Exercices de Calcul Intégral et Équations Différentielles

Voici une série d’exercices classés par thème, inspirés du résumé du cours Calcul Intégral et
Équaons Diérenelles. Chaque secon conent des exercices variés pour praquer les concepts
clés.
1. Intégrales des Foncons en Escalier et Connues
Exercice 1.1
Soit une foncon en escalier dénie sur par :
   pour   ,
   pour  ,
   pour   .
Calculer  
.
Exercice 1.2
Soit   sur . Calculer la somme de Darboux inférieure pour la subdivision
  .
Exercice 1.3
Montrer que la foncon   est intégrable sur en ulisant la dénion de Riemann.
2. Primives et Intégrales Indénies
Exercice 2.1
Calculer les primives suivantes :
1.  
2. 
3.  
Exercice 2.2
Uliser l’intégraon par pares pour calculer :
1.  
2.  
Exercice 2.3

Calculer les intégrales dénies suivantes :
1. 
2. 
3. Équaons Diérenelles du Premier Ordre
Exercice 3.1
Résoudre les équaons diérenelles suivantes :
1. 
2.   
3. 
Exercice 3.2
Résoudre les équaons à variables séparées :
1. 
2. 
Exercice 3.3
Résoudre les équaons homogènes :
1. 
2. 
Exercice 3.4
Résoudre les équaons linéaires :
1.   
2.   
4. Équaons Diérenelles du Second Ordre
Exercice 4.1
Résoudre les équaons diérenelles linéaires à coecients constants :

1.    
2.    
3.    
Exercice 4.2
Résoudre les équaons non homogènes :
1.    
2.    
Exercice 4.3
Trouver la soluon générale des équaons suivantes :
1.    
2.    
5. Foncons de Plusieurs Variables
Exercice 5.1
Calculer les dérivées parelles des foncons suivantes :
1.   
2.   
Exercice 5.2
Trouver les points criques de la foncon   et déterminer s’il s’agit de
minima, maxima ou points selles.
Exercice 5.3
Calculer la diérenelle totale de   au point .
6. Applicaons et Problèmes Concrets
Exercice 6.1
Décroissance radioacve : La quanté d’une substance radioacve suit l’équaon diérenelle
 . Sachant que   , trouver .

Exercice 6.2
Circuit RC : Dans un circuit RC, la charge vérie 
 , où   . Résoudre cee équaon
diérenelle avec   .
Exercice 6.3
Mouvement harmonique : Résoudre    avec les condions iniales   et  
.
Exercice 6.4
Refroidissement de Newton : La température d’un objet suit   , où est la
température ambiante. Résoudre cee équaon avec   .
7. Intégrales Impropres
Exercice 7.1
Étudier la convergence des intégrales suivantes :
1. 
2. 
Exercice 7.2
Calculer, si elle converge, l’intégrale 
 .
Ces exercices couvrent l’ensemble des thèmes abordés dans le résumé. Ils sont conçus pour vous
permere de praquer et de maîtriser les concepts clés du calcul intégral et des équaons
diérenelles. Si vous avez besoin d’aide pour résoudre un exercice en parculier, n’hésitez pas à
demander !