Analyse 1 - Chapitre 2 : Suites Numériques - Exercices Corrigés

Analyse 1 - Chapitre 2
Suites numériques
Ce document contient des interrogations (facile, intermédiaire, avancé) avec corrigés détaillés pour
bien comprendre les suites numériques.
Série 1 : Niveau Facile
1. Donner la définition d’une suite numérique.
2. Écrire les 5 premiers termes de la suite u■ = 2n + 3.
3. Vérifier si la suite u■ = (-1)■ est croissante.
4. Trouver la limite de u■ = 1/n.
5. Dire si la suite u■ = n est bornée ou non.
Corrigé Série 1
1. Une suite est une fonction de N dans R, associant à chaque entier n un nombre u■.
2. u■=3, u■=5, u■=7, u■=9, u■=11.
3. Non, car les termes alternent entre +1 et -1.
4. Lim u■ = 0 car 1/n tend vers 0 quand n tend vers +∞.
5. Non, car n croît indéfiniment.

Série 2 : Niveau Intermédiaire
1. Étudier la monotonie de u■ = n/(n+1).
2. Trouver la limite de u■ = (3n+2)/(2n-5).
3. Étudier si la suite u■ = (1 + 1/n)^n converge.
4. Montrer que u■ = (-1)^n / n tend vers 0.
5. Vérifier si la suite u■ = n^2 est bornée.
Corrigé Série 2
1. u■ croît car u■■■ - u■ > 0.
2. Diviser numérateur et dénominateur par n : limite = 3/2.
3. Oui, elle tend vers e (nombre d’Euler ~ 2,718).
4. Oui, car le numérateur oscille mais le dénominateur croît indéfiniment.
5. Non, car n² croît vers +∞.

Série 3 : Niveau Avancé
1. Soit u■ = 1 et u■■■ = (u■ + 2)/2. Montrer que la suite converge et trouver la limite.
2. Étudier la convergence de u■ = (1 - 1/n)^n.
3. Déterminer la limite de u■ = (n² + n)/(2n² - 3).
4. Soit u■ = sqrt(n+1) - sqrt(n). Trouver sa limite.
5. Montrer que la suite géométrique u■ = q^n converge selon la valeur de q (|q|<1, q=1, |q|>1).
Corrigé Série 3
1. Suite récurrente : limite L satisfait L = (L+2)/2 donc L = 2.
2. Limite de (1 - 1/n)^n = e^(-1) = 1/e.
3. Diviser par n² : limite = 1/2.
4. Multiplier par sqrt(n+1)+sqrt(n) : limite = 0.
5. Si |q|<1, limite=0 ; si q=1, limite=1 ; si |q|>1, limite diverge.