Chapitre 2 : Ensembles, applications et relations binaires

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IDRISSI Mohamed
Centre des CPGE lycée al khansaa, Casablanca
Chapitre 2 : Ensembles, applications et relations binaires
I)
Les ensembles
1) Définitions et généralités

Un ensemble est une collection d'objets, qui sont appelés les éléments de cet ensemble,
considérés sans ordre et sans répétition.

« 𝑥 est un élément de l'ensemble E » se lit aussi « 𝑥 appartient à E » et se note « 𝑥 ∈ 𝐸 ».
On dit aussi « E contient 𝑥 ».

L'ensemble qui ne contient aucun élément est appelé l'ensemble vide, on le note ∅.

Un ensemble contenant un seul élément 𝑥 est appelé singleton, on le note {𝑥}.

Soient deux ensembles E et F. L'ensemble E est dit inclus dans l'ensemble F lorsque tout
élément de E et aussi élément de F. Autrement dit, ∀𝑥 ∈ 𝐸, 𝑥 ∈ 𝐹.
On dit dans ce cas que E est un sous-ensemble de F, ou que E est une partie de F et on
note 𝐸 ⊂ 𝐹.

Soient deux ensembles E et F.
On dit que les ensembles E et F sont égaux et on note 𝐸 = 𝐹 lorsque 𝐸 ⊂ 𝐹 𝑒𝑡 𝐹 ⊂ 𝐸.

L’ensemble de toutes les parties de E est noté 𝒫 (𝐸 ), il contient en particulier ∅ et E.
Pour tout ensemble A, on a l'équivalence 𝐴 ∈ 𝒫 (𝐸 ) ⇔ 𝐴 ⊂ 𝐸.
Exemple : Voir votre cahier de cours.
Exercice d'application : On pose 𝐸 = {𝑎 ; 𝑏}
1) Déterminer 𝒫 (𝐸 )
2) Déterminer 𝒫(𝒫 (𝐸 ))
Solution : Voir votre cahier de cours.
Remarque 1 : Si 𝑐𝑎𝑟𝑑 (𝐸 ) = 𝑛 alors 𝑐𝑎𝑟𝑑(𝒫(𝐸 )) = 2𝑛
Remarque 2 : Soit E un ensemble et 𝐴, 𝐵 ∈ 𝒫(𝐸 )

𝐴 ⊂ 𝐵 ⇔ (∀𝑥 ∈ 𝐸, 𝑥 ∈ 𝐴 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐵)

𝐴 = 𝐵 ⇔ (𝐴 ⊂ 𝐵 𝑒𝑡 𝐵 ⊂ 𝐴)

𝐴 = 𝐵 ⇔ (∀𝑥 ∈ 𝐸, 𝑥 ∈ 𝐴 ⇔ 𝑥 ∈ 𝐵)
2) Opérations sur les ensembles
Définition : Soient E un ensemble et 𝐴, 𝐵 ∈ 𝒫(𝐸 ).
La réunion des ensembles A et B est l'ensemble des éléments appartenant à A ou à B. On la note
𝐴⋃𝐵.
Autrement dit 𝐴⋃𝐵 = { 𝑥 ∈ 𝐸⁄𝑥 ∈ 𝐴 𝑜𝑢 𝑥 ∈ 𝐵 }.
Schématisation de la réunion de deux ensembles : Voir votre cahier de cours.
Remarque 3 : ∀𝑥 ∈ 𝐸, 𝑥 ∈ 𝐴⋃𝐵 ⇔ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑜𝑢 𝑥 ∈ 𝐵
Exemple 2 : Voir votre cahier de cours.
Définition 2 : Soit E un ensemble et 𝐴, 𝐵 ∈ 𝒫(𝐸 ).
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L'intersection des ensembles A et B est l'ensemble des éléments appartenant à la fois à A et à B,
on la note 𝐴⋂𝐵. Autrement dit 𝐴⋂𝐵 = { 𝑥 ∈ 𝐸⁄𝑥 ∈ 𝐴 𝑒𝑡 𝑥 ∈ 𝐵 }
Remarque 4 : ∀𝑥 ∈ 𝐸, 𝑥 ∈ 𝐴⋂𝐵 ⇔ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑒𝑡 𝑥 ∈ 𝐵
Exemple 3 : Voir votre cahier de cours.
Schématisation de l’intersection de deux ensembles : Voir votre cahier de cours.
Définition 3 : Soit E un ensemble et 𝐴, 𝐵 ∈ 𝒫(𝐸 ).
La différence des ensembles A et B est l'ensemble des éléments appartenant à A et pas à B, on la
note 𝐴 ∖ 𝐵. Autrement dit 𝐴 ∖ 𝐵 = { 𝑥 ∈ 𝐸⁄𝑥 ∈ 𝐴 𝑒𝑡 𝑥 ∉ 𝐵 }
Remarque 5 : ∀𝑥 ∈ 𝐸, 𝑥 ∈ 𝐴 ∖ 𝐵 ⇔ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑒𝑡 𝑥 ∉ 𝐵
Exemple 4 : Voir votre cahier de cours.
Schématisation de la différence de deux ensembles : Voir votre cahier de cours.
Définition 4 : Soit E un ensemble et 𝐴 ∈ 𝒫 (𝐸 ).
Le complémentaire de A dans E est l'ensemble des éléments de E n’appartenant à A, on le note
𝐶𝐸𝐴 (𝑜𝑢 𝐸 ∖ 𝐴 𝑜𝑢 𝐴̅). Autrement dit 𝐶𝐸𝐴 = { 𝑥 ∈ 𝐸⁄𝑥 ∉ 𝐴 }
Remarque 6 : ∀𝑥 ∈ 𝐸, 𝑥 ∈ 𝐶𝐸𝐴 ⇔ 𝑥 ∉ 𝐴
Exemple 5 : Voir votre cahier de cours.
Schématisation du complémentaire d’un ensemble : Voir votre cahier de cours.
Propriétés des opérations : Soient E un ensemble et 𝐴, 𝐵, 𝐶 ∈ 𝒫 (𝐸 ).

