ∈ Cl : |z − z0 | < R}, la fonction
f admet dans ce disque un développement en série entière
X
(2.5)
f (z) =
an (z − z0 )n
n∈IN
normalement convergent dans tout disque fermé D(R0 ) := {z ∈ Cl : |z − z0 | ≤ R0 } ⊂
D(R) (R0 < R).
Les coefficients an sont donnés par la formule
(2.6)
∀r < R, ∀n ∈ IN,
an rn =
9
1
2π
Z
0
2π
f (z0 + reit )e−int dt.
2. Si l’ouvert U contient l’anneau ouvert A(R1 , R2 ) := {z ∈ Cl : R1 < |z − z0 | < R2 },
avec 0 ≤ R1 < R2 ≤ ∞, la fonction f admet dans cet anneau un développement en
série
(2.7)
f (z) =
X
an (z − z0 )n
n∈ZZ
normalement convergent dans tout anneau fermé
A(R10 , R20 ) := {z ∈ Cl : R10 ≤ |z − z0 | ≤ R20 } ⊂ A(R1 , R2 )
(c’est à dire tel que R1 < R10 < R20 < R2 ).
Les coefficients an sont donnés par la formule
(2.8)
∀r ∈]R1 , R2 [, ∀n ∈ ZZ,
1
an r =
2π
n
Z
2π
f (z0 + reit )e−int dt.
0
La série (2.7) s’appelle la série de Laurent de f dans l’anneau A(R1 , R2 ).
Remarques.
a) La seconde assertion du théorème
s’applique en particulier au cas où l’anneau est un
disque épointé D• (z0 , R) := {z 0 < |z − z0 | < R}, c’est à dire au cas où le point z0 est une
singularité isolée de la fonction f .
On peut montrer que trois cas peuvent se produire.
1. Si les coefficients an , pour n < 0, sont tous nuls (c’est à dire s’il n’y a aucune puissance
négative de (z − z0 ) dans le développement), la fonction f s’étend en une fonction analytique dans le disque D(z0 , R). On dit que le point z0 est une singularité inessentielle
ou éliminable. On peut montrer que ce cas se présente si et seulement si la fonction f
est bornée au voisinage du point z0 .
2. Si les coefficients an , n < 0, sont nuls, sauf un nombre fini d’entre eux (c’est à dire
si f s’écrit comme la somme d’une fraction rationnelle P (z − z0 )/(z − z0 )p – pour un
certain p > 0) – et d’une série entière en z − z0 ), on dit que le point z0 est un pôle
de la fonction f . On peut montrer que ce cas se présente si et seulement si |f (z)| tend
vers l’infini quand z tend vers z0 . Si le polynôme P (z − z0 ) ci-dessus ne s’annule pas
en z0 , on dit que z0 est un pôle d’ordre p.
3. Si une infinité de coefficients an , n < 0, sont non nuls, on dit que z0 est une singularité
essentielle. On peut montrer que ce cas se présente si et seulement si la fonction f n’a
pas de limite quand z tend vers z0 .
b) Soit f une fonction analytique dans le plan complexe C
l tout entier (on dit alors que
f est entière). Il résulte de la deuxième assertion du théorème qu’elle est développable en
série entière en z, de rayon de convergence infini. Parmi les fonctions entières, on peut mentionner les fonctions polynomiales, la fonction exponentielle, les fonctions trigonométriques
et hyperboliques.
Du Théorème 2.5, on peut tirer des propriétés très importantes et particulièrement remarquables des fonctions analytiques.
10
Corollaire 2.6. Soient f une fonction analytique sur un ouvert U ⊂ Cl et z0 ∈ U . Alors la
fonction f est C ∞ (au sens complexe) et développable en série entière dans le plus grand
disque ouvert D(z0 , R) de centre z0 contenu dans U .
Pour tout z tel que z ∈ D(z0 , R), on a la formule
(2.9)
f (z) =
∞
X
1 (n)
f (z0 )(z − z0 )n
n!
n=0
où f (n) (z0 ) désigne la dérivée n-ième de la fonction f au point z0 (au sens complexe).
Corollaire 2.7. Si une fonction analytique f : U → Cl s’annule, ainsi que toutes ses
dérivées, en un point z0 , elle est nulle au voisinage de z0 dans U et donc dans U si l’ouvert
U est connexe (voir Section 5.1). En particulier, les zéros de la fonction analytique f sont
isolés dans U et la fonction 1/f est analytique dans l’ouvert U privé des zéros de f qui sont
des singularités isolées de type pôle de la fonctions 1/f .
Note. Le deuxième corollaire est très important dans la pratique. La situation, dans le
cas des fonctions de la variable réelle est très différente. Rappelons en effet que la fonction
ϕ : IR → IR définie par
0, x ≤ 0
ϕ(x) =
exp(−1/x2 ), x > 0,
est C ∞ et vérifie ϕ(n) (0) = 0 pour tout n ∈ IN.
2.3
Compléments : applications du théorème fondamental
Théorème 2.8. (Liouville) Toute fonction entière, à croissance polynomiale d’ordre n, c’est
à dire telle que |f (z)| = O(|z|n ), est un polynôme d’ordre au plus n. En particulier, toute
fonction entière bornée est constante
Corollaire 2.9. (d’Alembert) Tout polynôme à coefficients complexes, de degré au moins
égal à 1, admet au moins un zéro dans C.
l
Proposition 2.10. (principe du maximum) Soit f une fonction analytique dans un ouvert
U . Si f admet un maximum local en a ∈ U —c’est-à-dire pour tout z dans U tel que |z − a|
soit assez petit, on a |f (z)| ≤ |f (a)|— alors f est constante dans la composante connexe de
a dans U (voir Section 5.1).
Corollaire 2.11. Soient U ⊂ Cl un domaine et f une fonction continue et bornée sur U ,
analytique sur U . Alors,
kf kU,∞ := sup{|f (z)| z ∈ U } = kf k∂U,∞ := sup{|f (z)| z ∈ ∂U }.
Corollaire 2.12. (prolongement analytique) Si deux fonctions f, g, analytiques sur le même
ouvert connexe U , coincident sur un ouvert non vide de U , alors elles sont égales sur U
tout entier.
