IA de Diourbel L.S.E.D M. N diaye Devoir n◦ 2 du premier semestre 2nde S Année : 2023-2024 Durée : 4h Exercice 0.0.1 (3, 5pt) Soit ABC un triangle. 1. Construire les points I, E et F tels que : −−→ −−→ → −→ 1 −→ − I milieu de [AB] ; 3EB + EC = 0 ; AF = AC. (1pt) 4 −→ −−→ −→ → − 2. Soit G le point du plan tel que : 3GA + 3GB + GC = 0 . (a) Montrer que les points A, G et E sont alignés. (0, 75pt) (b) Montrer que les points C, I et G sont alignés. (0, 75pt) (c) En déduire que les droites (AE), (CI) et (BF ) sont concourantes. (1pt) Exercice 0.0.2 (2, 5pt) Soit ABCD un parallélogramme ; I milieu de [DC] ; M et −−→ 3 − → −−→ 3 −−→ N les points tels que : AM = AI ; BN = BC. 2 2 1. Montrer que les droites (M N ) et (AB) sont parallèles. (1pt) 2. Soit E le point d’intersection des droites (AM ) et (BN ). Montrer ( par le calcul vectoriel ) que le point N est le milieu de [EC]. (1, 5pt) −→ −−→ −→ −−→ → − Exercice 0.0.3 (4pt) Soit ABCD un carré de centre O : OA+ OB + OC + OD = 0 , et de coté a. −−→ −−→ −−→ −−→ → − 1. Soit H le point tel que : HA + HB + HC + 5HD = 0 . (a) Montrer que H est le milieu de [OD]. (0, 75pt) (b) Calculer la distance OD en fonction de a. (0, 25pt) −−−→ −−→ −−→ −−→ −−→ (c) On pose : V (M ) = M A + M B + M C + 5M D et C l’ensemble des points M du √ −−−→ plan tels que : V (M ) = 2a 2. i. Montrer que O ∈ C. (0, 25pt) −−−→ −−→ ii. Monter que V (M ) = 8M H. (0, 25pt) iii. En déduire la nature de C. (0, 25pt) iv. Tracer C. (0, 25pt) −−→ −−→ −−→ −−→ → − 2. Soit K le point tel que : KA + 5KB + KC + KD = 0 . (a) Sans nouvelle démonstration, préciser la position de K. (0, 5pt) −−0−−→ −−→ −−→ −−→ −−→ (b) On pose : V (M ) = M A + 5M B + M C + M D et D l’ensemble des points M −−−→ −−−−→ du plan tels que : V (M ) = V 0 (M ) . −−−→ i. Déterminer V 0 (O). (0, 25pt) ii. En déduire que O ∈ D. (0, 25pt) −−0−−→ −−→ iii. Monter que V (M ) = 8M K. (0, 25pt) iv. En déduire la nature de D. (0, 25pt) v. Tracer D. (0, 25pt) 3. Que représente D pour C. (0, 25pt) 1 Exercice 0.0.4 (7pt) s 1. Soit a un nombre réel supérieur à 1 ; On pose M = (a) Montrer que : 2 ≤ M + 1 ≤ 3. 1 1+ . a (0, 5pt) 1 1 (b) Calculer a(M +1)(M −1). En déduire que : 1+ ≤ M ≤ 1+ . (0, 5×2pt) 3a 2a √ (c) En posant M = 1, 2, √ i. déterminer une valeur approchée de 1, 2 et sa précision ; (1pt) √ (0, 5pt) ii. déterminer l’approximation décimale d’ordre 1 par défaut de 1, 2. 2. Soient x et y deux réels tels que : |x| < 1 et |y| < 1. (a) Démontrer que : 1 + xy > 0. (0, 5pt) (b) Développer : (1 + x)(1 + y) et (1 − x)(1 − y). (0, 25 × 2pt) x+y < 1. (1pt) (c) En déduire que : 1 + xy 3. Soit Sn = 1 + 2 + · · · + n et Pn = 2 × 22 × · · · × 2n avec n ∈ N∗ . (a) On pose S5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5. En remarquant que S5 = 5+4+3+2+1, montrer que : 2S5 = 6×5. (0, 5pt) n(n + 1) (b) Montrer que Sn = . (0, 5pt) 2 (c) En déduire une expression simple de Pn . (0, 5pt) 2 10 (d) Calculer : A = 2 × 2 × · · · × 2 . (0, 5pt) p Exercice 0.0.5 (3pt)Soit p ∈ Z et q ∈ N∗ deux entiers tels que la fraction est q irréductible. p On se propose de trouver une condition nécessaire est suffisante pour que soit un nombre q décimal. m On rappelle qu’un nombre décimal est un nombre qui s’écrit sous la forme : avec 10n m ∈ Z et n ∈ N. 1 est un nombre décimal. q (Indication : On peut étudier les cas α ≤ β et α ≥ β) (1pt) n 2. On admet que si un entier positif divise 10 , alors il est de la forme 2α × 5β avec α et β des entiers. 1 Montrer que si est un nombre décimal, alors il existe deux entiers α et β tels q que q = 2α × 5β . (0, 75pt) p 3. Déduire ce qui précède une condition nécessaire est suffisante pour que soit un q nombre décimal. (0, 5pt) 4. Application : Pour chacun des nombres suivants, justifier s’il est décimal ou pas. 13 17 23 a= , b=− b=− . (0, 75pt) 40 500 300 1. Montrer que si q = 2α × 5β avec α , β ∈ N, alors Ne t’inquiètes pas si tu as des difficultés en maths je t’assure que les miennes sont beaucoup plus importantes ! Albert Einstein 2
