MAT1013 : TRAVAUX PRATIQUES I Probl`eme 1. Si a, b sont des

MAT1013 : TRAVAUX PRATIQUES I
OLIVIER COLLIN
Probl`eme 1. Si a, b sont des rationnels positifs, alors montrez a>bimplique a2> b2.
G´en´eralisez `a an> bnpour tout n∈N.
Probl`eme 2. Si on a 0< a < b alors d´emontrez les in´egalit´es
a < √ab < a+b
2< b.
Probl`eme 3. Montrez par induction que
12+ 22+ 33+... +n2=n(n+ 1)(2n+ 1)
6.
Probl`eme 4. Un ´etudiant se propose de d´emontrer que tous les ˆetres humains font partie
de la mˆeme famille en utilisant le Principe d’induction math´ematique de la fa¸con suivante :
Pour un ˆetre humain, il provient effectivement d’une famille, la sienne. Si l’on suppose
que tout ensemble de kˆetre humains proviennent forc´ement de la mˆeme famille, montrons
alors que k+ 1 ˆetres humains font partie de la mˆeme famille : prenons ces k+ 1 ˆetres
humains et retirons une personne du groupe. Il reste alors kˆetres humains, dont on sait
par hypoth`ese d’induction qu’ils sont de la mˆeme famille. En remettant la personne dans le
groupe, on peut en retirer une autre et ainsi obtenir un autre ensemble de kˆetres humains
qui auront tous la mˆeme famille, encore en vertu de l’hypoth`ese d’induction. Comme on
peut faire ceci pour chacun des individus dans le groupe, on en d´eduit que tout groupe de
k+ 1 ˆetres humains sont de la mˆeme famille. Par le Principe d’induction math´ematique,
on en d´eduit que tous les ˆetres humains sont de la mˆeme famille.
Expliquez pourquoi le raisonnement de l’´etudiant ne tient pas.
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Probl`eme 5. D´emontrez par r´ecurrence la formule du binˆome de Newton :
(x+y)n=
n
X
k=0 n
kxkyn−k.
Probl`eme 6. Montrez que :
(1) √3n’est pas rationnel.
(2) √3 + √5n’est pas rationnel.
(3) Si r∈Qet xirrationnel, alors r+xet rx sont irrationnels.
Probl`eme 7. Prouvez que si x∈Qest non-n´egatif et tel que pour tout n∈Non ait
x < 1
n, alors x= 0. En d´eduire que
inf{1
n∈Q|n∈N}= 0.

MAT1013 : TRAVAUX PRATIQUES II
OLIVIER COLLIN
Probl`eme 1. Montrez qu’il existe toujours une infinit´e de rationnels entre deux r´eels
a < b.
Probl`eme 2. Si x, y et zsont des r´eels tels que pour tout n∈Non ait
x≤y≤x+z
n,
montrez alors que l’on doit avoir x=y.
Probl`eme 3. Trouvez le supr´emum et infimum dans R(s’ils existent !) des ensembles sui-
vants. Dans chaque cas d´eterminez si l’ensemble poss`ede un maximum ou un minimum.
(1) {1
n+ (−1)n|n∈N}
(2) {x∈R|x= 0 ou x=1
npour un certain n∈N}
(3) {x∈R|x2+x+ 1 ≥0}
(4) {x∈Q|x<α}o`u α∈Rest une nombre fix´e.
Probl`eme 4. D´emontrez qu’´etant donn´e z∈Rquelconque, il existe n∈Ntel que
n≤z < n + 1.
L’entier nainsi contruit est appel´e partie enti`ere de z, not´e [z].
Probl`eme 5. Soit Aune ensemble non-vide et born´e sup´erieurement dans R. Montrez que
pour α∈R, on a
(1) sup{αx |x∈A}=rsup Asi α≥0. Que se passe-t-il si α < 0?
(2) sup{x+α|x∈A}=α+ sup A.
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Probl`eme 6. Soient A, B sous-ensembles non-vides de R. On d´efinit
A+B={x∈R|x=a+bpour a∈Aet b∈B}.
Si Aet Bsont born´es dans R, est-ce que sup(A+B) = sup A+ sup B? Justifiez votre
r´eponse.
Si Aet Bsont born´es dans R, montrez que sup(A∪B) = max{sup A, sup B}. Est-ce que
l’on a toujours sup(A∩B) = min{sup A, sup B}?
Probl`eme 7. Soit E⊂Run ensemble born´e et non-vide. Montrez que α= sup Esi et
seulement si le nombre r´eel αsatisfait :
(1) αest majorant de E
(2) ∀ > 0il existe au moins un x∈Etel que x>α−.
Ceci donne une autre interpr´etation, souvent utile, de la notion de supr´emum d’un en-
semble.

MAT1013 : TRAVAUX PRATIQUES III
OLIVIER COLLIN
Probl`eme 1. Si lim
n→∞{an}=αet lim n→∞{bn}=β, montrez que lim n→∞{anbn}=αβ.
Probl`eme 2. D´emontrez les ´enonc´es suivants :
(1) Si {an} → αet {bn} → +∞, alors {an+bn} → +∞.
(2) Si {an}est born´ee et que {bn} → 0, alors {anbn} → 0.
Probl`eme 3. Supposons que 0< a1< b1sont des nombres r´eels et posons par r´ecurrence
bn+1 =a1+bn
2.
Montrez que la suite {bn}converge.
Probl`eme 4. Trouvez la limite des suites suivantes :
(1) √n+ 1 −√n
(2) n2
2n
(3) nn
n!
(4) 1+2+3+...+n
n2
Probl`eme 5. Soit {an}une suite convergent vers un r´eel α.
(1) Si an≤M∀n∈N, montrez que α≤M.
(2) Si an≥M∀n∈N, montrez que α≥M.
(3) Si an< M ∀n∈N, est-ce que l’on a forc´ement α < M ?
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