3
3.1
3.1.1
Intégrales curvilignes et formule intégrale de Cauchy
Définitions
Chemins
Soient z0 , z1 ∈ C.
l On appelle chemin paramétré de classe C 1 , d’origine z0 et d’extrémité
z1 , la donnée d’une paramétrisation, c’est à dire d’une application continûment dérivable
c : [a, b] → C,
l telle que c(a) = z0 et c(b) = z1 .
11
On dit que deux chemins paramétrés, c1 : [a1 , b1 ] → C
l et c2 : [a2 , b2 ] → C,
l sont équivalents
s’il existe une application continûment dérivable bijective ϕ : [a2 , b2 ] → [a1 , b1 ] telle que
ϕ0 (t) > 0 et c2 (t) = c1 ◦ ϕ(t), pour tout t ∈ [a2 , b2 ].
On appelle chemin de classe C 1 une classe d’équivalence de chemins paramétrés (pour la
relation précédente).
On dit qu’un chemin est fermé si son extrémité et son origine coı̈ncident ; on dit qu’il est
simple s’il ne se recoupe pas (sauf peut-être en ses extrémités).
Exemples. Étant donnés deux points a, b ∈ C,
l le segment [a, b] est le chemin du plan
complexe dont une paramétrisation est donnée par t → (1 − t)a + tb, t ∈ [0, 1]. Le cercle
de centre z0 et de rayon r > 0 est le chemin dont une paramétrisation est donnée par
t → z0 + reit , t ∈ [0, 2π].
Étant donné un chemin γ et une paramétrisation c : [a, b] → C
l de ce chemin, on appelle
chemin inverse, et on note γ −1 , le chemin déterminé par la paramétrisation d : [a, b] →
C,
l
d(t) := c(a + b − t).
Étant donnés deux chemins de classe C 1 , γ1 de z0 à z1 et γ2 de z1 à z2 , définis par des
paramétrisations respectives c1 : [a1 , b1 ] → C
l et c2 : [a2 , b2 ] → C,
l on appelle juxtaposition
des deux chemins le chemin γ := γ1 ∪ γ2 défini par la paramétrisation c : [a, b] → C
l avec
a = a1 , b = b1 + b2 − a2 , c(t) = c1 (t) pour t ∈ [a1 , b1 ] et c(t) = c2 (t − b1 + a2 ). Le chemin γ
n’est pas nécessairement de classe C 1 : il l’est si et seulement si c01 (b1 ) = c02 (a2 ).
On appelle chemin C 1 par morceaux la juxtaposition d’un nombre fini de chemins de classe
C 1.
Exemple. Étant donnés quatre points a, b, c, d du plan complexe formant un rectangle, on
peut définir par juxtaposition le chemin C 1 par morceaux Ra,b,c,d = [a, b]∪[b, c]∪[c, d]∪[d, a].
3.1.2
Intégrale le long d’un chemin
Étant donnés un ouvert U ⊂ C,
l une fonction continue f : U → C
l et un chemin γ contenu dans
U (cela signifie que γ est défini par une paramétrisation c : [a, b] → C
l telle que c([a, b]) ⊂ U ),
on définit l’intégrale de la fonction f le long du chemin γ par la formule
Z
(3.10)
Z
b
f (z) dz :=
γ
f (c(t))c0 (t) dt.
a
Note. On parle aussi d’intégrale curviligne le long de γ.
Lemme 3.1. Étant donné un chemin γ et deux paramétrisations c1 , c2 qui définissent γ,
on a (avec les notations évidentes)
Z
b1
f (c1 (t))c01 (t) dt =
a1
Z
b2
f (c2 (t))c02 (t) dt.
a2
Note. Ce lemme signifie précisément que la définition donnée ci-dessus a un sens (c’est à
dire qu’elle ne dépend pas de la paramétrisation choisie pour calculer l’intégrale).
Note. Dans les conditions de la définition ci-dessus, on a l’égalité
Z
Z
f (z) dz = −
f (z) dz.
γ −1
γ
On définit de manière analogue l’intégrale d’une fonction le long d’un chemin γ1 C 1 par
morceaux,
les intégrales calculées sur les chemins juxtaR γ := γ1 ∪ .R. . ∪ γk , en additionnant
R
posés : γ f (z) dz := γ1 f (z) dz + . . . + γk f (z) dz.
12
Proposition 3.2. L’intégrale d’une fonction continue le long d’un chemin C 1 par morceaux
γ possède les propriétés suivantes.
1. L’intégrale curviligne est linéaire : étant données deux fonctions continues f1 , f2 et un
scalaire λ, on a
Z
Z
(f1 (z) + λf2 (z)) dz =
γ
Z
f1 (z) dz + λ
γ
f2 (z) dz ;
γ
2. Soit γ un chemin C 1 par morceaux donné par une paramétrisation C 1 par morceaux
c : [a, b] → C.
l On a la majoration
Z
f (z) dz ≤ L(γ) sup{|f (z)| z ∈ supp(γ)}
γ
Rb
où L(γ) := a |ċ(t)| dt désigne la longueur du chemin γ et où supp(γ) := c([a, b])
désigne le support du chemin γ (ces deux notions ne dépendent pas de la paramétrisation choisie pour représenter le chemin).
Exemples.
R
R
1) Un calcul immédiat donne C(0,r) z n dz = 0 si n 6= −1 et C(0,r) z −1 dz = 2iπ ;
R
2 [a,b] z dz = b2 − a2 .
2) Étant donnés un chemin fermé γ et un point a ∈ C
l \ supp(γ), on introduit le nombre
Z
dz
1
.
Ind(a, γ) :=
2iπ γ z − a
Ce nombre, appelé indice du point a par rapport au chemin γ, joue un rôle important dans la
théorie des fonctions analytiques. On peut montrer en particulier que c’est un nombre entier
qui est constant sur les composantes connexes (voir Section 5.1) de l’ensemble C
l \ supp(γ).
