Cours Dérivation et Intégration - Mathématiques MPSI

D´erivation et int´egration
Une premi`ere approche
Table des mati`eres
1 Fonctions et applications. 1
2 Les fonctions num´eriques 4
2.1 Les fonctions polynomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Premi`eres caract´eristiques d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 Op´erations sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Trigonom´etrie 8
3.1 Les fonctions circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2 Graphes des fonctions circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.3 Formules de trigonom´etrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.4 ´ Equations trigonom´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.4.1 R´esolution du syst`eme (S) : (cos x=c)∧(sin x=s) . . . . . . 14
3.4.2 R´esolution de l’´equation cos x=c. . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.4.3 R´esolution de l’´equation sin x=s. . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.4.4 R´esolution de l’´equation tan x=t. . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.4.5 Expressions de la forme Acos x+Bsin x. . . . . . . . . . . . . . 16
4 D´erivation et int´egration 16
4.1 Pente de la tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.2 R`egles de d´erivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.3 D´eriv´ees d’ordre sup´erieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.4 D´erivation et monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.5 Int´egration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.6 Primitivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5 Fonctions Logarithmes et puissances 24
5.1 Quelques th´eor`emes d’analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.2 Les fonctions ln et exp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.3 Logarithmes et exponentielles en base a. . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.4 Fonctions puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

6 Etude d’une fonction 31
6.1 Plan d’´etude d’une fonction fde Rdans R. . . . . . . . . . . . . . . . 31
6.2 Etude des branches infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
7 D´eformations du graphe 32
8 Trigonom´etrie hyperbolique 35
8.1 Les fonctions ch, sh et th . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
8.2 Formules de trigonom´etrie hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
9 Applications trigonom´etriques r´eciproques 36
9.1 Trigonom´etrie circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
9.2 Trigonom´etrie hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
10 Calculs d’int´egrales 38
10.1 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
10.2 Int´egration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

D´erivation et int´egration 1 Fonctions et applications.
Introduction
En prenant appui sur les acquis de Terminale, l’objectif de cette partie du cours est
d’´etudier les fonctions num´eriques de la variable r´eelle, c’est-`a-dire les fonctions de R
dans R, du point de vue de la d´erivation et de l’int´egration.
Afin de mettre rapidement en place des techniques de calcul, certaines d´efinitions man-
queront de rigueur et certains r´esultats seront admis. Ces d´efinitions et r´esultats seront
repris, pr´ecis´es et d´emontr´es lors de chapitres ult´erieurs.
On consid`ere ´egalement que la g´eom´etrie plane n’a aucun secret pour vous. Sa th´eorie
ne sera pourtant mise en place qu’en fin d’ann´ee.
1 Fonctions et applications.
Notations : Nous emploierons dans les ´enonc´es ci-dessous l’une des deux notations
suivantes :
Notation a) : Soit Det Edeux ensembles. Se donner une application fde Ddans E,
signifie que, pour tout x∈D, on se donne un unique f(x)∈E.
Notation b) : Se donner une fonction fd’un ensemble Ddans un ensemble Esignifie
qu’`a tout x∈D, on associe ou bien aucun ´el´ement de E, ou bien un unique ´el´ement
de Equi est alors not´e f(x).
Remarque. En pratique, on confond souvent les deux mots application et fonction
et c’est seulement le contexte qui permet de savoir laquelle des notations pr´ec´edentes
est employ´ee.
Remarque. Lorsque D=E=R, on parle d’applications ou de fonctions num´eriques.
D´efinition. Sous la notation b), le domaine de d´efinition de f, not´e Dfest l’ensemble
des x∈Dpour lesquels la quantit´e f(x) est calculable. Si l’on regarde fcomme
un programme informatique, dont l’input est xet l’output est f(x), le domaine de
d´efinition est l’ensemble des xqui sont accept´es par le programme en entr´ee sans
engendrer une erreur.
Exemple. Avec D=E=Ret f(x) = r2−x
x−4,Df= [2,4[.
D´efinition. Soit fune application de Ddans E(notation a)).
Pour tout A⊂D, on pose f(A) = {f(x)/ x ∈A}.
Notation. Soit fune application de Ddans E(notation a)).
Soit D′une partie de Det E′une partie de E.
— On note f|D′l’application de D′dans Equi `a xassocie f(x). On dit que f|D′
est la restriction de f`a D′.
— Lorsque f(D)⊂E′, on note f|E′l’application de Ddans E′qui `a xassocie
f(x). On dit que f|E′est la corestriction de f`a E′.
— Lorsque f(D′)⊂E′, on note f|E′
D′l’application de D′dans E′qui `a xassocie
f(x).
´
Eric Merle 1MPSI2, LLG

