Examen de synthèse en mathématiques : Suites, fonctions et calcul

22 octobre 2025
Terminale C
Durée : 4 heures
Département de Mathématiques
MATHEMATIQUE
Devoir de synthèse n° 1
Exercice 1 (16 points)
Simplifier les nombres suivants :
A
3  2 4 48  4 243 ;

C  2 4 2 3


   2  3   ;
2
2
4
2  3 16  5 8
B
30
2
3
213
a b
D
5
2
5
a5 3
;
 15 a 8 b8
1
b
Exercice 2 (25 points)
Soit la suite numérique (𝑢𝑛 ) définie par 𝑢0 = 1 et pour tout 𝑛 ∈ , 𝑢𝑛+1 =
On se propose d’étudier la limite de (𝒖𝒏 ) par deux méthodes.
2𝑢𝑛 −1
2𝑢𝑛 +5
1
1. a) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢𝑛 ≥ − .
2
b) Etudier le sens de variations de la suite (𝑢𝑛 ).
c) Déduire des questions précédentes que la suite (𝑢𝑛 ) est convergente.
d) Déterminer la limite de la suite (𝑢𝑛 ).
2. On considère la suite (𝑣𝑛 ) définie pour tout entier 𝑛 par 𝑣𝑛 =
2𝑢𝑛 +1
𝑢𝑛 +1
a) Démontrer que la suite (𝑣𝑛 ) est géométrique dont on précisera la raison et
le premier terme.
b) Exprimer 𝑣𝑛 en fonction de 𝑛.
c) Exprimer puis 𝑢𝑛 en fonction de 𝑣𝑛 , puis 𝑢𝑛 en fonction de 𝑛.
d) Calculer limite de la suite (𝑢𝑛 )
EXERCICE 3 (14 points)
Soit 𝑛 un nombre entier naturel non nul.
On considère la fonction 𝑓𝑛 ∶ 𝑥 ↦ (1 + 𝑥)𝑛 .
1. Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe 𝑛 de 𝑓𝑛 en son point
d’abscisse 0.
2. La fonction 𝑓𝑛 est-elle convexe ou concave sur [0 ; + ∞[ ?
3. En déduire que pour 𝑥 ≥ 0; (1 + 𝑥)𝑛 ≥ 1 + 𝑛𝑥
EXERCICE 4 (30 points)
1. Soit la fonction 𝑔 définie sur  par : 𝑔(𝑥) = 2𝑥 − √1 + 𝑥 2 .
a) Etudier les variations de la fonction 𝑔.
b) Montrer que l’équation 𝑔(𝑥) = 0 admet une solution unique 𝛼 que l’on
déterminera.
c) En déduire le signe de 𝑔 sur .
2. Soit la fonction 𝑓 définie sur  par : 𝑓(𝑥) = 2√1 + 𝑥 2 − 𝑥
et (𝐶) sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthogonal.
On note (𝐷) la droite d’équation 𝑦 = −3𝑥.
a) Etudier les limites de 𝑓 en +∞ et en −∞.
𝑔(𝑥)
b) Montrer que, pour tout réel 𝑥, 𝑓′(𝑥) =
.
√1+𝑥 2
c) En déduire le tableau de variations de la fonction 𝑓.
d) Déterminer la limite en −∞ de 𝑓(𝑥) − (−3𝑥). Interpréter ce résultat.
e) Montrer que la courbe (𝐶) admet une asymptote oblique (𝐷’) en +∞.
f) Etudier la position de (𝐶) par rapport aux droites (𝐷) et (𝐷’).
g) Tracer (𝐷) , (𝐷’) et (𝐶).
Exercice 4 (15 points)
Le plan est muni d’un repère orthonormé (𝑂 ; 𝑖⃗, 𝑗⃗) ; l’unité graphique est 2 cm.
On note  la courbe représentative de la fonction 𝑓 définie de ]0; 2[ vers  par :
𝜋
𝑓(𝑥) = 𝑡𝑎𝑛 [ (𝑥 − 1)]
2
1. Montrer que le (1; 0) est un centre de symétrie pour .
2. a) Etudier le sens de variation de 𝑓 et dresser son tableau de variation.
b) Démontrer 𝑓 admet une bijection réciproque 𝑓 −1
c) Dresser le tableau de variation de 𝑓 −1 .
d) Démontrer que 𝑓 −1 est dérivable sur  et que pour tout réel 𝑥, on a :
(𝑓 −1 )′ (𝑥 ) =
2
𝜋(1+𝑥²)