2nde-geom-plane-doc - Mathématiques au lycée Bellepierre

TABLE DES MATIÈRES – page -1
Chapitre 6 – Géométrie plane
Chapitre 6 – Géométrie plane
Table des matières
I
Exercices
I-1
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-1
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-1
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-1
4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-2
5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-2
6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-2
7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-2
8
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-2
9
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-3
10
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-3
11
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-3
12
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-3
13
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-3
14
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-3
II Cours
1
II-1
Définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-1
1a
Liste de définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-1
1b
Dans le manuel Transmath . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-1
1c
Autres définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-1
2
Démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-1
3
Propriété et contre-exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-1
2de – Mathématiques
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I EXERCICES – page I-1
Chapitre 6 – Géométrie plane
Géométrie plane veut dire géométrie dans le plan, pour faire la différence avec la géométrie dans
l’espace. Ce chapitre correspond au chapitre « Configurations planes » du manuel Transmath (chapitre
10 page 206).
I
Exercices
Triangles, quadrilatères, cercles
1
Le quadrilatère ABCD est un carré et les triangles CDL et BCI sont équilatéraux de sorte que les
longueurs AB, BC, CD, AD, DL, CL, BI, CI, sont égales.
Le but de cet exercice est de déterminer si les points A, L, I sont alignés dans la figure 3.
A
B
A
B
A
L
B
L
I
I
D
C
Fig. 1
D
C
Fig. 2
D
C
Fig. 3
[ et BAL
[ en justifiant.
1. Dans la figure 1, calculer les angles DAL
[ en justifiant.
2. Dans la figure 2, calculer l’angle BAI
3. Dans la figure 3, les points A, L, I sont-ils alignés ? Justifier.
4. Tracer la figure 3 en prenant AB = 5 cm. Utiliser le compas pour construire le triangle CDL.
2
Faire cet exercice avec un logiciel de géométrie dynamique comme GeoGebra ou Dr Geo.
Construire la figure 3 de l’exercice 1 de telle façon qu’en déplaçant les points A et B, le quadrilatère
ABCD reste un carré, et les triangles CDL et BCI restent équilatéraux.
3
Faire cet exercice avec un logiciel de géométrie dynamique.
1. Tracer un segment [AB] et placer un point C n’importe où sur l’écran.
2. Tracer la droite (AC).
3. Construire la droite qui passe par B, perpendiculaire à la droite (AC).
4. Cette droite coupe la droite (AC). Créer le point D.
5. Le triangle ABD est normalement un triangle rectangle en D, même quand on déplaçe le
point C. Déplacer le point C pour vérifier.
6. Avec un clic droit sur le point D, activer la trace, puis déplacer à nouveau le point C. Le point
D parcourt une figure. Laquelle ?
7. Justifier cette figure par une propriété.
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I EXERCICES – page I-2
Chapitre 6 – Géométrie plane
4
1. Tracer trois points alignés A, B, D, et construire le cercle (C1 ) de diamètre [AB] et le cercle
(C2 ) de diamètre [BD]. Placer un point E sur le cercle (C1 ). La droite (EB) recoupe le (C2 )
en F . Tracer les droites (AE) et (DF ).
2. Que peut-on dire de ces deux droites ? Le démontrer.
Symétries
5
Tracer un triangle ABC et placer un point M sur le côté [BC]. Construire le point N symétrique
du point M par rapport à (AB) et le point P symétrique du point M par rapport à (AC).
Démontrer que l’aire du pentagone AP CBN reste égale au double de l’aire du triangle ABC lorsque
le point M décrit le côté [BC].
6
Tracer un cercle (C) de centre O et une droite (d).
1. Tracer l’axe de symétrie de cette figure.
2. Cette figure a-t-elle un centre de symétrie ? Si la réponse est non, tracer une deuxième fois la
figure de telle façon qu’il y ait un centre de symétrie.
7
Tracer un trianle ABC isocèle en A. Placer le point D symétrique de B par rapport à A. Quelle est
la nature du triangle BCD ? Le démontrer. Écrire la propriété.
Utilisation d’un repère du plan
8
|
G
|
|
b
b
|
Explication : dans le repère (D, C, A), la droite (DC)
est l’axe des abscisses, la droite (DA) est l’axe des ordonnées, le segment [DC] indique l’unité sur l’axe des
abscisses, le segment [DA] indique l’unité sur l’axe des
ordonnées.
