L1 Physique : L`effet Doppler -TD7

L1 Physique : L’effet Doppler -TD7
Licence 1 Parcours 1 et 3 année 2013-2014
1
Mécanique classique
Un des plus denses objets connus est une étoile à neutrons. Leur densité (masse volumique)
est typiquement 1017 kg m−3 , c’est-a-dire 100 milliards fois plus dense que l’eau. Elles sont à
peu près sphériques (sauf quand elles tournent très rapidement) avec un rayon typiquement de
10 km.
(a) Si vous pesiez 50 kg, trouver votre poids sur la surface d’une étoile à neutrons typique.
Vous aurez besoin de la constante gravitationnelle, G = 6.67 × 10−11 N m2 kg−2 . C’est combien
de fois plus que le poids sur la surface de la terre (sur laquelle g = 9.8N kg−1 ) ?
(b) L’énergie potentielle gravitationelle d’un corps de masse m sur la surface d’une sphère
de masse M m est le travail qu’il faut fournir pour soulever le corps jusqu’à infinité :
∞
Z ∞
Z ∞
1
GM m
GM m
~
=−
dr = GM m
φ=
F · d~r = −
2
r
r R
R
R
R
Utilisant la formule d’énergie cinétique classique, trouver la vitesse qu’un corps de masse m a
besoin d’échapper à la surface. Exprimer la vitesse en [m/s] et aussi comme une fraction de la
vitesse de la lumière dans le vide.
Est-ce que la relativité est nécessaire pour étudier les étoiles à neutrons ?
2
Effet Doppler
Quand une étoile à neutrons tourne très rapidement sur elle-même (période typique de
l’ordre d’une seconde) et émet un fort rayonnement électromagnétique dans la direction de
son axe magnétique, elle s’appelle un pulsar. S’il est bien positionné nous recevons un signal
périodique, la période étant extrêmement stable et correspondant à la période de rotation de
l’étoile à neutrons. Supposons qu’un pulsar, avec une période propre 1 de rotation de précisement
une seconde, s’éloigne de nous à une vitesse de v = c/2. Nous allons étudier la periode de la
rotation que nous observons et dériver une formule que vous pouvez utiliser directement pour
résoudre cette question, c’est la formule de l’effet Doppler relativiste.
(a) Écrire une équation pour les coordonnées (t, x) de deux événements d’émission du signal
de pulsar vers nous, dans un référentiel R dans lequel le pulsar reste à l’origine. Appelez les
deux événements (t0 , x0 ) et (t1 , x1 ).
(b) Transformer les coordonnées (t0 , x0 ) et (t1 , x1 ) de R en notre référentiel R0 dans lequel
nous sommes stationaires à l’origine et pour lequel nous voyons le pulsar d’avoir une vitesse
v = c/2 le long de l’axe des x.
(c) Calculer le temps d’arrivée des deux signals de (t00 , x00 ) et (t01 , x01 ) jusqu’à nous (à l’origine
de R0 ). Quel est le rapport de la période propre et la période que nous observons ?
3
de TD 6 : Addition de vitesse
Voir solution ci-dessous.
1. La période propre est mesurée dans un référentiel dans lequel le centre de l’objet est stationaire
Une étudiante est en retard pour sa leçon de trompette, elle prend son vélo et pédale
rapidement, à 0, 5c, c’est-à-dire à la moitié de la vitesse de la lumière ! En route, elle dépasse
son frère qui courait sur le trottoir dans la même direction qu’elle. Elle remarque que sa vitesse
par rapport à lui est 0, 25c.
(a) Quelle est la vitesse du frère par rapport à celle de l’étudiante ?
(b) Utiliser la formule pour l’addition de vitesse rélativiste pour trouver la vitesse du frère
par rapport à la terre. Indice : Faites attention au signe de la vitesse.
(c) Soient (xE (t), t) et (xF (t), t) les coordonnées de l’étudiante et de son frère respectivement
dans un référentiel R immobile par rapport à la terre. Donc,
xE = vE t
xF = vF t
(1)
Utiliser la transformation de Lorentz pour trouver les coordonnées par rapport à un référentiel
R0 qui se déplace avec l’étudiante. Verifier que x0E = 0. Trouver une expression pour
∆x0F
= vF0
∆t0
Verifier que vF0 correspond à la réponse de (a) ci-dessus. Indice : Pour trouver ∆x0F et ∆t0
différenciez l’expression de x0F et t0 . Si vous ne savez pas comme le faire, utilisez l’expression de
x0F et t0 à deux instants de temps, disons t1 et t2 et soustrayez :
∆x0F = x0F (t2 ) − x0F (t1 )
4
∆t0 = t0 (t2 ) − t0 (t1 )
Solution
Transformation de Lorentz du référentiel de la terre au référentiel d’étudiante :
0 γ
−γ(v/c)
ct
ct
=
0
x
−γ(v/c)
γ
x
(2)
où v = vE .
Pour l’étudiante, xE = vt, donc
x0E = γxE − γ(v/c)ct = γ(xE − vt) = 0
bien sûr !
Pour le frère, xF = vt, donc
x0F = γxF − γ(v/c)ct = γ(xF − vt)
ct0 = γct − γ(v/c)xF
donc t0 = γ(t − (v/c2 )xF )
(3)
Différenciez les deux
dx0F = γ(dxF − vdt)
dt0 = γ(dt − (v/c2 )dxF )
(4)
Divisez la première équation par dt, remarquez la vitesse de frère (rappelez v = vE ) :
dx0F /dt = γ(dxF /dt − v) = γ(vF − v)
dt0 /dt = γ(1 − (v/c2 )dxF /dt) = γ(1 − vvF /c2 )
(5)
Diviser les deux,
dx0F /dt0 = vF0 =
(vF − v)
(1 − vvF /c2 )
(6)
Résoudez pour vF :
vF =
v + vF0
1+
0
vvF
2
c
et remarquez que c’est l’équation familière de l’addition de vitesse.