Commutativité : 𝐴⋃𝐵 = 𝐵⋃𝐴 et 𝐴⋂𝐵 = 𝐵⋂𝐴

Associativité : 𝐴⋃(𝐵⋃𝐶 ) = (𝐴⋃𝐵)⋃𝐶 et 𝐴⋂(𝐵⋂𝐶 ) = (𝐴⋂𝐵)⋂𝐶
On peut donc écrire 𝐴⋃𝐵⋃𝐶 et 𝐴⋂𝐵⋂𝐶

Distributivité de l'intersection par rapport à la réunion : 𝐴⋂(𝐵⋃𝐶 ) = (𝐴⋂𝐵)⋃(𝐴⋂𝐶 )

Distributivité de la réunion par rapport à l'intersection : 𝐴⋃(𝐵⋂𝐶 ) = (𝐴⋃𝐵)⋂(𝐴⋃𝐶 )

Passage au complémentaire : ∁∅𝐸 = 𝐸 ; ∁𝐸𝐸 = ∅ ; 𝐴̿ = 𝐴 ; 𝐴 ⊂ 𝐵 ⇒ ∁𝐵𝐸 ⊂ ∁𝐸𝐴

Différence : 𝐴 ∖ 𝐵 = 𝐴⋂𝐵̅
̅̅̅̅̅̅ = 𝐴̅⋂𝐵̅ et 𝐴⋂𝐵
̅̅̅̅̅̅ = 𝐴̅⋃𝐵̅
Lois de Morgan : 𝐴⋃𝐵
Remarque : Soit E un ensemble et 𝐴, 𝐵 ∈ 𝒫(𝐸 ).