3.1.3
Bord orienté d’un compact
Soit K ⊂ C
l un compact (voir Section 5.1), dont le bord ∂K (on dit aussi la frontière, voir
Section 5.1), est une courbe de classe C 1 par morceaux ∂K = γ, qui se décompose en un
nombre fini de chemins γ1 , . . . , γn fermés simples. On peut alors orienter ce bord de telle
sorte que dans le sens du déplacement sur le bord, l’intérieur de K soit toujours à main
gauche. Cela peut se formaliser de la manière suivante : si cj (t) est une paramétrisation du
chemin γj , le vecteur obtenu par rotation de +π/2 à partir du vecteur ċj (t) doit pointer
vers K (ce vecteur peut être vu comme le vecteur iċj (t), la multiplication par le nombre
complexe i étant précisément une rotation d’angle +π/2).
Soit f une fonction C 1 définie dans un ouvert U contenant K. Avec les notations précédentes,
on définit l’intégrale (curviligne) de la fonction f le long de ∂K = γ1 ∪ . . . ∪ γn par la formule
suivante
Z
f (z) dz :=
∂K
n Z
X
k=1
13
γk
f (z) dz.
3.1.4
Fonctions méromorphes, résidus
Soit U ∈ C
l un ouvert. Soient a ∈ U . Si la fonction f est analytique dans U \ {a}, le point
a est un point singulier isolé de f . Nous avons vus que trois cas peuvent se produire, selon
la structure de la série de Laurent de f dans D• (a, R) : a est une singularité inessentielle, a
est un pôle, a est une singularité essentielle.
Si le point a ∈ U est un pôle ou une singularité essentielle de la fonction f , on appelle résidu
de la fonction f au point a, et on note Rés(f, a) le coefficient de (z − a)−1 dans la série de
Laurent (2.7) de f relative au pôle a.
On dit qu’une fonction f est méromorphe sur l’ouvert U s’il existe un ensemble D tel que f
soit analytique dans C
l \ D et tel que tout point de D soit un (point singulier isolé de type)
pôle de la fonction f . Les fonctions rationnelles sont des exemples de fonctions méromorphes.
3.2
Formule de Cauchy générale
Le théorème suivant est fondamental.
Théorème 3.3. (Cauchy) Soit K ⊂ Cl un compact et soit f une fonction analytique sur un
ouvert U contenant K.
R
1. On a ∂K f (z) dz = 0,
2. Soit z ∈ K \ ∂K. Alors on a
Z
1
f (z) =
2iπ
∂K
f (ζ)
dζ
ζ −z
et, pour tout p ≥ 1,
f (p) (z) =
p!
2iπ
Z
∂K
f (ζ)
dζ.
(ζ − z)p+1
Théorème 3.4. (formule des résidus de Cauchy) Soit f une fonction analytique dans un
ouvert U contenant le compact K, sauf peut-être en un nombre fini a1 , . . . , an de points de
K \ ∂K, où elle admet une singularité isolée. Alors, on a la formule
Z
f (z) dz = 2iπ
∂K
n
X
Rés(f, ak ).
k=1
Cette formule est particulièrement utile pour calculer des intégrales définies. On peut ainsi
facilement calculer l’intégrale
Z ∞
cos x
I=
dx
1
+ x2
−∞
et nous donnerons d’autres exemples dans la section suivante.
3.3
3.3.1
Applications au calcul d’intégrales
Type 1
On s’intéresse au calcul d’intégrales de la forme
Z 2π
I=
R(cos t, sin t) dt,
0
14
où R(X, Y ) est une fraction rationnelle qui ne s’annule pas sur le cercle unité X 2 + Y 2 = 1.
Méthode : Elle consiste à poser z = eit , à exprimer cos t et sin t en fonction de z et 1/z
(attention !, prendre 1/z et non z̄), à reporter ces expressions dans R et à se ramener à
calculer l’intégrale d’une fraction rationnelle sur le cercle de centre 0 et de rayon 1 par la
formule des résidus.
R 2π
Exemple. Calcul de l’intégrale I(x) = 0 (x2 − 2x cos t + 1)−1 dt où x ∈ R \ {−1, 1} est un
paramètre.
Réponse : I(x) = 2π/(1 − x2 ), si |x| < 1 et I(x) = 2π/(x2 − 1), si |x| > 1 (on peut aussi
trouver cette valeur par un calcul de primitive).
3.3.2
Type 2
On s’intéresse au calcul d’intégrales de la forme
Z ∞
I=
R(x) dx,
−∞
où R = P/Q est une fraction rationnelle sans pôle réel et telle que deg(Q) ≥ deg(P ) + 2
(ces deux conditions assurent la convergence absolue de l’intégrale considérée).
Méthode : Elle consiste à introduire le chemin fermé CR (pour R > 0) obtenu en juxtaposant le segment réel [−R, R] et le demi-cercle de centre 0, de rayon R, contenu dans le
demi-plan Im(z) ≥ 0, et à intégrer la fonction R(z) sur ce chemin.
R∞
Exemple. Calculer l’intégrale I = −∞ (1 + x2 )−2 dx.
Réponse : I = π/2 (on pourrait également retrouver ce résultat par un calcul de primitive).
Exemples. Les mêmes idées peuvent s’appliquer dans un contexte un peu différent, comme
celui du calcul des intégrales suivantes.
R∞
1. Calculer l’intégrale In = 0 (1 +xn )−1 dx, pour n ∈ IN,
(Réponse : In = π/ n sin(π/n) ) ;
2. Calculer l’intégrale
Z
∞
I=
−∞
cos2 x
dx
1 + x2
(Réponse : I = π(1+e−2 )/2. Cette intégrale ne peut pas se calculer élémentairement
avec des primitives).
3.3.3
Type 3
On s’intéresse au calcul d’intégrales de la forme
Z ∞
I=
R(x)eix dx,
−∞
où R = P/Q est une fraction rationnelle sans pôle réel et telle que deg(Q) ≥ deg(P ) + 1.
Si deg(Q) ≥ deg(P ) + 2, on peut appliquer la méthode utilisée pour le Type 2 (mais il faut
bien sûr appliquer la formule des résidus à la fonction R(z)eiz ). Si deg(Q) = deg(P ) + 1, on
n’a plus la convergence absolue de l’intégrale considérée, mais seulement la semi-convergence.
