Mécanique du solide indéformable - Notions préliminaires

Chapitre 1 Cours L2 – Mécanique du solide indéformable
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Notions préliminaires de mécanique du solide indéformable
Cette partie a pour objectif de rappeler certaines notions importantes de la mécanique du point, où le solide
est assimilé à un point matériel (sans dimension). Il faut la considérer comme une transition entre ce domaine, étudié
au lycée principalement et en première année universitaire, et la mécanique des solides indéformables qui, elle, se
traite dès la deuxième année universitaire.
Nous décrirons les différents systèmes de coordonnées utilisés, mettrons en place la notion de vecteur
vitesse dans un référentiel. C’est à ce stade que nous pouvons énoncer les lois de Newton sous la forme du principe
d’inertie, du principe fondamental de la dynamique puis des actions réciproques. Nous terminerons ce chapitre
introductif par les notions d’énergies (potentielle, cinétique, mécanique) puis par une présentation du théorème de
l’énergie cinétique.
1. Notions de système matériel, de solide et de point matériel.
1. Système matériel.
Le système matériel ou physique constitue l’ensemble des objets auxquels on s’intéresse et dont on veut
étudier les propriétés.
Cette idée revient à séparer le monde en deux parties : celle qui nous intéresse (interne) de celle
qui ne nous intéresse pas (externe). Selon la nature de l’interaction entre ces deux parties du monde, on
peut parler de système matériel :
• isolé : système qui n’interagit pas avec l’extérieur (pas d’échange d’énergie, ni de matière) ;
• pseudo-isolé : système dont les actions extérieures agissant sur lui se compensent (tout se
passe comme s’il était isolé). Par exemple, un mobile autoporteur sur un plan horizontal est pseudo-isolé
: la soufflerie du mobile compense le poids et le mobile se déplace sur le plan horizontal comme s’il était
isolé ;
• fermé : système qui n’échange pas de matière avec l’extérieur mais peut échanger de l’énergie
;
• ouvert : système qui échange de la matière avec l’extérieur.
Dans le cadre de ce chapitre, nous nous intéresserons quasiment exclusivement au cas des systèmes
matériels isolés ou pseudo-isolés.
2. Solide.
Nous ne considérerons, dans ce cours, que des solides indéformables, c’est-à-dire que, même soumis à
des actions, ils ne se déforment pas.
3. Point matériel.
Le point matériel est un objet de dimension nulle, mais qui possède une masse, celle du système
considéré.
Attention à ne pas considérer tout solide comme point matériel ; il s’avère que pour des solides en rotation,
la simple approximation à un point matériel peut entraîner des erreurs.

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2. Vecteurs qui décrivent le mouvement.
1. Repérage d’un point dans un repère cartésien.
On repère la position d’un point M dans l’espace par ses
coordonnées dans l’espace. Le vecteur
OM
est le vecteur
position du point M, possédant pour composantes, les
coordonnées du point M.
Soit
x
OM y xi y j zk
z
= = + +
2. Vitesse et accélération d’un point.
On définit à chaque instant la vitesse instantanée du point M par la dérivée du vecteur position :
Unité : la vitesse s’exprime en : m.s-1
Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire au point M à l’instant 𝑡 considéré :
On définit à chaque instant l’accélération du point M par la dérivée du vecteur vitesse instantanée :
Unité : l’accélération s’exprime en : m.s-2
→ Exercice 1
3. Repère cylindrique.
Considérons un point M de l’espace comme indiqué sur la figure suivante. Soit m sa projection sur le plan
(O,x,y) Les coordonnées cylindriques consistent à repérer le point M dans l’espace par la distance ρ qui
sépare m du point O, par l’angle θ que forme le vecteur
Om
avec l’axe Ox et par l’ordonnée z de M. Les
coordonnées cylindriques de M sont donc : M(ρ, θ, z).

