Circuit RLC série en régime sinusoïdal : Impédance et résonance

Le circuit RLC série en régime sinusoïdal
Pour l’étude du circuit en régime permanent, on utilise la représentation complexe.
L’impédance du circuit est égale à :
ω
−
ω
+=
ω
−ω+= RC
1
R
L
j1R
C
1
LjRZ
x
Q
RC
1
Q
RC
1
L
C
1
;Qx
Q
R
L
:vientIl
x;
R
L
Q;
LC
1
:poseOn
2
0
2
0
0
0
0
2
0
=
ω
ω=ω==
ωω
=
ωω
ω
=
ω
==ω
On caractérise le circuit par : Q son facteur de qualité et ωω0 sa fréquence propre.
Ce changement de variable permet d’écrire l’impédance sous la forme suivante :
ZRjQ x xZjZ= + −
F
H
G
I
K
J
L
N
M
O
Q
P= +110 0
cos sinϕ ϕ
On en déduit si l’origine des phase est le courant :
tg QxxZRQxx ϕ= −
F
H
G
I
K
J= + −
F
H
G
I
K
J
111
0
2
;² ;
L’intensité du courant dans le circuit est donc I(t) = U(t)/Z0
Pour x = 1, I présente un maximum IM = U/R. Il y a alors résonance en courant. Si toutes
choses égales par ailleurs, on diminue R, on augmente la valeur de Q ainsi que l’acuité de la
résonance en courant.
Soient VC = UC.cos(ωt + ϕC) et VL = UL.cos(ωt + ϕL) les valeurs des tensions aux bornes du
condensateur et de l’inductance. On peut écrire que :
UC = ZC.I = I/Cω = I.RQ/x.
UL = ZL.I = ILω = I.RQx.
U
QxU
Qxx
U
QU
xQxx
LC
=
+ −
F
HI K
=
+ −
F
HI K
1111
2 2
²
;
.²
Pour chercher le maximum de UL, on calcule sa dérivée :
dU
dx
Q Q x x Qx x x
Qx x
Qx x
L=
+ − − −
+ −
+ −
1 1 2 2
2 1 1
1 1
23 3
2
2
²//
²/
²/
b g
c
h
b g
b g
Le numérateur s’annule si : 1 – 2Q² + 2Q²/x² = 0 soit pour : x
Q
Q
²
²
²
=−
2
2 1
Il faut que 2Q² – 1 > 0 soit Q > 1/√2. On a alors : 1
1²Q2
2Q
xL>
−
=
Un calcul identique pour UC donne un maximum pour xC = 1/xL.
Le circuit RLC série présente trois fréquences réduites caractéristiques xC, 1 et xL qui se
confondent quand Q est grand.
xC et xL correspondent à des surtensions aux bornes du condensateur et de l’inductance : ce
sont les résonances en tension.
Pour x= 1 (ω = ω0), il y a résonance en courant dans le circuit.