Module d'Analyse Numérique (M 241) - Cours Universitaire

Faculté des Sciences Dhar El Mahraz
Département de Mathématiques et Informatique
Module : Analyse Numérique (M 241)
Destiné aux étudiants de Licence MI-Informatique (S4)
Présenté par :
Mohamed Baddi
Année Universitaire 2025-2026

Mohamed Baddi FSDM - Fès
Avant-propos
Ce cours d’analyse numérique propose une approche concrète pour résoudre des problèmes
mathématiques par le calcul algorithmique. Destiné aux étudiants de Licence MI, il se
concentre sur la conception de méthodes permettant d’obtenir des solutions approchées
avec une précision maîtrisée.
Le parcours s’articule autour de quatre axes fondamentaux :
1. Résolution numérique des équations non linéaires : étude des méthodes ité-
ratives pour l’extraction de racines, incluant la dichotomie, la méthode du point fixe
et la méthode de Newton.
2. Interpolation polynomiale : construction d’un polynôme passant exactement
par des points isolés afin d’approcher une fonction connue (formes de Lagrange, de
Newton et d’Hermite).
3. Intégration et dérivation numérique : évaluation approchée d’intégrales définies
par des formules de quadrature (Trapèzes, Simpson) et estimation de dérivées par
des schémas de discrétisation.
4. Résolution numérique des systèmes linéaires : mise en œuvre d’algorithmes
performants pour résoudre des ensembles d’équations à plusieurs inconnues.
L’enjeu est de transformer la rigueur mathématique en algorithmes efficaces, essentiels
pour la simulation et la modélisation informatique moderne.
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Table des matières
1 Résolution numérique des équations non linéaires f(x) = 0 4
1.1 Introduction et position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Méthodes de résolution numérique de l’équation f(x)=0 .......... 5
1.2.1 Rappels théoriques fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Méthode de dichotomie (ou bissection) . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.3 Méthode de point fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.4 Méthode de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Analyse de la Convergence des Méthodes de Résolution . . . . . . . . . . . 16
1.3.1 Étude de la convergence de la méthode du point fixe . . . . . . . . 16
1.3.2 Etude de la convergence de de la méthode de Newton . . . . . . . . 21
2 Interpolation polynomiale 25
2.1 Problème Fondamental de l’Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Méthode Directe (Base Canonique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 PolynômedeLagrange ............................. 27
2.4 PolynômedeNewton.............................. 30
2.4.1 BasedeNewton............................. 30
2.4.2 Différences divisées et polynôme d’interpolation . . . . . . . . . . . 31
2.4.3 Différences finies progressives et polynôme d’interpolation . . . . . . 33
2.5 Polynômed’Hermite .............................. 36
3 Intégration numérique 39
3.1 Fondements de l’intégration numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1.1 Principe................................. 39
3.1.2 Formules de quadrature : définition et précision . . . . . . . . . . . 39
3.2 Méthodes de Newton-Cotes simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2.1 Méthode du rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2.2 Méthode du point milieu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2.3 Méthode du trapèze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2.4 Méthode de Simpson à trois points . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3 Méthodes de Newton-Cotes composites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
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3.3.1 Principe................................. 46
3.3.2 Méthode des rectangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3.3 Méthode des points milieu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3.4 Méthode des trapèzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3.5 Méthode de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
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Chapitre 1
Résolution numérique des équations
non linéaires f(x)=0
Ce chapitre aborde la résolution des équations f(x) = 0 pour lesquelles aucune solution
analytique simple n’existe. L’objectif est de mettre en œuvre des algorithmes itératifs per-
mettant d’approcher la racine avec une précision donnée. Nous étudierons successivement
les méthodes de la dichotomie, du point fixe et de Newton, en mettant l’accent sur leurs
conditions d’application et leur vitesse de convergence respectives.
1.1 Introduction et position du problème
L’un des problèmes fondamentaux de l’analyse numérique consiste à déterminer les solu-
tions réelles d’une équation de la forme :
f(x) = 0
où fest une fonction continue d’une variable réelle. Pour aborder ce problème, deux
concepts mathématiques sont essentiels :
Définition 1.1.1 (Racine d’une fonction).Soit f:I→Rune fonction continue sur un
intervalle I. On appelle racine (ou zéro) de ftout nombre réel α∈Ivérifiant l’équation :
f(α)=0
Graphiquement, la racine correspond à l’abscisse du point d’intersection de la courbe
représentative Cfavec l’axe des abscisses.
Définition 1.1.2. (Point fixe d’une fonction). Soit une fonction g:I→I. On appelle
point fixe de gtout nombre réel α∈Itel que :
g(α)=α
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