3 Addition de vitesse
Une étudiante est en retard pour sa leçon de trompette, elle prend son vélo et pédale
rapidement, à 0,5c, c’est-à-dire à la moitié de la vitesse de la lumière ! En route, elle dépasse
son frère qui courait sur le trottoir dans la même direction qu’elle. Elle remarque que sa vitesse
par rapport à lui est 0,25c.
(a) Quelle est la vitesse du frère par rapport à celle de l’étudiante ?
Solution
C’est −c/4. Elle se dépasse son frère, donc la vitesse du frère est dans le sens négative. Nous
avons choisit que la vitesse de l’étudiante est positive, disons le long de l’axe des x.
(b) Utiliser la formule pour l’addition de vitesse rélativiste pour trouver la vitesse du frère
par rapport à la terre. Indice : Faites attention au signe de la vitesse.
Solution
Soit v12 la vitesse de la particule 2 par rapport à la particule 1, et la vitesse v23 d’une
troisième particule par rapport de la deuxième particule, tous dans la même direction (mais
peut-être du sens différent), disons le long de l’axe des x. Alors, la loi d’Einstein pour l’addition
des vitesses est :
v13 =v12 +v23
1 + v12v23
c2
.(13)
Donc, suivant cette convention on appele vTE =c/2la vitesse de l’étudiante par rapport à
la Terre, vEF =−c/4pour la vitesse du frère par rapport à celle de l’étudiante. Nous voulons
vTF qui est donnée par l’équation (13) :
vTF =vTE +vEF
1 + vTEvEF
c2
,
=
c
2−c
4
1 +
c
2(−c
4)
c2
,
=
c
4
1−1
2
1
4
=
c
4
7
8
=2
7c. (14)
(c) Soient (xE(t), t)et (xF(t), t)les coordonnées de l’étudiante et de son frère respectivement
dans un référentiel Rimmobile par rapport à la terre. Donc,
xE=vTE t
xF=vFt(15)
Utiliser la transformation de Lorentz pour trouver les coordonnées par rapport à un référentiel
R0qui se déplace avec l’étudiante. Verifier que x0
E= 0. Trouver une expression pour
∆x0
F
∆t0=v0
F
Verifier que v0
Fcorrespond à la réponse de (a) ci-dessus. Indice : Pour trouver ∆x0
Fet ∆t0
différenciez l’expression de x0
Fet t0. Si vous ne savez pas comme le faire, utilisez l’expression de