Cours de Statistique Descriptive - UNB

Université Nazi Boni (UNB)
.................................
École Supérieur d’informatique (E.S.I.)
Cours de Statistique Descriptive
Dr. Julien ZONGO
Année académique 2024-2025
Objectif de la Statistique Descriptive : décrire de façon synthétique et
parlante des données observées pour mieux les analyser.
VH : CT :15H+ TD :15H
Bibliographie
[1] Walder Masiori : Statistique et calcul de probabilité
[2] Sites : www.bibmath.fr
2
Table des matières
1
Généralités sur la statistique
1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Concepts de bases usuels de la statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Population et individu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Les modalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 variable statistique ou caractère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6
6
6
2 Statistique à une variable
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Présentation des données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Tableau de dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Tableau des fréquences d’une distribution . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Le diagramme en bâton et le Diagramme circulaire . . . . . . . . .
Histogramme et polygone des fréquences . . . . . . . . . . . . . . .
Courbe des fréquences (ou cumulatives) . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Caractéristiques de tendance centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Le mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 La médiane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Généralisation de la notion de médiane . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4 La moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La moyenne arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La moyenne Géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La moyenne Harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La moyenne Quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Comparaison des moyennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Caractéristiques de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 L’étendue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Intervalle inter-quartile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3 Écart absolu moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.4 Variable et Écart type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.5 Les coefficients de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3
3
Série Statistique à deux variable
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Présentation générale des tableaux statistiques à double entrés . . . . . . .
3.2.1 Distribution conjointe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Ajustement des données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Mesure de la liaison entre deux variables . . . . . . . . . . . . . . .
La distance de Khi deux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La Covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Le coefficient de corrélation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Les méthodes d’ajustement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La méthode graphique ( archaïque) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La méthode de Mayer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La méthode des moindre carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Prédiction à l’aide de la droite de régression . . . . . . . . . . . . .
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4 Analyse combinatoire : Probabilité en dimension fini
4.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Expériences aléatoire et modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Formule utilisé selon le type de tirages . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Probabilité d’un événement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Calcul dans le cas d’équiprobabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Loi de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.3 Espérance mathématique,Variance et Écart-type . . . . . . . . . . .
4.3.4 Les loi usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Loi Binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Loi géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Probabilité conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Événements indépendants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Exercice d’application 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4
Chapitre 1
Généralités sur la statistique
1
Contents
1.1
1.1
Définitions
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.2
Concepts de bases usuels de la statistique . . . . . . . . . . . .
6
1.2.1
Population et individu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.2.2
Les modalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.2.3
variable statistique ou caractère . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Définitions
La statistique est l’étude de la collecte de données, leur analyse, leur traitement, l’interprétation des résultats et leur présentation afin de rendre les données compréhensibles
par tous. C’est à la fois une science, une méthode et un ensemble de techniques.
L’analyse des données est utilisée pour d’écrire les phénomènes étudiés, faire des prévisions et prendre des décisions à leur sujet. En cela, la statistique est un outil essentiel
pour la compréhension et la gestion des phénomènes complexes.
Les données étudiées peuvent être de toute nature, ce qui rend la statistique utile
dans tous les champs disciplinaires et explique pourquoi elle est enseignée dans toutes les
filières universitaires, de l’économie à la biologie en passant par la psychologie et bien sûr
les sciences de l’ingénieur.
La statistique consiste à :
I Recueillir des données.
IPrésenter et résumer ces données.
I Tirer des conclusions sur la population étudiée et d’aider à la prise de décision.
I En présence de données dépendant du temps, nous essayons de faire de la prévision.
1. Dr. ZONGO
5
1.2
Concepts de bases usuels de la statistique
Les statistiques descriptives visent à étudier les caractéristiques d’un ensemble d’observations comme les mesures obtenues lors d’une expérience. L’expérience est l’étape
préliminaire à toute étude statistique. Il s’agit de pendre contact avec les observations.
De manière générale, la méthode statistique est basée sur une épreuve statistique. C’est
une expérience que l’on provoque. Nous donnons ici le sens de quelques mots clés (concepts
de bases usuels) nécessaire à la compréhension de la statistique.
1.2.1
Population et individu
L’ensemble sur lequel porte une étude statistique est appelé “ population”. Chaque
élément de cet ensemble est appelé “ individu” ou “ unité statistique”. La population doit
être définie de façon rigoureuse et précise pour que tous les intervenants qui concourent
à l’observation , le traitement, l’analyse ou utilisation de l’information en aient la même
considération. Il est souvent difficile, voir impossible de mener une étude statistique sur
une population toute entière. On choisit alors de travailler sur une partie de cette population. La sous population choisie est appelée “ échantillon”.
1.2.2
Les modalités
Les modalités d’une variable statistique sont les différentes valeurs que peut prendre
celle-ci. Ce sont les différentes situations dans lesquelles les individus d’une population
peuvent se trouver à l’égard du caractère considéré.
Exemple 1.2.1 L’état d’une maison : on peut considérer les modalités suivantes : Ancienne, Dégradée, Nouvelle.
1.2.3
variable statistique ou caractère
On appelle variable statistique ou caractère le critère ou la propriété suivant lequel on
étudie la population statistique.
Exemple 1.2.2 l’âge des étudiants d’une université. La variable statistique est l’age des
étudiants.
La variable statistique peut être quantitative ou qualitative.
• Variable quantitative : Variable dont les modalités sont mesurables ou séparables.
Exemple 1.2.3 âge, poids, température, taille, le nombre d’enfants, ect.
I Variable quantitative discrète : Variable dont les modalités sont des valeurs isolées.
6
Exemple 1.2.4 le nombre d’enfants, le nombre d’œufs, ect.
