P55 Exercices : variables aléatoires discrètes

PC Lycée Thiers Année 2016-2017
P55 Exercices : variables aléatoires discrètes
♣Exercice 1
Xsuit une loi géométrique G(p) (sur N∗).
1. Calculer P(XÊn) pour n∈N.
2. Retrouver ainsi la valeur de E(X).
♦Exercice 2
Xsuit une loi de Poisson P(λ). Montrer que la fonction de répartition de Xest donnée par
∀n∈N,P(XÉn)=1
n!Z+∞
λ
e−xxndx.
♣Exercice 3
Xet Ysont deux variables aléatoires indépendantes qui suivent des lois de Poisson de paramètres
respectifs λet µ. Déterminer la loi de la somme X+Y.
♦Exercice 4
Soit (X,Y) un couple de variables aléatoires à valeurs dans N2tel que
∀(i,j)∈N2,P[(X,Y)=(i,j)] =λi+j
i!j!2i+j.
1. Déterminer λ.
2. Déterminer les lois marginales de Xet Y.
3. Xet Ysont-elles indépendantes ?
♣Exercice 5
Xet Ysont deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois de Poisson de paramètres respec-
tifs λet µ. Déterminer la loi de Xsachant que X+Y=n.
♦Exercice 6
λ∈R∗
+.Xest une variable aléatoire définie sur (Ω,T,P). On suppose que X(Ω)=Net que
∀k∈N,P(X=k)=ak2λk
k!.
1. Déterminer la fonction génératrice GX.
2. En déduire la valeur de a.
3. Calculer E(X).
♦Exercice 7
Une variable aléatoire à valeurs dans Na une fonction génératrice de la forme GX(t)=aet2.
1. Déterminer a.
2. Déterminer la loi de X.
3. Déterminer l’espérance et la variance de X.
♥Exercice 8
On lance Ndés. Après ce premier lancers ceux des dés qui ont donné un as sont mis de côté et les autres
sont relancés. On procède ainsi jusqu’à l’obtention des Nas. On note Tla variable aléatoire déterminant
le nombre de lancers nécessaires.
1. Calculer la loi de T.
2. En déduire que Tadmet une espérance et donner une expression pour celle-ci.
3. Application numérique : N=3.
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♦Exercice 9
On considère deux variables aléatoires indépendantes Xet Yqui suivent une même loi géométrique de
paramètre p∈]0 ; 1[. Déterminer E(max(X,Y)).
♦Exercice 10
X1,X2,..., Xpsont pvariables aléatoires indépendantes suivant une loi uniforme sur [[1 ; n]]. On pose
U=min©X1,X2,...,Xpªet V=max©X1,X2,...,Xpª.
Exprimer E(U) et E(V) sous forme de sommes.
Déterminer lim
n→+∞
1
nE(U) et lim
n→+∞
1
nE(V).
♥Exercice 11
Donner un exemple de deux variables aléatoires Xet Yd’espérances finies dont le produit est d’espé-
rance infinie.
♦Exercice 12
Montrer que deux variables aléatoires de Bernoulli sont indépendantes si, et seulement si, leur cova-
riance est nulle.
♥Exercice 13
Montrer que |Cov (X,Y)| = σ(X).σ(Y) si, et seulement si,
∃(a,b,c)∈R3\{(0,0,0)},aX +bY +c=0 presque sûrement.
♣♣ Exercice 14
On considère une série d’épreuves indexée par N∗de Bernoulli indépendantes et de même paramètre p.
On note Tle rang du premier succès. Montrer que Tsuit une loi géométrique dont on précisera le
paramètre.
♣Exercice 15
On considère la somme de 2nvariables aléatoires Xkpour 1 ÉkÉ2n, indépendantes suivant toutes la
même loi de Bernoulli de paramètre 1/2.
Pour ε=10−3, que dire de lim
n→+∞ Pﯯ¯¯
1
n
2n
X
k=1
Xi−1¯¯¯¯¯
Êε!?
Évaluer lim
n→+∞ PÃ2n
X
k=1
Xi=n!.
♣♣ Exercice 16
Que peut-on dire d’une variable aléatoire indépendante de toutes les autres ?
♣Exercice 17
Une variable aléatoire Xsuit une loi binomiale de taille net de paramètre p∈]0 ; 1[. Pour quelle valeur
de kla probabilité P(X=k) est-elle maximale ?
♥Exercice 18
Deux variables aléatoires Xet Yindépendantes suivent des lois binomiales de tailles respectives net
m, et de même paramètre p. Déterminer la loi de la somme Z=X+Y.
♣Exercice 19
Si deux variables aléatoires Xet Ysont indépendantes, X+Yet X−Ysont-elles indépendantes ?
♣Exercice 20
Deux variables aléatoires indépendantes Xet Ysuivent chacune une loi uniforme sur [[1 ; n]]. Déter-
miner l’espérance de Z= | X−Y|.
♦Exercice 21
Soit Xune variable aléatoire suivant une loi binomiale de taille net de paramètre p∈]0 ; 1[. Calculer
l’espérance de Y=1
1+X.
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