D´erivation et int´egration 1 Fonctions et applications.
D´efinition.
On se place dans le plan usuel, muni d’un rep`ere orthonorm´e direct (O,~ı,~).
On suppose que fest une application ou une fonction num´erique.
La repr´esentation graphique de f, aussi appel´ee le graphe de f, est l’ensemble des
points du plan de coordonn´ees (x, f(x)), lorsque xd´ecrit Df(notation b)), ou bien
lorsque xd´ecrit D(notation a)).
Exemple. Voici ce que l’on obtient pour l’exemple pr´ec´edent :
2 3 41
0
−1
1
2
3
4
Notation. On notera Ple plan usuel, muni du rep`ere orthonorm´e direct R= (O,~ı,~).
Lorsque x, y ∈R, on notera 
x
yle point de coordonn´ees (x, y). Ainsi, 
x
y=O+x~ı+y~.
Avec la notation b), si fest une fonction de Rdans R, son graphe not´e Cfv´erifie :
Cf=n
x
f(x)/ x ∈ Dfo.
D´efinition. Sous la notation a) ou la notation b),
lorsque y=f(x), avec x∈Det y∈E,
— on dit que yest l’image de xpar fet
— que xest un ant´ec´edent de ypar f.
Tout ´el´ement x∈Dposs`ede une unique image f(x) sous la notation a).
Sous la notation b), si x∈ Df,xposs`ede une unique image, mais si x∈D\ Df,xne
poss`ede aucune image.
Lorsque y∈E,ypeut ne poss´eder aucun ant´ec´edent par f, il peut aussi en poss´eder
plusieurs.
D´efinition.
Soit fune application d’un ensemble Edans un ensemble F(notation a)).
— On dit que fest surjective si et seulement si :
∀y∈F, ∃x∈E, y =f(x).
Ainsi, fest surjective si et seulement si tout ´el´ement de Fposs`ede au moins un
ant´ec´edent.
´
Eric Merle 2MPSI2, LLG

D´erivation et int´egration 1 Fonctions et applications.
— On dit que fest injective si et seulement si :
∀x, y ∈E, [f(x) = f(y) =⇒x=y].
Ainsi, fest injective si et seulement si, pour tout couple d’´el´ements distincts de
E, leurs images sont diff´erentes. fest injective si et seulement si tout ´el´ement
de Fposs`ede au plus un ant´ec´edent.
D´efinition de la composition :
— Sous la notation a) : soit f:D−→ Eet g:E−→ Fdeux applications. Pour
tout x∈D, on pose (g◦f)(x) = g(f(x)). Ainsi, g◦fest une application de D
dans F, appel´ee la compos´ee de get de f.
— Sous la notation b) : soit f:D−→ Eet g:E−→ Fdeux fonctions. Lorsque
c’est possible, on pose (g◦f)(x) = g(f(x)) : ainsi g◦fest une fonction de D
dans F, appel´ee la compos´ee de get f.
Exemple. Si f(x) = 1
xet g(x) = √x+ 1,
alors (f◦g)(x) = 1
√x+ 1 et (g◦f)(x) = q1
x+ 1.
On v´erifie que Df◦g=] −1,+∞[ et Dg◦f=] − ∞,−1]∪]0,+∞[.
En effet, lorsque x∈R∗,1
x+ 1 ≥0⇐⇒ 1 x≥ −1⇐⇒ (x > 0) ou (x < 0 et 1 ≤ −x).
Propri´et´e d’associativit´e de la composition : Sous la notation a),
soit f:D−→ E,g:E−→ Fet h:F−→ Gtrois applications.
Alors h◦(g◦f) = (h◦g)◦f.
D´emonstration.
Soit x∈D. [h◦(g◦f)](x) = h[(g◦f)(x)] = h(g(f(x)))
et [(h◦g)◦f](x) = (h◦g)(f(x)) = h(g(f(x))).
Ainsi, h◦(g◦f) = (h◦g)◦f.
Application r´eciproque :
Soit fune application d’un ensemble Ddans un ensemble E(notation a)).
— On dit que fest bijective si et seulement si fest injective et surjective, c’est-`a-
dire si et seulement si tout ´el´ement de Eposs`ede un unique ant´ec´edent. Ainsi
fest bijective si et seulement si pour tout y∈E, il existe un unique xy∈Dtel
que y=f(xy).
— Dans ce cas, en notant xy=f−1(y), on d´efinit une application f−1de Edans
D, qui est ´egalement bijective. C’est la bijection r´eciproque de la bijection f.
— Lorsque fest bijective, on a (f−1)−1=f.
De plus f◦f−1=IdEet f−1◦f=IdD, o`u IdEest l’application de Edans E
qui `a xassocie x.
—fest bijective si et seulement si il existe une application gde Edans Dtelle
que f◦g=IdEet g◦f=IdD. Dans ce cas, f−1=g.
D´emonstration.
Admis pour le moment
´
Eric Merle 3MPSI2, LLG