Fiche de TD de Mathématiques : Nombres Complexes (Terminale Scientifique)

P a g e 1 |
DUVA ALMIGHTY (06 697 72 80) GOOD PREPA
Exercice 1
Ecrire sous la forme trigonométrique et exponentielle le complexe  dans chacun des cas
suivants :
1) 
3) 
5) 
6) 
Exercice 2
Soit 
Mettre sous forme trigonométrique le nombre complexe  dans chacun des cas suivants :
1) 
 ; 2) 
3)  ; 4) 
  ; 5) 
6)  
 7)  
Exercice 3
1) Résoudre dans  l’équation suivante : 
2) Dans le plan complexe, rapporté à un repère orthonormé
, on donne les points
 et  d’affixes respectives  et  Soit  la
transformation du plan dans lui-même qui à tout point  du plan d’affixe  associe le
pont  d’affixe  tel que : 
a) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de 
b) Vérifier que 
 Que peut-on dire des points  et  ?
c) Déterminer l’affixe du point  image du point  par 
d) Déterminer l’image de la droite  par 
Exercice 4
Soit  deux nombres complexes.
On considère, dans l’équation : 
1) Démontrer que si les racines de cette équation ont toutes deux pour module  alors
2) Etudier la réciproque.
GOOD PREPA
Prof : DUVA ALMIGHTY (066977280)
Année scolaire : 2025-2026
Fiche de TD de Mathématiques
Thème : Les Nombres Complexes
Niveau : Terminale Scientifique

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DUVA ALMIGHTY (06 697 72 80) GOOD PREPA
Exercice 5
1) On pose :  
Prouver que  est un nombre imaginaire pur.
2) On pose :  
Prouver que : 
3) Le plan  est rapporté à un repère orthonormé    Soit  le point d’affixe 
d’affixe  supposé distinct.
a) Montrer que  est un triangle rectangle en 
b) Trouver une relation entre  pour que  soit isocèle.
Exercice 6
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé
On désigne par  le cercle
trigonométrique de centre  Soit un point  de  d’affixe  telle que
 On pose  et 
1) Ecrire chacun des nombres complexes  et  sous forme trigonométrique.
2) Soit  et  les points d’affixes respectives  et  Placer, dans le
plan, les points  et  lorsque 
3) Déterminer les réels  pour lesquels  et  sont alignés.
4) On suppose dans la suite que 
a) Quelle est la nature du quadrilatère  ?
b) Déterminer le réel  pour que  soit un rectangle.
Exercice 7
1) Ecrire sous forme exponentielle les nombres complexes 
 et 
2) Soit  un réel de 
a) Résoudre dans  l’équation suivante :   On désigne par  la
solution ayant une partie imaginaire négative et  l’autre solution.
b) Ecrire  et  sous forme trigonométrique.
c) Déterminer  pour que l’on ait  et 
Exercice 8
1) Résoudre dans  l’équation 
2) Soit  un réel. On considère l’équation    On désigne
par  la solution indépendante de  et  l’autre solution. On considère les points et
d’affixes respectives  et  Soit  le milieu de  et  l’affixe de 
a) Vérifier que pour tout réel  
b) Déterminer l’ensemble  des points  lorsque  varie dans 
c) Déterminer les valeurs de  de  pour lesquelles les points  et  sont
alignés.

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Exercice 9
1) On considère dans  l’équation 
a) Vérifier que 
b) Résoudre l’équation 
2) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct
, on considère
les points  et  d’affixes respectives  et 
a) Soit  le symétrique de  par rapport à  Montrer que 
b) Placer les points  et 
c) Calculer 
d) Montrer que le triangle  est rectangle isocèle.
3) La droite  coupe l’axe 
 en un point  On pose  où  est un réel.
a) Montrer que 
b) Déterminer alors le réel 
c) Vérifier que  est le milieu du segment 
Exercice 10
1) Résoudre dans  l’équation :  avec 
2) Mettre les solutions sous forme exponentielle.
3) Le plan est muni d’un repère orthonormé direct   On désigne par  et  les
points d’affixes respectives  et 
a) Montrer que 
En déduire la nature du triangle 
b) Montrer que 
c) Déterminer  pour que la droite  soit parallèle à la droite d’équation 
d) Construire  et  pour la valeur de  trouvée.
Exercice 11
Le plan complexe  est muni d’un repère orthonormé 
 On considère les points
 et  d’affixes respectives :  et  Soit 
l’application de  vers lui-même qui à tout point  d’affixe  associe le point  d’affixe 
telle que : 
1) a) Montrer que  est une similitude plane directe.
b) Montrer que  est l’unique point invariant par 
c) Déterminer le rapport et l’angle de 
2) a) Vérifier que  est milieu du segment 
b) Déterminer l’affixe du point  pour que  soit un parallélogramme.
3) Ecrire sous la forme algébrique le complexe 
4) Dans l’ensemble, on pose :
a) Vérifier que 
b) En déduire dans  les solutions de l’équation 
Exercice 12
1) a) Montrer que les racines carrées de  sont  et 
b) Résoudre dans  l’équation 
2) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct
, on considère
les points  et  d’affixes respectives   et où
 est un réel non nul.
a) Montrer que  et en déduire la nature du triangle 
b) Montrer que 
c) Déterminer le réel  pour lequel les points  et  sont alignés.