I Variable quantitative continue : Variable dont les modalités peuvent prendre toute valeur dans un intervalles donné.
Exemple 1.2.5 âge, poids, taille ect.
• Variable qualitative : Variable dont les modalités sont non mesurables. Elles sont généralement représentées par des noms qui traduisent des états.
Exemple 1.2.6 La couleur des yeux : Rouge, marron, blanc ect.
I Variable qualitative normale : Variable dont les modalités ne présentent aucun ordre,
aucune hiérarchie entre éléments.
Exemple 1.2.7 La situation matrimoniale, la couleur des yeux.
I Variable qualitative ordinaire : Variable dont les modalités sont données dans certain
ordre.
Exemple 1.2.8 appréciation d’une copie :“nulle, médiocre, insuffisant, passable, assez
bien, bien , très bien et excellent”. Grade dans l’armé.
Exercices d’application 1
Pour les sujets d’étude qui suivent, spécifier : l’unité statistique, la variable statistique
et son type,
1. Étude du temps de validité des lampes électriques
2. Étude de l’absentéisme des ouvriers, en jours, dans une usine.
3. Répartition des étudiants d’une promotion selon la mention obtenue sue le diplôme
du Bac.
4. On cherche à modéliser le nombre de collisions impliquant deux voitures sur un
ensemble de 100 intersections routières choisies au hasard dans une ville. Les données sont collectées sur une période d’un an et le nombre d ?accidents pour chaque
intersection est ainsi mesuré.
7
Chapitre 2
Statistique à une variable
Contents
2.1
2.2
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Présentation des données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Tableau de dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Tableau des fréquences d’une distribution . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Caractéristiques de tendance centrale . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Le mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 La médiane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Généralisation de la notion de médiane . . . . . . . . . . . . .
2.3.4 La moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Caractéristiques de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 L’étendue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Intervalle inter-quartile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3 Écart absolu moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.4 Variable et Écart type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.5 Les coefficients de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
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19
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Introduction
La Statistique à une variable est une branche de la statistique qui traite des phénomènes dont leur étude est associée à une seule variable ou à un seul caractère.
2.2
Présentation des données
A l’issue de la collecte des données (lors d’une enquête par exemple), les informations
recueillies ne sont pas immédiatement exploitables. Il est alors nécessaire de les organiser,
les ordonner et les présenter de façon lisible et facilement compréhensible. Pour cela la
statistique descriptive offre les techniques pour la présentation des données sous forme de
tableau ou de graphique.
8
2.2.1
Tableau de dénombrement
La meilleur manière de présenter de façon synthétique une série statistique est un
tableau présentant en face de chaque modalité le nombre d’individu de l’échantillon qui
portent cette modalité. Un tel tableau est appelé tableau de dénombrement.
Effectif d’une modalité
On appelle effectif ou fréquence absolue d’une modalité le nombre d’individus de l’échantillon qui possèdent cette modalité.
Exemple 2.2.1 (Cas d’une variable quantitative discrète) Nombre d’enfants a charge des
employés d’une entreprise.
Nombre d’enfants Effectifs
1
10
2
2
3
1
4
2
5
1
6
1
7
2
10
1
Total
20
Exemple 2.2.2 (Cas d’une variable qualitative) Situation matrimoniale des détenus.
Situation matrimoniale Effectifs
Mariés
14
célibataires
17
Divorcé
6
Veuf
3
Total
40
Exemple 2.2.3 (Cas d’une variable quantitative continue) Salaire mensuel des employés
d’une entreprise.
Salaire mensuel (en millier de FCFA) Effectifs
[50, 100[
2
[100, 150[
5
[150, 200[
2
[250, 300[
1
Total
10
9
2.2.2
Tableau des fréquences d’une distribution
On considéré une série statistique sur un échantillon de taille N . Les modalités (ou
les classes) de la variable étudiés sont notées Xi et leur effectif noté Ni . On suppose qu’il
existe k modalités (ou classes) L’effectif total est donné :
k
X
Ni = N
i=1
Fréquence
La fréquence ou fréquence relative d’une modalité Xi est la proportion d’individus de la
population qui présentent cette modalité et on la note généralement fi :
fi =
Ni
N
Remak 2.2.1 • On a la relation
k
X
fi =
i=1
k
X
Ni
i=1
N
Pk
i=1 Ni
=
N
=
N
=1
N
• La fréquence peut être exprimé en pourcentage
fi (%) = fi × 100
Fréquence cumulée croissante (FCC)
C’est le nombre Fi définie par
i
X
fp
Fi =
p=1
Fréquence cumulée décroissante (FCD)
C’est le nombre Fi0 définie par
Fi0 =
k
X
fp
p=i
Les fréquences cumulées (croissante ou décroissante) permettent de répondre aux questions du types :
• Quelle est la proportion d’individus qui possèdent une valeur inférieur à Xi pour les
variables X ?
• Quelle est la proportion d’individus qui possèdent une valeur supérieur à Xi pour les
variables X ?
Avec les notations ci-dessus, la forme générale d’un tableau de fréquences est :
10
Nombre d’enfants
X1
X2
X3
...
Xi
...
Xk
Total
Effectifs
N1
N2
N3
...
Ni
...
Nk
N
fréquence
FCC
FCD
f1
f1
f1 + f2 + f3 + ... + fk =1
f2
f1 + f2
f2 + f3 + ... + fk
f3
f1 + f2 + f3
f3 + ... + fk
...
...
...
fi
f1 + f2 + f3 + ... + fi
fi + fi+1 + ... + fk
...
...