𝐴⋂𝐴̅ = ∅ ; 𝐴⋃𝐴̅ = 𝐸 ; ∅⋂𝐴 = ∅ ; ∅⋃𝐴 = 𝐴

𝐴⋂𝐵 ⊂ 𝐴 et 𝐴 ⊂ 𝐴⋃𝐵

Si 𝐴 ⊂ 𝐵 alors 𝐴⋃𝐵 = 𝐵 et 𝐴⋂𝐵 = 𝐴
Exercice d'application : Soient un ensemble et 𝐴, 𝐵, 𝐶 ∈ 𝒫 (𝐸 ).
1) Montrer que (𝐴 ∖ 𝐶 ) ∖ (𝐵 ∖ 𝐶 ) = 𝐴 ∖ (𝐵⋃𝐶 )
2) Montrer que (𝐴 ∖ 𝐵)⋃(𝐴 ∖ 𝐶 ) = 𝐴 ∖ (𝐵⋂𝐶 )
Solution : Voir votre cahier de cours.
Exercice d'application : Soient un ensemble et 𝐴, 𝐵 ∈ 𝒫 (𝐸 ).
On définit la différence symétrique de A et B par : 𝐴Δ𝐵 = (𝐴 ∖ 𝐵)⋃(𝐵 ∖ 𝐴).
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i) Montrer que 𝐴Δ𝐵 = (𝐴⋃𝐵) ∖ (𝐴⋂𝐵)
ii) Montrer que 𝐴Δ𝐵 = 𝐴̅Δ𝐵̅
Solution : Voir votre cahier de cours.
3) Produit cartésien d’ensembles
Définition 5 : Le produit cartésien de deux ensembles E et F est l'ensemble des couples (𝑥, 𝑦)
avec 𝑥 ∈ 𝐸 𝑒𝑡 𝑦 ∈ 𝐹. On le note 𝐸 × 𝐹. Autrement dit 𝐸 × 𝐹 = { (𝑥, 𝑦)⁄𝑥 ∈ 𝐸 𝑒𝑡 𝑦 ∈ 𝐹 }.
Dans le cas où 𝐸 = 𝐹, on pourra noter 𝐸 × 𝐸 = 𝐸 2 .
Cette définition se généralise à un produit cartésien d'un nombre fini d'ensembles :
Soit 𝐸1 , … , 𝐸𝑛 des ensembles. 𝐸1 × 𝐸2 × … × 𝐸𝑛 = {(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) ; ∀𝑖 ∈ ⟦1, 𝑛⟧, 𝑥𝑖 ∈ 𝐸𝑖 }
Remarque : (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐸 × 𝐹 ⇔ 𝑥 ∈ 𝐸 𝑒𝑡 𝑦 ∈ 𝐹
Exemple 6 : Voir votre cahier de cours.
Remarque : En général 𝐸 × 𝐹 ≠ 𝐹 × 𝐸 (l’ordre est important dans un produit cartésien).
Par exemple on a (0, √2 ) ∈ ℕ × ℝ mais (0, √2 ) ∉ ℝ × ℕ
Exercice d'application : Soient E et F deux ensembles, 𝐴1 , 𝐴2 ∈ 𝒫 (𝐸 ) et 𝐵1 , 𝐵2 ∈ 𝒫 (𝐹 )
1) Montrer que (𝐴1 × 𝐵1 )⋂(𝐴2 × 𝐵2 ) = (𝐴1 ⋂𝐴2 ) × (𝐵1 ⋂𝐵2 )
2) Montrer que (𝐴1 × 𝐵1 )⋃(𝐴2 × 𝐵1 ) = (𝐴1 ⋃𝐴2 ) × 𝐵1
3) A-t-on nécessairement (𝐴1 × 𝐵1 )⋃(𝐴2 × 𝐵2 ) = (𝐴1 ⋃𝐴2 ) × (𝐵1 ⋃𝐵2 ) ?
Solution : Voir votre cahier de cours.
II)
les applications
1) Généralités sur les applications
Définitions : Soient E et F deux ensembles non vides.
Une application (on dit aussi fonction) 𝑓 de E dans F est une correspondance (liaison) qui à tout
élément 𝑥 de E associe un unique élément 𝑦 de F, noté 𝑓(𝑥), et appelé image de 𝑥 par 𝑓.
On notera 𝑓: 𝐸 → 𝐹 .
𝑥→𝑓(𝑥)
L'élément 𝑥 est appelé antécédent de 𝑦 par 𝑓.
L'élément 𝑦 est appelé image de 𝑥 par 𝑓.
On note ℱ(𝐸, 𝐹) ou (𝐹 𝐸 ) l'ensemble des applications de E dans F.
Exemple 7 : Voir votre cahier de cours.
Définition (égalité de deux applications) : On dit que deux applications 𝑓 𝑒𝑡 𝑔 sont égales, et on
écrit 𝑓 = 𝑔, lorsqu'elles ont le même ensemble de départ et le même ensemble d'arrivée et ∀𝑥 ∈
𝐸, 𝑓 (𝑥) = 𝑔(𝑥).
Exemple 8 : Voir votre cahier de cours.
Définition (restriction d'une application) : Soient E et F deux ensembles non vides, 𝑓 une
