Bases Indispensables des Mathématiques - Cours Universitaire

Bases indispensables des
Mathématiques
Julian Tugaut
FISE 1
Version du 19 décembre 2023

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Table des matières
Table des matières 3
Liste des figures 17
Liste des tableaux 19
Avant-propos 21
I Rappels et fondamentaux 27
1 Introduction 29
1.1 Intérêt................................. 29
1.2 Objectifs................................ 29
1.3 Prérequis ............................... 30
1.4 Organisation.............................. 30
1.4.1 Rudiments de logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.4.2 Calculs algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.4.3 Ensembles........................... 31
1.4.4 Applications et relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2 Rudiments de logique 33
2.1 Lesmathématiques.......................... 33
2.2 Vocabulaireusuel........................... 33
2.2.1 Axiome ............................ 33
2.2.2 Proposition .......................... 34
2.2.3 Théorème, Corollaire, Lemme, Conjecture, Définition . . . 34
3

4TABLE DES MATIÈRES
2.3 Calcul propositionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.1 Équivalence logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.2 Connecteurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3.3 Connecteur logique “ou” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3.4 Connecteur logique “et” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3.5 Quelques propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3.6 Implication logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4 Les quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.4.1 Définition ........................... 45
2.4.2 Quantificateurs et négation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.4.3 Commutativité des quantificateurs (ou non) . . . . . . . . 46
2.5 Les raisonnements classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.5.1 Raisonnement déductif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.5.2 Raisonnement par l’absurde . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.5.3 Raisonnement par contraposition . . . . . . . . . . . . . . 47
2.5.4 Raisonnement par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.5.5 Raisonnement par contre-exemple . . . . . . . . . . . . . . 48
2.5.6 Raisonnement par Analyse-Synthèse . . . . . . . . . . . . 48
2.5.7 Disjonction de cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.6 Erreursclassiques........................... 49
2.7 Exercices................................ 50
3 Calculs algébriques 53
3.1 Vocabulaire .............................. 53
3.1.1 Quelques mots de liaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.1.2 Alphabetgrec......................... 54
3.2 Généralités .............................. 54
3.2.1 Identités remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2.2 Somme des npremiers entiers . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.2.3 Somme des termes d’une suite géométrique . . . . . . . . . 56
3.2.4 Factorisation ......................... 56
3.3 Le symbole Σ............................. 57
3.3.1 Définition ........................... 57
3.3.2 Somme de termes constants . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3.3 Linéarité de la somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3.4 Progression arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3.5 Progression géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3.6 Sommes télescopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.4 Le symbole Q............................. 59
3.4.1 Définition ........................... 59
3.4.2 Produit de facteurs constants . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.4.3 Produits télescopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.5 Factorielle d’un entier naturel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.6 Congruences.............................. 61

TABLE DES MATIÈRES 5
3.7 Inégalités et inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.8 Trinôme réel du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.9 Exercices................................ 63
4 Ensembles 65
4.1 Définition ............................... 65
4.2 Vocabulaire, notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2.1 Ensemblevide......................... 66
4.3 Opérations sur les parties d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . 67
4.3.1 Intersection de deux ensembles . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.3.2 Réunion de deux ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.3.3 Propriétés de distributivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.3.4 Complémentaire d’un sous-ensemble . . . . . . . . . . . . . 72
4.4 Partition d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.5 Exercices................................ 74
5 Applications et relations 77
5.1 Applications.............................. 77
5.1.1 Premières définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.1.2 Propriété des applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.1.3 Image directe et image réciproque d’un ensemble . . . . . 81
5.2 Indicatrice d’une partie d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.3 Relation d’équivalence sur un ensemble E............. 82
5.3.1 Relations binaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.3.2 Relation binaire sur un ensemble E............. 83
5.3.3 Relation d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.3.4 Relation d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.3.5 Équipotence d’ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.3.6 Rappels sur la dénombrabilité . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.4 Exercices................................ 87
II Trigonométrie et Nombres complexes 89
6 Introduction 91
6.1 Intérêt................................. 91
6.2 Objectifs................................ 92
6.3 Prérequis ............................... 92
6.4 Organisation.............................. 92
6.4.1 Trigonométrie......................... 92
6.4.2 Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92