Loi des aires – Rapport de labo physique sur le pendule elliptique

Emmy, Andréa
Loi des aires
But de l’expérience:
Le but du labo est de vérifier expérimentalement la loi des aires en étudiant le mouvement d’un
pendule dont la trajectoire est elliptique.
Matériel:
- Pendule simple
- dispositif producteur d’étincelles
- papier thermosensible
- chronomètre
- instruments de géométrie ( équerre, règle, pistolet pour tracer les courbes )
Théorie:
On considère un point matériel de masse m, en mouvement, soumis à une force dont la direction
𝐹
passe toujours par un point fixe O.
Alors:
- Le moment par rapport à O est s’annule donc la force est nulle.
𝑀
- Le moment cinétique par rapport à O est constant.
𝐿
Le mouvement possède donc une conservation de mouvement cinétique.
Loi des aires :
La conservation du mouvement cinétique implique que le vecteur position ( qui relie O au point
𝑟
matériel) balaie des aires égales pendant des intervalles de temps égaux.
Mathématiquement : constante
𝑑𝑆
𝑑𝑡 =
Donc si deux intervalles de temps sont égaux:
𝑡 2−𝑡 1=𝑡 4−𝑡 3
Alors les aires balayées sont aussi égales :
∆𝑆 =∆𝑆'
∆𝑆= 1
2𝑎𝑏∆𝑡
Application au pendule:
Le corps est attaché au bout d’un long fil de masse négligeable.
L’ensemble constitue un pendule simple.
Pour des oscillations de faible amplitude, le mouvement du pendule dans le plan peut être décrit
comme une ellipse.
La force résultante peut s’écrire: ( où C est constant )
𝐹 𝑟= −𝐶·𝑟
1

Emmy, Andréa
Le mouvement dans le plan peut alors s’écrire :
𝑟 𝑡()= 𝐴·𝑠𝑖𝑛ω𝑡+ϕ 1
( )
; 𝐵·𝑠𝑖𝑛ω𝑡+ϕ 2
( )( )
Cas particuliers:
trajectoire droite: ou
ϕ 1=ϕ 2ϕ 1−ϕ 2= ±π
trajectoire circulaire : et
ϕ 2−ϕ 1= ± π
2𝐴=𝐵
Pour notre labo, nous choisirons un système d’axes cartésiens. La position sera placé à l’extrémité
𝑟 0
de l’axe.
L’horaire suivant peut alors s’exprimer :
𝑟(𝑡)= 𝑎·𝑐𝑜𝑠ω𝑡( ); 𝑏·𝑠𝑖𝑛ω𝑡( )( )
(a est la longueur du demi grand axe et b la longueur du demi petit axe)
Nous avons aussi la vitesse maximum et minimum de m:
,
𝑣 𝑚𝑎𝑥
|||||| ||||||=2π
𝑇𝑎 𝑣 𝑚𝑖𝑛
|||||| ||||||=2π
𝑇𝑏
(T est la période de notre mouvement elliptique)
La dernière formule a notre disposition est la formule du moment cinétique de m:
𝐿| || |= 2π𝑚𝑎𝑏
𝑇
Résumé de l'expérience:
Relevé expérimentaux:
Tout d’abord, nous avons mesuré la période T du pendule. Pour ce faire, nous avons observé un
nombre N d’oscillations de notre pendule en mesurant le temps total du mouvement ( . Puis nous
∆𝑡)
avons utilisé la formule: pour obtenir la période.
𝑇= ∆𝑡
𝑁
Ensuite, nous avons fait plusieurs tentatives de production d’étincelle, en allumant l'interrupteur
électrique pour vérifier si le système marche.
Nous avons utilisé une feuille de papier thermosensible et l’avons placé sur la plaque métallique
horizontale. Après avoir immobilisé le pendule, nous avons allumé le moteur pour produire des
étincelles et marquer l’origine O qui est le centre de notre ellipse.
Pour produire le mouvement elliptique, nous avons écarté le pendule de sa position d'équilibre O,
c’est a dire sa position immobile, et nous lui avons donné une impulsion latérale. Pour marquer la
trajectoire sur la feuille de papier, nous avons actionné le moteur pendant une durée d’une période
pour générer des étincelles répartis régulièrement dans le temps.
Ensuite, nous avons isolé la feuille de papier, sur lequel nous avons retracé la trajectoire et déterminé
les positions des extrémités des axes de symétrie pour ensuite les tracer.
Comme démontré dans la partie “Eléments de Théorie” nous savons qu’une ellipse est le lieu
géométrique de points dans lequel la somme de leurs distances aux foyers F1 et F2 est constante. Pour
vérifier que la trajectoire étudiée est bien une ellipse nous avons placé cinq points sur la trajectoire et
nous avons évalué cette somme de distance pour voir si elle est bien constante.
Nous avons vérifié la loi des aires en prenant trois couples de points séparés par des intervalles de
temps égaux.
Pour finir nous avons évalué la vitesse maximum, la vitesse minimum et le moment cinétique du
pendule.
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Emmy, Andréa
Mesures:
Mesure de la période du pendule:
Nombre d’oscillations: N
Durée totale: (s)
∆𝑡
Période: T= (s)
∆𝑡
𝑁
10
25,44
2,54
Mesure de l’ellipse:
Grandeur mesurée
Symbole
Valeur: [cm]
Longueur du grand axe
2a
26,4
Longueur du demi grand axe
a
13,2
Longueur du demi petite axe
b
5,5
Distance centre-foyer
c
12
Vérification de la propriété de l’ellipse:
Point:
𝑃 𝑖
distance de à : [cm]
𝐹 1𝑃 𝑖𝑙 1 (𝑛)
distance de à :
𝐹 2𝑃 𝑖𝑙 2 (𝑛)
[cm]
Propriété de l’ellipse :
𝐿=𝑙 1+𝑙 2=2𝑎
[cm]
Erreure relative:
Valeure théorique:
2a = 26,4 [cm]
[%]
𝑃 1
18,2
8,4
26,6
0,75
𝑃 2
23,7
3,3
27
2,3
𝑃 3
19,3
7,2
26,5
0,38
𝑃 4
4,3
22,5
26,8
1,5
𝑃 5
8,9
17,6
26,5
0,38
3