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Exercice 13
1) Résoudre dans  l’équation : 
2) a) Montrer que  
b) Résoudre alors dans  les deux équations : 
 et
3) On considère le polynôme 
a) Vérifier que  on a : 
b) Résoudre alors dans en posant 
l’équation 
Exercice 14
Pour tout complexe  on pose 
1) a) Montrer que l’équation  possède une racine imaginaire pure  que l’on
déterminera.
b) Résoudre alors l’équation  On note  et  les deux autres racines,  étant
celle qui a une partie imaginaire négative.
2) a) Donner la forme trigonométrique de 
b) Le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct
 A tout nombre
complexe  non nul on associe les points et  d’affixes respectives et 
Montrer que  est un losange.
Exercice 15
Le plan complexe est rapporté à un repère ortho normal direct . On considère les points
A et B d’affixes respectives  et. Soit f l’application qui à tout point M du plan d’affixe z
distincte de  associe le point M’ d’affixe z’ tel que : 
.
1) Quelle est l’image par f du point O ? Quel est le point qui a pour image par f, le point C
d’affixe  ?
2) Montrer que l’équation : 
  admet deux solutions que l’on déterminera
3) Vérifier que : z’ = 
 . En déduire que OM’ =   et
(
  ; k .
4) Montrer que tous les points de l’axe des abscisses ont leurs images par f situés sur un
même cercle (C) que l’on précisera.
5) Soit M un point du cercle de diamètre  différent de A et B. Montrer que son image
M’ est située sur l’axe des abscisses.
6) En déduire la construction du point M’, image d’un point M du cercle trigonométrique
de centre O.
Exercice 16
Le plan est muni d’un repère orthonormé (O ,  . Soit A, le point d’affixe 
On considère l’équation (E) :   ; 
. On désigne par
et  les solutions de (E).
1) Déterminer la valeur de  pour que soit solution de (E ) . En déduire la
résolution de (E) pour la valeur de  trouvée.
2) Montrer, sans résoudre (E), que Arg + Arg  
 .
3) Résoudre dans, l’équation (E ), puis écrire ses solutions sous forme exponentielle.
4) On désigne par  et  les points d’affixes respectives :
 et   .
a) Montrer que  et  sont symétriques par rapport à un point fixe J que l’on précisera.

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b) Déterminer et construire l’ensemble ( des points  lorsque  décrit 
.
Exercice 17
Soit u le nombre complexe égal à 
1) Mettre u sous la forme trigonométrique. En déduire tous les nombres complexes Z tels
que l’on ait : = u.
2) Déterminer par la méthode algébrique, les nombres complexes x tels que l’on ait =u,
puis les nombres complexes  tels que l’on ait : 
3) En déduire la valeur exacte de Sin
 et celle de Cos
Exercice 18
1) Résoudre dans, l’équation (E) : . Sachant qu’elle
admet deux solutions imaginaires pures.
2) Placer dans le plan complexe, les images A, B, C et D des solutions de (E).
3) Montrer que les points A, B, C et D sont cocycliques. Préciser le centre et le rayon du
cercle (C) qui contient ces points. Tracer (C).
Exercice 19
Pour tout On pose : 
 Montrer que 
Exercice 20
1) Calculer le module et l’argument de : 
2) Calculer le module et un argument de :    
Exercice 21
Ecrire le nombre complexe suivant sous forme trigonométrique :
Avec  et 
Exercice 22
Soient les points  et  d’affixes respectives :  et 
1) Placer  et 
2) Quelle est la nature du triangle 
3) Soit le point  d’affixe
.
a) Ecrire  sous forme algébrique.
b) Ecrire 
 et  sous forme trigonométrique.
c) Ecrire  sous forme trigonométrique.
d) En déduire les valeurs exactes de 
et 
4) a) Comparer  et 
b) Déterminer une mesure de l’angle 
c) En déduire la nature du triangle 