...
fk
f1 + f2 + f3 + ... + fk =1
fk
1
1
L’application de ce tableau à l’exemple 2.2.1 donne les résultats ci-après :
Nombre d’enfants
1
2
3
4
5
6
7
10
Total
2.2.3
Effectifs
10
2
1
2
1
1
2
1
20
fréquence en % FCC en % FCD %
50
50
100
10
60
50
5
65
40
10
75
35
5
80
25
5
85
20
10
95
15
5
100
5
100
100
Représentation graphique
Les Représentations graphiques permettent de renseigner immédiatement sur l’allure
générale de la distribution. Elle facilite l’interprétation des données. Le type de graphique
à utiliser pour représenter une série statistique dépend de la nature discrète ou continue
de la variable.
Le diagramme en bâton et le Diagramme circulaire
Ils servent à représenter les variables qualitatives et quantitative discrète.
Exemple 2.2.4 Diagramme en bâton de l’exemple 2.2.1
Échelle :
1cm −→ 1 effectif sur (oy)
1cm −→ 1 modalité (ox).
Exemple 2.2.5 Diagramme circulaire de l’exemple 2.2.2
Calcul des sections angulaires :
40−→ 360
x −→ ?
11
Situation matrimoniale Effectifs Sections angulaires en degré
Mariés
14
126
célibataires
17
153
Divorcé
6
54
Veuf
3
27
Total
40
360
Histogramme et polygone des fréquences
L’histogramme et le polygone des fréquences sont utilisés dans le cas de variables
quantitatives continues. Dans le cas où les classes ne sont pas de même amplitude, les
hauteurs des rectangles de l’histogramme ne sont pas proportionnelles aux fréquences des
fi
classes mais aux fréquence corrigées fic calculées de la façon suivante : fic =
où ‘ai est
ai
l’amplitude. De façon pratique, on construit le polygone des fréquences en joignant les
milieux des segments de rectangles de l’histogramme.
Exemple 2.2.6 Histogramme et polygone des fréquences de l’exemple 2.2.3
Échelle :
12
1cm −→ 1 effectif sur (oy)
1cm −→ 50 mille sur (ox).
Courbe des fréquences (ou cumulatives)
On appelle courbe des fréquences (ou courbe cumulatives) la représentation de la
fonction de répartition de la variable statistique. Elle est utilisée dans le cas des variables
quantitatives (discrète et continues). La courbe cumulative se construit à partir des fréquences cumulées (croissante ou décroissante). Soit X une variable aléatoire. La fonction
de répartition de X est l’application
F : R −→ [0, 1],
x 7−→ F (x) = P (X < x)
où P (X < x) est la proportion d’individus dont la valeur de X est inférieur à x.
• Dans le cas d’une variable quantitative discrète, la courbe cumulative se présente comme
une courbe en escalier puisque la fonction de répartition est une fonction constante par
intervalle.
• Dans le cas d’une variable quantitative continue, la courbe cumulative est une courbe
continue obtenue en joignant les points de coordonnées (ei , Fi ) dans un repère orthogonal
où ei est la borne supérieure de la classe i et Fi la fréquence cumulée á la classe i.
Remak 2.2.2 • La courbe cumulative est représentée pour des valeurs de la variable
allant de −∞ à +∞
• Pour les valeurs x ≤ emin (borne inférieure de la première classe) on a F (x) = 0, donc
la courbe présente une partie constante d’ordonnée nulle.
• Pour les valeurs x ≥ emax (borne supérieure de la dernière classe) on a F (x) = 1 (ou
100%), donc la courbe présente une partie constante d’ordonnée 1 (ou 100%).
13
Exemple 2.2.7 (Cas discrète) Courbe cumulative du nombre d’enfants (l’exemple 2.2.1)
Échelle :
1cm −→ 10% sur (oy)
1cm −→ 1 unité sur (ox).
Exemple 2.2.8 (Cas continue) Courbe cumulative des salaires mensuels( l’exemple 2.2.3)
Échelle :
1cm −→ 10% sur (oy)
1cm −→ 50 mille sur (ox).
2.3
Caractéristiques de tendance centrale
L’objectif est de résumer à travers quelques indicateurs numériques ou paramétrés
caractéristiques la distribution d’une variable statistique. On les appelle des indicateurs
de synthèse d’une distribution statistique. On utilise des indicateurs de position (ou de
tendance centrale), des indicateurs de dispersion et des indicateurs de forme.
Les principales caractéristiques de tendance centrales sont : le mode, la médiane et la
moyenne
14
2.3.1
Le mode
Le mode est la valeur la plus fréquente dans une série d’observation. On le note Mo .
Dans le cas les variable qualitative ou quantitative discrète, le mode est la valeur de la
variable ou la modalité qui a le plus grand effectif ou la plus grande fréquence
Exemple 2.3.1 Dans l’exemple 2.2.1, le mode est M o = 1 car l’effectif le plus élevé est
10.
Dans le cas d’une variable quantitative continue, on appelle classe modale, la classe qui
présente l’effectif ou la fréquence le plus élevé. Lorsque les données sont groupées en classe
de même amplitude, on détermine le mode par la formule suivante :
M o = e1 +
D1
(e2 − e1 )
D1 + D2
où :
• e1 et e2 sont respectivement les bornes inférieures et supérieures de la classe modale.
• D1 est la différence entre la fréquence de la classe modale et celle de la classe
précédente.
• D2 est la différence entre la fréquence de la classe modale et celle de la classe suivante.
Exemple 2.3.2 Dans l’exemple 2.2.3, la classe modale est [100, 150[ , D1 = 50 − 20 = 30
30
et D2 = 50 − 20 = 30 donc le mode est M o = 100 +
(150 − 100) = 125
30 + 30
Avantages et inconvénients du mode
• La Détermination du mode est aisée
• Son intérêt est évident puisqu’il désigne la valeur de la variable qui est la plus observe
sur l’échantillon
• Le mode n’a de sens véritable que si l’effectif correspondant est nettement supérieur
aux effectifs des autres modalités.
