THEORIE Le but de cette séquence est de savoir reconnaître deux
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ème S I M I L I T U D E S - Synthèse et exercices - 3 année - page 1/6 THEORIE Le but de cette séquence est de savoir reconnaître deux triangles semblables et en particulier de savoir démontrer qu’ils le sont vraiment (ou pas). Dans un plan, deux figures sont semblables ssi elles sont image l’une de l’autre par la composée d’une ou plusieurs transformations du plan prise(s) parmi les suivantes: translation, symétrie axiale, symétrie centrale, rotation, homothétie à rapport non nul. Pour les triangles nous retiendrons trois critères. Voici leur énoncé. Deux triangles sont semblables ssi ils ont leurs côtés homologues de longueur proportionnelle (c’est à dire les côtés respectivement de longueur proportionnelle) ssi ils ont un angle de même amplitude compris entre deux côtés respectivement proportionnels ssi ils ont deux angles respectivement de même amplitude (le troisième l’étant alors forcément aussi). ème S I M I L I T U D E S - Synthèse et exercices - 3 année - page 2/6 EXERCICES 1) Exercice résolu 1’) Exercice à résoudre Enoncé: Figure: Dans le trapèze rectangle ABCD, les côtés [AB] et [CD] sont non parallèles. Soit P un point quelconque du segment [CD]. Soit X le point d’intersection entre [BC et [AP. Démontrer que les triangles CPX et DPA sont semblables. Figure: Hypothèses: 1. AB // CD 2. AD // BC 3. E ∈ ]BC[ 4. F ∈[ AE ∩ [ DC Hypothèses: Thèse : 1. AB⊥BC 2. AB⊥AD 3. P ∈ ]CD[ 4. X ∈ [ BC ∩ [ AP Démonstration: → DPˆ A° = CPˆ X ° car ce sont des angles opposés par le sommet (par H3 et H4) → PAˆ D° = PXˆC ° car ce sont des angles alternes-internes formés par deux parallèles et une même sécante. En effet, dans un plan, deux droites perpendiculaires à une même troisième (H1 et H2) sont parallèles entre elles. Critère utilisé: deux triangles sont semblables ssi ils ont deux angles respectivement de même amplitude. Thèses: et Démonstration(s): et ème S I M I L I T U D E S - Synthèse et exercices - 3 année - page 3/6 Exercices à résoudre sur feuilles annexées. 2) Sur la figure ci-contre, AC//DF et les droites BG et DF se croisent en E, trouve toutes les similitudes possibles entre les bons triangles. 3) En tenant compte des indications fournies sur le dessin à gauche, trouve et démontre les similitudes entre les triangles représentés. 4) Trouve les deux critères de similitude des triangles rectangles et justifie. 5) Démontre que si deux triangles ont leurs côtés directement ou inversement parallèles, alors ils sont semblables. 6) Soit un triangle MNP avec 1. D ∈]MN [ 2. E ∈]NP[ 3. DE // MP 7) On prolonge les côtés non parallèles [MN] et [QT] d’un trapèze MNTQ. MN et QT se coupent en R. Après représentation, complète le tableau suivant: Après avoir représenté la figure, complète le tableau suivant: MN = 3 NT = 8 MN = 4 ND = TQ = 5 NP = 3 DM = ⇒ QM = 12 MP = 6 NE = ED = 4 EP = ⇒ RN = RT = ème S I M I L I T U D E S - Synthèse et exercices - 3 année - page 4/6 8) Dans le triangle équilatéral ABC représenté ci-contre, M est le milieu du segment [AC], N est milieu de [AB] et P milieu de [BC]. Les droites AP, NC et MB concourent en O. 1 Démontrer que OM = MB 3 9) En observant la figure ci-contre, cite les trois paires de triangles semblables. Y a-t-il d’autres figures semblables ? 10) Démontre que si deux triangles ont leurs côtés perpendiculaires chacun à chacun, alors ces triangles sont semblables. 11) Sacré Julie ! Cette année-là, pendant que j’expliquais quelque chose au tableau, au lieu d’écouter, je la surprends à faire du dessin artistique. Je plonge sur sa feuille et découvre ce merveilleux diagramme où chaque sommet du carré initial est relié aux milieux des côtés non adjacents renfermant bien des similitudes. Saurastu retrouver les relations qu’il y a entre tous les angles représentés ? La figure centrale est-elle un octogone régulier ? Si oui, pourquoi ? ème S I M I L I T U D E S - Synthèse et exercices - 3 année - page 5/6 12) La pyramide SABCD est tronquée parallèlement à la base et donc AB//A’B’ , BC//B’C’ , CD//C’D’ et AD//A’D’. M est le milieu de l’arête [AB]. SM ' 1 = =k, SM 3 Calcule le rapport des aires des carrés A’B’C’D’ et ABCD en fonction de k. En supposant que Calcule ensuite le rapport des volumes des pyramides SA’B’C’D’ et SABCD. Suggestion: tu peux commencer en prenant k = 2 ou k = 3 et ensuite généraliser Rappel : le volume d’une pyramide vaut l’aire de la base multipliée par la hauteur et par 1/3. 13) Une feuille A4 est telle que si on la plie selon sa petite médiane, on obtient un rectangle ayant le même rapport longueur/largeur. y = x x y 2 c y 2x = x y Ce rapport vaut si on regarde la figure de gauche y/x. Si on veut que la proportion soit respectée après pliage de la petite médiane, sur la figure de droite ce rapport doit être x divisé par (y/2). D’où l’équation révélant ce rapport. c y = 2x 2 ⇔ y = x . 2 2 Sur une feuille A4, réalise les trois plis MN, AN et DB de la figure ci-contre. Démontre que : DT = 1 DB et AN⊥DB 3 ème S I M I L I T U D E S - Synthèse et exercices - 3 année - page 6/6 14) Sur la figure ci-contre, M est le milieu du côté [BC] et N le milieu du côté [AB]. a) recherche les hypothèses, les thèses et démontre ensuite b) démontre que si AB ⊥ BC, alors tous les triangles représentés sont semblables. 15) En observant la représentation du pentagone régulier ci-contre, a) repère les angles ayant même amplitude en justifiant b) retrouve parmi les triangles représentés les familles de triangles semblables. 16) Réalise les figure annotée, hypothèses, thèse et démonstration du théorème de géométrie plane dont voici l’énoncé : tout quadrilatère convexe est tel qu’en joignant les milieux de ses côtés consécutifs, on obtient un parallélogramme. 17) Sers-toi des similitudes pour démontrer que : 2 a) AC = BC . CD ou que dans tout triangle rectangle, le carré de la hauteur relative à l’hypoténuse vaut le produit des longueurs des segments qu’elle y détermine 2 2 b) AB = BC . BD et AD = CD . BD ou que dans tout triangle rectangle, le carré de la longueur d’un cathète vaut le produit de la longueur de l’hypoténuse et de la longueur de sa projection orthogonale sur l’hypoténuse.