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En utilisant les coordonnées cylindriques, le point M est repéré par l’égalité suivante :
avec
zz
OM u zu u k = + =
Expression de la vitesse instantanée du point M dans le repère
( )
, , , z M u u u
:
De la même manière, on obtient l’expression du vecteur accélération du point M en coordonnées
cylindriques :
( )
2
2
rz
a M u u z u = − + + +
→ Exercice 2

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4. Cas du mouvement circulaire.
Un point M subit un mouvement circulaire si sa trajectoire appartient à un cercle de rayon R. Dans ces
conditions, le mouvement est contenu dans un plan, par exemple (O, x, y), le point O étant le centre du
cercle. Le point M peut toujours être repéré par ses coordonnées x et y (variables au cours du temps, bien
sûr), mais il paraît beaucoup plus simple de le repérer par l’angle α qu’il forme avec un axe de référence,
par exemple l’axe Ox.
La dérivée de α par rapport au temps, soit
d
dt
=
est la vitesse angulaire du mouvement de
rotation et est en générale notée ω. Elle se mesure en radians par seconde (rad/s). On introduit souvent
la notion de vecteur vitesse de rotation, noté
et défini comme le vecteur ayant pour intensité la vitesse
ω et porté par l’axe Oz (formant avec les axes Ox et Oy un repère direct).
La vitesse angulaire ω est comptée positivement si la rotation s’effectue dans le sens
trigonométrique et négativement dans le cas contraire. Dans le premier cas, le vecteur ω est dirigé selon
les z croissants et dans le second cas, selon les z décroissants. Si ω = cte, le mouvement est dit circulaire
uniforme. On a alors :
0
t =+
, α0 représentant l’angle α à t = 0.
Le vecteur vitesse
( )
M
vt
du point mobile M, mesuré dans le référentiel fixe (O,x,y) est en tout point
tangent à la trajectoire circulaire. Son expression vectorielle est donnée par la relation :
Le module
( )
M
vt
dépend de la vitesse angulaire ω et du rayon R de la trajectoire circulaire :
→ Exercice 3
3. Les lois fondamentales de la dynamique.
1. Principe d’inertie – 1ère loi de Newton.
Il existe une classe de référentiels dans lesquels le mouvement d’un corps isolé (ou pseudo isolé)
est soit au repos, soit en mouvement rectiligne uniforme. Ces référentiels sont dits galiléen ou d’inertie.
Tout référentiel en translation rectiligne uniforme par rapport à un référentiel galiléen est lui-même
galiléen. On considère bien souvent que le référentiel lié au laboratoire (et donc à la Terre) est galiléen.

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Ce référentiel n’est pas rigoureusement galiléen puisque la Terre tourne sur elle-même et n’est donc pas
en translation uniforme. Cependant, si l’expérience est très inférieure à 24 heures, on pourra considérer
ce référentiel comme galiléen.
La quantité de mouvement
p
d’un point matériel M de masse m et de vitesse
v
s’exprime par :
Unité : la quantité de mouvement s’exprime en : Kg.m.s-1
Lorsqu’un corps isolé est au repos (
0v=
) ou en mouvement rectiligne uniforme (
v cte=
), sa quantité de
mouvement
p cte=
. On dit qu’il y a conservation de la quantité de mouvement. De ce fait, on assimile
bien souvent le premier principe d’inertie à la conservation de la quantité de mouvement.
2. Principe fondamental de la dynamique – 2ème loi de Newton.
Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un point matériel
M est égale à la dérivée par rapport au temps du vecteur quantité de mouvement du point matériel M :
En d’autres termes, lorsque l’on a affaire à un système non-isolé, le principe fondamental de la dynamique
s’applique.
Corollaire : si
0 alors F p cte==
, ce qui revient au principe d’inertie.
3. Principe des actions réciproques – 3ème loi de Newton.
Lorsque deux points matériels M1 et M2 sont en interaction, quel que soit le référentiel d’étude et quel
que soit leur mouvement (ou absence de mouvement), l’action du point matériel M1 sur le point matériel
M2 est exactement opposée à l’action simultanée du point matériel M2 sur le point matériel M1.
1/2 2/1
FF=−
→ Exercices 4, 5 et 6