application de E dans F et
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𝐴 ∈ 𝒫(𝐸 ). On appelle restriction de 𝑓 à A l'application de A, notée 𝑓|𝐴 et définie par : ∀𝑥 ∈
𝐴, 𝑓|𝐴 (𝑥) = 𝑓(𝑥).
Exemple 9 : Voir votre cahier de cours.
Définition (prolongement d'une application) : Soient E et F deux ensembles non vides, 𝑓 une
application de E dans F et B un ensemble tel que 𝐸 ⊂ 𝐵.
On appelle prolongement de 𝑓 à B toute application 𝑓̃ de B dans F telle que ∀𝑥 ∈ 𝐸, 𝑓̃(𝑥) = 𝑓(𝑥).
Remarque 10 : Un prolongement n'est pas unique en général.
Exemple 10 : Voir votre cahier de cours.
Définition (graphe d'une application) : Soient E et F deux ensembles non vides et 𝑓 une
application de E dans F.
On appelle graphe de l'application 𝑓 le sous-ensemble G défini par 𝐺 = { (𝑥, 𝑓(𝑥))⁄𝑥 ∈ 𝐸 }
Exemple 11 : Voir votre cahier de cours.
Exercice d'application 4 : On pose 𝐺 = { (𝑥 2 , 𝑥 3 )⁄𝑥 ∈ ℝ}. G est-il un graphe d'une application ?
Solution : Voir votre cahier de cours.
Remarque (Lien entre graphe et représentation graphique) :
Soit 𝑓 une fonction définie sur une partie A de ℝ. On muni le plan d'un repère cartésien.
Le graphe de 𝑓 est représenté géométriquement par l'ensemble des points de coordonnées
(𝑥, 𝑓 (𝑥)) lorsque 𝑥 parcourt l'ensemble A appelé courbe de 𝑓 (ou représentation graphique de
𝑓).
Définition (famille d'éléments d'un ensemble) : Soient I et E deux ensembles non vides.
On appelle famille d'éléments de E indexée par I toute application de I dans E.
Notation 1 : Une famille d'éléments de E indexée par I est donc un élément de ℱ (𝐼, 𝐸 ), mais
l’utilisation du terme famille sous-entend que l’on utilise la notation indexée (𝑓𝑥 )𝑥∈𝐼 au lieu de la
notation habituelle des applications 𝑓 ∶ 𝐼 → 𝐸
𝑥→𝑓(𝑥)
Exemple 12 : Voir votre cahier de cours.
Définition 6 : Soit I et E deux ensembles non vides et (𝐴𝑖 )𝑖∈𝐼 une famille de parties de E. On
définit alors :
⋃ 𝐴𝑖 = { 𝑥 ∈ 𝐸⁄∃𝑖 ∈ 𝐼,
𝑥 ∈ 𝐴𝑖 }
𝑖∈𝐼
⋂ 𝐴𝑖 = { 𝑥 ∈ 𝐸⁄∀𝑖 ∈ 𝐼,
𝑥 ∈ 𝐴𝑖 }
𝑖∈𝐼
Remarque 11 :
∀𝑥 ∈ 𝐸,
𝑥 ∈ ⋃ 𝐴𝑖 ⇔ ∃𝑖 ∈ 𝐼, 𝑥 ∈ 𝐴𝑖
𝑖∈𝐼
∀𝑥 ∈ 𝐸,
𝑥 ∈ ⋂ 𝐴𝑖 ⇔ ∀𝑖 ∈ 𝐼, 𝑥 ∈ 𝐴𝑖
𝑖∈𝐼
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Définition (fonction indicatrice d'une partie d'un ensemble) : Soient E un ensemble et 𝐴 ∈ 𝒫 (𝐸 ).
On appelle fonction indicatrice de A (on dit aussi fonction caractéristique) l'application de E
dans {0 ; 1} notée 1𝐴 et définie par : 1𝐴 ∶ 𝐸 → {0 ; 1}
𝑥→{
1 ,𝑠𝑖 𝑥∈𝐴
0,𝑠𝑖 𝑥∉𝐴
Exemple 13 : Voir votre cahier de cours.
Propriétés de la fonction indicatrice d'une partie d'un ensemble :
Soient E un ensemble et 𝐴, 𝐵 ∈ 𝒫(𝐸 ). On a les propriétés suivantes :
i)