L’idée de la méthode est la même que précédemment (Type 2) mais les majorations sont
plus délicates. On peut utiliser le lemme suivant.
Lemme 3.5. (Lemme de Jordan) Soit f une fonction complexe, continue sur le demi-plan
supérieur Im(z) ≥ 0. Si limz→∞ f (z) = 0, alors l’intégrale
Z
f (z)eiz dz
Cr,+
15
de la fonction f (z)eiz sur le demi-cercle Cr,+ , de centre 0 et de rayon r, contenu dans le
demi-plan supérieur {z | Im(z) ≥ 0}, tend vers zéro quand r tend vers l’infini.
Exemple. Calcul de l’intégrale
∞
Z
I=
0
x3 sin x
dx
x4 + 5x2 + 4
(Réponse : I = π(2/3e2 − 1/6e)).
Exemple. On peut adapter la méthode ci-dessus pour calculer l’intégrale
Z ∞
sin x
dx
I=
x
0
(Réponse : I = π/2). Pour cela, on considère le chemin suivant : le segment [−R, −ε],
suivi d’un demi-cercle de centre 0 et de rayon ε dans le demi-plan supérieur, suivi du segment
[ε, R], suivi du demi-cercle de centre 0 et de rayon R dans le demi-plan supérieur.
3.3.4
Type 4
On s’intéresse au calcul d’intégrales de la forme
Z ∞
I=
R(x)x−α dx,
0
où R = P/Q est une fraction rationnelle sans pôle réel et telle que deg(Q) ≥ deg(P ) + 1, et
où α ∈]0, 1[.
L’intégrale converge absolûment (en 0 et en ∞). La difficulté vient ici du fait que la fonction
z → z α est multiforme. Nous traiterons ici le cas α = 1/2, le cas général pourra être traité
après l’étude de la Section 4.2
Exemple. Soit à calculer l’intégrale
√
Z ∞
x
dx
I=
x(1
+
xn )
0
(Réponse : I = π/ n sin(π/2n) ).
3.3.5
Autres exemples
1. Soit à calculer l’intégrale
Z
∞
2
e−x eitx dx
−∞
√
en supposant connue l’égalité −∞ e−x dx = π.
√
2
(Réponse : I(t) = π e−t /4 ), en considérant le rectangle [−R, R] ∪ [R, R + i/2] ∪ [R +
i/2, −R + i/2] ∪ [−R + i/2, −R].
R∞
2
Pour traiter l’exemple suivant, on a besoin de connaı̂tre la notion de détermination du
logarithme qui est introduite dans la Section 4.
2. Soit à calculer l’intégrale
∞
Z
I(x) =
0
où x ∈]0, 1[
(Réponse : I(x) = π/(sin πx)).
16
tx−1
dt
t+1
On peut déduire de la valeur de cette intégrale la formule (dit formule des compléments
d’Euler)
π
Γ(z)Γ(1 − z) =
sin(πz)
où Γ désigne la fonction définie par
Z ∞
Γ(z) =
e−t tz−1 dt.
0
4
4.1
Complément 1 : Primitives des fonctions
analytiques, fonction logarithme
Primitives
Définition 4.1. Soit U un ouvert de C.
l On dit que la fonction analytique g : U → Cl est
une primitive de la fonction analytique f : U → C,
l si g 0 (z) = f (z) dans U .
Lemme 4.2. Soient U un ouvert connexe et f : U → Cl une fonction analytique. Si g1 et
g2 sont deux primitives quelconques de la fonction analytique f alors la fonction g1 − g2 est
constante dans l’ouvert U .
Lemme 4.3. Soit f : U → Cl une fonction analytique et soit γ un chemin d’origine z0 et
d’extrémité z1 , tout entier
contenu dans l’ouvert U . Si la fonction f admet une primitive g
R
sur l’ouvert U , on a γ f (z) dz = g(z1 ) − g(z0 ).
Le théorème fondamental suivant, que nous admettrons, donne une condition suffisante
d’existence de primitives d’une fonction analytique f dans un ouvert U .
Théorème 4.4. Soit f une fonction analytique dans un domaine simplement connexe U
(voir Section 5.1). Alors, il existe une fonction g, analytique dans U , telle que g 0 = f .
Note. Comme le montre l’étude de la fonction z → 1/z dans C
l • , il est n’est pas possible
en général d’affirmer l’existence d’une primitive d’une fonction analytique f sur un ouvert
quelconque U .
4.2
Déterminations de la fonction logarithme
Considérons la fonction f (z) := 1/z, définie sur l’ouvert (non simplement connexe) C
l • . Elle
n’y admet pas de primitive. En effet, si g était une primitive de 1/z, étant analytique, elle
admettrait un développement de Laurent dans C
l • , de la forme
X
g(z) =
ak z k
k∈ZZ
valable pour tout z 6= 0. On peut dériver un tel développement terme à terme et on trouverait
alors
X
1
= g 0 (z) =
kak z k−1
z
k∈ZZ
d’où k ak = 0 si k 6= 0 et 0 a0 = 1, ce qui est impossible.
Si par contre, U est un domaine simplement connexe de C,
l ne contenant pas 0, la fonction
z → 1/z y admet une primitive g. On vérifie immédiatement que la fonction z exp(−g(z))
est analytique dans U , de dérivée identiquement nulle, donc constante (car U est simplement
connexe, donc connexe).
17
Proposition 4.5. Soit U un domaine simplement connexe de Cl • . Il existe des primitives
g de la fonction 1/z dans U telles que exp(g(z)) = z. La donnée (U, g) d’une telle primitive s’appelle une détermination du logarithme complexe dans U (on dit aussi une branche
uniforme du logarithme complexe dans U ).
Deux déterminations (U, g1 ) et (U, g2 ) du logarithme diffèrent d’un multiple entier de 2iπ.
Étant donnés a ∈ U et b ∈ C,
l vérifiant eb = a, il existe une et une seule détermination
(U, g) du logarithme telle que g(a) = b, c’est-à-dire une et une seule fonction holomorphe
g : U → Cl telle que exp(g(z)) = z et g(a) = b.
Pour une détermination du logarithme, on prend généralement comme ouvert U un ouvert
de la forme U = C
l \ Rθ , où Rθ est le rayon Rθ := {reiθ | r ≥ 0} (on fait donc une coupure
dans le plan complexe).
