Dénombrement - Probabilités

Dénombrement - Probabilités
Définitions ü Le cardinal de
Propriétés
est le nombre des éléments de
ü Le complémentaire de dans est noté
( ∪ )=
( )+
( )−
ü
( ∪ )=
∩ = ∅ alors :
ü Si
( )−
( )
( )=
ü
· Le principe fondamental du dénombrement
et on le note :
( )
={ ∈ / ∉ }
( ∩ )
( )+
( )
∪ =
∩ =∅
Dans une situation de dénombrement contient choix
Si le
choix se réalise par
façon distinctes
et le
choix se réalise par
façon distinctes
...................
et le
choix se réalise par
façon distinctes
Alors le nombre des possibilités est
×
× …×
Arrangements
ü Le nombre des arrangements sans répétition de éléments pris parmi
= × ( − ) × ( − ) × …× ( − + )
est :
( et
deux éléments de ℕ∗ et ≤
éléments
)
ü Le nombre des arrangements avec répétition de élément pris parmi élément
Permutations
Combinaisons
est :
( et deux éléments de ℕ∗ )
ü Tout arrangement de éléments pris parmi éléments est appelé une
permutation de n éléments, le nombre des permutations est
= !=
×( − )× ( − )×…×
Soit un ensemble de cardinal
( et deux éléments de ℕ∗ et ≤ )
Toute partie de contenant éléments est appelée combinaison de éléments
pris parmi éléments de E
ü Le nombre des combinaisons de élément pris parmi est :
!
=
=
!
! ( − )!
Quelques types de tirage :
On tire éléments parmi éléments ( et deux éléments de ℕ∗ )
type de tirage
nombre des possibilités
L’ordre
simultanément ( ≤ )
N’est pas important
Successivement et sans remise ( ≤ )
important
Successivement et avec remise
important
Nombre de possibilités d’arrangement de n éléments
On dispose de éléments de type A, et de éléments de type B, de
éléments, avec =
+
+
Ø le nombre de possibilités d’arranger ces n éléments est :
!
éléments de type C, parmi n
!
!
!
·
·
·
·
·
·
·
·
Vocabulaires
Expérience aléatoire : Toute expérience dont on ne connait pas ses résultats d’avance
et
Possibilité : tout résultat d’une expérience aléatoire
définitions
Univers des possibilités : l’ensemble de toutes les éventualités, noté
L’événement : toute partie de
L’événement contraire : est l’événement noté et qui vérifie : ∪ =
et
∩ =∅
L’événement ∩ : se réalise lorsque et sont réalisés en même temps
L’événement ∪ : se réalise lorsque l’un au moins des éventualités ou est réalisé.
et sont incompatibles (ou disjoints) : si ∩ = ∅
=
Propriétés
et
(∅) =
et
≤ ( )≤
( )=
La probabilité d’un
événement
· Equiprobabilité :
La probabilité
conditionnelle
· La probabilité de sachant que
( ∩ )
( )=
L’indépendance
Répétition
d’expériences
identiques et
indépendantes
·
et
( )=
( )
sont indépendants ssi:
et
( ∪ )= ( )+ ( )− ( ∩ )
− ( )
( )
est réalisé
( ( )≠ )
( ∩ )= ( )× ( )
Soit A un événement de probabilité dans une expérience aléatoire
on répète cette expérience fois.
La probabilité de réalisation de A , exactement k fois est :
( − )