𝐴 = 𝐵 ⇔ 1𝐴 = 1𝐵
ii)
1𝐴̅ = 1 − 1𝐴
iii)
1𝐴⋂𝐵 = 1𝐴 1𝐵
iv)
1𝐴⋃𝐵 = 1𝐴 + 1𝐵 − 1𝐴 1𝐵
v)
1𝐴∖𝐵 = 1𝐴 − 1𝐴 1𝐵
Exercice : Soit E un ensemble et 𝐴, 𝐵 ∈ 𝒫(𝐸 ).
Montrer que 𝐴⋂(𝐴⋃𝐵) = 𝐴
Montrer que 𝐴⋃(𝐴⋂𝐵) = 𝐴
Solution : Voir votre cahier de cours.
Définition (partition d'un ensemble) : Soit (𝑋𝑖 )𝑖∈𝐼 une famille de parties d'un ensemble E.
On dit que (𝑋𝑖 )𝑖∈𝐼 est une partition de E lorsque les trois conditions suivantes sont vérifiées :
i)
∀𝑖 ∈ 𝐼, 𝑋𝑖 ≠ ∅
ii)
∀(𝑖, 𝑗 ) ∈ 𝐼2 , 𝑖 ≠ 𝑗 ⇒ 𝑋𝑖 ⋂𝑋𝑗 = ∅
iii)
⋃𝑖∈𝐼 𝑋𝑖 = 𝐸
Exemple 14 : On pose 𝑋1 = ⟦0,3⟧ , 𝑋2 = ⟦4,7⟧, 𝑋1 = ⟦8,10⟧. La famille (𝑋𝑖 )𝑖∈{1 ;2 ;3} est une
partition de ⟦0,10⟧.
2) Image directe, image réciproque
Définition (Image directe) :
Soient E et F deux ensembles non vides, 𝐴 ∈ 𝒫 (𝐸 ) et 𝑓 une application de E dans F.
On appelle image directe de A par 𝑓, et on note 𝑓(𝐴), la partie de F définie par :
𝑓 (𝐴) = { 𝑦 ∈ 𝐹 ⁄∃𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 = 𝑓(𝑥)}
On écrit pour simplifier 𝑓(𝐴) = { 𝑓(𝑥)⁄𝑥 ∈ 𝐴 }.
Remarque : Avec les mêmes notations de la définition, on a :
i)
𝑓 (𝐴) ⊂ 𝐹
ii)
∀𝑦 ∈ 𝐹, 𝑦 ∈ 𝑓(𝐴) ⇔ ∃𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 = 𝑓(𝑥)
iii)
𝑓 (∅) = ∅
iv)
∀𝑥 ∈ 𝐸, 𝑥 ∈ 𝐴 ⇒ 𝑓(𝑥) ∈ 𝑓(𝐴)
Exemple 15 : Voir votre cahier de cours.
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Exercice :
Soient E et F deux ensembles non vides, 𝐴1 , 𝐴2 ∈ 𝒫 (𝐸 ) et 𝑓 une application de E dans F.
1) Montrer que 𝐴1 ⊂ 𝐴2 ⇒ 𝑓 (𝐴1 ) ⊂ 𝑓(𝐴2 )
2) Montrer que 𝑓 (𝐴1 ⋃𝐴2 ) = 𝑓 (𝐴1 )⋃𝑓 (𝐴2 )
3) a) Montrer que 𝑓 (𝐴1 ⋂𝐴2 ) ⊂ 𝑓 (𝐴1 )⋂𝑓(𝐴2 )
b) A-t-on l’égalité ?
Solution : Voir votre cahier de cours.
Définition (image réciproque) :
Soient E et F deux ensembles non vides, 𝐵 ∈ 𝒫 (𝐸 ) et 𝑓 une application de E dans F.
On appelle image réciproque de B par 𝑓, et on note 𝑓 −1 (𝐵), la partie de E définie par : 𝑓 −1 (𝐵) =
{𝑥 ∈ 𝐸 | 𝑓(𝑥) ∈ 𝐵}
Remarque : Avec les mêmes notations de la définition on a :
i)
𝑓 −1 (𝐵) ⊂ 𝐸
ii)
∀𝑥 ∈ 𝐸, 𝑥 ∈ 𝑓 −1 (𝐵) ⇔ 𝑓(𝑥) ∈ 𝐵
iii)
𝑓 −1 (∅) = ∅
iv)
𝑓 −1 (𝐹 ) = 𝐸
Exemple 16 : Voir votre cahier de cours.
Exercice :
Soient E et F deux ensembles non vides, 𝐵, 𝐵1 , 𝐵2 ∈ 𝒫 (𝐹 ) et 𝑓 une application de E dans F.
Montrer que :
1) 𝐵1 ⊂ 𝐵2 ⇒ 𝑓 −1 (𝐵1 ) ⊂ 𝑓 −1 (𝐵2 )
2) 𝑓 −1 (𝐵1 ⋃𝐵2 ) = 𝑓 −1 (𝐵1 )⋃𝑓 −1 (𝐵2 )
3) 𝑓 −1 (𝐵1 ⋂𝐵2 ) = 𝑓 −1 (𝐵1 )⋂𝑓 −1 (𝐵2 )
4) 𝑓 −1 (∁𝐵𝐹 ) = ∁𝐸𝑓
−1 (𝐵)
Solution : Voir votre cahier de cours.
Exercice :
Soient E et F deux ensembles non vides et 𝑓 une application de E dans F. Montrer que :
1) ∀𝐴 ∈ 𝒫 (𝐸 ), 𝐴 ⊂ 𝑓 −1 (𝑓(𝐴))
2) ∀𝐵 ∈ 𝒫 (𝐹 ), 𝑓(𝑓 −1 (𝐵)) ⊂ 𝐵
Solution : Voir votre cahier de cours.
3) Composition d'application :