La détermination correspondant au cas θ = 0, avec a = 1 et b = 0 dans la proposition cidessus, s’appelle la détermination principale du logarithme complexe. La fonction logarithme
complexe n’étant bien définie qu’après un choix de détermination, on parle de fonction
multiforme.
4.2.1
Déterminations de l’argument d’un nombre complexe
Soit (U, g) une détermination du logarithme. De l’équation exp(g(z)) = z, on tire
|z| = exp(Re(g(z))),
arg z = Im(g(z)).
La donnée de la détermination g permet donc de donner une détermination continue de
l’argument dans U . Réciproquement, la donnée d’une détermination continue α de l’argument de z ∈ U , où U est un ouvert simplement connexe, détermine une unique détermination
g du logarithme par la formule g(z) := |z| exp(iα(z)).
Proposition 4.6. Soit c : [a, b] → S 1 := {z ∈ Cl : |z| = 1} une application continue.
Soient s ∈ [a, b] et u ∈ IR, tels que exp(iu) = g(s). Alors, il existe une unique fonction
continue G : [a, b] → IR telle que
∀t ∈ [a, b],
g(t) = exp(iG(t)),
avec G(s) = u.
Notes. Si γ(t) est une courbe continue d’un intervalle [a, b] dans C
l • , on peut définir une
courbe continue c(t) := γ(t)/|γ(t)| à valeurs dans le cercle. La proposition précédente montre
que l’on peut suivre de manière continue l’argument du nombre complexe γ(t) (en comptant
éventuellement le nombre de tours que l’on fait autour de l’origine).
Prenons pas exemple un anneau ouvert A(r, R), 0 < r < R. La fonction logarithme n’y est
pas bien définie parce que l’anneau n’est pas simplement connexe. On peut construire un
ruban infini au dessus de l’anneau (comme une hélice circulaire au dessus du cercle) ; ce
ruban est simplement connexe et on peut y définir une fonction qui englobe les différentes
détermination du logarithme dans l’anneau.
4.3
Fonctions puissances complexes
On sait définir les fonctions puissances, z → z n pour n entier (et z 6= 0 si n est négatif).
Utilisant une détermination du logarithme, on peut définir une détermination (U, z s ) de
la fonction puissance, pour tout nombre s ∈ C,
l sur tout ouvert simplement connexe ne
contenant pas 0. On pose
z s := exp(s log(z))
18
où log est ici une détermination de la fonction logarithme sur U . Si s est un nombre entier, il
est facile de voir que la fonction ainsi définie ne dépend pas du choix de la détermination du
logarithme et qu’elle coı̈ncide avec la fonction puissance entière usuelle. Si s n’est pas entier,
la fonction puissance dépend de la détermination choisie pour le logarithme. Si s = p/q,
avec p, q premiers entre eux, est un nombre rationnel, il y a q déterminations possibles de
la fonction puissance; si s n’est pas rationnel, il y a une infinité de déterminations.
5
Compléments 2
5.1
Précis de topologie
On se place ici dans C
l et |z| désigne le module du nombre complexe z ∈ C.
l Les définitions qui
suivent ont en fait un sens dans le cadre des espaces vectoriels normés (ou, plus généralement,
dans celui des espaces métriques).
Notations et définitions.
1. Boule ouverte de centre x, de rayon r,
B(x, r) := {y ∈ C
l | |x − y| < r} ;
2. Boule fermée de centre x, de rayon r,
B(x, r) := {y ∈ C
l | |x − y| ≤ r} ;
3. Une partie U ⊂ C
l est dite ouverte si,
∀x ∈ U, ∃r > 0
tel que B(x, r) ⊂ U ;
4. L’intérieur d’une partie U ⊂ C
l est le plus grand ouvert contenu dans U ;
5. Une partie C ⊂ C
l est dite fermée si son complémentaire C
l \ C est ouverte ;
6. La frontière (on dit aussi le bord ) ∂U de la partie U de C
l est définie par,
∂U := {x ∈ C
l | ∀r > 0, B(x, r) ∩ U 6= ∅ et B(x, r) ∩ C
l \ U 6= ∅} ;
7. L’adhérence d’une partie U ⊂ C
l est la réunion U := U ∪ ∂U .
8. On dit qu’une partie K ⊂ C
l est compacte si elle est fermée et bornée (c’est à dire s’il
existe M tel que ∀z ∈ K, |z| ≤ M ).
9. On dit qu’un ouvert U ⊂ C
l est connexe si deux points quelconques de U peuvent être
joints par une ligne polygonale (ou bien par une courbe continue, ou bien par une
courbe C 1 par morceaux) toute entière contenue dans U . La composante connexe d’un
point a d’un ouvert U est l’ensemble des points de U qui peuvent être joints à a par
une telle ligne.
10. Soient deux points x, y d’un ouvert U ⊂ C
l et f, g : [a, b] → C
l deux courbes continues
telles que f (a) = g(a) = x et f (b) = g(b) = y. On dit que les deux courbes sont
homotopes s’il existe une application continue F : [a, b] × [0, 1] → C
l telle que
∀s ∈ [0, 1],
∀t ∈ [a, b], F (t, 0) = f (t),
∀t ∈ [a, b], F (t, 1) = g(t),
F (a, s) = x et F (b, s) = y.
19
Cela signifie que l’on peut déformer la courbe f en la courbe g, de manière continue,
par des courbes continues ayant les mêmes extrémités x et y.
Dans le cas où x = y, on dit que l’on a des courbes fermées. Si g est constante, la
courbe g est identifiée au point x = y. Dans ce cadre, si f est homotope à g constante,
on dit que la courbe fermée f est homotope à un point.
11. On dit qu’un ouvert connexe U est simplement connexe si toute courbe continue fermée
contenue dans U est homotope à un point.
12. Soit U un ouvert du plan complexe et soit V son image dans la sphère de Riemann S
via une projection stéréographique. On appelle nombre de connexion de U le nombre
de composantes connexes de la frontière de V dans la sphère. On peut montrer que
U est simplement connexe si et seulement si son nombre de connexion est égal à 1.
