j3-6-resume-asserv-2020 (1)

Sciences industrielles Asservissement/résumé
CPGE FES / MP & PSI 1/20 Prof : A. ELFARH
SYSTEMES ASSERVIS LINEAIRES CONTINUS INVARIANTS
REPRESENTATION DES SYSTEMES ASSERVIS
1. Transformée de Laplace
La transformée de Laplace de la fonction f(t) :
0
( ) ( ) ( ) ( ). .
Lpt
f t f t F p f t e dtL
telle que f(t)=0 pour t<0 et
p
.
Tableau des transformées de Laplace usuelles :
Domaine temporel :
f(t) avec f(t)=0 pour t<0
Domaine de Laplace :
F(p)
Domaine temporel :
f(t) avec f(t)=0 pour t<0
Domaine de Laplace :
F(p)
( ). ( )t u t
: impulsion
1
. . ( )
n at
t e u t
1
!
() n
n
pa
. ( )K u t
: échelon
K
p
sin( ). ( )wt u t
22
w
pw
. . ( )K t u t
: rampe
2
K
p
cos( ). ( )wt u t
22
p
pw
.. ( ) at
e u t
1
pa
..sin( ). ( ) at
e wt u t
22
()
w
p a w
. ( )
n
t u t
n1
!n
p
..cos( ). ( ) at
e wt u t
22
()
pa
p a w
Conditions d’Heaviside :
f(0+)=0, f’(0+)=0, f’’(0+)=0, …C’est-à-dire si les conditions initiales sont nulles.
Propriétés de la transformée de Laplace
Domaine temporel
Domaine de Laplace
Linéarité :
12
. ( ) . ( ) . ( )a f t b f t u t
12
. ( ) . ( )a F p b F p
Dérivée première :
'( ). ( )f t u t
. ( ) (0 )p F p f
Dérivée seconde :
'' ( ). ( )f t u t
2'
. ( ) . (0 ) (0 )   p F p p f f
Intégration :
0
( ). . ( )
tf x dxu t
()Fp
p

Sciences industrielles Asservissement/résumé
CPGE FES / MP & PSI 2/20 Prof : A. ELFARH
( ) ( )
p
L f t e F p
Théorème du retard : (τ : retard)
Théorème de la valeur initiale :
0
lim ( ) lim . ( )
p tf t p F p
Théorème de la valeur finale :
0
lim ( ) lim . ( )
tp
f t p F p
2. Représentation par le schéma fonctionnel (schéma bloc)
2.1- Fonction de transfert – transmittance :
Forme canonique de la fonction de transfert :
1
1
1 . ........... .
() (1 . ........... . )
n
nm
m
a p a p
H p K p b p b p
, avec
m : Ordre de la fonction de transfert, c’est le degré du dénominateur de la fonction de transfert
α : Classe de la fonction de transfert, c’est le nombre des intégrateurs (α ≥0)
K : Gain statique de la fonction de transfert,
0
lim . ( ) p K p H p
2.2- Schéma fonctionnel (schéma bloc) : Formalisme
Bloc
Jonction
Sommateur
Comparateur
2.3- Opérations élémentaires sur les schémas blocs :
● Blocs en série
H(p)= H1(p). H2(p). H3(p)
● Blocs en parallèle
2.4- Détermination de la F.T à partir du schéma fonctionnel d’un système asservi
2.4.1 Système asservi à retour non unitaire :
G(p) : Fonction de transfert de la chaîne directe
F(p) : Fonction de transfert de la chaîne de retour
E(p)
S(p)
H1(p)
H2(p)
H3(p)
E(p)
S(p)
H(p)
+
C
M
ε = C - M
-
-
-
-
-
-
-
-
+
E2
E1
E3
S= E1+ E2- E3
+
-
-
-
-
-
-
-
-
Branche 1 : E1=E
E Branche 1 : E2=E
Jonction
E
S= E●H
H
E(p)
S(p)
H(p)
S(p)
E(p)
H1(p)
-
-
-
-
-
+
H2(p)
H(p)= H1(p) - H2(p)
ε(p)
R(p)

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CPGE FES / MP & PSI 3/20 Prof : A. ELFARH
S(p)=X(p).H(p).F(p)
Y(p)=X(p).H(p).G(p)
FTBO : Fonction de transfert en boucle ouverte.
()
() ()
Rp
FTBO p p
( ) ( ). ( )FTBO p G p F p
Formule de Black :
()
() 1 ( )
FTCD p
FTBF p FTBO p
● Déplacement des jonctions
- Permutation des jonctions :
- Déplacement des jonctions vers l’amont ou vers l’aval. :
● Déplacement des sommateurs
Permutation des sommateurs :
S(p)=E(p)+X(p).G(p)-Y(p).F(p)= E(p) -Y(p).F(p)+X(p).G(p)
E(p)
+
+
+
-
G(p)
F(p)
S(p)
X(p)
Y(p)
E(p)
X(p)
+
+
-
S(p)
G(p)
F(p)
Y(p)
+
S(p)
H(p)
F(p)
G(p)
X(p)
Y(p)
1/F(p)
H(p)
F(p)
X(p)
Y(p)
G(p)
H(p)
S(p)
H(p)
F(p)
G(p)
X(p)
Y(p)
S(p)
H1(p)
H2(p)
G(p)
F(p)
H1(p)
H2(p)
G(p)
F(p)
E(p)
S(p)
()
() 1 ( ). ( )
Gp
Hp G p F p
Schéma équivalent
S(p)
Déplacement du point de
prélèvement vers l’aval
Déplacement du point de
prélèvement vers l’amont
S(p)
FTBF : Fonction de transfert en boucle fermée.
()
() ()
Sp
FTBF p Ep
()
() 1 ( ). ( )
Gp
FTBF p G p F p
Présence du signe
(+) est obligatoire