Définition (composée de deux applications) :
Soient E, F, G trois ensembles non vides, 𝑓 ∈ ℱ (𝐸, 𝐹 ) et 𝑔 ∈ ℱ (𝐹, 𝐺 ).
On appelle composée de 𝑓 et 𝑔, et on note 𝑔 ∘ 𝑓, l’application de E dans G définie par :
∀𝑥 ∈ 𝐸, 𝑔 ∘ 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)).
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Exemple 17 : Voir votre cahier de cours.
Remarque : La composition d'application n'est pas commutative (𝑓 ∘ 𝑔 ≠ 𝑔 ∘ 𝑓 en général).
Proposition (Associativité de la composition) :
Soient E, F, G, H quatre ensembles non vides 𝑓 ∈ ℱ (𝐸, 𝐹 ), 𝑔 ∈ ℱ (𝐹, 𝐺 ) et ℎ ∈ ℱ(𝐺, 𝐻). On a : ℎ ∘
(𝑔 ∘ 𝑓) = (ℎ ∘ 𝑔) ∘ 𝑓
Démonstration : Voir votre cahier de cours.
4) injectivité, surjectivité, bijectivité
a) injectivité
Définition : Soient E, F deux ensembles non vides et 𝑓 ∈ ℱ (𝐸, 𝐹 ).
On dit que 𝑓 est injective (ou que c'est une injection) lorsqu'elle vérifie l'une des trois
propositions équivalentes suivantes :
i)
Tout élément de F a au plus un antécédent par 𝑓. Autrement dit, pour tout 𝑦 ∈ 𝐹,
l'équation 𝑓(𝑥) = 𝑦 admet au plus une solution dans E.
ii)
∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐸, 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑦) ⇒ 𝑥 = 𝑦
iii)
∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐸, 𝑥 ≠ 𝑦 ⇒ 𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(𝑦)
Schématisation : Voir votre cahier de cours.
Exemple 18 : Voir votre cahier de cours.
b) Surjectivité
Définition (application surjective) : Soient E , F deux ensembles non vides et 𝑓 ∈ ℱ(𝐸, 𝐹 ).
On dit que 𝑓 est surjective (ou que 𝑓 est une surjection) lorsque l'une des propositions
équivalentes suivantes est vérifiée :
i)
Tout élément de F a au moins un antécédent par 𝑓.
Autrement dit, ∀𝑦 ∈ 𝐹, ∃𝑥 ∈ 𝐸, 𝑦 = 𝑓(𝑥).
ii)
𝑓 (𝐸 ) = 𝐹
Exemple 19 : Voir votre cahier de cours.
c) Bijectivité
Définition (application bijective) : Soient E, F deux ensembles non vides et 𝑓 ∈ ℱ (𝐸, 𝐹 ).
On dit que 𝑓 est bijective (ou que c’est une bijection) lorsqu'elle vérifie l'une des propositions
équivalentes suivantes :
i)
𝑓 est injective et surjective.
ii)
Tout élément de F a un et un seul antécédent par 𝑓.
C'est-à-dire ∀𝑦 ∈ 𝐹, ∃! 𝑥 ∈ 𝐸, 𝑦 = 𝑓(𝑥).
Exemple 20 : Voir votre cahier de cours.
Définition (Bijection réciproque) :
Soient E, F deux ensembles non vides et 𝑓 ∈ ℱ(𝐸, 𝐹 ) une application bijective.
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L’application de F dans E qui à tout 𝑦 ∈ 𝐹 associe l'unique 𝑥 ∈ 𝐸 tel que 𝑦 = 𝑓(𝑥) s'appelle
l'application réciproque de 𝑓 et se note 𝑓 −1 .
Remarque :