• Le Mode n’est défini que s’il est unique.
Remak 2.3.1 Le mode peut être déterminer graphiquement comme le montre la figure
suivante :
2.3.2
La médiane
La médiane est la valeur du caractère (ou de la modalité) qui partage une série d’observations ordonnée en croissante ou décroissante en deux partie comportant le même
nombre d’observations. On le note M e.
Dans le cas d’une variable qualitative ou quantitative discrète, la médiane est la valeur
de la modalité dont la fréquence cumulée est supérieure ou égale (≥) à 50% et dont la
classe précédente à une fréquence cumulée croissance strictement inférieure (<) à 50%.
15
Remak 2.3.2 i) Dans l’exemple 2.2.1, la médiane est M e = 1 car F(1)= 50%.
ii) Soit la série statistique (paire) suivante : 2 ; 4 ; 4 ; 6 ;7 ; 8 ;10 ; 10 ; 12. Alors M e = 7.
iii) Soit la série statistique (impaire) suivante : 0 ; 1 ; 1 ; 2 ;2 ;3 ;3 ; 3 ; 4 ;5. Alors M e =
(2 + 3)/2 = 2, 5.
Dans le cas d’une variable quantitative continue, si les données sont groupées en classe,
on peut :
• Déterminer la médiane par projection à partir du diagramme des fréquences cumulées.
• Déterminer la médiane par la formule suivante :
M e = e1 +
0, 5 − F (e1 )
50 − F (e1 )
(e2 − e1 ) ou M e = e1 +
(e2 − e1 )
F (e2 ) − F (e1 )
F (e2 ) − F (e1 )
où
− e1 et e2 sont respectivement les bornes inférieures et supérieures de la classe
médiane.
− F (e1 ) est la fréquence cumulée croissance de la classe précédente la classe médiane.
− F (e2 ) est la fréquence cumulée de la classe médiane.
La classe médiane est celle dont la fréquence cumulée est supérieure ou égale (≥) ‘a 50%
et dont la classe précédente à une fréquence cumulée croissance strictement inférieure (<)
à 50%.
Exemple 2.3.3 Dans l’exemple 2.2.3, la classe médiane est [100, 500[
M e = e1 +
0, 5 − F (e1 )
50 − 20
(e2 − e1 ) = 100 +
(150 − 100) = 130
F (e2 ) − F (e1 )
70 − 20
16
Remak 2.3.3 Pour calculer la médiane, on peut remplacer les fréquences par les effectifs
cumulés. Dans ce cas,
N
− N (e1 )
M e = e1 + 2
(e2 − e1 )
N Mp
- N Mp est l’effectif cumulé de la classe médiane
-(N (e1 )) est l’effectif cumulé de la précédente à la classe médiane.
Avantages et inconvénients de la médiane
• La Détermination de la médian est facile
• Elle donne une idée satisfaisante de la tendance centrale
• Elle n’est pas influencée par les valeurs extrêmes de la distribution.
• Elle ne tient pas compte des valeurs prises par la variable mais seulement de leur
ordre de grandeur.
• Elle concerne uniquement les variables quantitatives.
2.3.3
Généralisation de la notion de médiane
La médiane est la valeur qui divise la population en deux sous-populations de taille
égale. De la même maniéré, on peut définir des valeurs du caractère qui divisent la population en quatre, cinq, dix, cent,... sous-populations de taille égales. On définit ainsi :
• Les quartile qui partage la série en quatre (4) sous ensembles de taille égales. Les
quartiles sont les valeurs dont les fréquences cumulées sont respectivement :
F (Q1 )=1/4=25%, F (Q2 )=2/4= 50%,F (Q3 )=3/4= 75%
Remak 2.3.4 Dans le cas d’une variable quantitative, les quartiles sont calculés
par la même formule que la médiane. Mais on utilise dans chaque cas la classe á
laquelle le quartile appartient.
• Les quintile qui divisent la série en cinq (5) sous ensembles de taille égale.
• Les déciles qui divisent la série en dix (10) sous ensembles de taille égale.
• Les centiles qui divisent la série en cent (100) sous ensembles de taille égale.
17
2.3.4
La moyenne
La moyenne arithmétique
La moyenne arithmétique d’une série d’observation est la somme des valeurs obtenues
divisée par le nombre d’observations. Elle est notée X pour une variable statistique X.
Elle est donnée par la formule suivante :
k
1 X
X=
n i xi
N i=1
avec N =
k
X
ni ,
i=1
les xi sont les modalités de la variable statistique, ni les effectifs des k modalités.
La formule de la moyenne arithmétique peut aussi s’écrire de la façon suivante :
X=
k
X
f i xi
i=1
où les fi sont les fréquences des modalités. Dans le cas où les données sont groupées par
classe on remplace les modalités xi par les centres des classes Ci . Par exemple, pour une
ei + ei+1
classe [ei , ei+1 [ d’effectifs ni , le centre de cette classe est
.
2
Avantages et inconvénients de La moyenne arithmétique
• Elle est la meilleur caractéristique des tendance centrale
• Elle nà de sens que pour les variables quantitatives
• Elle est sensible aux valeurs extrêmes.
