Transformations complexes du plan : lignes de niveau et interprétation géométrique

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Transformations complexes du plan,
lignes de niveau et interprétation
géométrique
1.1 Ligne de niveau
Définition 1.1.1 : Dans un repère orthonormal ( O ; u, v ), la ligne de niveau Lk d’une
fonction fde Cdans Rest l’ensemble des points Md’affixe ztels que f(z) = k.
Exemple 1.1.1 :
1. Lignes de niveau f:z7→ Re(z)( partie réelle de z).
z=x+iy ;Re(z) = k⇔x=k
Il s’agit donc de la droite d’équation x=k
2. Lignes de niveau f:z7→ Im(z)(partie imaginaire de z)
z=x+iy ;Re(z) = k⇔y=k
Il s’agit donc de la droite d’équation y=k
3. Lignes de niveau de f:z7→ |z|(module de z)
z=x+iy ;|z|=k⇔√x2+y2=k⇔x2+y2=k2
Il s’agit donc du cercle de centre Oet de rayon k
4. Lignes de niveau de f:z7→ |z−a|,a∈C
z=x+iy ;a=α+iβ
|z−a|=k⇔(x−α)2+ (y−β)2=k2
Il s’agit donc du cercle de centre Ad’affixe aet de rayon k.
Cours analyse complexe 1

1.1. Ligne de niveau
5. Lignes de niveau de f:z7→ arg z
z=x+iy ;arg z=k⇔(~u, −−→ OM) = k
Il s’agit donc de la demi-droite d’origine O,Oexclu et d’angle polaire k
6. Lignes de niveau de f:z7→ arg(z−a)
z=x+iy ;a=α+iβ
arg(z−a) = k⇔(~u, −−→ AM) = k
Il s’agit donc de la demi-droite d’origine A,Aexclu et d’angle polaire k
On rappelle que l’égalité du parallélogramme est : |z1+z2|2
2+|z1−z2|2 2=|z1|2+|z2|2
7. Lignes de niveau faisant intervenir une somme de distances
f:C−→ Rest définie par f(z) = |z−a|+|z−b|,a, b ∈C,a6=b
Soit A et B les images de a et b . Il est claire que M∈Lk ( P )équivaut à MA + MB = k,
d’où
— Si k < AB,Lk(P) = ∅
— Si k=AB,Lk(P) = [AB]
— Si k > AB , Lk ( P )est l’ellipse de foyers A et B et dont la longueur du grand axe
est k.
En remplaçant f par la fonction g définie par g ( z ) = ||z−a| − |z−b||, on obtient
pour 0< k < AB des hyperboles.
On peut aussi considérer la fonction h : z7→ |z−a|2 + |z−b|2. Si h ( z ) = k alors, en
remplaçant dans l’égalité du parallélogramme donné plus haut z1 et z2 par z−a et
z−bon obtient :
2k=|2z−(a+b)|2+|a−b|2
d’où
|z−a+b
2|2=1 2k− |a−b 2|2
ce qui montre que les lignes de niveau de h sont vides ou des cercles centrés au milieu
de [ AB ] . On a donc démontrer que l’ensemble des points dont la somme des carrés
des distances à deux points fixes A et B est vide ou est un cercle centré au milieu
du segment [AB].
8. Lignes de niveau faisant intervenir le quotient des distances
f:C−→ Rest définie par f(z) = |z−a|
|z−b|,a, b ∈C,a6=b
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1.1. Ligne de niveau
Soit A et B les images de a et b . Il est claire que M∈Lk ( P )équivaut à
MA
MB
= k,
d’où
— Si k < AB,Lk(P) = ∅
— Si k= 0,L0(P) = {A}
— Si k= 1,L1(P)est la médiatrice du segment [AB]
— Si k > 0, Lk ( P )est le cercle ayant pour diamètre le segment [ CD ]où C et D
sont les barycentres de {(A, 1),(B, k)}et {(A, 1),(B, −k)}.
On trouvera une étude de ces lignes de niveau à l’aide des nombres complexes dans
le paragraphe ci-dessous.
