Mécanique Quantique : Fonctions d'Onde & Équation de Schrödinger

Chap2 : Fonction d’onde et Equation de Shrodinger
1. Fonction d’onde et densité de probabilité
Pour décrire l’onde de matière associée à une particule (on parle d’état du système quantique), on
définit une FONCTION D’ONDE complexe  (, ) au point M à l’instant t. Cette fonction d’onde
 (, ) est reliée à la probabilité, notée , que la particule soit présente dans un volume
mésoscopique  autour d’un point M à l’instant t :
= | (, ) |2∙  | (, ) |² = 
| (, ) |² est la densité volumique de probabilité de présence de la particule au point M à l’instant t.
Dans un cas unidimensionnel : la particule ne peut se déplacer que selon l’axe (Ox) et son état est décrit par
la fonction d’onde  (, ). La probabilité que la particule soit présente entre  et + à  est :
 =| (, ) |∙  | (, ) |=/
|(, )|² représente la densité linéique de probabilité de présence (USI : m-1).
La fonction d’onde  est appelée amplitude de probabilité.
La relation entre fonction d’onde et probabilité de présence met en évidence le fait que la notion de
probabilité fait partie des fondements de la théorie quantique.
Ainsi, parler de « valeur instantanée de position » ou de « trajectoire » de la particule n’a pas de sens. On
peut seulement donner la probabilité qu’une mesure de la position à un t fixé donne telle ou telle valeur.
D’après cette définition probabiliste, la fonction d’onde doit vérifier les propriétés suivantes :
➢ La fonction d’onde s’annule aux endroits où il est impossible que la particule se trouve.
➢ La fonction d’onde est une fonction continue.
➢ Notons  le domaine d’espace accessible à la particule, dans le cas d’un problème unidimensionnel,
 est un intervalle sur l’axe (Ox). La particule se trouve dans  avec certitude.
On traduit cela avec la CONDITION DE NORMALISATION : la probabilité intégrée sur  doit
valoir 1.

2. Equation de Shrodinger
a. Enoncé
Pour décrire une onde de matière, il faut résoudre l’équation dont la fonction d’onde est solution ; il s’agit
de l’équation de Schrödinger.
On considère le mouvement d’une particule quantique de masse , dans un référentiel .
La particule est en interaction avec d’autres systèmes physiques, ce qui se traduit par une énergie potentielle,
notée  (, ), appelée par abus de langage potentiel.
L’équation décrivant l’évolution dans l’espace et dans le temps de la fonction d’onde d’une particule
quantique a été proposée par Erwin Schrödinger en 1926 :
− 
Δ (, ) + (, )∙(, ) =ℎ
b. Principes vérifié par l’équation de Schrodinger
❖ Principe d’évolution
L’état du système  (, ) à un instant ultérieur t est parfaitement déterminé par l’action de l’hamiltonien H
sur l’état  (, 0) à l’instant initial t0.
❖ Principe de superposition
Toute combinaison linéaire de solutions de l’équation de Shrodinger est également une solution de
l’équation. Ainsi, si 1(, ) et 2(, ) sont solutions de l’équation de Schrödinger, i.e. sont des états
possibles pour la particule, alors la fonction ci-après est également solution de l’équation de Schrödinger :
(, )=(,)+(,)
Avec  et  des constants complexes telles que la condition de normalisation est vérifiée. Autrement dit,
la fonction d’onde  (, ) correspond à un état possible pour la particule
❖ Principe de correspondance
A chaque grandeur physique classique on fait correspondre un opérateur qui agit sur la fonction d’onde.
Ainsi on a :
Grandeur physique
En mécanique classique
En mécanique quantique
Position
 (ou x en 1D)
 (ou x en 1D)
Impulsion
(ou Px en 1D)
i h 
(ou « i h 
 » en 1D)
Energie cinétique
EC = 
 (ou   en 1D)
 (ou   en 1D)
Energie totale
E
ih.

