Chapitre 2 : Ensembles, applications et relations binaires

MPSI 3 Centre des CPGE lycée al khansaa, Casablanca
IDRISSI Mohamed
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Chapitre 2 : Ensembles, applications et relations binaires
I) Les ensembles
1) Définitions et généralités
 Un ensemble est une collection d'objets, qui sont appelés les éléments de cet ensemble,
considérés sans ordre et sans répétition.
 «  est un élément de l'ensemble E » se lit aussi «  appartient à E » et se note «    ».
On dit aussi « E contient  ».
 L'ensemble qui ne contient aucun élément est appelé l'ensemble vide, on le note .
 Un ensemble contenant un seul élément  est appelé singleton, on le note .
 Soient deux ensembles E et F. L'ensemble E est dit inclus dans l'ensemble F lorsque tout
élément de E et aussi élément de F. Autrement dit,      .
On dit dans ce cas que E est un sous-ensemble de F, ou que E est une partie de F et on
note   .
 Soient deux ensembles E et F.
On dit que les ensembles E et F sont égaux et on note    lorsque     .
  de toutes les parties de E est noté , il contient en particulier  et E.
Pour tout ensemble A, on a l'équivalence      .
Exemple : Voir votre cahier de cours.
Exercice d'application : On pose   
1) Déterminer 
2) Déterminer 
Solution : Voir votre cahier de cours.
Remarque 1 : Si   alors  
Remarque 2 : Soit E un ensemble et   
2) Opérations sur les ensembles
Définition : Soient E un ensemble et   .
La réunion des ensembles A et B est l'ensemble des éléments appartenant à A ou à B. On la note
.
Autrement dit          
.
Schématisation de la réunion de deux ensembles : Voir votre cahier de cours.
Remarque 3 :            
Exemple 2 : Voir votre cahier de cours.
Définition 2 : Soit E un ensemble et   .

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L'intersection des ensembles A et B est l'ensemble des éléments appartenant à la fois à A et à B,
on la note . Autrement dit          
Remarque 4 :            
Exemple 3 : Voir votre cahier de cours.
Schématisation  Voir votre cahier de cours.
Définition 3 : Soit E un ensemble et   .
La différence des ensembles A et B est l'ensemble des éléments appartenant à A et pas à B, on la
note . Autrement dit          
Remarque 5 :            
Exemple 4 : Voir votre cahier de cours.
Schématisation de la différence de deux ensembles : Voir votre cahier de cours.
Définition 4 : Soit E un ensemble et   .
Le complémentaire de A dans E est l'ensemble des éléments appartenant à A, on le note
  . Autrement dit 
Remarque 6 :      
Exemple 5 : Voir votre cahier de cours.
Schématisation  : Voir votre cahier de cours.
Propriétés des opérations : Soient E un ensemble et   .
 Commutativité :    et   
 Associativité :  et 
On peut donc écrire  et 
 Distributivité de l'intersection par rapport à la réunion : 
 Distributivité de la réunion par rapport à l'intersection : 
 Passage au complémentaire : 
  ;   ;     
 Différence :    
Lois de Morgan : 
 et 
Remarque : Soit E un ensemble et   .
   ;   ;    ;   
    et   
 Si    alors    et   
Exercice d'application : Soient un ensemble et   .
1) Montrer que    
2) Montrer que   
Solution : Voir votre cahier de cours.
Exercice d'application : Soient un ensemble et   
On définit la différence symétrique de A et B par :    .

