2020-2021-CoursDistribution

U.S.P.N - Sup Galil´ ee Ann´ ee scolaire 2020-2021
Formation Ing´ enieurs MACS
Th´eorie des distributions
H. Boumaza, T. Duyckaerts, E. Schenck
Le 15 septembre 2020

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Bibliographie
[1] J.M. Bony, Cours d’analyse, Th´ eorie des distributions et analyse de Fourier, Les ´ editions
de l’Ecole Polytechnique, Ellipses.
[2] G. Carlier, Notes de cours : Analyse fonctionnelle,
https ://www.ceremade.dauphine.fr/ carlier/poly2010.pdf
[3] J. Faraut, Calcul int´ egral, 2006, EDP Sciences.
[4] F. Golse, Notes de cours : Distributions, analyse de Fourier, ´ equations aux d´ eriv´ ees par-
tielles, http ://www.cmls.polytechnique.fr/perso/golse/MAT431-10/POLY431.pdf
[5] L. H¨ ormander, The Analysis of Linear Partial Differential Operators I, Grundlehren der
mathematischen Wissenschaften (256), Springer.
[6] J.P. Marco et autres, Math´ ematiques L3, Analyse , Pearson Education France.
[7] B. Simon et M. Reed, Methods of modern mathematical physics. II. Fourier analysis, self-
adjointness, Academic Press, New York-London, 1975.
[8] C. Zuily, ´ El´ ements de distributions et d’´ equations aux d´ eriv´ ees partielles, Sciences Sup,
Dunod.
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Table des mati`eres
1 Quelques rappels sur les fonctions int´egrables 1
1.1 Th´ eor` eme de convergence domin´ ee .......................... 1
1.2 Int´ egrales ` a param` etre .................................. 2
1.3 Les espaces Lp....................................... 4
1.4 Th´ eor` emedeFubini.................................... 6
1.5 Th´ eor` eme du changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Introduction `a la th´eorie des distributions 9
2.1 AutourduDirac...................................... 9
2.2 Notion de d´ eriv´ ee..................................... 10
2.3 LepeignedeDirac .................................... 11
3 Fonctions test 13
3.1 Notations multi-indicielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2 Formule de Taylor avec reste int´ egral.......................... 14
3.3 Fonctions de classe C∞` asupportcompact....................... 14
3.3.1 Support d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.3.2 Espace des fonctions test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3.3 Formule d’int´ egrationparparties ....................... 16
3.3.4 Topologie de C∞
K(Ω)et de C∞
0(Ω)....................... 16
3.3.5 Fonctions ”pic” et ”plateau” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.4 Densit´ e par troncature et r´ egularisation ........................ 18
3.4.1 Troncature..................................... 19
3.4.2 Produit de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.4.3 R´ egularisation................................... 22
3.5 Application : Lemme de du Bois-Reymond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4 Distributions sur un ouvert de Rd25
4.1 D´ efinitions......................................... 25
4.1.1 D´ efinitionfonctionnelle ............................. 25
4.1.2 D´ efinitionparl’ordre............................... 26
4.1.3 Ordre d’une distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2 Premiersexemples .................................... 27
4.2.1 Distribution associ´ ee ` a une fonction L1
loc .................... 27
4.2.2 DistributiondeDirac............................... 28
4.2.3 Distribution de Dirac d´ eriv´ ee.......................... 28
4.2.4 MesuresdeRadon ................................ 29
4.2.5 Distributions positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2.6 La valeur principale de 1
x............................ 30
4.2.7 Partie finie de xa................................. 31
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