Exercices: Ensembles et Applications

Chapitre 6 Exercices: Ensembles et applications.
3 juillet 2023
1 Ensembles.
Exercice 1. On considère les ensembles
E={1,2,3,4,5,6}et A={1,3,5}.
1. Indiquer pour chaque affirmation si elle est vraie ou fausse.
a)1 ∈E b){1} ∈ E c){1} ⊂ E d)1 ⊂E
2. Indiquer pour chaque affirmation si elle est vraie ou fausse.
a)A∈E b)A⊂E c)A⊂ P(E)d)A∈ P(E)e){A} ⊂ P(E)
3. Indiquer pour chaque affirmation si elle est vraie ou fausse.
a){1,2}∈P(E)b){1,2}⊂P(E)c){{1,2}} ∈ P(E)d)∅ ∈ A e)∅ ⊂ A
Exercice 2. On considère les ensembles
E={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5}et B={2,3}.
Détermine les ensembles suivants : A,B\A,A\B,A∩B,A∪B,A∩B,A∪B,P(A).
Exercice 3. On considère les ensembles
E= [−∞,10],A= [−8,2[,B=]0,5[ et C= [4,8[.
Déterminer les ensembles suivants : A,B\C,A∩B,A∪B,A∩B,A∩(B∪C),A∩B∩Cet
C∪(A∩B).
Exercice 4. Pour Aun sous-ensemble de R, on note A0le sous-ensemble de Rsuivant : A0=
{x∈R|x2∈A}.
1. Déterminer [1,4]0,[−3,6]0et [−3,−2]0.
2. Montrer que pour tout (A, B)∈ P(R)on a (A∩B)0=A0∩B0.
Exercice 5. On considère Eun ensemble et Aet Bdeux sous-ensembles de E. Montrer l’équi-
valence suivante :
A∩B=A⇐⇒ A⊂B.
1

Exercice 6. On considère Eun ensemble et A,Bet Ctrois sous-ensembles de E.
On définit la différence symétrique de Aet de Bcomme l’ensemble des éléments qui appartiennent
exclusivement à Aet ou à B. On la note A∆B:
A∆B= (A∪B)\(A∩B).
1. Montrer que A∆A=∅.
2. Montrer que A∆B=B∆A.
3. Montrer que (A∆B)∆C=A∆(B∆C).
4. Montrer l’équivalence suivante : A∆B=A∆C⇐⇒ B=C.
Exercice 7. On considère les ensembles suivants
E= [0,10[ et ∀i∈J0,9K, Ai= [i, i + 1[.
Montrer que A0,A1,···,A9forment une partition de E.
2 Applications.
Exercice 8. Les applications suivantes sont-elles injectives ? Surjectives ? Bijectives ? Si elles le
sont déterminer la bijection réciproque.
f1:N→N
n7→ n+ 1 f2:N→N n7→ 2n
f3:R→R
x7→ 2x−1f4:R→[0,+∞[ x7→ e2x+1
Exercice 9. On considère l’application fdéfinie par
f:R→R
x7→ 3x
2+x2
1. La fonction fest-elle injective ? Surjective ?
2. Montrer que f(R) = −3
4√2,3 4√2.
3. On considère l’application g:
g:[−√2,√2] →−3
4√2,3 4√2
x7→ 3x
2+x2
Montrer que gest bijective.
4. Déterminer sa bijection réciproque.
Exercice 10. 1. On considère l’application fdéfinie par
f:R∗
+→]3
2,2[
x7→ 2x+3
x+2
Démontrer que fest bijective et déterminer f−1.
ECGMI1 2Lycée Carnot 2023/2024

2. On considère l’application gdéfinie par
g:R→R∗
+
x7→ e5x+3
Démontrer que gest bijective et déterminer g−1.
3. On considère l’application hdéfinie par
h:R→]3
2,2[
x7→ 2e5x+3+3
e5x+3+2
.
(a) Comparer het f◦g.
(b) En déduire que hest bijective et l’expression de h−1.
Exercice 11. On considère l’application fdéfinie par
f:R→F
x7→ e5x+4 .
Déterminer l’ensemble Fpour que fsoit une bijection. Déterminer ensuite l’application f−1.
Exercice 12. On considère l’application fdéfinie par
f:R∗
+→F
x7→ 5x+2
2x+4
.
Déterminer l’ensemble Fpour que fsoit une bijection. Déterminer ensuite l’application f−1.
Exercice 13. On considère
f:E→F
x7→ x2−2.
Déterminer les ensembles Eet Fpour que fsoit une bijection. Déterminer ensuite sa bijection
réciproque.
ECGMI1 3Lycée Carnot 2023/2024