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i) Montrer que   
ii) Montrer que   
Solution : Voir votre cahier de cours.
Définition 5 : Le produit cartésien de deux ensembles E et F est l'ensemble des couples 
avec     . On le note   . Autrement dit         
.
Dans le cas où   , on pourra noter     .
Cette définition se généralise à un produit cartésien d'un nombre fini d'ensembles :
Soit  des ensembles.     
Remarque :         
Exemple 6 : Voir votre cahier de cours.
Remarque : En général       tant dans un produit cartésien).
Par exemple on a   mais  
Exercice d'application : Soient E et F deux ensembles,   et  
1) Montrer que 
2) Montrer que 
3) A-t-on nécessairement  ?
Solution : Voir votre cahier de cours.
II) les applications
1) Généralités sur les applications
Définitions : Soient E et F deux ensembles non vides.
Une application (on dit aussi fonction)  de E dans F est une correspondance (liaison) qui à tout
élément  de E associe un unique élément  de F, noté , et appelé image de  par .
On notera   
.
L'élément  est appelé antécédent de  par .
L'élément  est appelé image de  par .
On note  ou  l'ensemble des applications de E dans F.
Exemple 7 : Voir votre cahier de cours.
Définition (égalité de deux applications) : On dit que deux applications  sont égales, et on
écrit   , lorsqu'elles ont le même ensemble de départ et le même ensemble d'arrivée et  
 .
Exemple 8 : Voir votre cahier de cours.
Définition (restriction d'une application) : Soient E et F deux ensembles non vides,  une
application de E dans F et

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  . On appelle restriction de  à A l'application de A, notée  et définie par :  
 .
Exemple 9 : Voir votre cahier de cours.
Définition (prolongement d'une application) : Soient E et F deux ensembles non vides,  une
application de E dans F et B un ensemble tel que   .
On appelle prolongement de  à B toute application 
 de B dans F telle que     .
Remarque 10 : Un prolongement n'est pas unique en général.
Exemple 10 : Voir votre cahier de cours.
Définition (graphe d'une application) : Soient E et F deux ensembles non vides et  une
application de E dans F.
On appelle graphe de l'application  le sous-ensemble G défini par     
Exemple 11 : Voir votre cahier de cours.
Exercice d'application 4 : On pose     
. G est-il un graphe d'une application ?
Solution : Voir votre cahier de cours.
Remarque (Lien entre graphe et représentation graphique) :
Soit  une fonction définie sur une partie A de . On muni le plan d'un repère cartésien.
Le graphe de  est représenté géométriquement par l'ensemble des points de coordonnées
 lorsque  parcourt l'ensemble A appelé courbe de  (ou représentation graphique de
).
Définition (famille d'éléments d'un ensemble) : Soient I et E deux ensembles non vides.
On appelle famille d'éléments de E indexée par I toute application de I dans E.
Notation 1 : Une famille d'éléments de E indexée par I est donc un élément de , mais
- au lieu de la
notation habituelle des applications     
Exemple 12 : Voir votre cahier de cours.
Définition 6 : Soit I et E deux ensembles non vides et  une famille de parties de E. On
définit alors :
Remarque 11 :

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Définition (fonction indicatrice d'une partie d'un ensemble) : Soient E un ensemble et   .
On appelle fonction indicatrice de A (on dit aussi fonction caractéristique) l'application de E
dans notée  et définie par :    
Exemple 13 : Voir votre cahier de cours.
Propriétés de la fonction indicatrice d'une partie d'un ensemble :
Soient E un ensemble et   . On a les propriétés suivantes :
i)      
ii)   
iii)   
iv)   
v)   
Exercice : Soit E un ensemble et   .
Montrer que  
Montrer que  
Solution : Voir votre cahier de cours.
Définition (partition d'un ensemble) : Soit  une famille de parties d'un ensemble E.
On dit que  est une partition de E lorsque les trois conditions suivantes sont vérifiées :
i)    
ii)        
iii)   
Exemple 14 : On pose . La famille  est une
partition de .
2) Image directe, image réciproque
Définition (Image directe) :
Soient E et F deux ensembles non vides,    et  une application de E dans F.
On appelle image directe de A par , et on note , la partie de F définie par :
On écrit pour simplifier   
.
Remarque : Avec les mêmes notations de la définition, on a :
i)  
ii)            
iii)  
iv)         
Exemple 15 : Voir votre cahier de cours.