• Si yi = axi + b alors la moyenne Y est aX + b
La moyenne Géométrique
La moyenne Géométrique est utilisée uniquement dans le cas d’une variable strictement
positive . Sa formule est
1
q
nk
nk
n1
n2
n1
n2
G=
x1 × x2 × ... × xk = (x1 × x2 × ... × xk ) N
N
En utilisant la fonction ln, on a aussi
k
1
1 X
nk
n1
n2
ln(G) =
ln (x1 × x2 × ... × xk ) =
ni ln(xi )
N
N i=1
ou
ln(G) =
k
X
fi ln(xi )
i=1
La moyenne Harmonique
Elle est utilisée dans le cas des variables non nulles, sa formule est :
N
N
n2
nk = Pk ni
+
+ ... +
i=1
x1 x2
xk
xi
H = n1
18
La moyenne Quadratique
La moyenne Quadratique est définie par la formule suivante :
v
u
k
u1 X
t
Q=
ni x2i
N i=1
Comparaison des moyennes
Pour une série statistique à valeur positive non nulles , on démontre que
H≤G≤X≤Q
2.4
Caractéristiques de dispersion
2.4.1
L’étendue
L’étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur observée. Ne
dépendant que des valeurs extrêmes qui sont exceptionnelles voir aberrante et non pas de
tous les termes, l’étendue est sujette à des fluctuations considérable d’un échantillon à un
autre.
2.4.2
Intervalle inter-quartile
C’est l’intervalle IQ = [Q1 , Q3 ], l’écart inter-quartile est Q3 − Q1 . L’utilisation de ces
intervalles permet d’éliminer l’influence des valeurs extrêmes qui sont des valeurs rares
ou aberrantes. La perte de l’information du fait de la diminution des observations qu’elle
entraine est compensée par l’homogénéité des données dans l’intervalle inter quartile.
2.4.3
Écart absolu moyen
C’est la moyenne des essarts absolus entre chaque observation et la moyenne arithmétique.
k
1 X
ni |xi − X|
EM =
N i=1
L’écart absolu moyen mesure la dispersion des valeurs observées d’une variable statistique
autour d’une valeur centrale. Une valeur faible de l’ écart absolu moyen traduit une faible
dispersion des valeurs autour de la centrale.
2.4.4
Variable et Écart type
On note la variance d’une variable statistique X V (X) et on définie
k
2
1 X
V (X) =
ni xi − X
N i=1
19
L’écart-type est la racine carrée de la variance. On le note σ(X) et on
p
σ(X) = V (X)
L’écart-type et la variance mesurent la dispersion de la variable autour de la moyenne.
Pour le calcul de la variance , on utilise la formule suivante dite Théorème de Koenig
k
V (X) =
2
1 X
ni x2i − X
N i=1
Remarque : V (aX + b) = a2 V (X)
2.4.5
Les coefficients de variation
C’est le rapport entre l’écart-type et la moyenne de la distribution. On le note CV σ
et on a
σ(X)
CV σ =
X
Exercice d’application 3
Le gérant d’un magasin vendant des articles de consommation courante a relevé pour
un article particulier qui semble connaitre une forte popularité, le nombre d’ articles vendus par jour. Son relevé a porté sur les ventes des mois de Mars et Avril, ce qui correspond
à 52 jours de vente. Le relevé des observations se présente comme suit :
7 13 8 10 9 12 10 8 9 10 6 14 7 15 9 11 12 11 12 5 14 11 8 10 14 12 8
5 7 13 12 16 11 9 11 11 12 12 15 14 5 14 9 9 14 13 11 10 11 12 9 15.
1. Quel type est la variable statistique étudiée ?
2. Déterminer le tableau statistique en fonction des effectifs, des fréquences, des effectifs cumulés et des fréquences cumulées.
3. Tracer le diagramme en bâton associé à la variable X.
4. Soit FX la fonction de répartition de X. Déterminer et représenter FX .
5. Calculer le mode M o et la moyenne arithmétique X.
6. Déterminer à partir du tableau puis à partir du graphe , la valeur de la médiane
M e.
7. Calculer la variance et l’écart-type.
20
Chapitre 3
Série Statistique à deux variable
Contents
3.1
Introduction
3.2
Présentation générale des tableaux statistiques à double entrés 21
3.3
3.1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
3.2.1
Distribution conjointe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
3.2.2
Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
Ajustement des données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
3.3.1
Mesure de la liaison entre deux variables . . . . . . . . . . . . .
24
3.3.2
Les méthodes d’ajustement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
3.3.3
Prédiction à l’aide de la droite de régression . . . . . . . . . . .
26
Introduction
Pour l’étude de certains phénomènes complexes, il s’avère insuffisant de prendre en
compte un seul caractère, IL faut souvent en considérer simultanément deux ou même
plus.
La statistique descriptive à deux variables a essentiellement pour but de mettre en évidence
les relations qui existent entre deux séries d’observation considérées simultanément. Ces
données peuvent être de nature qualitative ou quantitative.
3.2
Présentation générale des tableaux statistiques à
double entrés
3.2.1
Distribution conjointe
Les observations relatives à deux variables sur N individus se présentent le plus simplement sous la forme d’une série statistique double, à savoir, une suite de N couples
de valeurs observées (xi , yj ). De façon générale, si on étudie des caractère X et Y sur
une population de taille N et si X et Y ont respectivement les modalités x1 , x2 , ..., xk et
21
y1 , y2 , ..., yl alors le tableau de la distribution conjoints des deux variables se présente de
la façon suivante :
(X, Y)
x1
x1
...
xi
...
xk
Total
y1
n11
n21
...
ni1
....
nk1
n·1
y2
n12
n22
...
ni2
...
nk2
n.2
yj
n1j
n2j
...
nij
...
nkj
n.j
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
yl
n1l
n2l
...
nil
...
nkl
n.l
total
n1.
n2.
ni.
...
nk.
n..
• nij représente l’effectif des individus de la population qui possèdent à la fois la valeur
xi de la variable X et la valeur yj de la variable Y .
P
•ni.= lj=1 nij = ni1 + ni2 + ... + nil .
