Généralités sur les fonctions - Cours de mathématiques

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Généralités sur les fonctions
G
Gé én né ér ra al li it té és s s su ur r l le es s f fo on nc ct ti io on ns s
I. Principales définitions
1. Un exemple pour commencer
( ) ² 4
f x x x
= −
Déterminer :
- l’ensemble de définition
- les images de 0, de 1 et de 100
- les antécédents de 0 et de -3
Solution :
- Ensemble de définition :
f
D
=
ℝ
car
² 4
x x
−
existe pour tout
x
réel.
- Image de 0 :
(0) 0² 4 0 0
f
= − × =
- Image de 1 :
(1) 1² 4 1 3
f
= − × = −
- Image de 100 :
(100) 100² 4 100 9600
f
= − × =
- Antécédents de 0 :
( ) 0 ² 4 0 ( 4) 0
f x x x x x
= ⇔ − = ⇔ − =
Les antécédents de 0 sont 0 et 4 (car
(0) 0
f
=
et
(4) 0
f
=
)
- Antécédents de -3 :
( ) 3 ² 4 3 ² 4 3 0
f x x x x x
= − ⇔ − = − ⇔ − + =
' 1
x
=
et
'' 3
x
=
Les antécédents de -3 sont 1 et 3 (car
(1) 3
f
= −
et
(3) 3
f
= −
)
2. Ensemble de définition d’une fonction
Soit
f
une fonction.
- Si
x
appartient à l’ensemble de définition
f
D
de
f
, alors
x
a une image unique.
- L’ensemble des réels
x
qui ont une image par
f
constitue l’ensemble de définition
de la fonction
f
, généralement noté
f
D
.

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Exemple :
:
3
( )
2
f
x
x f x
x
→
=
−
ℝ ℝ
֏
( )
f x
existe si
2 0
x
− ≠
donc si
2
x
≠
.
{
}
]
[
]
[
2 ;2 2;
f
D
= − = −∞ ∪ +∞
ℝ
Autre exemple :
:
( ) 3 2
g
x g x x
→
= −
ℝ ℝ
֏
( )
g x
existe si
3 2 0
x
− ≥
(la racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas) donc si
3 2
x
≥
donc si
3
2
x
≥
.
{ }
3
2 ;
2
g
D = − = −∞ ℝ
3. Image et antécédent
 Image
Soit
x
est un élément de
f
D
, l’image de
x
par
f
est
( )
y f x
=
.
Par exemple, soit
( ) ² 6
f x x
= −
, l’image de 4 par
f
est
(4) 4² 6 10
y f
= = − =
.
 Antécédent
Les antécédents d’un réel
y
par une fonction
f
sont les valeurs
x
solutions de l’équation
( )
y f x
=
.
Par exemple, soit
( ) ² 6
f x x
= −
, quel(s) est(sont) le(s) antécédent(s) de 10 ?
Il faut résoudre
( ) 10
f x
=
soit
² 6 10
x
− =
.
L’équation équivaut à
² 16
x
=
donc
' 4
x
=
et
'' 4
x
= −
.
Les antécédents de 10 par
f
sont 4 et -4.

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4. Courbe représentative d’une fonction
Courbe représentative de la fonction
( ) cos
f x x
=
La courbe représentative
f
C
d’une fonction
f
dans le plan muni d’un repère est l’ensemble
des points
(
)
;
M x y
tels que
f
x D
∈et
( )
y f x
=
.
( )
; si
( )
f
f
x D
M x y C
y f x
∈
∈=
Remarque importante :
Pour toute valeur de
x
, il y a une seule valeur de
( )
y f x
=
. La courbe représentative
f
C
d’une
fonction
f
ne peut donc pas avoir plusieurs points pour une même valeur d’une abscisse
x
.
Ces courbes ne représentent pas des fonctions !
C
f
1
-
1

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Ces courbes représentent des fonctions
5. Position relative de courbes, interprétation graphique d’équations et
d’inéquations
 Intersection de courbes et équations
Soient
f
C
la courbe représentative de
f
et
g
C
la courbe représentative de
g
.
On peut établir les relations suivantes :
( )
( )
f
g
M C y f x
M C y g x
∈ ⇔ =
∈ ⇔ =
Aux points d’intersection de
f
C
et de
g
C
, on a
f
M C
∈ et
g
M C
∈ donc
( )
y f x
=
et
( )
y g x
=
soit
( ) ( )
f x g x
=
.
C
f
C
g

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Les abscisses
x
des points d’intersection de
f
C
et de
g
C
vérifient
( ) ( )
f x g x
=
.
A retenir :
Et inversement, les solutions de l’équation
( ) ( )
f x g x
=
sont les abscisses des points
d’intersection de
f
C
et de
g
C
.
 Position relative de deux courbes et intersection
Les abscisses des points de la courbe
f
C
situées au-dessus de
g
C
vérifient
( ) ( )
f x g x
>
.
A retenir :
Et inversement, les solutions de
( ) ( )
f x g x
>
sont les abscisses des points de
f
C
situées au-
dessus de
g
C
.
 Un cas particulier : équation ( )
f x m
=
et inéquation ( )
f x m
>
Les solutions de l’équation ( )
f x m
=
sont les abscisses des points d’intersection de
f
C
avec la
droite d’équation
y m
=
.
Les solutions de l’équation ( )
f x m
>
sont les abscisses des points de
f
C
situés au-dessus de
la droite d’équation
y m
=
.
C
f
y=m