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( ). ( ). ( )
() 1 ( ). ( )
A p B p C p
FTBF p B p D p
( ) ( ). ( )FTBO p B p D p
- Déplacement des sommateurs vers l’amont ou vers l’aval. :
NB : - IL faut garder les mêmes FTBO et FTBF quelque soit le déplacement effectué.
- Il est interdit de permuter un sommateur avec une jonction.
5- Algèbre des schémas blocs
5.1 Système à boucles concentriques :
() . ( )
( ) ( ). ( )
1 ( ). ( )
() ()
( ) 1 ( ). ( ) ( ). ( ). ( )
1 . ( ). ( )
1 ( ). ( )
Ap Bp
S p A p B p
A p C p
Hp Ap
E p A p C p A p B p D p
B p D p
A p C p
5.2 Système à boucles imbriquées :
( ). '( ) ( ). ( ). ( )
( ) H(p)
11 ( ). ( ). ( ) ( ). ( ). ( )
1 ( ). '( ). ( ). ()
A p H p A p B p C p
Hp B p C p G p A p B p F p
A p H p F p Cp
Déplacement du
sommateur vers l’amont
Déplacement du
sommateur vers l’aval
( ) ( ). ( ) ( ). ( ) . ( ). ( )S p E p A p X p D p B p C p
X(p)
S(p)
E(p)
-
-
-
-
-
+
D(p)
B(p)
A(p)
C(p)
X(p)
S(p)
E(p)
-
-
-
-
-
+
D(p)
B(p)
A(p)
C(p)
1/A(p)
S(p)
E(p)
-
-
-
-
-
+
B(p)
B(p)
A(p)
C(p)
D(p)
X(p)
S(p)
E(p)
-
-
-
-
-
-
+
C(p)
A(p)
B(p)
-
-
-
-
-
-
+
D(p)
S(p)
E(p)
()
1 ( ). ( )
Ap
A p C p
B(p)
-
-
-
-
-
-
+
D(p)
S(p)
E(p)
F(p)
B(p)
A(p)
C(p)
-
-
-
-
-
+
G(p)
-
-
-
-
-
-
+
S(p)
E(p)
F(p)
B(p)
A(p)
C(p)
-
-
-
-
-
+
G(p)
-
-
-
-
-
-
+
1/C(p)
( ). ( )
'( ) 1 ( ). ( ). ( )
B p C p
Hp B p C p G p

Sciences industrielles Asservissement/résumé
CPGE FES / MP & PSI 5/20 Prof : A. ELFARH
2.5- Système à deux entrées et une sortie
Méthode de superposition : E1(p) non nul et E2(p) nul, puis E2(p) non nul et E1(p) nul.
▪ Avec E1(p) ≠0 et E2(p) =0, le schéma bloc devient :
1 1 2
11 1 2 1
( ) ( ). ( )
() ( ) 1 ( ). ( ). ( )
S p G p G p
Hp E p G p G p F p
▪ Avec E2(p) ≠0 et E1(p) =0 , le schéma bloc devient :
2 2 2
22 1 2 1
( ) ( ). ( )
() ( ) 1 ( ). ( ). ( )
S p F p G p
Hp E p G p G p F p
En appliquant le principe de superposition :
12
( ) ( ) ( )S p S p S p
1 2 1 2 2 2
1 1 2
( ). ( ). ( ) ( ). ( ). ( )
( ) 1 ( ). ( ). ( )
G p G p E p F p G p E p
Sp F p G p G p
6- Gain du convertisseur dans un schéma bloc
Pour un asservissement correct :
( ) ( ). ( ).
( ) 0 et ( ) ( )
p E p Kconv S p Kcapt
p E p S p Kconv Kcapt
ANALYSE TEMPORELLE DES SYSTEMES LINEAIRES
1- Système de premier ordre
Fonction de transfert :
()
() ( ) 1
S p K
Hp E p p
.
Etude temporelle : Réponse à une entrée échelon
0
0
( ) . ( ) E( ) E e t E u t p p
Réponse temporelle :
0
( ) . (1- )
t
s t K E e
Correcteur
Actionneur
B(p)
Capteur
eur
Convertisseur
+
+
+
-
Uc(p)
ε(p)
U(p)
Fpert(p)
Ur(p)
A(p)
S(p)
1 1 2 2
( ) ( ). ( ) ( ). ( )S p H p E p H p E p
: Les fonctions H1(p) et H2(p) ont le même dénominateur.
E(p)
S(p)
E1(p)
F1(p)
G2(p)
G1(p)
-
-
-
-
-
+
F2(p)
+
-
-
-
-
-
+
E2(p)
E1(p)
+
S(p)
H2(p)
E2(p)
H1(p)
+