P
• n.j= ki=1 nij = n1j + n2j + ... + nkj .
P P
P
P
• n..= ki=1 lj=1 nij = ki=1 ni. = lj=1 n.j = N .
La fréquence conjointe du couple (xi , yj ) est
fij =
nij
.
N
En adaptons la notation ci-dessous on a :
l
ni. X
=
fij ,
fi. =
N
j=1
k
n.j X
f.j =
=
fij
N
i=1
On définit de même la distribution marginale de la variable X par les sommes des effectifs
ou des fréquences par ligne. Cette distribution est donnée par :
Valeurs de X
x1
x1
...
xi
...
xk
Total
Effectifs marginaux
n1·
n2·
...
ni·
....
nk·
n··
Fréquence marginales
f1·
f2·
...
fi·
...
fk·
1
On peut définir de même la distribution marginale de la variable Y par les sommes des
effectifs ou des fréquences par colonne. On peut calculer les caractéristiques de tendance
centrale et de dispersion pour chacune des variable à partir des distributions marginales.
Lorsqu’on ne considéré qu’une colonne (colonne j) du tableau de distribution conjointe
de X et Y , on obtient une distributions à une dimension appelée distribution conditionnelle liée à X sous la condition Y = yj ou encore distribution de X sachant Y = yj . Cette
distribution est définie par :
22
Valeurs de X
x1
x1
...
xi
...
xk
Total
Effectifs conditionnels
n1j
n2j
...
nij
....
nkj
n·j
Fréquences conditionnelles
f1/j
f2/j
...
fi/j
...
fk/j
1
On définit aussi la fréquence conditionnelle de xi sachant yj par
fi/j = f (xi /yj ) =
nij
fij
=
.
n.j
f.j
On définit aussi la fréquence conditionnelle de yi sachant xj par
fj/i = f (yj /xi ) =
fij
nij
=
ni.
fi.
On les propriétés suivantes :
fij = f.j × f (xi /yj ) = f.j × fi/j
fij = fi. × f (yj /xi ) = fi. × fj/i
3.2.2
Exemple
Le tableau suivant représente un échantillon d’individus étudiées suivant les caractères
“sexe” et “situation matrimoniale”.
(Sexe , situation matrimoniale) Mariés
Homme
250
Femme
150
Total
400
Célibataire
200
150
350
Veuf
100
75
175
Total
550
375
925
Les tableau de distribution marginale liées aux caractères “sexe” et “situation matrimoniale” sont respectivement donnés par :
Sexe
Effectifs
Hommes Femmes
550
375
situation matrimoniale
Total
3.3
Total
925
Mariés Célibataire
400
350
Veuf Total
175
925
Ajustement des données
L’ajustement consiste à rechercher l’existence d’une relation fonctionnelle du type
Y = f (X). Une telle relation si elle existe permet de prédire la valeur de Y à partir de
celle de X et réciproquement. Lorsqu’on soupçonne une relation fonctionnelle entre deux
variable X et Y , il convient de procéder à une représentation dans un repère orthonormé
des points de coordonnées (xi , yj ).
23
3.3.1
Mesure de la liaison entre deux variables
L’un des intérêts de l’étude simultanée de deux caractères est l’analyse des variations
communes, afin de détecter l’existence ou non d’une dépendance
Il existe des indicateurs permettant de mesurer le niveau de la relation entre deux variables.
Parmi ces indicateurs , on a :
• Le Khi deux (ou distance de Khi deux)
• La covariance
• Le coefficient de corrélation
La distance de Khi deux
En considérant les notations précédentes, on définit la distance de Khi deux (ou le Khi
deux) par :
D χ2 =
k X
l
X
(fij − fi. × f.j )2
i=1 j=1
fi. × f.j
ou Dχ2 =
k X
l
X
(nij − ni. × n.j )2
ni. × n.j
i=1 j=1
La distance du Khi deux vaut 0 si les variables X et Y sont indépendant. On montre que :
Dχ2 =
k X
l
X
(nij )2 −
n × n.j
i=1 j=1 i.
− 2n + n2
La Covariance
La covariance de X et Y est le nombre Cov(X, Y ) défini par :
k
1 X
Cov(X, Y ) =
xi − X y i − Y
N i=1
Elle peut être défini par la formule de Koenig :
k
1 X
Cov(X, Y ) =
xi yi − XY
N i=1
Si les variables sont indépendantes alors on a Cov(X, Y ) = 0. L’indépendance de X et Y
entraine la nullité de la covariance de X et Y . Autrement dit, si Cov(X, Y ) 6= 0 alors il
existe une certaine dépendance entre X et Y .
Le coefficient de corrélation
La covariance permet de déceler seulement les liaisons de type Y = aX + b. Sa valeur
est influencée par les unités de mesure des variables X et Y , on lui préfère , le coefficient
de corrélation défini par
r(X, Y ) =
Cov(x, Y )
,
σ(X)σ(Y )
ou σ(K) =
24
p
V (K),
K = X, Y.
Le coefficient de corrélation est un nombre compris entre −1 et 1, c’est-à-dire r(X, Y ) ∈
[−1, 1].
• Si r(X, Y ) ≃ −1 alors il existe une relation du type Y = aX + b avec a < 0 entre X et
Y.
• Si r(X, Y ) ≃ 1 alors il existe une relation du type Y = aX + b avec a > 0 entre X et Y .
• Si 0 < r(X, Y ) < 1 alors le nuage des points s’allonge suivant une droite croissante
• Si − < r(X, Y ) < 0 alors le nuage des points s’allonge suivant une droite décroissante
• Si r(X, Y ) = 0 alors le nuage de points n’a pas de forme allongée.
