P55 Exercices : variables aléatoires discrètes

PC
Lycée Thiers
Année 2016-2017
P55 Exercices : variables aléatoires discrètes
♣ Exercice 1
X suit une loi géométrique G ( p) (sur N∗ ).
1. Calculer P ( X Ê n) pour n ∈ N.
2. Retrouver ainsi la valeur de E ( X ).
♦ Exercice 2
X suit une loi de Poisson P (λ). Montrer que la fonction de répartition de X est donnée par
Z
1 +∞ −x n
e x dx.
∀ n ∈ N, P ( X É n) =
n! λ
♣ Exercice 3
X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes qui suivent des lois de Poisson de paramètres
respectifs λ et µ. Déterminer la loi de la somme X + Y .
♦ Exercice 4
Soit ( X , Y ) un couple de variables aléatoires à valeurs dans N2 tel que
∀( i, j ) ∈ N2 ,
P [( X , Y ) = ( i, j )] = λ
i+ j
i ! j !2 i+ j
.
1. Déterminer λ.
2. Déterminer les lois marginales de X et Y .
3. X et Y sont-elles indépendantes ?
♣ Exercice 5
X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois de Poisson de paramètres respectifs λ et µ. Déterminer la loi de X sachant que X + Y = n.
♦ Exercice 6
λ ∈ R∗+ . X est une variable aléatoire définie sur (Ω, T , P ). On suppose que X (Ω) = N et que
∀ k ∈ N,
P ( X = k) = ak2
λk
k!
.
1. Déterminer la fonction génératrice G X .
2. En déduire la valeur de a.
3. Calculer E ( X ).
♦ Exercice 7
2
Une variable aléatoire à valeurs dans N a une fonction génératrice de la forme G X ( t) = ae t .
1. Déterminer a.
2. Déterminer la loi de X .
3. Déterminer l’espérance et la variance de X .
♥ Exercice 8
On lance N dés. Après ce premier lancers ceux des dés qui ont donné un as sont mis de côté et les autres
sont relancés. On procède ainsi jusqu’à l’obtention des N as. On note T la variable aléatoire déterminant
le nombre de lancers nécessaires.
1. Calculer la loi de T .
2. En déduire que T admet une espérance et donner une expression pour celle-ci.
3. Application numérique : N = 3.
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R. Thomas
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♦ Exercice 9
On considère deux variables aléatoires indépendantes X et Y qui suivent une même loi géométrique de
paramètre p ∈]0 ; 1[. Déterminer E (max( X , Y )).
♦ Exercice 10
X 1 , X 2 , .©. . , X p sont p variables
aléatoires
indépendantes
suivant une loi uniforme sur [[1 ; n]]. On pose
ª
©
ª
U = min X 1 , X 2 , . . ., X p et V = max X 1 , X 2 , . . ., X p .
Exprimer E (U ) et E (V ) sous forme de sommes.
1
1
E (U ) et lim E (V ).
Déterminer lim
n→+∞ n
n→+∞ n
♥ Exercice 11
Donner un exemple de deux variables aléatoires X et Y d’espérances finies dont le produit est d’espérance infinie.
♦ Exercice 12
Montrer que deux variables aléatoires de Bernoulli sont indépendantes si, et seulement si, leur covariance est nulle.
♥ Exercice 13
Montrer que | Cov ( X , Y ) | = σ( X ).σ(Y ) si, et seulement si,
∃(a, b, c) ∈ R3 \ {(0, 0, 0)} , aX + bY + c = 0 presque sûrement.
♣♣ Exercice 14
On considère une série d’épreuves indexée par N∗ de Bernoulli indépendantes et de même paramètre p.
On note T le rang du premier succès. Montrer que T suit une loi géométrique dont on précisera le
paramètre.
♣ Exercice 15
On considère la somme de 2 n variables aléatoires X k pour 1 É k É 2 n, indépendantes suivant toutes la
même loi de Bernoulli de paramètre
¯
ï 1/2.
!
¯1 X
¯
2n
¯
¯
Pour ε = 10−3 , que dire de lim P ¯
X −1 ¯ Ê ε ?
n→+∞
¯ n k=1 i
¯
Ã
!
2
n
X
Évaluer lim P
Xi = n .
n→+∞
k=1
♣♣ Exercice 16
Que peut-on dire d’une variable aléatoire indépendante de toutes les autres ?
♣ Exercice 17
Une variable aléatoire X suit une loi binomiale de taille n et de paramètre p ∈]0 ; 1[. Pour quelle valeur
de k la probabilité P ( X = k) est-elle maximale ?
♥ Exercice 18
Deux variables aléatoires X et Y indépendantes suivent des lois binomiales de tailles respectives n et
m, et de même paramètre p. Déterminer la loi de la somme Z = X + Y .
♣ Exercice 19
Si deux variables aléatoires X et Y sont indépendantes, X + Y et X − Y sont-elles indépendantes ?
♣ Exercice 20
Deux variables aléatoires indépendantes X et Y suivent chacune une loi uniforme sur [[1 ; n]]. Déterminer l’espérance de Z = | X − Y |.
♦ Exercice 21
Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale de taille n et de paramètre p ∈]0 ; 1[. Calculer
1
.
l’espérance de Y =
1+ X
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R. Thomas