Cela revient à dire que U est simplement connexe si et seulement si V et S \ V sont
connexes dans S.
Ainsi, si U = C
l • , l’ouvert V = S \ {p1 , p2 } est la sphère moins deux points ; le nombre
de connexion de C
l • est donc 2 (autre formulation : l’ensemble V est connexe, mais
S \ V = {p1 , p2 } ne l’est pas) ; il en résulte que C
l • n’est pas simplement connexe.
5.2
Formes différentielles
Une 1-forme différentielle ω sur un ouvert U ⊂ C
l est la donnée de deux fonctions au moins
continues, p(x, y) et q(x, y). On note ω = pdx + qdy. La notation veut dire que si (ξ, η) est
un vecteur au point (x, y) et si ω est une 1-forme différentielle, on leur associe le nombre
ω(x,y) (ξ, η) := p(x, y)ξ + q(x, y)η.
Un cas particulier intéressant est celui de la différentielle df d’une fonction f . On a df =
fx0 dx + fy0 dy avec les notations précédentes.
Une forme différentielle ω est dite exacte sur U s’il existe une fonction f définie sur U telle
que ω = df . Une forme différentielle ω := pdx + qdy est dite fermée dans U si p0y = qx0 dans
U.
On peut démontrer que toute forme différentielle exacte est fermée (c’est le théorème de
Schwarz sur les dérivées partielles). Une condition nécessaire pour qu’une forme différentielle soit exacte est donc qu’elle soit fermée. Cette condition n’est pas suffisante en général ;
on peut montrer qu’elle l’est pour des ouverts simplement connexes.
Théorème 5.1. Soit ω une forme différentielle fermée sur un ouvert simplement connexe
U , alors ω est exacte sur U .
5.3
5.3.1
Fonctions harmoniques de deux variables
Définition
Définition 5.2. Une fonction f , définie sur un ouvert U ⊂ C,
l est dite harmonique si elle
est de classe C 2 et si elle vérifie l’équation de Laplace
00
00
∆f := fxx
+ fyy
= 0.
Exemples. —
1. Les fonctions f (x, y) := ax + by + c, avec a, b, c ∈ C
l et g(x, y) := x2 − y 2 sont des
2
fonctions harmoniques sur IR tout entier,
2. Les parties réelle et imaginaire d’une fonction analytique dans un ouvert U ⊂ C
l sont
harmoniques dans U ,
p
3. La fonction f (x, y) := log x2 + y 2 est harmonique sur IR2 \ {0} .
20
5.3.2
Fonctions harmoniques et fonctions analytiques
On a vu que les parties réelle et imaginaire d’une fonction analytique f dans un ouvert
U ⊂C
l sont harmoniques. La réciproque est vraie, dans certains cas. On peut montrer, pour
les fonctions harmoniques, un théorème analogue au Théorème 2.5. On peut alors en déduire
la
Proposition 5.3. Toute fonction harmonique réelle dans un disque ouvert est la partie
réelle d’une fonction analytique dans ce disque.
Résoudre la même question dans un ouvert U plus général est plus difficile. Soit u une
fonction harmonique réelle dans un ouvert U ⊂ C.
l On cherche une fonction f , analytique
dans U , telle que f = u + iv. On veut donc construire une fonction v telle que (équation
de Cauchy - Riemann) vx0 = −u0y et vy0 = u0x . Cela signifie que la 1-forme différentielle
ω := −u0y dx + u0x dy est exacte (voir la Section 5.2). Une condition nécessaire (mais non
suffisante) est que la forme différentielle ω soit fermée; cette condition est bien vérifiée
puisque la fonction u est harmonique. Une condition suffissante pour pouvoir résoudre notre
problème est donc que l’ouvert U soit simplement connexe, comme c’est le cas pour le disque
(voir la Section 5.1). La fonction v ci-dessus s’appelle la fonction harmonique conjuguée de
la fonction u.
5.4
Lectures complémentaires
Pour aller plus loin, le lecteur pourra consulter l’un des ouvrages mentionnés ci-dessous.
L’ouvrage [3] propose en particulier des applications de la théorie des fonctions analytiques
à divers domaines de la physique (hydrodynamique, élasticité, etc ).
Pour des compléments sur la théorie des fonctions analytiques, on pourra consulter l’ouvrage
[4].
21
6
Exercices sur les fonctions analytiques
Les feuilles d’exercices ci-dessous ont été taitées dans les travaux dirigés du cours de mathématiques de la Licence de Physique Recherche pendant l’année 1997 – 1998. Le lecteur
trouvera une importante liste d’exercices dans [1, 3].
6.1
Feuille d’exercices numéro 1
Exercices 6.1.1. Trouver et dessiner les domaines
du plan complexe caractérisés par :
z+1 1. Re(z 2 ) ≤ 1 ;
2. z1 < 1 ;
3. z−1
=
1.
Exercices 6.1.2. Est-ce que les fonctions suivantes sont analytiques :
1. f1 (z) = z̄ ;
2. f2 (z) = z z̄ ;
3. f3 (z) = sin z.
Exercice 6.1.3. Soit la fonction analytique, f (z), écrite sous la forme :
f (z) = u(ρ, θ) + i v(ρ, θ)
faisant apparaı̂tre les coordonnées polaires (ρ, θ) de z = ρ exp(iθ). Comment s’écrivent les
relations de Cauchy-Riemann, qui expriment l’analycité de f (z), en fonction de ρ et θ ?
En déduire les fonctions analytiques dont la partie réelle ne dépend que de |z|.
Exercices 6.1.4.
1. Trouver les parties réelle et imaginaire de :
f (z) =
1
.
1−z
2. Montrer que f (z) est analytique.
3. Calculer la dérivée de f (z) en utilisant l’équation :
f 0 (z) = lim
∆z→0
f (z + ∆z) − f (z)
.
∆z
4. Comparer avec l’expression obtenue en dérivant formellement f (z) par rapport à z
comme si z était réel.
