Concours ISE/AS 2021 : Première Composition de Mathématiques

ÉCOLE NATIONALE
SUPÉRIEURE DE
STATISTIQUE ET
D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ENSEA - ABIDJAN
ÉCOLE NATIONALE DE LA
STATISTIQUE
ET DE L’ANALYSE
ÉCONOMIQUE
ENSAE - DAKAR
INSTITUT
SOUS-RÉGIONAL DE
STATISTIQUE ET
D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ISSEA - YAOUNDÉ
AVRIL 2021
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES CYCLE LONG /
ANALYSTES STATISTICIENS
ISE cycle long / AS
PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée de l’épreuve : 4 heures)
Attention !
L’exercice 1 de la présente épreuve est obligatoire et toute note strictement infé-
rieure à 6 à cet exercice est éliminatoire (chaque question de l’exercice 1 étant notée
sur 1 point).
Toutefois cet exercice n’entre que pour un cinquième dans la note finale de cette
première épreuve de mathématiques.
Dans tous les exercices, Rdésigne l’ensemble des nombres réels, Cl’ensemble des nombres
complexes et ln le logarithme népérien. On rappelle les relations
cos2θ
2=1 + cos θ 2
sin θ= 2 sin θ
2cos θ 2
valables pour tout réel θ.
On rappelle enfin la limite classique :
lim
x→0
ex−1
x= 1.
Exercice 1
1. Calculer Zπ/4
π/6
cos2x(sin x)dx.
En posant u= cos x, il vient u0=−sin xet
1

Zπ/4
π/6
cos2x(sin x)dx =Z√2
2
√3
2−u2du
=−u3
3
√2
2
√3
2
=√3
8−√2 12 .
2. Exprimer la dérivée de la fonction f(x) = sin x3
cos xcomme une fonction de sin x.
f0(x) = 3 sin2xcos2x+ sin3xsin x
cos2x
=3 sin2x(1 −sin2x) + sin4x
1−sin2x
=−sin2x(3 −2 sin2x)
1−sin2x
3. Donner la limite en −∞ de la fonction f(x) = p2x2+x+1+x.
Tout d’abord, 2x2+x+ 1 >0pour tout réel x. De plus,
p2x2+x+1+x=|x|r2 + 1
x+1 x2+x
=x 1−r2 + 1
x+1 x2!
dès que x < 0. Par passage à la limite, comme 1−√2<0, on a limx→−∞ f(x)=+∞.
4. Donner le comportement au voisinage de x= 0 de la fonction f(x) = sin xln(x−x2).
Pour 0<x<1, on a
f(x) = sin xln(x) + sin xln(1 −x).
Le second terme du membre de droite tend vers 0, et pour le premier on a
sin xln(x) = sin x
xxln x.
sin x/x tend vers 1 quand x→0, et par croissance comparée xln xtend vers 0, donc
finalement la limite recherchée vaut 0.
5. Ecrire le nombre complexe z=−3+3isous forme trigonométrique.
z= 3√2cos 3π
4+isin 3π 4.
2

6. Si on vous demande d’étudier les variations de la fonction
f(x) = 2x
ex−e−x,
expliquer quel intervalle d’étude vous choisissez, et comment vous étendez vos résultats à
l’ensemble du domaine de définition de f.
On remarque que fest une fonction paire définie sur Rprivé de l’origine. On peut donc
faire l’étude de fsur ]0,+∞[et on complète par symétrie par rapport à l’axe d’équation
x= 0.
7. Une urne contient trois boules numérotées respectivement 0, 1 et 2. On tire au hasard
uniforme et avec remise deux fois une boule, et on fait le produit Xdes chiffres obtenus.
Pour toute valeur de kpertinente, donner la probabilité pour que Xsoit égal à ket en
déduire l’espérance de X.
Xprend la valeur 1 si la boule numérotée 1 est tirée 2 fois, c’est-à-dire avec probabilité 1/9.
De même, Xprend la valeur 4 si la boule numérotée 2 est tirée 2 fois, donc là aussi avec
probabilité 1/9.Xvaut 2 si on a tiré soit 1 puis 2, soit 2 puis 1, donc avec probabilité 2/9.
Dans tous les autres cas, c’est-à-dire avec probabilité 1−1/9−1/9−2/9=5/9,Xvaut 0.
L’espérance de Xest donc égale à 0×5/9+1×1/9+2×2/9+4×1/9=1.
8. On considère la suite définie par u0= 4 et un+1 =1
2(u2
n+ 4). Cette suite est-elle monotone ?
Est-elle convergente ?
un+1 −un=1
2(u2
n−2un+ 4).
Cette expression est de signe constamment positif car l’équation x2−2x+4 = 0 n’admet pas
de racine réelle. La suite (un)n≥0est donc croissante. Si elle convergeait, sa limite vérifierait
l2−2l+ 4 = 0 or on vient de voir que c’était impossible : la suite diverge donc vers +∞.
9. En utilisant la double inégalité (qu’on ne cherchera pas à démontrer)
n
√n4+n≤n √n4+k≤n √n4+ 1
valable pour tout entier n > 0et pour tout entier ktel que 1≤k≤n, étudier la convergence
de la suite de terme général
un=
n
X
k=1
n
√n4+k.
D’après la double inégalité de l’énoncé, on a
n
X
k=1
n
√n4+n≤
n
X
k=1
n
√n4+k≤
n
X
k=1
n
√n4+ 1
soit
n2
√n4+n≤
n
X
k=1
n
√n4+k≤n2 √n4+ 1
3