F
|
Dans le repère (D, C, A) donner les coordonnées des
points A, B, C, D, E, F , G.
B
|
|
|
A
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|
C
|
|
b
D
E
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I EXERCICES – page I-3
Chapitre 6 – Géométrie plane
9
Dans la figure ci-dessous, ABCD est un rectangle tel que AD = 3 cm et AB = 2 cm, le point E est
le symétrique de D par rapport à A et le point F est le symétrique de D par rapport à C.
Quel est le milieu du segment [EF ] ? Le démontrer. On pourra choisir un repère, déterminer les
coordonnées de E et F dans ce repère et calculer les coordonnées du milieu de [EF ].
b
B
F
C
b
E
A
D
10
ABCD est un rectangle tel que AB = 14 cm et AD = 8 cm. Les diagonales de ce rectangle se
coupent en E. Les points F et G sont les milieux respectifs des segments [AB] et [EC].
1. Tracer la figure.
2. Tracer le triangle DF G. Ce triangle est-il isocèle ? Démontrer sa réponse.
Affirmations et contre-exemples
11
1. Tracer un cercle (C) et placer trois points A, B, D sur ce cercle. Le triangle est-il rectangle ?
2. Peut-on dire que si trois points A, B, D sont sur un cercle, alors le triangle ABD rectangle ?
12
1. Tracer un triangle ABC et la hauteur issue de C. Cette hauteur coupe le côté (AB) en D. Le
point D est-il le milieu de [AB] ?
2. Peut-on dire que dans un triangle, une hauteur coupe le côté opposé en son milieu ?
13
1. Tracer deux segments [AC] et [BD] qui se coupent et qui soient de même longueur. Tracer le
quadrilatère ABCD. Ce quadrilatère est-il un rectangle ?
2. Peut-on dire que si les diagonales d’un quadrilatère sont de même longueur, alors ce quadrilatère
est un rectangle ?
14
1. Tracer deux segments [AC] et [BD] qui se coupent et qui soient perpendiculaires. Tracer le
quadrilatère ABCD. Ce quadrilatère est-il un losange ?
2. Peut-on dire que si les diagonales d’un quadrilatère sont perpendiculaires, alors ce quadrilatère
est un losange ?
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II COURS – page II-1
Chapitre 6 – Géométrie plane
II
1
Cours
Définitions et propriétés
Le contenu de ce chapitre est l’ensemble des définitions et propriétés de géométrie plane de collège.
1a Liste de définitions et propriétés
Voir chapitre 2 (deux pages).
1b Dans le manuel Transmath
Triangles, triangles particuliers, droites et points remarquables dans un triangle, quadrilatères pages
208, 209.
Médiatrice, bissectrice, symétries page 267.
Cercle, tangente, angle inscrit, angle au centre, polygones réguliers page 268.
Périmètres, aires, volumes (formulaire) page 269.
1c Autres définitions et propriétés
Un triangle isocèle a deux côtés égaux
Si un triangle est isocèle alors ses angles à la base sont égaux.
Un triangle équilatéral a trois côtés égaux
Si un triangle est équilatéral alors ses angles mesurent chacun 60 degrés.
Si deux figures sont symétriques, alors elles ont la même aire.
2
Démonstration
Une démonstration simple est composée de trois parties qui s’enchaînent logiquement.
1. Des informations qui viennent de l’énoncé ou d’une démonstration précédente ;
2. une propriété ou une définition ;
3. la conclusion.
Pour rédiger une démonstration, il faut souvent enchaîner plusieurs démonstrations simples.
Exemples : voir les corrections des exercices sur fiche no 1 et 4.
3
Propriété et contre-exemple
Une propriété en mathématiques, est une règle générale, elle est toujours vraie.
Par exemple, la propriété suivante, qui est dans la liste des propriétés de géométrie de collège, est
une affirmation toujours vraie.
Si un quadrilatère a ses diagonales de même milieu et de même longueur, alors c’est un rectangle.
Par contre l’affirmation ci-dessous n’est pas toujours vraie, elle n’est
pas une règle générale.
B
Si un quadrilatère a ses diagonales de même longueur, alors c’est
un rectangle.
Voici un contre-exemple : le quadrilatère ABCD ci-contre a ses
diagonales de même longueur et pourtant le quadrilatère ABCD
n’est pas un rectangle.
C
A
D
Un contre-exemple est un exemple qui sert à montrer qu’une affirmation n’est pas une règle générale.
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