THEORIE Le but de cette séquence est de savoir reconnaître deux

S I M I L I T U D E S - Synthèse et exercices - 3
ème
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THEORIE Le but de cette séquence est de savoir
reconnaître deux triangles semblables et
en particulier de savoir démontrer qu’ils le
sont vraiment (ou pas).
Dans un plan, deux figures sont
semblables ssi elles sont image l’une de
l’autre par la composée d’une ou
plusieurs transformations du plan prise(s)
parmi les suivantes: translation, symétrie
axiale, symétrie centrale, rotation,
homothétie à rapport non nul.
Pour les triangles nous retiendrons trois
critères. Voici leur énoncé.
Deux triangles sont semblables
ssi
ils ont leurs côtés homologues de
longueur proportionnelle (c’est à dire les
côtés respectivement de longueur
proportionnelle)
ssi
ils ont un angle de même amplitude
compris entre deux côtés respectivement
proportionnels
ssi
ils ont deux angles respectivement de
même amplitude (le troisième l’étant alors
forcément aussi).

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EXERCICES
1) Exercice résolu
Enoncé:
Dans le trapèze rectangle ABCD, les
côtés [AB] et [CD] sont non parallèles.
Soit P un point quelconque du segment
[CD]. Soit X le point d’intersection entre
[BC et [AP. Démontrer que les triangles
CPX et DPA sont semblables.
Figure:
Hypothèses: Thèse :
∩∈
∈⊥
⊥
APBCX
CDP
ADAB
BCAB
[[.4
[].3
.2
.1
Démonstration:
→ °=° XPCAPD ˆˆ car ce sont des angles
opposés par le sommet (par H
3
et H
4
)
→ °=° CXPDAP ˆ
ˆ
car ce sont des angles
alternes-internes formés par deux
parallèles et une même sécante. En effet,
dans un plan, deux droites
perpendiculaires à une même troisième
(H1 et H2) sont parallèles entre elles.
Critère utilisé:
deux triangles sont semblables ssi ils ont
deux angles respectivement de même
amplitude.
1’) Exercice à résoudre
Figure:
Hypothèses:
∩∈
∈DCAEF BCE
BCAD
CDAB
[[.4
[].3
//.2
//.1
Thèses:
et et
Démonstration(s):

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Exercices à résoudre sur feuilles annexées.
2) Sur la figure ci-contre, AC//DF et les
droites BG et DF se croisent en E,
trouve toutes les similitudes possibles
entre les bons triangles.
3) En tenant compte des indications
fournies sur le dessin à gauche,
trouve et démontre les similitudes
entre les triangles représentés.
4) Trouve les deux critères de similitude
des triangles rectangles et justifie. 5) Démontre que si deux triangles ont leurs côtés directement ou inversement
parallèles, alors ils sont semblables.
6) Soit un triangle MNP avec
∈
∈
MPDE
NPE
MND
//.3
[].2
[].1
Après avoir représenté la figure, complète
le tableau suivant:
=
==
=
⇒
=
=
=
=
EP
NE
DM
ND
ED
MP
NP
MN
4
6
3
4
7) On prolonge les côtés non parallèles
[MN] et [QT] d’un trapèze MNTQ.
MN et QT se coupent en R.
Après représentation, complète le tableau
suivant:
=
=
⇒
=
=
=
=
RT
RN
QM
TQ
NT
MN
12
5
8
3

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8) Dans le triangle équilatéral ABC
représenté ci-contre, M est le milieu du
segment [AC], N est milieu de [AB] et P
milieu de [BC]. Les droites AP, NC et MB
concourent en O.
Démontrer que MBOM
3
1
=
9) En observant la figure ci-contre, cite
les trois paires de triangles semblables.
Y a-t-il d’autres figures semblables ?
10) Démontre que si deux triangles ont leurs côtés perpendiculaires chacun à
chacun, alors ces triangles sont semblables.
11) Sacré Julie !
Cette année-là, pendant que j’expliquais
quelque chose au tableau, au lieu
d’écouter, je la surprends à faire du
dessin artistique. Je plonge sur sa feuille
et découvre ce merveilleux diagramme où
chaque sommet du carré initial est relié
aux milieux des côtés non adjacents
renfermant bien des similitudes. Sauras-
tu retrouver les relations qu’il y a entre
tous les angles représentés ?
La figure centrale est-elle un octogone
régulier ? Si oui, pourquoi ?

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Suggestion: tu peux commencer en prenant k = 2 ou
k = 3 et ensuite généraliser
12) La pyramide SABCD est tronquée
parallèlement à la base et donc
AB//A’B’ , BC//B’C’ , CD//C’D’ et
AD//A’D’.
M est le milieu de l’arête [AB].
En supposant que k
SM
SM == 3 1'
,
Calcule le rapport des aires des carrés
A’B’C’D’ et ABCD en fonction de k.
Calcule ensuite le rapport des volumes
des pyramides SA’B’C’D’ et SABCD.
Rappel : le volume d’une pyramide vaut l’aire de
la base multipliée par la hauteur et par 1/3.
2.2
2
22
2
xyxy
y
x
x
y
x
yy
x
=⇔=
=
=
c
c
13) Une feuille A4 est telle que si on la
plie selon sa petite médiane, on obtient
un rectangle ayant le même rapport
longueur/largeur.
Ce rapport vaut si on regarde la figure de
gauche y/x.
Si on veut que la proportion soit
respectée après pliage de la petite
médiane, sur la figure de droite ce rapport
doit être x divisé par (y/2).
D’où l’équation révélant ce rapport.
Sur une feuille A4, réalise les trois plis
MN, AN et DB de la figure ci-contre.
Démontre que :
DBANetDBDT ⊥=
3
1