Dans ce cas on a : 𝑓 ∘ 𝑓 −1 = 𝑖𝑑𝐹 et 𝑓 −1 ∘ 𝑓 = 𝑖𝑑𝐸

𝑓 −1 : 𝐹 → 𝐸 est une application bijective.
Exercice : Soit 𝑓: [−1, +∞[→ [2, +∞[.
𝑥 → 2+√𝑥+1
Montrer que 𝑓 est bijective et déterminer une expression explicite de 𝑓 −1
Solution : Voir votre cahier de cours.
Proposition :
Soient E, F, G trois ensembles non vides et 𝑓 ∈ ℱ (𝐸, 𝐹 ), 𝑔 ∈ ℱ (𝐹, 𝐺 )
i)
Si 𝑓 et 𝑔 sont injectives alors 𝑔 ∘ 𝑓 est injective.
ii)
Si 𝑓 et 𝑔 sont surjectives alors 𝑔 ∘ 𝑓 est surjective.
iii)
Si 𝑓 et 𝑔 sont bijectives alors 𝑔 ∘ 𝑓 est bijective.
iv)
Si 𝑔 ∘ 𝑓 est injective alors 𝑓 est injective.
v)
Si 𝑔 ∘ 𝑓 est surjective alors 𝑔 est surjective.
Preuve : Voir votre cahier de cours.
Proposition :
Soient E, F deux ensembles non vides et 𝑓 ∈ ℱ(𝐸, 𝐹 ).
S’il existe 𝑔 ∈ ℱ (𝐹, 𝐸 ) tel que 𝑓 ∘ 𝑔 = 𝑖𝑑𝐹 𝑒𝑡 𝑔 ∘ 𝑓 = 𝑖𝑑𝐸 , alors 𝑓 est bijective et 𝑓 −1 = 𝑔.
Preuve : Voir votre cahier de cours.
Corollaire :
Soit E, F, G trois ensembles non vides et 𝑓 ∈ ℱ (𝐸, 𝐹 ), 𝑔 ∈ ℱ (𝐹, 𝐺 ).
i)
Si 𝑓 est bijective alors 𝑓 −1 est bijective et (𝑓 −1 )−1 = 𝑓.
ii)
Si 𝑓 et 𝑔 sont bijectives alors 𝑔 ∘ 𝑓 est bijective et (𝑔 ∘ 𝑓)−1 = 𝑓 −1 ∘ 𝑔−1 .
Démonstration : Voir votre cahier de cours.
Remarque :
Soient E, F deux ensembles non vides, 𝐵 ∈ 𝒫 (𝐹 ) et 𝑓 ∈ ℱ (𝐸, 𝐹 ) une application bijective.
On peut voir 𝑓 −1 (𝐵) de deux façons :
-
L’image réciproque de B par 𝑓
-
L'image direct de B par 𝑓 −1
Exercice :
Soient E, F, G trois ensembles non vides et 𝑓 ∈ ℱ (𝐸, 𝐹 ), 𝑔 ∈ ℱ (𝐹, 𝐺 ), ℎ ∈ ℱ (𝐺, 𝐸 ).
Montrer que si ℎ ∘ 𝑔 ∘ 𝑓 et 𝑔 ∘ 𝑓 ∘ ℎ sont injectives et 𝑓 ∘ ℎ ∘ 𝑔 surjective alors 𝑓, 𝑔 𝑒𝑡 ℎ sont
bijectives.
Solution : Voir votre cahier de cours.
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les relations binaires
1) Généralités
Définition : Soit E un ensemble non vide.
On appelle relation binaire dans E toute partie ℛ de 𝐸 × 𝐸 (ℛ ∈ 𝒫 (𝐸 × 𝐸 )).
Notation : (𝑥, 𝑦) ∈ ℛ est noté 𝑥ℛ𝑦.
Exemple 21 : Voir votre cahier de cours.
Définition : Soit E un ensemble non vide et ℛ une relation binaire sur E.
i)
ℛ est dite réflexive lorsque : ∀𝑥 ∈ 𝐸, 𝑥ℛ𝑥.
ii)
ℛ est dite symétrique lorsque : ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐸, 𝑥ℛ𝑦 ⇒ 𝑦ℛ𝑥
iii)
ℛ est dite transitive lorsque : ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐸, 𝑥ℛ𝑦 𝑒𝑡 𝑦ℛ𝑧 ⇒ 𝑥ℛ𝑧
iv)
ℛ est dits antisymétrique lorsque : ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐸, 𝑥ℛ𝑦 𝑒𝑡 𝑦ℛ𝑥 ⇒ 𝑥 = 𝑦
Exemple 22 : Voir votre cahier de cours.
2) Relation d'équivalence
Définition : On appelle relation d'équivalence sur un ensemble toute relation binaire réflexive,
symétrie et transitive.
Définition (classe d'équivalence) :
Soit E un ensemble non vide, ℛ une relation d'équivalence sur E et 𝑥 ∈ 𝐸.

On appelle classe d'équivalence de 𝑥 pour la relation ℛ et on note 𝑐𝑙 (𝑥) (ou aussi 𝑥̅ ) le
sous-ensemble de E défini par 𝑐𝑙 (𝑥) = {𝑦 ∈ 𝐸 | 𝑦ℛ𝑥}.

