Similitudes directes planes et nombres complexes – Exercices
Exercice 1 – Reconnaître une similitude
On considère la transformation :
f(z) = (1+i)z + 2 − i
1. Montrtrer que f est une similitude directe.
2. Calculer son rapport.
3. Déterminer son angle.
4. Préciser la nature de la transformation.
Exercice 2 – Centre d’une similitude
Soit la transformation :
f(z) = (2 − 2i)z + 4
1. Montrer que f est une similitude directe.
2. Déterminer le centre Ω de la similitude.
3. Donner son rapport et son angle.
Exercice 3 – Image de points
On considère la similitude :
f(z) = i(z − 1) + 2
1. Donner l’écriture de f sous la forme az + b.
2. Déterminer le rapport et l’angle.
3. Calculer l’image du point d’affixe zA = 3 + i.
4. Préciser la nature de la transformation.
Exercice 4 – Déterminer une similitude
On donne les points d’affixes :
A : 1 + i ; B : 3 + i ; A' : 2 ; B' : 2 + 2i
1. Déterminer la similitude directe f telle que f(A)=A' et f(B)=B'.
2. Donner son écriture complexe.
3. Déterminer son centre, son rapport et son angle.
Exercice 5 – Composition de similitudes
On considère :
f(z) = (1+i)z et g(z) = iz + 1
1. Montrer que f et g sont des similitudes directes.
2. Calculer g ∘ f(z).
3. La composée est-elle une similitude directe ?
4. Donner son rapport et son angle.
Exercice 6 – Problème type bac
Soit f une similitude directe de centre Ω, de rapport 2 et d’angle π/3.
1. Écrire l’expression complexe de f.
2. Sachant que f(1)=2+i, déterminer l’affixe du centre Ω.
3. Calculer l’image du point d’affixe −i.
Exercice 7 – Image d’une droite
On considère la similitude directe :
f(z) = (1+i)z + 2
Soit D la droite d’équation Re(z)=1.
1. Déterminer le rapport et l’angle de f.
2. Déterminer l’image D' de la droite D par f.
3. Donner une équation cartésienne de D'.
4. Préciser la nature de D'.
Exercice 8 – Image d’un cercle
On considère la similitude directe :
f(z) = 2e^{iπ/4}z − 1 + i
Soit C le cercle d’équation |z − 1| = 2.
1. Déterminer le rapport et l’angle de f.
2. Déterminer l’affixe du centre du cercle image.
3. Déterminer le rayon du cercle image.
4. Donner l’équation du cercle image.
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