PolycopideDynamiqueDesStructurescoursetexercices

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE
Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique
Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediène
Faculté de Génie civil
Polycopié de:
Destiné aux étudiants de 1ère année Master génie civil
Elaboré par: Mohamed CHENNIT
Avril 2022
DYNAMIQUE DES STRUCTURES
COURS ET EXERCICES
COURS ET EXERCICES

1
Sommaire
1. Introduction à l’analyse dynamique des structures 5
1.1. Objectif fondamental de l’analyse dynamique des structures 5
1.2. Charge déterministe 5
1.2.1. Charge périodique 5
1.2.2. Charge non périodique 6
1.3. Caractéristiques d’un problème dynamique 6
1.4. Modélisation et notion de degré de liberté 7
2 Système à un degré de liberté 8
2.1 Modélisation du système à un degré de liberté 8
2.2 Equation du mouvement du système à un degré de liberté 8
2.2.1 Système libre non amorti ( F(t) = 0 et C = 0) 9
2.2.2 Système libre amorti ( F(t) = 0 ) 10
2.2.3 Système forcé 12
2.2.3.1 Système forcé avec une charge harmonique non amorti 13
2.2.3.2 Système forcé avec une charge harmonique amorti 14
2.2.3.3 Système forcé avec une charge périodique quelconque 17
2.2.3.3.1 Développement de la charge appliquée en série de Fourier 17
2.2.3.3.2 Réponse d’un système forcé avec une charge périodique non amorti 18
2.2.3.3.3 Réponse d’un système à un ddl forcé avec une charge périodique amorti 18
2.2.3.4 Système forcé avec une charge quelconque 18
2.2.3.4.1 Système forcé avec une charge quelconque et non amorti 19
Cas a : Système forcé avec une charge constante et non amorti 19
Ca s b : Système forcé avec une charge variant linéairement et non amorti 20
2.2.3.4.2 Système forcé avec une charge quelconque amorti 21
2.2.3.4.3 Calcul numérique de l’intégrale de Duhamel 21
a) Méthode par simple sommation 21
b) Méthode des trapèzes 22
c) Méthode de Simpson 22
Récapitulatif de la réponse d’un système à un degré de liberté 23
2.3 Méthodes de détermination du coefficient d’amortissement 24
2.3.1 Méthode du décrément logarithmique 24
2.3.2 Méthode de la résonnance 24

2
2.4 Système soumis à un mouvement d’appui 25
2.5 Spectre de réponse 25
2.5.1 Pseudo-accélération et pseudo-vitesse 26
2.5.2 Spectre de calcul 27
2.5.3 Utilisation des spectres de réponse 27
2.6 Applications et exercices 27
3 Système à une infinité de degrés de liberté (coordonnée généralisée) 36
3.1 Introduction 36
3.2 Equation du mouvement du système à une infinité de ddl en coordonnées généralisées 36
3.2.1 Système non amorti 36
3.2.1.1 Caractéristiques dynamiques du système à un ddl équivalent 36
3.2.1.1.1 Masse équivalente ou masse généralisée (M*) 36
3.2.1.1.2 Raideur équivalente ou raideur généralisée (K*) 37
3.2.1.1.3 Force équivalente ou force généralisée (F*) 38
3.2.2 Système amorti 38
3.2.2.1 Facteur d’amortissement équivalent ou facteur d’amortissement généralisée (C*) 38
3.3 Système à une infinité de ddl soumis à un mouvement d’appui 39
3.4 Exercices relatifs au système à une infinité de ddl (coordonnées généralisées) 40
4 Système à plusieurs degrés de liberté 45
4.1 Introduction 45
4.2 Discrétisation et modélisation 45
4.3 Equation d’équilibre dynamique 46
4.3.1 Force de rappel  46
4.3.2 Force d’amortissement  46
4.3.3 Force d’inertie  47
4.4 Matrice de flexibilité ou de souplesse d’une structure 47
4.4.1 Relation entre les matrices de raideur et de flexibilité 47
4.5 Détermination de la matrice de raideur et de la matrice de flexibilité 48
4.5.1 Matrice de raideur 48
4.5.2 Matrice de flexibilité 49
4.6 Pulsations et vecteurs propres d’un système à plusieurs ddl 49
4.6.1 Méthode des raideurs 49
4.6.2 Méthode des flexibilités 50

3
4.6.3 Propriété d’orthogonalité des vecteurs propres par rapport à la matrice des raideurs et
la matrice masse 50
4.7 Matrice des masses et des raideurs en coordonnées principales 51
4.8 Réponse d’un système à plusieurs degrés de liberté 52
4.9 Réponse d’un système à plusieurs ddl soumis à un mouvement d’appui 53
4.10 Exercices relatifs au système à plusieurs degrés de liberté 54
5 Méthodes numériques pour le calcul des modes propres de vibration 61
5.1 Introduction 61
5.2 Méthode de Rayleigh 61
5.2.1 Principe de la méthode 61
5.3 Méthode de Stodola-Vianello 62
5.3.1 Premier mode de vibration 62
5.3.2 Deuxième mode de vibration 63
5.3.3 Troisième mode de vibration 65
5.3.4 Extension de la méthode de Vianello-Stodola au quatrième mode de vibration 66
5.4 Méthode de Jacobi 68
5.4.1 Principe de la méthode de Jacobi 68
5.4.1.1 Détermination des coefficients a et b de la matrice [Q] 68
5.4.2 Principe itératif de la méthode de Jacobi 70
5.5 Conclusion 71
5.6 Exercices relatifs aux méthodes numériques 72
6 Méthodes d’intégration directe 75
6.1 Introduction 75
6.2 Méthode θ Wilson 75
Références Bibliographiques 78

4
Avant propos
Le document présenté est un support de cours (polycopié), intitulé «dynamique des
structures», s’adressant aux étudiants de la première année Master « LMD » en Génie Civil. Il a
été rédigé d’une manière simplifiée avec des exercices accompagnés de leurs solutions à la fin de
chaque chapitre pour que l’étudiant puisse assimiler le contenu du cours.
Ce polycopié de cours se décompose en trois grandes parties, le système à un degré de liberté le
système à une infinité de degrés de liberté et le système à plusieurs degrés de liberté. Dans
chaque cas la formulation de l’équation d’équilibre est formulée pour ensuite être résolue afin
d’aboutir à la réponse du système. Il est à noter que les deux derniers types de système (à une
infinité de ddl et à plusieurs ddl) se ramènent au système à un degré de liberté dont la résolution
a été établie en détail.
La dernière partie a été consacrée à la détermination des modes propres de vibration, des
systèmes à plusieurs degrés de liberté, en utilisant des méthodes numériques. Ces modes propres
sont nécessaires pour la détermination de la réponse du système à plusieurs degrés de liberté.