✓ C’est l’équation de Schrodinger dépendante du temps (E.D.S.D.T). Sa résolution permet de
déterminer l’énergie de la particule ainsi que sa fonction d’onde.
✓ Les propriétés de chaque particule, fixées par son potentiel V(x, t) ne permettent de retenir que les
fonctions d’onde qui seraient physiquement acceptables et compatibles avec le problème étudié.
3. Inégalité de Heisenberg
Dans la description quantique, le caractère ondulatoire de la particule a pour conséquence qu’il n’est
plus possible de connaître simultanément la position et la quantité de mouvement de la particule
quantique avec une précision aussi grande que l’on veut (indépendamment des incertitudes de
mesure).
Soit une particule quantique astreinte à se déplacer sur (Ox). Des mesures réalisées sur un ensemble
de particules préparées dans un même état quantique présenteraient des dispersions Δ et Δ vérifiant
l’INEGALITE DE HEISENBERG (ou principe d’indétermination de Heisenberg) :
x.P 
Dans le cas tridimensionnel, on a trois inégalités de Heisenberg spatiales :
Δ∙Δ ≥ 
 ; Δ∙Δ ≥   ; Δ∙Δ ≥ 
Avec ,  et  les projections du vecteur quantité de mouvement selon (Ox), (Oy) et (Oz).

Chap 3 : Etats stationnaires et états non stationnaires d’une particule quantique
Généralités sur les états stationnaires
On s’intéresse à une particule évoluant selon l’axe () dans un potentiel  ne dépendant pas explicitement
du temps. Une telle particule possède des états pour lesquels l’énergie  est constante : on les appelle
ETATS STATIONNAIRES. La fonction d’onde d’un état stationnaire s’écrit : (, )=()∙()
Où () et () sont des fonctions à valeurs complexes.
Pour un état stationnaire d’énergie  fixée :
- on écrit la partie temporelle () sous la forme : f(t) = 
 =  en reliant l’énergie E à la
pulsation comme pour les photon E = h.w = h.
- la partie spatiale () vérifie :
Cette équation est nommée « équation de Schrödinger indépendante du temps »
Propriété : La densité de probabilité de présence d’un état stationnaire est indépendante du temps,
ce qui justifie le terme d’état « stationnaire ».
En effet on a :
Cela implique que |()| est une constante indépendante du temps : |()| = . Ainsi, la densité de probabilité
de présence / = |(,)|2 = |()∙()|2 = ²∙|()|² est indépendante du temps.
D’après l’interprétation probabiliste de la fonction d’onde, (), la partie spatiale d’un état stationnaire, doit
vérifier les propriétés suivantes :
✓ () s’annule aux endroits où il est impossible que la particule se trouve.
✓ Conditions aux limites : () est une fonction continue et 
 est une fonction continue en tout
point où le potentiel () ne présente pas de discontinuité d’amplitude infinie.
✓ Condition de normalisation avec  le domaine accessible à la particule : 
²dx = 1.

I. Etats stationnaires d’une particule libre
1. Fonction d’onde d’une particule libre non libre non localisée
❖ Position du problème :
On étudie une particule quantique libre i.e. qui évolue sans subir d’interaction.
La particule peut accéder à l’ensemble des positions  ] −∞, +∞ [.
Son mouvement est caractérisé par le potentiel :   ] −∞, +∞ [,  () = 
On cherche la partie spatiale () de l’état stationnaire d’une particule libre d’énergie =.
❖ Fonctions d’onde solutions - OPPM :
Soit une particule libre pouvant accéder à l’ensemble des positions  ] −∞, +∞ [.
La fonction d’onde d’un état stationnaire d’énergie  associé à cette particule s’écrit :
On reconnaît la somme d’une OPPM se propageant selon + 
et d’une OPPM se propageant selon 
.
❖ Relation de dispersion – Onde de de Broglie :
Remarque :
La relation de dispersion  =  n’est valable que pour un photon dans le vide et pas pour une
particule matérielle, par exemple, on a  = 
 ² pour une particule libre.
Ainsi, la relation  = / n’est valable que pour un photon dans le vide et pas pour une particule
matérielle !
2. Normalisation-Paquet d’ondes-Inégalité de Heisenberg
La fonction d’onde d’une onde de de Broglie ( (x, t) = A) n’est pas normalisable.
Comme les OPPM classiques, l’onde de de Broglie est un modèle idéalisé qui ne peut pas représenter
correctement l’état d’une particule quantique libre réelle mais il s’agit d’un outil mathématique utile : par
linéarité de l’équation de Schrödinger, l’onde de matière est la superposition d’ondes de de Broglie.