MATHÉMATIQUES — SECONDE CD Togo — Cours de travail 2026–2027 Fascicule original de synthèse. Il suit les grands thèmes repérés dans une ressource de mathématiques de Seconde scientifique indiquant qu’elle est basée sur l’Harmonisation des Programmes de Mathématiques en vigueur au Togo. Il ne reproduit pas cette ressource mot à mot. 1. Calculs dans ■ Ensembles de nombres On utilise notamment N (naturels), Z (entiers relatifs), D (décimaux), Q (rationnels) et R (réels). On a N inclus dans Z, Z inclus dans D, D inclus dans Q et Q inclus dans R. Puissances Pour a non nul et des entiers m,n : a^m × a^n = a^(m+n), a^m / a^n = a^(m-n), et (a^m)^n = a^(mn). La notation scientifique écrit un nombre sous la forme a × 10^n avec 1 <= |a| < 10. Racines carrées Pour a >= 0, sqrt(a) est l’unique réel positif dont le carré vaut a. Pour a,b >= 0 : sqrt(ab) = sqrt(a)sqrt(b). Si b > 0, sqrt(a/b) = sqrt(a)/sqrt(b). Développement et factorisation Identités utiles : (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 ; (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2 ; (a+b)(a-b) = a^2-b^2 ; a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2). 2. Valeur absolue, intervalles et inéquations Valeur absolue |x| représente la distance entre x et 0. Pour r >= 0 : |x| <= r équivaut à -r <= x <= r ; |x| >= r équivaut à x <= -r ou x >= r. Distance La distance entre x et y est |x-y|. Ainsi |x-a| <= r décrit l’intervalle [a-r ; a+r]. Intervalles Les crochets indiquent si une borne appartient ou non à l’intervalle : [a,b], ]a,b[, [a,b[, ]a,b]. Inéquations Quand on multiplie ou divise une inégalité par un nombre négatif, le sens de l’inégalité s’inverse. Les tableaux de signes sont utiles pour les produits et quotients. 3. Majorant, minorant, maximum et minimum Vocabulaire M est un majorant d’un ensemble A si tout élément de A est inférieur ou égal à M. m est un minorant si tout élément de A est supérieur ou égal à m. Le maximum et le minimum doivent appartenir à l’ensemble. 4. Généralités sur les fonctions Définition Une fonction associe à chaque élément x de son ensemble de définition une unique valeur f(x). x est un antécédent et f(x) son image. Représentation Dans un repère, la courbe de f est formée des points M(x,f(x)). On peut étudier graphiquement images, antécédents, zéros et variations. Variation f est croissante sur un intervalle si x1 < x2 entraîne f(x1) <= f(x2). Elle est décroissante si x1 < x2 entraîne f(x1) >= f(x2). 5. Fonctions usuelles Fonction affine f(x)=ax+b. Sa représentation est une droite ; a est le coefficient directeur et b l’ordonnée à l’origine. Fonction carré f(x)=x^2. Elle est décroissante sur ]-infini,0] et croissante sur [0,+infini[ ; son minimum est 0. Fonction cube f(x)=x^3. Elle est strictement croissante sur R. Fonction inverse f(x)=1/x, définie sur R privé de 0. Elle est décroissante sur chacun des intervalles ]-infini,0[ et ]0,+infini[. Fonctions avec racine Pour f(x)=sqrt(u(x)), il faut imposer u(x) >= 0 pour déterminer l’ensemble de définition. 6. Polynômes et fonctions rationnelles Polynômes Un polynôme est une somme de termes de la forme ax^n. On peut développer, réduire et factoriser. Un zéro de P est un réel a tel que P(a)=0. Second degré Pour ax^2+bx+c=0 avec a non nul, le discriminant est Delta=b^2-4ac. Si Delta>0, deux solutions réelles ; si Delta=0, une solution double ; si Delta<0, aucune solution réelle. Fonctions rationnelles Pour P(x)/Q(x), on exclut les valeurs qui annulent Q. L’étude du signe de P et Q permet d’étudier le quotient. 7. Géométrie analytique et produit scalaire Repère et vecteurs Dans un repère, A a pour coordonnées (xA,yA). Le vecteur AB a pour coordonnées (xB-xA, yB-yA). Droite Une droite peut avoir une équation ax+by+c=0 avec (a,b) différent de (0,0). Une représentation paramétrique est aussi possible. Produit scalaire Dans un repère orthonormé, pour u=(x,y) et v=(x',y'), u.v=xx'+yy'. Deux vecteurs non nuls sont perpendiculaires lorsque leur produit scalaire est nul. Cercle Un cercle de centre O(a,b) et de rayon r a pour équation (x-a)^2+(y-b)^2=r^2. 8. Transformations du plan Homothétie Une homothétie de centre O et de rapport k multiplie les longueurs par |k| et conserve l’alignement et le parallélisme. Isométries Translations, symétries et rotations conservent les distances. Elles permettent de construire des figures images en préservant longueurs et angles. 9. Trigonométrie Angles orientés Une orientation du plan permet de mesurer les angles avec un sens positif et un sens négatif. Cercle trigonométrique Sur le cercle unité, un angle t correspond à un point de coordonnées (cos t, sin t). On a cos^2(t)+sin^2(t)=1. Angles associés Les relations entre angles permettent de retrouver les valeurs et les signes de sinus et cosinus selon la position sur le cercle. Méthode de travail Lis chaque définition, apprends les propriétés importantes, refais les exemples vus en classe et entraîne-toi ensuite avec des exercices progressifs. Garde une page réservée aux formules et aux erreurs à corriger. Pour les formulations exactes exigées par ton établissement, le cahier et les documents de ton professeur restent prioritaires.
