ü
Le cardinal de est le nombre des éléments de et on le note : ()
ü
Le complémentaire de dans est noté
={ ∈ / ∉ }
Définitions
ü
( ∪ )= ()+ ()− ( ∩ )
ü
Si ∩ = ∅ alors : ( ∪ )= ()+ ()
ü
(
)= ()− () ∪
= ∩
= ∅
Propriétés
· Le principe fondamental du dénombrement
Dans une situation de dénombrement contient choix
Si le
choix se réalise par
façon distinctes
et le
choix se réalise par
façon distinctes
...................
et le
choix se réalise par
façon distinctes
Alors le nombre des possibilités est
×
× …×
ü
Le nombre des arrangements sans répétition de éléments pris parmi éléments
est :
= × ( − )×( − )× …× ( − + )
(et deux éléments de ℕ
∗
et ≤ )
ü
Le nombre des arrangements avec répétition de élément pris parmi élément
est :
(et deux éléments de ℕ
∗
)
Arrangements
ü
Tout arrangement de éléments pris parmi éléments est appelé une
permutation de n éléments, le nombre des permutations est
= ! = × ( − )×( − )× …×
Permutations
Soit un ensemble de cardinal (et deux éléments de ℕ
∗
et ≤ )
Toute partie de contenant éléments est appelée combinaison de éléments
pris parmi éléments de E
ü
Le nombre des combinaisons de élément pris parmi est :
=
! =!
!( − )!
Combinaisons
Quelques types de tirage :
On tire éléments parmi éléments
(et deux éléments de ℕ
∗
)
L’ordrenombre des possibilitéstype de tirage
N’est pas important
simultanément
( ≤ )
important
Successivement et sans remise
( ≤ )
important
Successivement et avec remise
Nombre de possibilités d’arrangement de n éléments
On dispose de
éléments de type A, et de
éléments de type B, de
éléments de type C, parmi n
éléments, avec =
+
+
Ø
le nombre de possibilités d’arranger ces n éléments est
:
!
!
!
!
Dénombrement - Probabilités
· Expérience aléatoire : Toute expérience dont on ne connait pas ses résultats d’avance
· Possibilité : tout résultat d’une expérience aléatoire
· Univers des possibilités : l’ensemble de toutes les éventualités, noté
· L’événement : toute partie de
· L’événement contraire : est l’événement noté
et qui vérifie : ∪
= et ∩
= ∅
· L’événement ∩ : se réalise lorsque et sont réalisés en même temps
· L’événement ∪ : se réalise lorsque l’un au moins des éventualités ou est réalisé.
· et sont incompatibles (ou disjoints) : si ∩ = ∅
= et (∅)= et ≤ ()≤ et ( ∪ )= ()+ ()− ( ∩ )
(
)= − ()
Propriétés
· Equiprobabilité : ()=
()
La probabilité d’un
événement
· La probabilité de sachant que est réalisé
()=
(∩)
()(()≠ )
La probabilité
conditionnelle
· et sont indépendants ssi: ( ∩ )= ()× ()
L’indépendance
Soit Aun événement de probabilité dans une expérience aléatoire
on répète cette expérience fois.
La probabilité de réalisation de A , exactement k fois est :
( − )
Répétition
d’expériences
identiques et
indépendantes
Vocabulaires
et
définitions
1
/
2
100%