Exercice 6.1.5. Montrer que les relations de Cauchy-Riemann s’écrivent
∂f
=0
∂ z̄
si l’on introduit la dérivée partielle ∂/∂ z̄ comme
∂
1 ∂
∂
:=
+i
∂ z̄
2 ∂x
∂y
22
6.2
Feuille d’exercices numéro 2
Exercices 6.2.1. 1 – Trouver les courbes image par z → f (z) = z 2 des droites x = a
(a ≥ 0) et des demi-droites y = b (x ≥ 0).
En déduire l’image par f du quadrillage du demi-plan x ≥ 0.
Vérifier que les courbes images de x = a et y = b sont orthogonales.
III
@
IV
II
y
6
@
@
I
@
@
@
2 – Trouver les images des secteurs I – VIII par cette
transformation.
x
@
V
VI
@ VIII
@
VII @
Exercices 6.2.2. Soit U = C
l \ IR+ et f : U → C
l l’application z 7→
z = ρ(cos θ + i sin θ) avec 0 < θ < 2π, on ait
√
f (z) = ρ(cos θ/2 + i sin θ/2)
1 – Quelle est l’image par f du plan ?
2 – Quelle est l’image par f du quadrillage ? Pour cela,
écrire que si z = x + iy
√
z = u + iv ⇒ (u + iv)2 = z
√
z telle que si
y
6
x
et expliciter les z correspondant à chacune des droites du
quadrillage. Commencer par tracer les axes Ox et Oy.
Exercice 6.2.3. Soit D le domaine du plan complexe défini par 0 < Re z < π. Déterminer
l’image du domaine D par la transformation f (z) = cos z.
Exercices 6.2.4. Une fonction f (z) réalise la transformation d’un domaine D du plan C
l
en un domaine D0 de C.
l Cette transformation est dite univalente si
∀z1 et z2 ∈ D,
z1 6= z2 ⇒ f (z1 ) 6= f (z2 )
1. Déterminer à quelles conditions cos z1 = cos z2 .
2. En déduire les domaines d’univalence de cos z.
On posera Z = exp(iz).
6.3
Feuille d’exercices numéro 3
Exercices 6.3.1. Déterminer la nature des singularités, situées à distance finie, des fonctions suivantes :
1.
z 2 −3z
z 2 +2z+2
2.
z 2 +2z−8
z 3 −4z 2 +z+6
;
;
23
1
3. th z−π
;
4.
√1 .
z−2
Exercice 6.3.2.
√ Déterminer la nature des singularités, situées à distance finie, de la fonction : f (z) = z 2 + 1. Comment peut-on faire les coupures du plan complexe pour cette
fonction ?
√
Exercice 6.3.3. Préciser la détermination g(z) de la fonction z + 2 telle que g(2) = 2.
Quelles sont les valeurs de g(z) aux points 2i et −2i ?
6.4
Feuille d’exercices numéro 4
Exercices 6.4.1. Déterminer la nature des singularités et le développement des fonctions
suivantes en série de Laurent au voisinage de ces singularités.
cos 2z
1
f1 (z) =
,
f2 (z) = z sin
.
z−π
z
Exercices 6.4.2. Déterminer le développement en série de Laurent de la fonction [z(z −
1)]−1 autour de :
a) z = 0
|z| < 1 ;
b) z = 0
|z| > 1 ;
c) z = 2
|z − 2| < 1 ;
d) z = 2
1 < |z − 2| < 2 ;
e) z = 2
|z − 2| > 2.
Exercices 6.4.3. Déterminer le développement en série de Laurent de la fonction 1/(z + 2)
au voisinage de :
a) z = −3 ;
b) z = ∞ ;
c) z = −2.
6.5
Feuille d’exercices numéro 5
Exercices 6.5.1. Démontrer que :
1. Si une fonction f (z) possède un pôle simple au point z = a alors le résidu de f (z) au
point a peut être calculé comme :
Rés(f, a) = lim [(z − a)f (z)].
z→a
2. Pour une fonction de la forme f (z) = ϕ(z)/ψ(z) avec ψ(a) = 0, ψ 0 (a) 6= 0 et ϕ(a) 6= 0,
le résidu au point a peut être calculé comme :
Rés(f, a) =
ϕ(a)
.
ψ 0 (a)
3. Si une fonction f (z) possède un pôle d’ordre n au point z = a alors le résidu de f (z)
au point a peut être calculé comme :
Rés(f, a) =
1
dn−1
lim n−1 [(z − a)n f (z)] .
(n − 1)! z→a dz
24
Exercices 6.5.2. Pour les fonctions suivantes, calculer les résidus aux points singuliers
situés à distance finie :
1.
f (z) =
sin(πz)
;
(z − 2)2 (z − 3)
2.
f (z) =
3.
sin2 z
;
cos z
1
f (z) = ze z ;
4.
f (z) =
1
.
(1 + z 2 )n
Exercice 6.5.3. Soit f une fonction entière (c’est à dire analytique dans le plan complexe
tout entier). Enoncer le théorème qui permet d’écrire f comme somme d’une série entière
de rayon de convergence infini et qui exprime les coefficients de cette série entière comme
des intégrales de f .
Montrer que si f est entière bornée, alors elle est constante. En déduire qu’un polynôme à
coefficients complexes, de degré au moins 1 admet toujours au moins une racine sur C.
l
6.6
Feuille d’exercices numéro 6
Exercice 6.6.1. Calculer l’intégrale :
Z
z −1 dz
γ
où le contour γ est donné par l’équation :
r = 2 − sin2 (θ/4)
(0 ≤ θ < 2π).
On commencera par tracer schématiquement le contour γ.
Exercices 6.6.2. Calculer les intégrales :
Z
z̄ dz
γ
et
Z
|z| dz
γ
dans les cas suivants :
1 – γ est le cercle de rayon unité, centré à l’origine et parcouru dans le sens trigonométrique ;
2 – γ est le segment [−1, 1] situé sur l’axe réel et parcouru du point 1 au point −1 ;
3 – γ est le demi-cercle de rayon unité, centré à l’origine, reliant 1 à −1.