Emmy, Andréa
Vérification de la loi des aires:
Points : n
Intervalle de temps: [s]
∆𝑡
Aire balayée : [cm ]
∆𝑆= 1
2𝑎𝑏∆𝑡 2
1
Séparer tous les 4 points
Combien ça fait de temps ?
2
3
Il faut aller voir dans la classe de physique tout les combien de temps il y avait une étincelle
Calculs de l’ellipse:
Vitesse maximale =
𝑣 𝑚𝑎𝑥
|||||| ||||||=2π
𝑇·𝑎= 2π 2,54 ·13, 2≃32,7 𝑐𝑚/𝑠[ ] ≃0,327 𝑚/𝑠[ ]
Vitesse minimale =
𝑣 𝑚𝑖𝑛
|||||| ||||||= 2π
𝑇·𝑏= 2π 2,54 ·5, 5 ≃13,6 𝑐𝑚/𝑠[ ] ≃0,136 𝑚/𝑠[ ]
Moment cinétique =
𝐿||| | = 2·π·𝑚·𝑎·𝑏
𝑇=2π·𝑚·13,2·5,5 2,54 ≃ ? 𝑔·𝑐𝑚 2/𝑠
[ ]
≃ ? 𝑘𝑔·𝑚 2/𝑠
[ ]
Chercher la masse !!
Incertitudes:
Règle:
±0, 1 𝑐𝑚[ ] =±0, 001 [𝑚]
Chronomètre:
± 0, 01 𝑠[]
Oscillations: ( réaction humaine pour s’arrêter )
±0,2
Incertitude de la période :
𝐼𝑇=𝑇± 𝑇· ∆𝑡
𝑡+∆𝑁 𝑁
( )( )
=2, 54 ± 2,54· 0,01
25,44 +0,2 10
( )( )
=2, 54±0, 05𝑠[]
Incertitude propriétée de l’ellipse:
𝐼𝐿
𝐿± 𝐿· ∆𝑙 1
𝑙 1 (𝑖) +∆𝑙 2 𝑙 2 (𝑖)
( )( )
[𝑐𝑚]
𝐼𝐿 1
26,6± 26,6· 0,1
18,2 +0,1 8,4
( )( )
= 26, 6 ±0, 5
𝐼𝐿 2
27± 27· 0,1
23,7 +0,1 3,3
( )( )
= 27 ±0, 9
4

Emmy, Andréa
𝐼𝐿 3
26,5± 26,5· 0,1
19,3 +0,1 7,2
( )( )
= 26, 5 ±0, 5
𝐼𝐿 4
26,8± 26,8· 0,1
4,3 +0,1 22,5
( )( )
= 26, 8 ±0, 7
𝐼𝐿 5
26,5± 26,5· 0,1
8,9 +0,1 17,6
( )( )
= 26, 5 ±0, 4
2𝑎= 24± 24· 0,1
12
( )( )
=24±0, 2 [𝑐𝑚]
Incertitude de l’aire balayée:
𝐼∆𝑆
𝑆± 𝑆· ∆+∆
( )( )
𝐼∆𝑆 1
𝐼∆𝑆 2
𝐼∆𝑆 3
Incertitude de la vitesse maximum:
𝐼 𝑣 𝑚𝑎𝑥
|||||| ||||||= 𝑣 𝑚𝑎𝑥 |||||| ||||||± 𝑣 𝑚𝑎𝑥 |||||| ||||||·∆𝑇
𝑇+∆𝑎 𝑎
( )
( )
=0, 327± 0, 327· 0,05
2,54 +0,001 0,132
( )( )
≃0, 327±0, 009 𝑚/𝑠[ ]
Incertitude de la vitesse minimum:
𝐼 𝑣 𝑚𝑖𝑛
|||||| ||||||= 𝑣 𝑚𝑖𝑛 |||||| ||||||± 𝑣 𝑚𝑖𝑛 |||||| ||||||·∆𝑇
𝑇+∆𝑏 𝑏
( )
( )
=0, 136± 0, 136· 0,05
2,54 +0,001 0,05
( )( )
≃0, 136±0, 005 𝑚/𝑠[ ]
Incertitude du moment cinétique
𝐼 𝐿||| |= 𝐿||| |± 𝐿||| |· ∆𝑎
𝑎+∆𝑏 𝑏+∆𝑇 𝑇+∆𝑚 𝑚
( )( )
= 𝐿||| | ± 𝐿||| | · 0,001
0,132 +0,001 0,05 +0,05 2,54 +∆𝑚 𝑚
( )( )
= 𝑘𝑔·𝑚 2/𝑠
[ ]
Analyse des résultats
Propriété de l’ellipse :
𝐿=𝑙 1+𝑙 2=2𝑎
Lors de notre calcul
Tout d’abord, nous pouvons voir que pour plusieurs points, la loi des aires est vérifiée, nous avons à
chaque fois une erreure relative inférieure à 2,5 % ce qui est très faible. Nous pouvons donc dire que
la trajectoire étudiée est bien un mouvement elliptique.
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