L’ensemble formé par toutes les classes d’équivalence pour la relation ℛ est noté E/ℛ .
On a E/ℛ = {𝑐𝑙(𝑥)| 𝑥 ∈ 𝐸}
Remarque : ∀𝑥 ∈ 𝐸, 𝑥 ∈ 𝑐𝑙(𝑥)
Exemple 23 : Voir votre cahier de cours.
Exercice : Soit 𝑛 ∈ ℕ∗ ∖ {1}.
Dans ℤ on définit la relation de congruence modulo n, notée « ≡ [𝑛] », par :
∀𝑎, 𝑏 ∈ ℤ, 𝑎 ≡ 𝑏[𝑛] ⇔ ∃𝑘 ∈ ℤ, 𝑎 = 𝑏 + 𝑘𝑛
1) Montrer que ≡ [𝑛] est une relation d’équivalence sur ℤ
2) Soit 𝑎 ∈ ℤ, déterminer 𝑎̅.
Solution : Voir votre cahier de cours.
Remarque : On note ℤ/nℤ l’ensemble de toutes les classes d'équivalence de ≡ [𝑛].
Autrement dit : ℤ/nℤ= ℤ/≡ [𝑛].
Proposition : Soient E un ensemble non vide et ℛ une relation d’équivalence dans E.
On a : ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐸, 𝑥ℛ𝑦 ⇔ 𝑐𝑙 (𝑥) = 𝑐𝑙(𝑦)
Démonstration : Voir votre cahier de cours.
Proposition : Soit E un ensemble non vide et ℛ une relation d’équivalence sur E.
L’ensemble des classes d'équivalence (E/ℛ) réalise une partition de E.
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Démonstration : Voir votre cahier de cours.
Exercice : On définit sur ℝ la relation binaire ℛ par : ∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ, 𝑥ℛ𝑦 ⇔ 𝑥 2 − 𝑦 2 = 𝑥 − 𝑦.
1) Montrer que ℛ est une relation d'équivalence sur ℝ.
2) Déterminer la classe d'équivalence d'un élément 𝑥 ∈ ℝ.
Solution : Voir votre cahier de cours.
3) Relation d'ordre
Définition (relation d'ordre) : Soient E un ensemble non vide et ℛ une relation binaire dans E.

On dit que ℛ est une relation d'ordre dans E lorsque ℛ est réflexive, antisymétrique et
transitive. Dans ce cas (𝐸, ℛ) est dit ensemble ordonné.

On dit que ℛ est une relation d'ordre total lorsque ℛ est une relation d'ordre qui
vérifie :∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐸, 𝑥ℛ𝑦 𝑜𝑢 𝑦ℛ𝑥

Une relation d'ordre non total est dite relation d’ordre partiel.
Exemple 24 : Voir votre cahier de cours.
Exercice : On définit sur ℝ∗+ la relation binaire ℛ définie par : ∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ∗+ , 𝑥ℛ𝑦 ⇔ ∃𝑛 ∈ ℕ, 𝑦 = 𝑥 𝑛
1) Montrer que ℛ est une relation d'ordre sur ℝ∗+ .
2) Cet ordre est-il total ?
Solution : Voir votre cahier de cours.
Définition (Majorant, minorant) : Soient (𝐸, ℛ) un ensemble ordonné et 𝐴 ∈ 𝒫 (𝐸 ).

On dit que A est majorée lorsque : ∃𝑀 ∈ 𝐸, ∀𝑎 ∈ 𝐴, 𝑎ℛ𝑀. Dans ce cas on dit que M est un
majorant de A.

On dit que A est minorée lorsque : ∃𝑚 ∈ 𝐸, ∀𝑎 ∈ 𝐴, 𝑚ℛ𝑎. Dans ce cas on dit que m est un
minorant de A.

A est dite bornée lorsqu'elle est majorée et minorée.
Exemple 25 : Voir votre cahier de cours.
Proposition-définition : Soit (𝐸, ℛ) un ensemble ordonné et 𝐴 une partie non vide de E.
i)
Si A admet un majorant qui appartient à A, alors ce majorant est unique et on
l'appelle le plus grand élément (on dit aussi maximum) de A. On le note max(𝐴).
ii)
Si A admet un minorant qui appartient à A, alors ce minorant est unique et on
l'appelle le plus petit élément (on dit aussi minimum) de A. On le note min(𝐴).
Démonstration : Voir votre cahier de cours.
Remarque :


𝛼 𝑚𝑎𝑗𝑜𝑟𝑎𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝐴
max(𝐴) = 𝛼 ⇔ {
𝛼∈𝐴
𝛼 𝑚𝑖𝑛𝑜𝑟𝑎𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝐴
min(𝐴) = 𝛼 ⇔ {
𝛼∈𝐴
Exemple 26 : Voir votre cahier de cours.
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MPSI 3
IDRISSI Mohamed
Centre des CPGE lycée al khansaa, Casablanca
Exercice :
(−1)𝑛
Dans (ℝ, ≤), on pose 𝐴 = {1 + 𝑛+1 /𝑛 ∈ ℕ}.
Montrer que A admet un maximum et un minimum qu'on déterminera.
Solution : Voir votre cahier de cours.
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