25
Exercices 6.6.3. Calculer l’intégrale :
Z
dz
√
z
γ
dans les cas suivants :
1 – γ est le demi-cercle de rayon
√ unité, centré à l’origine, reliant 1 à −1 et parcouru dans le
sens trigonométrique (avec 1 = 1) ;
√
2 – γ est le demi-cercle de rayon unité, centré à l’origine, reliant 1 à −1 (avec √1 = −1) ;
3 – γ est le demi-cercle de rayon unité, centré à l’origine, reliant −1 à 1√(avec 1 = 1) ;
4 – γ est le cercle de rayon unité, centré à l’origine, reliant 1 à 1 (avec 1 = 1).
Exercices 6.6.4. Calculer :
I
(z − z0 )n dz
(n ∈ ZZ)
γ
où γ est un cercle entourant z0 .
6.7
Feuille d’exercices numéro 7
Exercices 6.7.1. Calculer les intégrales :
I
1
z
dz, où γ est le cercle |z − 2| = ;
1–
2
(z
−
1)(z
−
2)
2
γ
I
1
2–
(1 + z) exp( ) dz, où γ est le cercle |z| = 3.
z
γ
Exercices 6.7.2. Soit Cε le cercle de centre 0 et de rayon ε et soit CR le cercle de centre
0 et de rayon R. On appelle A (resp. C) le point de Cε d’abscisse positive et d’ordonnée
δ (resp. −δ). On appelle B (resp. D) le point de CR d’abscisse positive et d’ordonnée δ
(resp. −δ).
On appelle C = C,ε,δ le contour qui consiste à suivre le segment [A, B], puis l’arc BD sur
le cercle CR , dans le sens trigonométrique direct, puis le segment [D, C], puis l’arc CA sur
le cercle Cε dans le sens trigonométrique inverse.
Calculer l’intégrale :
I
(C)
√
z ln z
dz
(1 + z)2
sur le contour ci-dessus, où R désigne un nombre arbitrairement grand et ε, δ des nombres
arbitrairement petits.
En déduire que :
Z
0
∞
√
x ln x
dx = π et
(1 + x)2
26
Z
0
∞
√
x
π
dx = .
2
(1 + x)
2
Exercices 6.7.3. Calculer l’intégrale :
Z ∞
sin ax
dx
x(x2 + b2 )
0
(a > 0, b > 0)
Pour cela, introduire la fonction :
f (z) =
eiaz
z(z 2 + b2 )
et l’intégrer sur le contour C = Cr,R,δ ), où r < b et R > b, composé d’un arc du cercle de
centre 0 et de rayon R parcouru dans le sens trigonométrique direct, d’un arc du cercle de
centre 0 et de rayon r parcouru dans le sens trigonométrique inverse et de deux segments
de droites (abscisses positives, ordonnées ±δ).
6.8
Feuille d’exercices numéro 8
Exercices 6.8.1. Calculer les intégrales de Fresnel :
Z ∞
Z ∞
cos x2 dx et
sin x2 dx.
0
0
Pour cela, introduire la fonction :
f (z) = exp(iz 2 )
et l’intégrer sur le contour (C) qui consiste à suivre le segment [0, A], puis l’arc de cercle AB dans le sens trigonométrique direct, puis le segment [B, 0], où A = (R, 0), B =
(R cos α, R sin α). L’angle
α peut-il être quelconque ?
√
R∞
2
Donnée : 0 e−x dx = 2π .
Exercices 6.8.2. Calculer l’intégrale :
Z +∞ αx
e
dx
1
+ ex
−∞
(0 < α < 1)
en utilisant la fonction auxiliaire :
f (z) =
eαz
1 + ez
et le contour (C) (un rectangle de côtés 2R et 2π).
y
6
2π
(C)
?
−R
6
-
0
+R x
27
Exercices 6.8.3. Calculer l’intégrale :
Z +∞
2
e−ax cos bx dx
(a > 0),
0
en utilisant la fonction auxiliaire :
f (z) = e−az
2
et le contour (C) (un rectangle de côtés 2R et b/2a).
y
6
b/2a
(C)
?
−R
6
-
0
+R x
Exercices 6.8.4. Calculer l’intégrale :
Z ∞
cos 2ax − cos 2bx
dx
x2
0
(a > 0, b > 0)
Pour cela, il faut trouver une fonction auxiliaire et choisir un contour d’intégration.
6.9
Feuille d’exercices numéro 9
Exercices 6.9.1. Rappeler ou retrouver les intégrales suivantes :
1
Γ( );
2
1
Γ(n + );
2
1 1
B( , );
2 2
B(p, 1).
Exercices 6.9.2. En utilisant les fonctions Γ et B calculer les intégrales suivantes :
Z a p
I1 =
x2 a2 − x2 dx
(a > 0);
0
Z
+∞
I2 =
0
x2
dx
1 + x4
(on pose u = x4 /(1 + x4 )).
Exercices 6.9.3. Montrer que
Z 1 a−1
x
(1 − x)b−1
1
dx =
B(a, b)
a+b
(x
+
t)
(1
+
t)a tb
0
(on pose y = (1 + t)x/(x + t)).
En déduire
Z
0
1
x1−p (1 − x)p
dx.
(1 + x)3
28
Exercices 6.9.4. 1) Montrer que
Z
π/2
sin2x−1 φ cos2y−1 φ dφ.
B(x, y) = B(y, x) = 2
0
2) Montrer que
B(x, x) =
1
22x−1
1
B(x, )
2
(on pose ψ = 2φ).
3) En déduire la formule :
1
22x−1
Γ(2x) = √ Γ(x) Γ(x + ).
2
π
29
Références
[1] Benoist-Gueutal, Pierrette – Courbage, Maurice . — Mathématiques pour la physique,
Tome 1 (Intégrale de Lebesgue, Fonctions Analytiques, Espaces normés), Eyrolles, Paris
1992
[2] Bony, Jean – Michel . — Méthodes mathématiques pour les sciences physiques, Presses
de l’École Polytechnique, Palaiseau 1996
[3] Lavrentiev, Mikhaı̈l – Chabat, Boris . — Méthodes de la théorie des fonctions d’une
variable complexe, Éditions Mir, Moscou 1977
[4] Pabion, Jean-François . — Éléments d’analyse complexe, Ellipses, Paris 1995
Pierre Bérard
Institut Fourier
UMR 5582 UJF – CNRS
[email protected]
www-fourier.ujf-grenoble.fr/~pberard/
30