9. Lignes de niveau faisant intervenir des angles
f:C∗−→ R
2πZest définie par f(z) = arg z
Soit θ0∈ [0 , 2 π [et z0 = cos θ0 + isin θ0 . On a pour z6 = 0, arg z = θ0 + 2 πZ = arg z0
si et seulement si arg z
z0
= 0 ; autrement dit si et seulement si
z
z0
est un réel λ > 0 . Il
résulte que
Lθ0={z|arg z=θ0+ 2πZ}={z|z=λz0, λ > 0}
Dans le plan complexe, la ligne de niveau Lθ0 est donc la demi-droite ouverte d’origine
O dirigée par le vecteur z0. Dans un plan affine euclidien orienté mini d’un repère
orthonormé direct ( O, ¯u, ¯v ), l’image de Lθ0 est la demi-droite ouverte d’origine O et
dirigée par le vecteur unitaire qui est l’image de z0.
En utilisant l’interprétation géométrique de l’argument, cette demi-droite est l’en-
semble des points Mtels que mes(−→ u , −−→ OM) = θ0+ 2πZ.
f:C− {a, b} −→ R
2πZest définie par f(z) = arg z−a z−b
On suppose P orienté, muni d’un repère direct ( O, ¯u, ¯v )et on désigne par A et B les
images de aet b. Si M∈Pest l’image de z, alors
arg z−a
z−b=k⇔mes(−−→
MB, −−→ MA) = k
et on a donc les cas suivants :
— Si k= 2πZ,Lk(P)est la droite (AB)privée du segment [AB]
— Si k=π+ 2πZ,Lk(P)est le segment [AB]prive des points Aet B
— Sinon, Lk(P)est un arc de cercle ouvert limité par les points Aet B
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1.2. Transformations géométriques
Il existe une preuve géométrique de ces résultats mais on peut aussi en donner qui
utilise uniquement des nombres complexes en appliquant la méthode du paragraphe
ci-dessous.
1.2 Transformations géométriques
Soit une fonction f:C−→ Cdéfinie par z7→ z0=f(z).
Soit dans un repère orthonormal ( O, ¯u, ¯v ), le point M d’affixe z et le point M0 d’affixe
z0 = f ( z ) . On définit ainsi, dans le plan, la transformation géométrique associée à f qui, à
tout point M, fait correspondre le point M0.
1.2.1 Transformation associée à f:z7→ z+b(b=α+iβ)
M(z)7→ M0(z0)
z0=z+b⇔
x0=x+α
y0=y+β⇔−−−→
MM0=−→ wα
β
La transformation géométrique associée à f : z7→ z + b est donc la translation de vecteur
−→
wα
β
1.2.2 Transformation associée à f:z7→ ¯z
M(z)7→ M0(z0)
z0= ¯z⇔
x0=x
y0=−y
La transformation géométrique associée à f : z7→ ¯z est donc la réflexion (symétrie
orthogonale) d’axe (O;~u).
1.2.3 Transformation associée à f:z7→ kz (kréel non nul)
M(z)7→ M0(z0)
z0=kz ⇔
|z0|=|k||z|
arg z0= arg z+ arg k⇔−−→
OM0=k−−→ OM
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1.2. Transformations géométriques
arg k= 0 ou πselon que k > 0ou k < 0
La transformation géométrique associée à f : z7→ kz est donc l’homothétie de centre
Oet de rapport k.
1.2.4 Transformation associée à f:z7→ eiθ z
M(z)7→ M0(z0)
z0=eiθz⇔
|z0|=|z|
arg z0= arg z+θ[2π]⇔
OM0=OM
(~u, −−→ OM0) = (~u, −−→ OM) + θ[2π]
⇔
OM0=OM
(−−→ OM, −−→ OM0) = θ[2π]
La transformation géométrique associée à f : z7→ eiθz est la rotation de centre O et
d’angle θ.
1.2.5 Transformation associée à f:z7→ az (a=ρeiθ z) (a6= 0)
M(z)7→ M0(z0)
z0=az ⇔
|z0|=ρ|z|
arg z0= arg z+θ[2π]⇔
OM0=ρOM
(~u, −−→ OM0) = (~u, −−→ OM) + θ[2π]
⇔
OM0=ρOM
(−−→ OM, −−→ OM0) = θ[2π]
Cette transformation géométrique est donc la composée de la rotation de centre O et
d’angle θet de l’homothétie de centre Oet de rapport ρ(ρ > 0).
Cette transformation géométrique associée à f : z7→ az s’appelle une similitude de
centre O, de rapport ρet d’angle θ.
1.2.6 Transformation associée à f:z7→ 1
z(z6= 0)
z0=1
z⇔
|z0|=1
|z|
arg z0=−arg z⇔
OM0=1
OM
(~u, −−→ OM0) = −(~u, −−→ OM)[2π]
Cette transformation associée à la fonction inverse définie dans C− { 0 } est appelée
inversion complexe.
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