3.3.2
Les méthodes d’ajustement
La méthode graphique ( archaïque)
L’ajustement par la méthode graphique consiste à tracer à la règle (et au jugé) la
droite qui passe le plus près possible des points du nuage.
La méthode de Mayer
La méthode de Mayer consiste à partager la série (ordonnée )N en deux sous séries N1
et N2 de même effectif si N est pair et d’effectif différent de 1 si N est impair. On calcule
en suite les points G1 et G2 (points moyens de N1 et N2 ) de coordonnées :
G1 (X1 , Y1 ) et G2 (X2 , Y2 ).
La droite de Mayer est alors la droite (G1 G2 ) passant par G1 et G2 .
Équation de la droite de Mayer
On a Y = aX + b et la droite (G1 G2 ) passe par G1 et G2 , donc :

 Y1 = aX1 + b
Y2 − Y1
Y2 − Y1
Y2 − Y1
où a =
et b = Y1 −
×X1 = Y2 −
×X2 .

X 2 − X1
X2 − X1
X2 − X 1
Y2 = aX2 + b
La méthode des moindre carrés
La méthode des moindre carrés ordinaires consiste á minimiser la somme des carrés
des différences entre l’ordonnée des points du nuage et l’ordonnée des points de la droite
recherche pour la même abscisse
!
k
X
min
(yi − axi − b)2
(3.1)
i=1
En d’autre termes cela revient à trouver les paramètre a et b qui minimisent la différence
entre les valeurs Y observées et les valeurs prédits à travers la relation Y = aX + b.
La résolution du problème (3.1) donne :
a=
Cov(X, Y )
V (X)
et b = Y − aX
25
La droite d’équation Y = aX + b est appelée droite de régression de Y par rapport à X.
Par un raisonnement analogue, la droite d’équation X = αY + β est appelée droite de
régression de X par rapport à Y et on a
α=
Cov(X, Y )
V (Y )
et β = X − aY .
En conclusion la droite (D) d’équation Y = aX + b obtenue par la méthode des moindre
carrés est la droite qui passe par le point moyen G(X, Y ) et qui admet comme coefficient
Cov(X, Y )
.
directeur a =
V (X)
3.3.3
Prédiction à l’aide de la droite de régression
L’interêt de l’estimation de la relation entre les variables X et Y est de pouvoir prédire
la valeur de l’une des variables lorsque la valeur de l’autre est connue.
Exercice d’application
Questions à choix multiple : Pour chaque question, plusieurs réponses sont possibles
1. Parmi les variables suivantes, quelles sont celles qui sont qualitatives ?
a) Le nombre de salariés d’une entreprise ; b) La catégorie professionnelle d’un
salarié ; c) La situation matrimoniale d’un individu ; d) le chiffre d’affaire d’une
entreprise.
2. Quel graphique peut-on faire pour une variable qualitative ?
a) Un diagramme en bâton ; b) un histogramme ; c) Un diagramme en sections
angulaires.
3. La fonction de répartition se détermine pour :
a) Une variable qualitative ordonnée ; b) Une variable qualitative ; c) Une variable
quantitative discrète ; d) Une variable quantitative continue ; e) Une variable quantitative regroupée en classe.
4. La covariance se calcul entre :
a) Deux variables qualitatives ; b) deux variables quantitatives ; c) une variable
quantitative et une variable qualitative.
5. Si le coefficient de corrélation linéaire entre deux variables X et Y est égal à r =
0, 98 :
a) X et Y sont indépendants ; b) X varie dans le même sens que YX ; c) X est
fonction de Y ; d) La relation entre Xe t Y est linéaire croissante.
6. La Variance mesure la dispersion des individus autour de :
a) du mode ; b) la médiane ; c) la moyenne arithmétique ; e) la moyenne géométrique.
26
Chapitre 4
Analyse combinatoire : Probabilité en
dimension fini
Contents
4.1
4.2
4.3
4.1
Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
4.1.1
Expériences aléatoire et modèles . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
4.1.2
Formule utilisé selon le type de tirages . . . . . . . . . . . . . .
28
Probabilité d’un événement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
4.2.1
Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
4.2.2
Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
4.2.3
Calcul dans le cas d’équiprobabilité . . . . . . . . . . . . . . . .
28
Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
4.3.1
Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
4.3.2
Loi de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
4.3.3
Espérance mathématique,Variance et Écart-type . . . . . . . .
29
4.3.4
Les loi usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
4.4
Probabilité conditionnelle
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
4.5
Événements indépendants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
4.6
Exercice d’application 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
Rappels
Quelques éléments de base de la Probabilité ainsi que les différentes formules à utiliser
selon le type de tirage.
4.1.1
Expériences aléatoire et modèles
• Le lancer d’une pièce de monnaie, le lancer d’un dé, le tirage successif, le tirage
simultané,..., sont des expériences aléatoires.
• A Chaque expérience aléatoire, on associe l’ensemble des résultats possibles appelé univers. On note ce ensemble Ω.
27
• Les éléments de l’univers sont appelés éventualités.
• Les Parties de l’univers Ω sont appelés événements.
• Les événements formés d’un seul élément sont appelés événement élémentaires.
• L’univers Ω est appelé aussi événement certain.
• L’ensemble vide est appelé l’événement impossible.
• L’événement contraire d’un événement A et noté A. On a A ∪ A etA ∩ A. On dit que A
et A sont incompatibles.
4.1.2
Formule utilisé selon le type de tirages
Pour se retrouver dans les différents tirages, il est important de maitriser le tableau
suivant :
Tirages
Sans remise
Sans remise
Successif (l’ordre compte)
Simultanés (l’ordre ne compte pas)
n!
n!
