MATHÉMATIQUES — SECONDE CD
Togo — Cours de travail 2026–2027
Fascicule original de synthèse. Il suit les grands thèmes repérés dans une ressource de
mathématiques de Seconde scientifique indiquant qu’elle est basée sur l’Harmonisation des
Programmes de Mathématiques en vigueur au Togo. Il ne reproduit pas cette ressource mot à mot.
1. Calculs dans ■
Ensembles de nombres
On utilise notamment N (naturels), Z (entiers relatifs), D (décimaux), Q (rationnels) et R (réels). On a N
inclus dans Z, Z inclus dans D, D inclus dans Q et Q inclus dans R.
Puissances
Pour a non nul et des entiers m,n : a^m × a^n = a^(m+n), a^m / a^n = a^(m-n), et (a^m)^n = a^(mn). La
notation scientifique écrit un nombre sous la forme a × 10^n avec 1 <= |a| < 10.
Racines carrées
Pour a >= 0, sqrt(a) est l’unique réel positif dont le carré vaut a. Pour a,b >= 0 : sqrt(ab) = sqrt(a)sqrt(b). Si b
> 0, sqrt(a/b) = sqrt(a)/sqrt(b).
Développement et factorisation
Identités utiles : (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 ; (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2 ; (a+b)(a-b) = a^2-b^2 ; a^3+b^3 =
(a+b)(a^2-ab+b^2).
2. Valeur absolue, intervalles et inéquations
Valeur absolue
|x| représente la distance entre x et 0. Pour r >= 0 : |x| <= r équivaut à -r <= x <= r ; |x| >= r équivaut à x <= -r
ou x >= r.
Distance
La distance entre x et y est |x-y|. Ainsi |x-a| <= r décrit l’intervalle [a-r ; a+r].
Intervalles
Les crochets indiquent si une borne appartient ou non à l’intervalle : [a,b], ]a,b[, [a,b[, ]a,b].
Inéquations
Quand on multiplie ou divise une inégalité par un nombre négatif, le sens de l’inégalité s’inverse. Les
tableaux de signes sont utiles pour les produits et quotients.
3. Majorant, minorant, maximum et minimum
Vocabulaire
M est un majorant d’un ensemble A si tout élément de A est inférieur ou égal à M. m est un minorant si tout
élément de A est supérieur ou égal à m. Le maximum et le minimum doivent appartenir à l’ensemble.
4. Généralités sur les fonctions
Définition
Une fonction associe à chaque élément x de son ensemble de définition une unique valeur f(x). x est un
antécédent et f(x) son image.
Représentation
Dans un repère, la courbe de f est formée des points M(x,f(x)). On peut étudier graphiquement images,
antécédents, zéros et variations.
Variation
f est croissante sur un intervalle si x1 < x2 entraîne f(x1) <= f(x2). Elle est décroissante si x1 < x2 entraîne
f(x1) >= f(x2).
5. Fonctions usuelles
Fonction affine
f(x)=ax+b. Sa représentation est une droite ; a est le coefficient directeur et b l’ordonnée à l’origine.
Fonction carré
f(x)=x^2. Elle est décroissante sur ]-infini,0] et croissante sur [0,+infini[ ; son minimum est 0.
Fonction cube
f(x)=x^3. Elle est strictement croissante sur R.
Fonction inverse
f(x)=1/x, définie sur R privé de 0. Elle est décroissante sur chacun des intervalles ]-infini,0[ et ]0,+infini[.
Fonctions avec racine
Pour f(x)=sqrt(u(x)), il faut imposer u(x) >= 0 pour déterminer l’ensemble de définition.
6. Polynômes et fonctions rationnelles
Polynômes
Un polynôme est une somme de termes de la forme ax^n. On peut développer, réduire et factoriser. Un zéro
de P est un réel a tel que P(a)=0.
Second degré
Pour ax^2+bx+c=0 avec a non nul, le discriminant est Delta=b^2-4ac. Si Delta>0, deux solutions réelles ; si
Delta=0, une solution double ; si Delta<0, aucune solution réelle.
Fonctions rationnelles
Pour P(x)/Q(x), on exclut les valeurs qui annulent Q. L’étude du signe de P et Q permet d’étudier le quotient.
7. Géométrie analytique et produit scalaire
Repère et vecteurs
Dans un repère, A a pour coordonnées (xA,yA). Le vecteur AB a pour coordonnées (xB-xA, yB-yA).
Droite
Une droite peut avoir une équation ax+by+c=0 avec (a,b) différent de (0,0). Une représentation
paramétrique est aussi possible.
Produit scalaire
Dans un repère orthonormé, pour u=(x,y) et v=(x',y'), u.v=xx'+yy'. Deux vecteurs non nuls sont
perpendiculaires lorsque leur produit scalaire est nul.
Cercle
Un cercle de centre O(a,b) et de rayon r a pour équation (x-a)^2+(y-b)^2=r^2.
8. Transformations du plan
Homothétie
Une homothétie de centre O et de rapport k multiplie les longueurs par |k| et conserve l’alignement et le
parallélisme.
Isométries
Translations, symétries et rotations conservent les distances. Elles permettent de construire des figures
images en préservant longueurs et angles.
9. Trigonométrie
Angles orientés
Une orientation du plan permet de mesurer les angles avec un sens positif et un sens négatif.
Cercle trigonométrique
Sur le cercle unité, un angle t correspond à un point de coordonnées (cos t, sin t). On a cos^2(t)+sin^2(t)=1.
Angles associés
Les relations entre angles permettent de retrouver les valeurs et les signes de sinus et cosinus selon la
position sur le cercle.
Méthode de travail
Lis chaque définition, apprends les propriétés importantes, refais les exemples vus en classe et entraîne-toi
ensuite avec des exercices progressifs. Garde une page réservée aux formules et aux erreurs à corriger.
Pour les formulations exactes exigées par ton établissement, le cahier et les documents de ton
professeur restent prioritaires.
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