ou encore
1
q1 + 1
n3≤
n
X
k=1
n
√n4+k≤1 q1 + 1
n4
et d’après le théorème de comparaison, la suite de terme général unconverge vers 1.
10. Résoudre l’equation x3+ 6x2−x= 0 dans R, puis dans C.
On a soit x=0, soit x2+ 6x2−1=0, équation qui admet les racines réelles −3−√10 et
−3 + √10. Les racines complexes sont les mêmes que les racines réelles.
Exercice 2 Pour a∈R, on considère la fonction de la variable réelle
fa(x) = ax3−3(a+ 1)x2+x+ 1
1. Dans cette partie, on pose a=−1/3et pour simplifier on note f−1
3=f.
(a) Calculer f0, et en déduire les intervalles de croissance de f.
On a donc
f(x) = −x3
3−2x2+x+ 1
d’où
f0(x) = −x2−4x+ 1
qui s’annule en x1=−2−√5et x2=−2 + √5, et est de signe négatif au voisinage de
l’infini. Par suite, fest décroissante sur ]−∞, x1[et ]x2,+∞[, et croissante sur ]x1, x2[.
(b) Calculer les limites de fen −∞ et +∞, ainsi que la valeur de f(−2).
Il vient immédiatement que limx→−∞ f(x)=+∞,limx→+∞f(x) = −∞ et f(−2) =
−19/3.
(c) Déduire des questions précédentes que l’équation f(x) = 0 admet exactement 3 solu-
tions qu’on placera par rapport aux valeurs −2,−1et 0.
fest continue et strictement décroissante sur ]−∞, x1[avec limx→−∞ f(x) = +∞, puis
strictement croissante sur ]x1, x2[. Comme x1<−2< x2, on en déduit que f(x1)<0,
puis d’après le théorème des valeurs intermédiaires qu’il existe une unique solution z1
à l’équation f(x)=0sur ]− ∞, x1[, avec donc z1<−2.
On a par ailleurs x1<−1<0< x2, donc comme f(−1) = −5/3<0etf(0) = 1, en
reproduisant le raisonnement précédent on montre l’existence d’une unique solution z2
sur ]x1, x2[, avec −1< z2<0.
Enfin, comme f(x2)> f(0) = 1 >0, il existe de même une unique solution z3sur
]x2,+∞[, et on a donc z3>0.
(d) Dresser le tableau de variations de fet tracer sa courbe représentative.
Ils se déduisent des questions précédentes.
2. On suppose désormais aquelconque.
(a) Pour un point (x, y)tel que x6={0,3}, montrer qu’il existe une unique valeur de a
telle que fa(x) = yet donner la valeur de a.
fa(x) = yssi ax3−3(a+ 1)x2+x+ 1 = yssi a(x3−3x2) = y+ 3x2−x−1. Par suite,
si x6={0,3}, la solution unique avaut
4

a=y+ 3x2−x−1
x2(x−3) .
(b) Pour yfixé, résoudre en al’équation fa(3) = y.
On remarque que fa(3) = −23 pour tout a. Par suite l’équation considérée n’a pas de
solution si y6=−23, et admet Rcomme ensemble de solutions si y=−23.
(c) Déduire de ce qui précède que toutes les courbes représentatives des fonctions fa,a∈R,
passent par deux points M1et M2du plan dont on donnera les coordonnées.
On remarque que fa(0) = 1 pour tout a, donc toutes les courbes passent par le point M1
de coordonnées (0,1). D’après la question précédente, elles passent également toutes
par le point M2de coordonnées (3,−23).
(d) Montrer que la tangente à la courbe de faau point d’abscisse x= 0 ne dépend pas de
a∈R.
f0
a(0) = 1, donc la tangente à la courbe de faau point d’abscisse x= 0 passe par le
point de coordonnées (0,1) et admet 1 comme coefficient directeur : elle ne dépend
donc pas de a.
Exercice 3
On considère la fonction de la variable réelle fdéfinie par
f(x) = (x−1)e2
xpour x6= 0
1. Montrer que
lim
|x|→∞ xe2
x−1= 2.
(on pourra utiliser le rappel donné au début de l’énoncé avant l’exercice 1)
Posons y= 2/x. On a alors
lim
|x|→∞ xe2
x−1= lim
y→0
2
y(ey−1) = 2
d’après le rappel donné au début de l’énoncé.
2. Donner le domaine de définition de f, calculer les limites de faux bornes de son domaine
de définition et étudier soigneusement ses éventuelles branches infinies.
fest définie sur Rprivé de 0.
Quand xtend vers 0 par valeurs négatives, 2/x tend vers −∞ donc e2
xtend vers 0 et f(x)
également.
Quand xtend vers 0 par valeurs positives, 2/x tend vers +∞donc e2
xtend vers +∞et f(x)
tend vers −∞ : on a donc ici une asymptote verticale d’équation x= 0.
Quand |x|tend vers +∞,2/x tend vers 0 donc e2
xtend vers 1. Par suite f(x)tend vers +∞
si x→+∞et f(x)tend vers −∞ si x→ −∞. On a donc deux branches infinies à étudier.
Il est clair que f(x)/x tend vers 1 quand |x|tend vers +∞. On a alors
f(x)−x=xe2
x−1−e2 x.
5