Apn =
Cnp =
arrangements
combinaisons
(n − p)!
p!(n − p)!
np p-listes
/////////////
4.2
Probabilité d’un événement
4.2.1
Définition
Soit Ω = {w1 , w2 , ..., wn } un ensemble fini. On définit une loi de probabilité sur Ω si on
choisit des nombres p1 , p2 , ..., pn tels que , pour tout i, 0 ≤ pi ≤ 1 et p1 + p2 + ... + pn = 1,
pi est la probabilité élémentaire de l’événement {wi } et on note pi = P ({wi }).
Pour tout événement E inclus dans Ω , on définit P (E) comme la somme des probabilités
des événements qui définissent E.
4.2.2
Propriétés
Parties de Ω
A
Φ
Ω
A∩B =Φ
A
A, B
4.2.3
Vocabulaire des événements
A est quelconque
événement impossible
événement certain
A et B sot incompatibles
A est l’événement contraire de A.
A et B sont quelconques
Propriétés
0 ≤ P (A) ≤ 1
P (Φ) = 0
P (Ω) = 1
P (A ∪ B) = P (A) + P (B)
P (A) = 1 − P (A)
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
Calcul dans le cas d’équiprobabilité
On dit qu’il y a équiprobabilité quand les événements élémentaire ont la même probabilité. Dans ce cas, on a
CardA
P (A) =
.
CardΩ
28
On définit P (A) comme étant le nombre de cas favorables divisé par le nombre de cas
possible.
4.3
Variables aléatoires
4.3.1
Définition
• Une variable aléatoire X est une application définie sur un ensemble Ω muni d’une
probabilité p, à valeur dans R.
• X prend les valeurs x1 , x2 , ..., xn avec les probabilités p1 , p2 , ..., pn définie par pi = P (X =
xi ).
4.3.2
Loi de probabilité
La loi de probabilité d’une variable aléatoire X prenant les valeurs x1 , x2 , ..., xn avec
les probabilités p1 , p2 , ..., pn est donnée par le tableau suivant :
{X = xi }
P ({X = xi })
4.3.3
x1
p1
x2
p2
...
...
xn
pn
total
1
Espérance mathématique,Variance et Écart-type
• L’espérance mathématique est le nombre E(X) défini par
E(X) =
n
X
p i xi
i=1
• La variance est le nombre V (X) défini par
V (X) =
n
X
2
pi (xi − E(X)) =
i=1
n
X
pi x2i − (E(X))2
i=1
• L’écart-type est le nombre σ(X) défini par
p
σ(X) = V (X)
4.3.4
Les loi usuelles
Loi Binomiale
• Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire dont le résultat peut être soit
un succès, soit un échec, mais pas les deux simultanément.
Exemple : On lance une pièce une fois et on note le résultat. On appelle succès le fait
d’obtenir PILE et échec le fait d’obtenir FACE.
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• Soit n répétitions indépendantes d’une épreuve de Bernoulli dont la probabilité de
succès est p et la probabilité d’échec est 1 − P . Soit X le nombre de succès parmi les n
résultats. Alors X suit une loi Binomiale de paramètre n et p, dénoté X ∼ B(n, p). La
fonction de répartition de la loi Binomiale est
FX = P (X = k) =
n
X
Ckn pk (1 − p)n−k
k=0
• L’espérance mathématique et la variance de la loi Binomiale sont respectivement :
E(X) = np,
V (X) = np(1 − p)
Loi géométrique
On répète continuellement et de façon indépendante une épreuve de Bernoulli dont
la probabilité de succès est p. Soit X le norme d’épreuves nécessaires pour obtenir un
premier succès. Alors X suite une loi géométrique de paramètre p, dénoté X ∼ G(p). La
fonction de masse de la variable aléatoire X ∼ G(p) est
P (X = k) = p(1 − p)k .
4.4
Probabilité conditionnelle
Soit p une probabilité sur un univers fini Ω , A et B deux événements de Ω avec
p(B) 6= 0. On appelle probabilité conditionnelle de l’enlèvement A sachant que B est
P (A ∩ B)
réalisé le réel noté P (A/B) ou PA (B) défini par P (A/B) =
P (B)
4.5
Événements indépendants
Deux événement A et B de Ω sont dit indépendants lorsque la réalisation de l’un ne
change pas la réalisation de l’autre.
A et B sont indépendants si et seulement si P (A/B) = P (A) ou P (B/A) = p(B).
Theorem 4.5.1 Deux événements A et B de probabilité non nulle sont indépendants si
et seulement s’ils vérifient l’une des trois conditions suivantes :
• P (A/B) = P (A) ou
• P (B/A) = P (B)
• P (A ∩ B) = P (A) × P (B)
Exercice d’application 4
Une association estudiantine organise une tombola. Tous les billets, au nombre de 500,
sont vendus. L’un des billets permet de gagner un lot d’une valeur de 62000 franc, 9 billets
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permettent chacun de gagner un lot d’une valeur de 7000 franc, 50 billets permettent
chacun de gagner un lot d’une valeur de 500 franc, les autres sont perdants.
1. On choisit au hasard un billet. Tous les billets ont la même probabilité d’être choisis. Déterminer la probabilité de chacun des événement suivants :
A : ” Le billet choisi gagne un lot d’une valeur de 7000 franc ”
B : ” Le billet choisi est perdant ”
2. Les billets sont vendus 500 franc chacun. Que rapportera la tombola au trésorier
de l’association ?
3. On appelle gain d’un billet la différence entre le montant du lot et le prix d’achat
du billet. On désigne par X la variable aléatoire qui associe à chaque billet choisi
au hasard le gain de ce billet.
(a) Donner les différentes valeurs de X,
(b) Donner la loi de probabilité de X,
(c) Calcule l’espérance mathématique E(X) et l’écart-type σX .
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